人教版九年级数学下册同步讲义 第11课 解直角三角形及其应用（原卷版+解析）

第11课解直角三角形及其应用目标导航目标导航课程标准1．了解解直角三角形的含义，会综合运用平面几何中有关直角三角形的知识和锐角三角函数的定义解直角三角形；2．会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题．

知识精讲知识精讲知识点01解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.

在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.

设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：

①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).

②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.

③边角之间的关系：

，，，

，，.

④，h为斜边上的高.

要点诠释：

(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值.

(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).

(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.知识点02解直角三角形的常见类型及解法已知条件解法步骤Rt△ABC

两

边两直角边(a，b)斜边，一直角边(如c，a)一

边

一

角一直角边

和一锐角锐角、邻边

(如∠A，b)锐角、对边

(如∠A，a)斜边、锐角(如c，∠A)要点诠释：

1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.

2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.

知识点02解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.

解这类问题的一般过程是：

(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.

(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.

(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.

(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.

拓展：

在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：

(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.

坡度(坡比)：坡面的叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.

(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.

(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.

(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.

要点诠释：

1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.

2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.

3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.能力拓展能力拓展考法01解直角三角形【典例1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，根据下列条件，解这个直角三角形．(1)∠B=60°，a＝4；(2)a＝1，．【即学即练1】(1)已知∠C=90°，a=2，b=2，求∠A、∠B和c；(2)已知sinA=,c=6，求a和b；【典例2】如图，AD是△ABC的中线，tanB=，cosC=，AC=．求：(1)BC的长；(2)sin∠ADC的值．考法02解直角三角形在解决几何图形计算问题中的应用【典例3】已知△ABC中，tanB=，BC=6，过点A作BC边上的高，垂足为点D，且满足BD：CD=2：1，则△ABC面积的所有可能值为．【即学即练2】如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长为多少?考法03解直角三角形在解决实际生活、生产问题中的应用【典例4】某过街天桥的截面图为梯形，如图所示，其中天桥斜面CD的坡度为(i＝1:是指铅直高度DE与水平宽度CE的比)，CD的长为10m，天桥另一斜面AB的坡角∠ABC＝45°．(1)写出过街天桥斜面AB的坡度；(2)求DE的长；(3)若决定对该过街天桥进行改建，使AB斜面的坡度变缓，将其45°坡角改为30°，方便过路群众，改建后斜面为AF，试计算此改建需占路面的宽度FB的长(结果精确到.0.01m)．【典例5】腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑．为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C，利用三角板测得雕塑顶端A点的仰角为30°，底部B点的俯角为45°，小华在五楼找到一点D，利用三角板测得A点的俯角为60°(如图所示)．若已知CD为10米，请求出雕塑AB的高度．(结果精确到0.1米，参考数据＝1.73)．分层提分分层提分题组A基础过关练1.在△ABC中，∠C＝90°，，则tanB＝()．A．B．C．D．2．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是()A． B． C． D．3．河堤、横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡比是1:(坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比)，则AC的长是()．A．米B．10米C．15米D．米4．如图所示，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点M、N分别为OB、OC的中点，则cos∠OMN的值为()．A．B．C．D．1第3题第4题第5题5．如图所示，某游乐场一山顶滑梯的高为h，滑梯的坡角为α，那么滑梯长为()A．B．C．D．6．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若，则BD的长是()．A．4cmB．6cmC．8cmD．10cm7．如图所示，一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距()．A．30海里B．40海里C．50海里D．60海里第6题第7题第8题8．如图所示，为了测量河的宽度，王芳同学在河岸边相距200m的M和N两点分别测定对岸一棵树P的位置，P在M的正北方向，在N的北偏西30°的方向，则河的宽度是()．A．mB．mC．mD．100m题组B能力提升练9．在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE=2，则tan∠DBE的值是．10．如图所示，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的点，AD＝BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则的值为________．11．如图所示，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为________海里(结果保留根号)．12．如图所示，直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，BC＞AD，AD＝2，AB＝4，点E在AB上，将△CBE沿CE翻折，使B点与D点重合，则∠BCE的正切值是________．13．如图所示．线段AB、DC分别表示甲、乙两座建筑物的高．AB⊥BC，DC⊥BC，两建筑物间距离BC＝30米，若甲建筑物高AB＝28米，在A点测得D点的仰角α＝45°，则乙建筑物高DC＝____米．第12题第13题第14题14.在一次夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C(如图所示)，那么，由此可知，B、C两地相距________m．题组C培优拔尖练15．如图所示，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB为2米，台阶AC的坡度为1:(即AB:BC＝1:)，且B、C、E三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树DE的高度(测倾器的高度忽略不计)．16.如图，已知四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=4，BC的延长线与AD的延长线交于点E．(1)若∠A=60°，求BC的长；(2)若sinA=，求AD的长．(注意：本题中的计算过程和结果均保留根号)17．北京时间2015年04月25日14时11分，尼泊尔发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作．如图，某探测队在地面A、B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB=4米，求该生命迹象所在位置C的深度．(结果精确到1米．参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，≈1.7)第11课解直角三角形及其应用目标导航目标导航课程标准1．了解解直角三角形的含义，会综合运用平面几何中有关直角三角形的知识和锐角三角函数的定义解直角三角形；2．会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题．

知识精讲知识精讲知识点01解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.

在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.

设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：

①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).

②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.

③边角之间的关系：

，，，

，，.

④，h为斜边上的高.

要点诠释：

(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值.

(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).

(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.知识点02解直角三角形的常见类型及解法已知条件解法步骤Rt△ABC

两

边两直角边(a，b)由求∠A，

∠B=90°－∠A，

斜边，一直角边(如c，a)由求∠A，

∠B=90°－∠A，

一

边

一

角一直角边

和一锐角锐角、邻边

(如∠A，b)∠B=90°－∠A，

，锐角、对边

(如∠A，a)∠B=90°－∠A，

，斜边、锐角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，

，要点诠释：

1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.

2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.

知识点02解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.

解这类问题的一般过程是：

(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.

(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.

(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.

(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.

拓展：

在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：

(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.

坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.

(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.

(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.

(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.

要点诠释：

1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.

2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.

3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.能力拓展能力拓展考法01解直角三角形【典例1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，根据下列条件，解这个直角三角形．(1)∠B=60°，a＝4；(2)a＝1，．【答案与解析】(1)∠A＝90°－∠B＝90°－60°＝30°．由知，．由知，．(2)由得∠B＝60°，∴∠A＝90°-60°＝30°．∵，∴．【总结升华】解直角三角形的两种类型是：(1)已知两边；(2)已知一锐角和一边．解题关键是正确选择边角关系．常用口诀：有弦(斜边)用弦(正弦、余弦)，无弦(斜边)用切(正切)．(1)首先用两锐角互余求锐角∠A，再利用∠B的正切、余弦求b、c的值；(2)首先用正切求出∠B的值，再求∠A的值，然后由正弦或余弦或勾股定理求c的值．【即学即练1】(1)已知∠C=90°，a=2，b=2，求∠A、∠B和c；(2)已知sinA=,c=6，求a和b；【答案】(1)c=4；∠A=60°、∠B=30°；(2)a=4；b=【典例2】如图，AD是△ABC的中线，tanB=，cosC=，AC=．求：(1)BC的长；(2)sin∠ADC的值．【答案与解析】解：过点A作AE⊥BC于点E，∵cosC=，∴∠C=45°，在Rt△ACE中，CE=AC•cosC=1，∴AE=CE=1，在Rt△ABE中，tanB=，即=，∴BE=3AE=3，∴BC=BE+CE=4；(2)∵AD是△ABC的中线，∴CD=BC=2，∴DE=CD﹣CE=1，∵AE⊥BC，DE=AE，∴∠ADC=45°，∴sin∠ADC=．【总结升华】正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，注意锐角三角函数的概念的正确应用．考法02解直角三角形在解决几何图形计算问题中的应用【典例3】已知△ABC中，tanB=，BC=6，过点A作BC边上的高，垂足为点D，且满足BD：CD=2：1，则△ABC面积的所有可能值为．【思路点拨】分两种情况，根据已知条件确定高AD的长，然后根据三角形面积公式即可求得．【答案】8或24．【解析】解：如图1所示：∵BC=6，BD：CD=2：1，∴BD=4，∵AD⊥BC，tanB=，∴=，∴AD=BD=，∴S△ABC=BC•AD=×6×=8；如图2所示：∵BC=6，BD：CD=2：1，∴BD=12，∵AD⊥BC，tanB=，∴=，∴AD=BD=8，∴S△ABC=BC•AD=×6×8=24；综上，△ABC面积的所有可能值为8或24，故答案为8或24．【总结升华】本题考查了解直角三角形，以及三角函数的定义，三角形面积，分类讨论思想的运用是本题的关键．【即学即练2】如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长为多少?【答案与解析】解：作DE⊥AB于E，如图，∵∠C=90°，AC=BC=6，∴△ACB为等腰直角三角形，AB=AC=6，∴∠A=45°，在Rt△ADE中，设AE=x，则DE=x，AD=x，在Rt△BED中，tan∠DBE==，∴BE=5x，∴x+5x=6，解得x=，∴AD=×=2．考法03解直角三角形在解决实际生活、生产问题中的应用【典例4】某过街天桥的截面图为梯形，如图所示，其中天桥斜面CD的坡度为(i＝1:是指铅直高度DE与水平宽度CE的比)，CD的长为10m，天桥另一斜面AB的坡角∠ABC＝45°．(1)写出过街天桥斜面AB的坡度；(2)求DE的长；(3)若决定对该过街天桥进行改建，使AB斜面的坡度变缓，将其45°坡角改为30°，方便过路群众，改建后斜面为AF，试计算此改建需占路面的宽度FB的长(结果精确到.0.01m)．【答案与解析】(1)作AG⊥BC于G，DE⊥BC于E，在Rt△AGB中，∠ABG＝45°，AG＝BG．∴AB的坡度．(2)在Rt△DEC中，∵，∴∠C＝30°．又∵CD＝10m．∴．(3)由(1)知AG＝BG＝5m，在Rt△AFG中，∠AFG＝30°，，即，解得．答：改建后需占路面的宽度FB的长约为3.66m．【总结升华】(1)解梯形问题常作出它的两条高，构造直角三角形求解．(2)坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比，它等于坡角的正切值．【典例5】腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑．为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C，利用三角板测得雕塑顶端A点的仰角为30°，底部B点的俯角为45°，小华在五楼找到一点D，利用三角板测得A点的俯角为60°(如图所示)．若已知CD为10米，请求出雕塑AB的高度．(结果精确到0.1米，参考数据＝1.73)．【答案与解析】过点C作CE⊥AB于E．∵∠D＝90°－60°＝30°，∠ACD＝90°－30°＝60°，∴∠CAD＝180°－30°－60°＝90°．∵CD＝10，∴AC＝CD＝5．在Rt△ACE中，AE＝AC·sin∠ACE＝5×sin30°＝，CE＝AC·cos∠ACE＝5×cos30°＝，在Rt△BCE中，∵∠BCE＝45°，∴≈6.8(米)．∴雕塑AB的高度约为6.8米．【总结升华】此题将实际问题抽象成数学问题是解题关键，从实际操作(用三角形板测得仰角、俯角)过程中，提供作辅助线的方法，同时对仰角、俯角等概念不能模糊．分层提分分层提分题组A基础过关练1.在△ABC中，∠C＝90°，，则tanB＝()．A．B．C．D．【答案】B；【解析】如图，sinA＝，设BC＝4x．则AB＝5x．根据勾股定理可得AC＝，∴．2．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是()A． B． C． D．【答案】B．【解析】如图所示：设BC=x，∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，∴AC=2BC=2x，AB=BC=x，根据题意得：AD=BC=x，AE=DE=AB=x，作EM⊥AD于M，则AM=AD=x，在Rt△AEM中，cos∠EAD===；3．河堤、横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡比是1:(坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比)，则AC的长是()．A．米B．10米C．15米D．米【答案】A；【解析】由知，(米)．4．如图所示，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点M、N分别为OB、OC的中点，则cos∠OMN的值为()．A．B．C．D．1【答案】B；【解析】由题意知MN∥BC，∠OMN＝∠OBC＝45°，∴．第3题第4题第5题5．如图所示，某游乐场一山顶滑梯的高为h，滑梯的坡角为α，那么滑梯长为()A．B．C．D．【答案】A；【解析】由定义，∴.6．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若，则BD的长是()．A．4cmB．6cmC．8cmD．10cm【答案】D；【解析】∵MN是AB的中垂线,∴BD＝AD．又，设DC＝3k，则BD＝5k，∴AD＝5k，AC＝8k．∴8k＝16，k＝2，BD＝5×2＝10．7．如图所示，一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距()．A．30海里B．40海里C．50海里D．60海里【答案】B；【解析】连接AC，∵AB＝BC＝40海里，∠ABC＝40°+20°＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴AC＝AB＝40海里．第6题第7题第8题8．如图所示，为了测量河的宽度，王芳同学在河岸边相距200m的M和N两点分别测定对岸一棵树P的位置，P在M的正北方向，在N的北偏西30°的方向，则河的宽度是()．A．mB．mC．mD．100m【答案】A【解析】依题意PM⊥MN，∠MPN＝∠N＝30°，tan30°，．题组B能力提升练9．在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE=2，则tan∠DBE的值是．【答案】2；【解析】设菱形ABCD边长为t，∵BE=2，∴AE=t﹣2，∵cosA=，∴，∴=，∴t=5，∴AE=5﹣2=3，∴DE==4，∴tan∠DBE===2．故答案为：2．10．如图所示，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的点，AD＝BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则的值为________．【答案】；【解析】由已知条件可证△ACE≌△CBD．从而得出∠CAE＝∠BCD．∴∠AFG＝∠CAE+∠ACD＝∠BCD+∠ACD＝60°，在Rt△AFG中，．11．如图所示，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为________海里(结果保留根号)．【答案】；【解析】在Rt△APC中，PC＝AC＝AP·sin∠APC＝．在Rt△BPC中，∠BPC＝90°-30°＝60°，BC＝PC·tan∠BPC＝，所以AB＝AC+BC＝．12．如图所示，直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，BC＞AD，AD＝2，AB＝4，点E在AB上，将△CBE沿CE翻折，使B点与D点重合，则∠BCE的正切值是________．【答案】；【解析】如图，连接BD，作DF⊥BC于点F，则CE⊥BD，∠BCE＝∠BDF，BF＝AD＝2，DF＝AB＝4，所以．13．如图所示．线段AB、DC分别表示甲、乙两座建筑物的高．AB⊥BC，DC⊥BC，两建筑物间距离BC＝30米，若甲建筑物高AB＝28米，在A点测得D点的仰角α＝45°，则乙建筑物高DC＝____米．第12题第13题第14题【答案