【达朗贝尔公式在波动方程中的应用探究5500字（论文）】

-16-达朗贝尔公式在波动方程中的应用研究目录中文摘要 1英文摘要 21引言 31.1达朗贝尔公式的概述 31.2达朗贝尔公式的历史 31.3达朗贝尔公式的研究意义 42达朗贝尔公式的推导 52.1一维波动方程的建立 32.2达朗贝尔公式的推导 33达朗贝尔公式在波动方程中的应用 73.1齐次波动方程中的应用 73.2非齐次波动方程中的应用 93.3其他方程中的应用 104结论 15谢辞 16参考文献 17达朗贝尔公式在波动方程中的应用摘要：达朗贝尔公式是解决波动方程初值问题的重要工具，而在数学物理方程中，波动方程是重要且基础的知识。所以达朗贝尔公式在数学物理方程领域起着极其重要的作用。通过达朗贝尔公式解决无界限自由波动的初值问题，从而为加深入的解决二维三维波动方程的各种问题提供依据。本篇论文主要讨论达朗贝尔公式在波动方程中的应用问题。首先是对达朗贝尔公式做出简单的概述，然后是通过一维无界弦自由波动方程推导出来。得出达朗贝尔公式，先列举达朗贝尔公式在齐次波动方程中的应用，然后是非齐次波动方程中的应用，以及其他方程中的应用。以此可以得出达朗贝尔公式在不同情况中应用情况。关键词：达朗贝尔公式；波动方程；无界限自由振动；初值问题达朗贝尔公式在波动方程中的应用1引言1.1达朗贝尔公式的概述高等数学是十分有意义的学科，而微分方程是高等数学中一个重要部分，微分方程的出现，使自然界中很多无法解释的定律得以清晰地显示及研究。然而，在现实生活中，我们学习的很多科学知识早已运用到了微分方程。微分方程在我们的学习中应用十分广泛，例如在解答物理问题的时候，微分方程就是必不可少的工具。在常规的数学物理学习中，我们常见的声学，流体力学等需要用到波动方程，全部类别的波也需要用到波动方程。然而波动方程是微分方程和物理学结合产生的偏微分方程里的重要知识。对于人们感兴趣的相对论和电子力学中也会运用到波动方程。数理不分家，而波动方程的特点及求解也印证了这点。用波动方程了解波动现象，即是最典型的利用数学来解释实际现象[1]。本报告研究的是达朗贝尔公式在波动方程中的应用，我们可以通过齐次波动方程，非其次波动方程及其他波动方程的求解，从而求出不同定解条件下的初值问题，以此来说明在一维波动方程不同的解法下它的特点。21世纪以来，所有科学家都越来越关注一维波动方程及初值问题[2]，这个问题已经成了当代研究焦点及热点。对波动方程产生的各种振动现象的研究已经跨越了各个领域，这种现象的研究深刻的体现数学物理、科学技术的紧密结合，所以波动方程具有极大的意义，即对于一维波动方程特点及初值问题的持续研究会有愈来愈深远的意义[3-5]。1.2达朗贝尔公式的历史众所周知，十八世纪中叶达朗贝尔发现了一维波动方程，达朗贝尔在三十岁左右已然成为闻名遐迩的数学家和物理学家，也因此奠定了他在数学分析中的重要奠基人和开拓者的作用。1746年后，部分从事各个行业的科学工作者们对科学和自然的理解与认识因达朗贝尔方程的发现有了更深入的领会与更加清晰的研究方向，对于普通学者而言，达朗贝尔公式可以在波动方程的求解中应用，其影响和意义广泛而深远。对于专业数学学习者而言，“达朗贝尔公式”应该是记忆深刻的，其亦称为“行波法”，其含义是以自变量的线性组合作为变量来代换，从而进行求解的方法，也是一种特殊解法的通解法，对于解波动方程而言效果显然。达朗贝尔本人不仅仅在数学科学和物理科学上成就斐然，在天文学方面也有自己的一番造诣。他将毕生的心血都倾注在数学课题研究上，还利用额外的精力完成了大量的文章著作，其中甚至还涉及其他学科科学的范畴。此中，最令人油然敬佩的是他的物理学著作《动力学》。著作中提及了物理学宏观运动定律以及达朗贝尔公式原理，诠释了怎样通过静力学问题来处理复杂的动力学问题，即将两者通过达朗贝尔公式进行转化，还讨论了如何利用平面静力来分析、解决刚体平面运动的实际情况，帮助我们在处理复杂力学问题时将其简单化处理。《动力学》一书为分析力学的科学创建夯实了基础[6]。1.3达朗贝尔方程的研究意义本报告重点探究的是达朗贝尔公式在波动方程中的应用，即在齐次波动方程、非齐次波动方程以及其他波动方程中的应用。在求解过程中我们很难求出波动方程的初值，此时我们就需要借助达朗贝尔公式。那么有了达朗贝尔公式这个工具，我们借助达朗贝尔公式解决什么问题？是否所有波动方程问题都能解决还是只能解决某一类问题？如果我们先从其次波动方程开始探究，其探究思路又是什么样的？这样我们就可以了解到达朗贝尔方程的极其重要的含义，以及对数学物理方程的贡献。1）通过达朗贝尔公式解决无界限自由波动的初值问题，从而为加深入的解决二维三维波动方程的各种问题提供依据。2)达朗贝尔公式不仅应用在波动方程中，还对物理学其他领域发挥作用并提供有力依据，且具有重要意义。3)一般达朗贝尔公式用于解决波动方程中的初值问题[7-9]，由于一维波动方程越来越被各个学科的科学家关注，所以达朗贝尔公式被各个学科的科学家所认识且掌握，因此达朗贝尔公式的意义已经超越自然科学和社会科学等领域。2达朗贝尔公式的推导2.1一维波动方程的建立常微分方程在数学中的应用十分广泛，并且应用到物理学科中更具有重要意义，比如在物理学中的电学中的电压电阻和动力学中的物体移动位置大小都是关于时间t的函数。如上这些物理量的变化特征就需要用到常微分方程。例如，一个物体挂在有弹性的挂勾上，那么它在多种力的共同作用下，它的运动方程表达式即是：上式中a与g指已知的正数，而物体t时刻位移表示方法就是s=s(t)，其中s是未知的函数。在物理学科中有很多物理量，这些物理量位移的变化不仅仅与时间有关，也与空间距离（x.y.z）有很大关系。比如在周围环境发生变化时电场强度的变化、物体内各点的温度分布等一些现象，为了研究这些物理量的变化特征，我们在计算中就会得到式中含偏微分方程的公式，也就是函数及其偏导数，也可以称为数学物理方程。要解决实际问题就需要从物理模型入手，抓住关键特征，利用相关物理知识，例如各种定律来导出数学物理方程。以下是建立弦的微小横振动偏微分方程。比如在小提琴弹奏时，弓在弦上来回拉动，只有一小段接触而发出声音，但是小提琴的弦是绷紧的，在弦与弦之间有一种相互作用力，在力学上它的名字叫张力。现假设弦是软的，则张力顺着切线的方向发生作用。在这种情况下，便可以知道每一根线之间都是相互作用的，即一根弦的振动会影响相邻弦的振动，这种振动的传播现象即称为波。现在我们来研究弦的微小横振动，如图2-1所示。图2-1图像令弦的平衡位置方向为x轴，在一个平面内，弦上的各点振动都称为横振动，而且与x轴方向垂直。u=u(x,t)表示横坐标为x的点在t时刻离开平衡位置的位移。第一步取弦上AB段分析其中AB为任意一段由于dx极小，所以AB段的重量可忽略不计。AB段在x轴方向没有运动，即可得出(2.1)由于我们需要考虑的是微小横振动，且每一小段的弦紧绷且很短，所以可以认为在振动过程中，每一小段的弦长没有变化。也就是ds≈dx。然而，由此可得出，在上述这种情形下，与1二者相比较，我们便能够得出，它几乎可以忽略不计。这样的话我们可以先认为。由物理学中牛顿第二定律便能得到横向的运动方程式(2.2)上式里为线密度。由式(2.1)得，在前面由于每一小段的弦长没有变化，可得到ds≈dx，从虎克定律得到T与t没有关系，所以张力T可视为常数，记为。将式(2.2)推写成：有微分中值定理可知，设∆x→0，可得记作，就可以得到弦的微小横振动方程如下(2.3)上式中由于只出现x一种空间变量，所以该方程又可称一维波动方程。假设弦在振动过程中还受到另一种力——外力作用，并且它作用在单位长度的弦上的横向力为F(x,t)，则在(2.2)左边加上一项F(x,t)dx，得(2.4)其中f(x,t)=F(x,t)/ρ，称为弦的强迫振动方程。以上就是一维波动方程的建立过程。2.2达朗贝尔公式的推导通过以上讨论，在一维波动方程的无界弦自由振动中，可以把问题归结于求以下定解问题(2.5)变化方程，目的为得到通解的基本形式，第一步需要我们将(2.5)中第一个等式的特征方程求出来(2.6)然后我们就可以得到两条如下的互异特征线用代替，用代替，做变量替换：(2.7)由于所以，变量代替(2.7)情况下，上述方程可以化简成(2.8)由于方程(2.8)的通解能够直接计算，所以首先把它关于积分一次，即可得出(2.9)变量c(ζ)和η没有关系，方程式式(2.9)再关于ζ积分一次，又得(2.10)上式中F和G是随意两个一元函数，且可微。接着再将原来的变量换回去，如此便可以得到(2.5)方程中第一个公式的通解，如下(2.11)在(2.5)方程中，利用第三第四个公式，便可得到如下方程(2.12)(2.13)接着想要解出F(x)和G(x)，需要把式(2.13)两边关于x积分，便可得出以下公式(2.14)上式中用(2.12)、(2.13)的两方程联立即可得出解代入(3.7)，得(2.15)这样得出的公式就称之为D’Alembert公式，当、满足一定可微的条件时，我们即可得出，它便是公式(2.5)的定解问题的解。3达朗贝尔公式在波动方程中的应用3.1齐次波动方程中的应用在波动方程中可以分为其次波动方程和非齐次波动方程及其他波动方程。齐次波动方程中的一维波动方程，其中一个端点固定不动且无限延伸的弦自由振动问题，便可概括为：求解以下方程组的问题(3.1)由于我们已经得到了D’Alembert公式，那么便可以利用D’Alembert公式求解，由此可以把u(x,t)，φ(x)，ψ(x)有关x作奇延拓，那么需令易得U(x,t)即为以下公式的初值问题的解。由以上可得，我们使用D’Alembert公式，解出得 由于我们的目的为了得到(3.1)的解，即其中一个端点固定不动且无限延伸的弦波动问题。那么我们只需要考虑这一种情况就可以了。=1\*GB3①在的情况下，从，的定义可得=2\*GB3②在的情况下，由于即可得有以上可知，即可得到由如下分片定义的函数u(x,t)由此可得它便是(3.1)的解。假设x=0的另一端并不固定，而是自由的，则此时半无限的弦自由振动的定解问题，只用把前面定解问题方程式(3.1)里的倒数第一个式子用下式(3.2)(3.2)来表达，这就说明弦x=0的一端没有外力的作用下，能够不受控制的自由波动，利用将φ，ψ以及函数u(x,t)关于x作偶延拓，便可以用以上方法相似步骤来解决[10]。3.2非齐次波动方程中的应用以上问题说明了一维波动方程，其中一个端点固定不动且无限延伸的弦自由振动问题，那么在非齐次波动方程的情况下，即一维波动方程中无界弦的非自由振动，即强迫振动，便可总结为求以下问题(3.3)注意上式(3.3)与(3.1)的区别就是多了一个f(x,t)，此时f(x,t)即体现的是外力的作用。利用叠加原理，将线性方程u(x,t)化解成，式中，依次是下面定解问题的答案：其式中即可使用D’Alembert公式计算，可得所以由此可得只用讨论的求解问题。假设ω=ω(x,t,τ)为初值问题(3.4)的答案，那么即可以得出(3.5)是下列问题(3.6)的解。由2.2Duhamel公式推导的原理，可得式中ω(x,t,τ)为方程(3.4)的解。其中令t’=t-τ，那么(3.4)即可表达为再使用D’Alembert公式，便能得到通过以上讨论，我们便可以得到方程式(3.3)的解，即为由此即可以得到一维非齐次波动方程解的Kirchhoff公式。通过以上讨论，可以试着求解以下例子：例：利用齐次化原理来求解；解：利用原理可得，首先应该解下列方程由上述讨论可知，将自变量做个变换即可得出此时使用D’Alembert公式接着可以得到3.3其他波动方程中的应用除以上齐次波动方程和非齐次波动方程，达朗贝尔公式的方法也能求解下列类似问题：例：求以下初值问题的解；解：其特征方程式是可得到将变量进行替换如此方程式就可以化解成对上面公式进行积分可以得到其通解为再把它代入原来的变量，即可以得到原来方程式的答案f，g为其变量的任意可微函数，那么由初始条件可以得到(3.7)(3.8)上式(3.8)的两边进行积分，可以得到或者将上式与(3.7)联立，便可得到那么，初值问题的解可得4结论到此，此篇论文就接近尾声了，讨论了那么多，从引言到推导再到应用，我们可以得出以下结论：第一，D’Alembert公式是一维波动方程无界弦自由波动推导而来，在数学物理方程中，波动方程是极其重要的内容，而一维波动方程是波动方程中最简单且基础的内容。由于D’Alembert公式在波动方程中的应用十分广泛，即D’Alembert公式在数学物理领域也具有极大的作用。比如在物理学中电学、声学等。由此可知，我们需要了解且熟记达朗贝尔公式在各种情况下的应用及一维波动方程的初值及特点问题[11]。第二，D’Alembert公式可以巧妙的化解各种波动方程的初值问题，且应用到各个领域，所以被越来越多的科学家所了解且掌握。但是我们在利用达朗贝尔公式解决各种波动方程时，更需要掌握D’Alembert公式的推导过程及其意义。第三，由于达朗贝尔公式只适用于波动方程，所以此公式并不是万能的，所以学者在解决问题时想要应用达朗贝尔公式时会具有局限性，但是达朗贝尔公式在波动方程中是可以灵活运用且可以帮助学者轻松的解决波动方程的初值问题，所以达朗贝尔公式既有优点也有缺点，正是因为达朗贝尔公式利用价值很大且具有不完美的一面，所以值得科学家们继续探讨研究，使其可以应用到更多情形中。研究达朗贝尔公式不仅仅是复杂枯燥的公式和数字，更是要明白其意义。[12]。通过以上讨论，我们可以知道达朗贝尔公式极其重要的意义且具有不完美的一面，所以我们需要耗费更多的精力和时间，使公式的应用领域不仅局限于波动方程中，也能适用于别的领域由此可见，使其变得完满以及具有更大的意义，最终目的是让公式应用到更宽泛的领域，