湖南省衡阳市耒阳市雅江中学高一数学理上学期摸底试题含解析

湖南省衡阳市耒阳市雅江中学高一数学理上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列结论正确的是

(

)A．当时， B．的最小值为 C.当时，

D．当时，的最小值为参考答案：D略2.已知全集U＝{1，2，3，4}，且?U(A∪B)＝{4}，B＝{1，2}，则A∩(?UB)＝()A．{3}

B．{4}C．{3，4}

D．?参考答案：A解析：因为全集U＝{1，2，3，4}，且?U(A∪B)＝{4}，所以A∪B＝{1，2，3}，又B＝{1，2}，所以?UB＝{3，4}，A＝{3}或{1，3}或{2，3}或{1，2，3}，所以A∩(?UB)＝{3}．故选A.3.设a=log34，b=log0.43，c=0.43，则a，b，c的大小关系为（）A．c＞a＞b B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a参考答案：B【考点】对数值大小的比较；不等关系与不等式．【分析】通过比较三个数与0、1的大小关系即可得到答案．【解答】解：∵log0.43＜log0.41=0，∴b＜0∵log34＞log33=1，∴a＞1，∵0＜0.43＜0.40=1．∴0＜c＜1，∴a＞c＞b．故选：B．4.已知边长为a的菱形ABCD中，∠ABC=60°，将该菱形沿对角线AC折起，使BD=a，则三棱锥D﹣ABC的体积为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】三棱锥B﹣ACD是一个正四面体．过B点作BO⊥底面ACD，则点O是底面的中心，由勾股定理求出BO，由此能求出三棱锥D﹣ABC的体积．【解答】解：∵边长为a的菱形ABCD中，∠ABC=60°，将该菱形沿对角线AC折起，使BD=a，∴由题意可得：三棱锥B﹣ACD是一个正四面体．如图所示：过B点作BO⊥底面ACD，垂足为O，则点O是底面的中心，AO==．在Rt△ABO中，由勾股定理得BO===．∴三棱锥D﹣ABC的体积V===．故选：D．5.我们生活在不同的场所中对声音的音量会有不同的要求．音量大小的单位是分贝（dB），对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下的公式计算：（其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度）．设η1=70dB的声音强度为I1，η2=60dB的声音强度为I2，则I1是I2的（）A．倍 B．10倍 C．倍 D．倍参考答案：B【考点】对数的运算性质．【分析】由题设中的定义，将音量值代入，计算出声音强度I1与声音强度I2的值，再计算出即可求出倍数【解答】解：由题意，令70=10lg，解得，I1=I0×107，令60=10lg，解得，I2=I0×106，所以=10故选：B．【点评】本题考查对数的计算与对数性质在实际中的应用，熟练掌握对数运算性质是解答的关键6.已知集合，，则（）．A．{1,3} B．{2,4,5} C．{1,2,3,4,5} D．参考答案：A解：∵集合，，∴，故选：．7.有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点。已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过39，则该塔形中正方体的个数至少是

A.4

B.5

C.6

D.7参考答案：C略8.已知，函数的图象只可能是（

）

参考答案：B9.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积（单位：cm3）为（）A．π+ B．2 C．2π D．参考答案：A【考点】L8：由三视图还原实物图；L@：组合几何体的面积、体积问题．【分析】由三视图可以看出，该几何体下部是一个圆柱，上部是一三棱锥，圆柱半径为1高也是1，三棱锥底面是一等腰直角三角形，过斜边的侧面与多方面垂直且该侧面是一等边三角形，边长是2，由于该几何体是一组合体故其体积为圆柱的体积与棱锥体积的和．【解答】解：由三视图，该组合体上部是一三棱锥，下部是一圆柱由图中数据知V圆柱=π×12×1=π三棱锥垂直于底面的侧面是边长为2的等边三角形，且边长是2，故其高即为三棱锥的高，高为故棱锥高为由于棱锥底面为一等腰直角三角形，且斜边长为2，故两直角边长度都是底面三角形的面积是=1故=故该几何体的体积是π+故选A．10.的值为

A.

B.

C.

D.参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在区间中随机地取出两个数，则两数之和小于的概率是_____．参考答案：12.已知两个球的表面积之比为1：16，则这两个球的半径之比为．参考答案：1：4【考点】球的体积和表面积．【分析】设大球与小球两个球的半径分别为R，r，然后表示出两个球的表面积：S1=4πR2，S2=4πr2，进而根据题中的面积之比得到半径之比，即可得到答案．【解答】解：由题意可得：设大球与小球两个球的半径分别为R，r，所以两个球的表面积分别为：S1=4πR2，S2=4πr2因为两个球的表面积之比为1：16，所以可得：==，所以=．故答案为：1：4．13.如图所示，在四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=，BD⊥CD，将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是．（1）A′C⊥BD；

（2）∠BA′C=90°；（3）CA′与平面A′BD所成的角为30°；（4）四面体A′﹣BCD的体积为．参考答案：（2）（4）考点： 平面与平面之间的位置关系．专题： 综合题；空间位置关系与距离．分析： 根据题意，依次分析命题：对于（1），可利用反证法说明真假；对于（2），△BA'D为等腰Rt△，CD⊥平面A'BD，得BA'⊥平面A'CD，根据线面垂直可知∠BA′C=90°；对于（3）由CA'与平面A'BD所成的角为∠CA'D=45°知真假；对于（4），利用等体积法求出所求体积进行判定即可，综合可得答案．解答： 解：∵四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=，BD⊥CD，平面A'BD⊥平面BCD，则由A′D与BD不垂直，BD⊥CD，故BD与平面A′CD不垂直，则BD仅于平面A′CD与CD平行的直线垂直，故（1）不正确；由题设知：△BA'D为等腰Rt△，CD⊥平面A'BD，得BA'⊥平面A'CD，于是（2）正确；由BD⊥CD，平面A′BD⊥平面BCD，易得CD⊥平面A′BD，∴CD⊥A′B，CD⊥A′D，∵A′D=CD，∴△A′CD为等腰直角三角形，∴∠A′DC=45°，则CA′与平面A′BD所成的角为45°，知（3）不正确；VA′﹣BCD=VC﹣A′BD=，故（4）正确．故答案为：（2）（4）．点评： 本题主要考查了异面直线及其所成的角，以及三棱锥的体积的计算，同时考查了空间想象能力，论证推理能力，解题的关键是须对每一个进行逐一判定．14.已知sin（﹣α）=，则cos（π+α）=．参考答案：﹣【考点】两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．【分析】由条件利用诱导公式求得所给式子的值．【解答】解：cos（π+α）=cos（π+π+α）=﹣cos（+α）=﹣sin[﹣（+α）]=﹣sin（﹣α）=﹣，故答案为：．15.集合{0，2，4}的真子集个数为个．参考答案：7【考点】子集与真子集．【专题】计算题；集合思想；综合法；集合．【分析】根据题意，集合{0，2，4}中有3个元素，由集合的子集与元素数目的关系，计算可得答案．【解答】解：集合{0，2，4}中有3个元素，有23=8个子集，有23﹣1=7个真子集；故答案为：7．【点评】本题考查集合的元素数目与子集数目的关系，若集合中有n个元素，则其有2n个子集．16.（5分）若函数y=3x2﹣4kx+5在区间上是单调函数，则实数k的取值范围

参考答案：（﹣∞，﹣]∪[,+∞)解答： 由于函数y=3x2﹣4kx+5的图象的对称轴方程为x=，当函数在区间上是单调增函数时，≤﹣1，求得k≤﹣．当函数在区间上是单调减函数时，≥3，求得k≥，故答案为：（﹣∞，﹣]∪[,+∞)上单调递减．【题文】（12分）已知函数f（x）=αx+（其中α，b为常数）的图象经过﹙1，2﹚，﹙2，）两点．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式，并判断f（x）的奇偶性．（Ⅱ）用定义证明f（x）在区间﹙0，1]上单调递减．【答案】【解析】考点： 函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．专题： 计算题；证明题；函数的性质及应用．分析： （Ⅰ）f（x）的图象经过两点，把这两点的坐标代入解析式，可求得a、b的值；（Ⅱ）用定义法证明函数的增减性时，基本步骤是：一取值，二作差，三判正负．四下结论．解答： （Ⅰ）∵f（x）=ax+的图象经过（1，2），（2，）两点；∴有，解得；∴f（x）的解析式为f（x）=x+，（其中x≠0），则定义域关于原点对称，且f（﹣x）=﹣x﹣=﹣（x+）=﹣f（x），则f（x）为奇函数；（Ⅱ）证明：任取x1，x2，且0＜x1＜x2≤1，则f（x1）﹣f（x2）=（x1+）﹣（x2+）=（x1﹣x2）+（﹣）=；∵0＜x1＜x2≤1，∴x1x2＜1，x1﹣x2＜0，x1x2﹣1＜0，x1x2＞0；∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）；∴f（x）在（0，1]上是减函数．点评： 本题考查了用待定系数法求函数的解析式以及用定义法证明函数的单调性问题，是基础题．17.抛物线y=－b＋3的对称轴是＿＿＿，顶点是＿＿＿。参考答案：y轴

(0,3)略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在四边形ABCD中，已知，，（1）若，且△ADC的面积为，求△ABC的面积:（2）若，求BD的最大值.参考答案：(1)；(2)3【分析】（1）根据可解出，验证出，从而求得所求面积；（2）设，，在中利用余弦定理构造关于的方程；在中分别利用正余弦定理可得到和，代入可求得；根据三角函数最值可求得的最大值，即可得到结果.【详解】（1）由得：，即

（2）设，在中，由正弦定理得：…①由余弦定理得：…②在中，由余弦定理得：将①②代入整理得：当，即时，取最大值【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用；本题中线段长度最值的求解的关键是能够利用正余弦定理构造方程，将问题转化为三角函数最值的求解问题.19.已知a∈R，函数f（x）═log2（+a）．（1）若f（1）＜2，求实数a的取值范围；（2）设函数g（x）=f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]，讨论函数g（x）的零点个数．参考答案：【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）若f（1）＜2，则log2（1+a）＜2，即0＜1+a＜4，解得实数a的取值范围；（2）令函数g（x）=f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0，即+a=（a﹣4）x+2a﹣5，即（a﹣4）x2+（a﹣5）x﹣1=0，分类讨论方程根的个数，可得不同情况下函数g（x）的零点个数．【解答】解：（1）若f（1）＜2，则log2（1+a）＜2，即0＜1+a＜4，解得：a∈（﹣1，3）；（2）令函数g（x）=f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0，则f（x）=log2[（a﹣4）x+2a﹣5]，即+a=（a﹣4）x+2a﹣5，即（a﹣4）x2+（a﹣5）x﹣1=0，①当a=4时，方程可化为：﹣x﹣1=0，解得：x=﹣1，此时+a=（a﹣4）x+2a﹣5=3，满足条件，即a=4时函数g（x）有一个零点；②当（a﹣5）2+4（a﹣4）=0时，a=3，方程可化为：﹣x2﹣2x﹣1=0，此时+a=（a﹣4）x+2a﹣5=2，满足条件，即a=3时函数g（x）有一个零点；③当（a﹣5）2+4（a﹣4）＞0时，a≠3，方程有两个根，x=﹣1，或x=，当x=﹣1时，+a=（a﹣4）x+2a﹣5=a﹣1，当a＞1时，满足条件，当x=时，+a=（a﹣4）x+2a﹣5=，当a时，满足条件，a≤时，函数g（x）无零点；＜a≤1时，函数g（x）有一个零点；a＞1且a≠3且a≠4时函数g（x）有两个零点；20.已知f（x）=2x2﹣3x+1，g（x）=k?sin（x﹣）（k≠0）．（1）设f（x）的定义域为[0，3]，值域为A；g（x）的定义域为[0，3]，值域为B，且A?B，求实数k的取值范围．（2）若方程f（sinx）+sinx﹣a=0在[0，2π）上恰有两个解，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】正弦函数的图象；二次函数的性质．【分析】（1）根据二次函数和正弦函数的图象与性质，分别求出f（x）、g（x）在区间[0，3]上的最值即得值域A、B；再根据A?B求出k的取值范围；（2）根据f（sinx）+sinx﹣a=0在x∈[0，2π）上恰有两个解，利用换元法设t=sinx，t∈[﹣1，1]，构造函数h（t）=2t2﹣2t+1﹣a，讨论t的取值范围，从而求出实数a的取值范围．【解答】解：（1）当x∈[0，3]时，由于f（x）=2x2﹣3x+1图象的对称轴为，且开口向上，可知，f（x）max=f（3）=10，所以f（x）的值域；…当x∈[0，3]时，，；…所以当k＞0时，g（x）的值域；所以当k＜0时，g（x）的值域；…又∵A?B，所以或；…即k≥10或k≤﹣20；…（2）∵f（sinx）+sinx﹣a=0，所以2sin2x﹣2sinx+1﹣a=0在x∈[0，2π）上恰有两个解，…设t=sinx，则t∈[﹣1，1]，令h（t）=2t2﹣2t+1﹣a，①当t∈（﹣1，1）时，由题意h（t）=0恰有一个解或者有两个相等的解，即h（﹣1）?h（﹣1）＜0或△=4﹣8（1﹣a）=0，即1＜a＜5或；…②若t=﹣1是方程2t2﹣2t+1﹣a=0的一个根，此时a=5，且方程的另一个根为t=2，于是sinx=﹣1或sinx=2，因此，不符合题意，故a=5（舍）；…③若t=1是方程2t2﹣2t+1﹣a=0的一个根，此时a=1，且方程的另一个根为t=0，于是sinx=1或sinx=0，因此x=0或或π，不符合题意，故a=1（舍）；…综上，a的取值范围是1＜a＜5或．…21.（13分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的方程为y=2x+b，圆C的方程为（x+2）2+（y﹣1）2=16．（1）若直线l与圆C相切，求b的值；（2）若直线l与圆C有两个交点A，B，以A，B与圆心C为顶点的三角形的面积最大时，求b的值．参考答案：考点： 直线和圆的方程的应用．专题： 计算题；直线与圆．分析： （1）由直线l与圆C相切知=4，从而解得；（2）由（1）知圆心C到AB的距离等于，由勾股定理可求得|AB|=2；从而表示出S△ABC=×2×=，从而求最值及最值点．解答： （1）因为直线l与圆C相切，所以=4，解得：b=5±4．所以，b的值为5±4．（2）由（1）知圆心C到AB的距离等于，由勾股定理可求得：|AB|=2；所以，S△ABC=×2×=，所以，当（b﹣5）2﹣40=0时，S△ABC取得最大值8，此时，b=5±2．结合（1）及5±2∈（5﹣4，5+4），所以，b=5±2符合题意．点评： 本题考查了直线与圆的位置关系及其应用，属于中档题