广西贵港市三年2020-2022年中考数学真题分类汇编-03解答题

广西贵港市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03解答题

一.分式的化简求值（共1小题）

1.（2020•贵港）（1）计算:|五-2|+（3-IT）0-V12+6COS30O；

（2）先化简再求值一I—・二一，其中〃?=-5.

-3m-9

二.解分式方程（共1小题）

2.（2021•贵港）⑴计算：圾+（兀+2）。+（_1产21-2cos45°；

（2）解分式方程：江2+11-.

x-22-x

三.分式方程的应用（共2小题）

3.（2022•贵港）为了加强学生的体育锻炼，某班计划购买部分绳子和实心球.已知每条绳

子的价格比每个实心球的价格少23元，且84元购买绳子的数量与360元购买实心球的

数量相同.

（1）绳子和实心球的单价各是多少元？

（2）如果本次购买的总费用为510元，且购买绳子的数量是实心球数量的3倍，那么购

买绳子和实心球的数量各是多少？

4.（2020•贵港）在今年新冠肺炎防疫工作中，某公司购买了4、8两种不同型号的口罩，

已知A型口罩的单价比8型口罩的单价多1.5元，且用8000元购买A型口罩的数量与用

5000元购买B型口罩的数量相同.

（1）A、8两种型号口罩的单价各是多少元？

（2）根据疫情发展情况，该公司还需要增加购买一些口罩，增加购买B型口罩数量是A

型口罩数量的2倍,若总费用不超过3800元,则增加购买A型口罩的数量最多是多少个？

四.一元一次不等式组的应用（共1小题）

5.（2021•贵港）某公司需将一批材料运往工厂，计划租用甲、乙两种型号的货车，在每辆

货车都满载的情况下，若租用30辆甲型货车和50辆乙型货车可装载1500箱材料；若租

用20辆甲型货车和60辆乙型货车可装载1400箱材料.

（1）甲、乙两种型号的货车每辆分别可装载多少箱材料？

（2）经初步估算，公司要运往工厂的这批材料不超过1245箱.计划租用甲、乙两种型

号的货车共70辆，且乙型货车的数量不超过甲型货车数量的3倍，该公司一次性将这批

材料运往工厂共有哪几种租车方案？

五.反比例函数与一次函数的交点问题（共3小题）

6.（2022•贵港）如图，直线A8与反比例函数>=区（k>0,x>0）的图象相交于点A和点

C（3,2）,与x轴的正半轴相交于点B.

（1）求上的值;

（2）连接04,OC,若点C为线段A8的中点，求△AOC的面积.

B\I

7.（2021•贵港）如图，一次函数产九+2的图象与反比例函数产区的图象相交，其中一个

X

交点的横坐标是1.

（1）求k的值；

（2）若将一次函数y=x+2的图象向下平移4个单位长度，平移后所得到的图象与反比

例函数y=K的图象相交于A,B两点,求此时线段AB的长.

8.（202（）•贵港）如图，双曲线yi=Ka为常数，且H0）与直线）2=2%+方交于A（1,m）

和B（」〃，〃+2）两点.

2

(1)求Z,m的值;

（2）当x>0时•，试比较函数值yi与”的大小.

9.(2022•贵港)如图，已知抛物线y=-/+6x+c经过A(0,3)和B(工，-1)两点，

24

直线48与x轴相交于点C,P是直线AB上方的抛物线上的一个动点，轴交48

于点D.

(1)求该抛物线的表达式；

(2)若PE〃x轴交AB于点E,求尸。+PE的最大值；

(3)若以4P,。为顶点的三角形与AAOC相似，请直接写出所有满足条件的点P,

10.(2021•贵港)如图，己知抛物线y=o?+fev+c与x轴相交于A(-3,0),B两点，与y

轴相交于点C(0,2),对称轴是直线x=-l,连接AC.

(1)求该抛物线的表达式；

(2)若过点B的直线/与抛物线相交于另一点。，当NABD=NBAC时，求直线/的表

达式；

(3)在(2)的条件下，当点。在x轴下方时，连接AD,此时在y轴左侧的抛物线上存

在点P，使SABOP=3SZXABD.请直接写出所有符合条件的点P的坐标.

2

11.(2020•贵港)如图，已知抛物线尸工与x轴相交于A(-6,0),B(L0),

2

与了轴相交于点C，直线/LAC,垂足为C.

(1)求该抛物线的表达式；

(2)若直线/与该抛物线的另一个交点为求点。的坐标；

(3)设动点尸",")在该抛物线上，当NB4c=45°时，求机的值.

七.三角形综合题(共1小题)

12.(2022•贵港)已知：点C,。均在直线/的上方，AC与都是直线/的垂线段，且

BO在AC的右侧，BD=2AC,A£＞与8c相交于点O.

(1)如图1,若连接CD,则△BCO的形状为,3Q的值为；

AD

(2)若将BO沿直线/平移，并以AO为一边在直线/的上方作等边△4OE.

①如图2,当AE与AC重合时，连接。E,若AC=§,求OE的长；

2

②如图3,当NAC8=60°时，连接EC并延长交直线/于点凡连接OF.求证：OFJ_

AB.

13.(2020•贵港)己知：在矩形ABC。中，AB=6,AD=2娓,P是BC边上的一个动点,

将矩形A8C。折叠，使点A与点P重合，点£>落在点G处，折痕为EF.

(1)如图1,当点尸与点C重合时，则线段EB=,EF=

(2)如图2,当点尸与点B,C均不重合时，取EF的中点O,连接并延长PO与G尸的

延长线交于点“，连接PF,ME,MA.

①求证：四边形MEPF是平行四边形；

②当tanNMA£>=工时，求四边形MEPF的面积.

3

图1图2

九.切线的判定与性质(共2小题)

14.(2021•贵港)如图，。。是△ABC的外接圆，AO是。。的直径，尸是AO延长线上一

点，连接CO,CF,且NQCF=NCAO.

(1)求证：CF是。。的切线；

(2)若COSB=3,AD=2,求FQ的长.

5

15.(2020•贵港)如图，在△ABC中，AB=AC,点。在8c边上，KAD=BD,。。是△

AC。的外接圆，AE是。。的直径.

(1)求证：AB是。。的切线；

(2)若AB=2娓,A£>=3,求直径AE的长.

一十.作图一基本作图(共1小题)

16.(2022•贵港)尺规作图(保留作图痕迹，不要求写出作法)：

如图，已知线段，w,n.求作△ABC,使NA=90°,AB^m,BC=n.

Im।

I_________2__________I

一十一.作图-旋转变换(共1小题)

17.(2020•贵港)如图，在平面直角坐标系中，已知AABC三个顶点的坐标分别为A(l,4),

B(4,1),C(4,3).

(1)画出将△ABC向左平移5个单位得到的△A1B1C1；

(2)画出将△ABC绕原点。顺时针旋转90°得到的AA282c2.

18.(2021•贵港)已知在△4BC中，。为BC边的中点，连接AO,将△AOC绕点。顺时针

方向旋转(旋转角为钝角)，得到△EOF,连接AE,CF.

(1)如图1,当/B4C=90°且AB=AC时，则AE与CF满足的数量关系是；

(2)如图2,当N8AC=90°且AB#4c时，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请

写出证明过程；若不成立，请说明理由.

(3)如图3,延长A0到点。，使。£>=0A,连接。E,当A0=CF=5,8c=6时，求

OE的长.

一十三.相似三角形的判定与性质(共1小题)

19.(2022•贵港)如图，在△ABC中，ZACB=90°,点。是A8边的中点，点。在AC边

上，。。经过点C且与AB边相切于点E,ZFAC=1ZBDC.

2

(1)求证：AF是的切线；

(2)若BC=6,sin8=_l,求。0的半径及。。的长.

5

20.(2021•贵港)尺规作图(只保留作图痕迹，不要求写出作法).如图，已知△ABC,且

AB>AC.

(1)在AB边上求作点£>,使DB=DC；

(2)在AC边上求作点E,使△A£)£'S/\ACB.

BC

一十五.特殊角的三角函数值（共1小题）

21.（2022•贵港）（1）计算：|1-V3I+（2022-n）°+（-A）^-tanbO0；

2

<2x-5<0,①

（2）解不等式组：|2X-4/5-XG

o乙

一十六.条形统计图（共2小题）

22.（2022•贵港）在贯彻落实“五育并举”的工作中，某校开设了五个社团活动：传统国学

（A）、科技兴趣（8）、民族体育（C）、艺术鉴赏（D）、劳技实践（E）,每个学生每个学

期只参加一个社团活动.为了了解本学期学生参加社团活动的情况，学校随机抽取了若

干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅尚不完整的统计图.请根据统计图提

供的信息，解答下列问题：

条形统计图扇形统计图

（1）本次调查的学生共有人；

（2）将条形统计图补充完整；

（3）在扇形统计图中，传统国学（A）对应扇形的圆心角度数是；

（4）若该校有2700名学生，请估算本学期参加艺术鉴赏（。）活动的学生人数.

23.（2020•贵港）某校对九年级学生进行“综合素质”评价，评价的结果分为A（优秀）、B

（良好）、C（合格）、D（不合格）四个等级，现从中随机抽查了若干名学生的“综合素

质”等级作为样本进行数据处理，并绘制以下两幅不完整的统计图.请根据统计图提供

的信息，解答下列问题：

（1）B（良好）等级人数所占百分比是；

（2）在扇形统计图中，C（合格）等级所在扇形的圆心角度数是；

（3）请补充完整条形统计图；

（4）若该校九年级学生共1000名，请根据以上调查结果估算：评价结果为A（优秀）

等级或2（良好）等级的学生共有多少名？

一十七.列表法与树状图法（共1小题）

24.（2021•贵港）某校为了了解本校学生每天课后进行体育锻炼的时间情况，在5月份某天

随机抽取了若干名学生进行调查，调查发现学生每天课后进行体育锻炼的时间都不超过

100分钟，现将调查结果绘制成两幅尚不完整的统计图表.请根据统计图表提供的信息,

解答下列问题：

组别锻炼时间频数（人）百分比

（分）

A0WxW201220%

B20<xWa35%

40

C40cxW18b

60

D60cxW610%

80

E80VxW35%

100

(1)本次调查的样本容量是;表中a=,h=；

(2)将频数分布直方图补充完整；

(3)已知E组有2名男生和1名女生，从中随机抽取两名学生，恰好抽到1名男生和1

名女生的概率是;

(4)若该校学生共有2200人，请根据以上调查结果估计：该校每天课后进行体育锻炼

参考答案与试题解析

分式的化简求值（共1小题）

1.（2020•贵港）（1）计算：卜m-2|+（3-re）°-V12+6cos30q；

（2）先化简再求值一—4--2其中-5.

-3m-9

【解答】解：（1）原式=2-y+1-2愿+6X亚

2

=2-73+1-273+373

=3；

（2）―—4--2-.

-3m-9

=1•（m+3）（nr3）

m（m-3）2

_m+3

2m

当机=-5时，原式=-5+3=工

2X（-5）5

二.解分式方程（共1小题）

2.（2021•贵港）（1）计算：悯+（冗+2）。+（-］严1-2cos45。；

（2）解分式方程：三3+13_.

x-22-x

【解答】解：（1）原式=2&+1-1-2X返

2

=272+1-1-V2

=近;

（2）整理，得：三工+1=_工，

x-2x~2

方程两边同时乘以（x-2）,得：x-3+x-2=-3,

解得：x—\,

检验：当x=l时，x-2^0,

：.x=\是原分式方程的解.

三.分式方程的应用（共2小题）

3.（2022•贵港）为了加强学生的体育锻炼，某班计划购买部分绳子和实心球.已知每条绳

子的价格比每个实心球的价格少23元，且84元购买绳子的数量与360元购买实心球的

数量相同.

（1）绳子和实心球的单价各是多少元？

（2）如果本次购买的总费用为510元，且购买绳子的数量是实心球数量的3倍，那么购

买绳子和实心球的数量各是多少？

【解答】解：（1）设绳子的单价为x元，则实心球的单价为（x+23）元，

根据题意，得空

xx+23

解得X—1,

经检验可知x=7是所列分式方程的解，且满足实际意义，

."23=30,

答：绳子的单价为7元，实心球的单价为30元.

（2）设购买实心球的数量为m个，则购买绳子的数量为3〃7条，

根据题意，得7X3〃?+30〃?=510,

解得"?=10,

二3根=30,

答：购买绳子的数量为30条，购买实心球的数量为10个.

4.（2020•贵港）在今年新冠肺炎防疫工作中，某公司购买了A、8两种不同型号的口罩，

已知A型口罩的单价比8型口罩的单价多1.5元，且用8000元购买4型口罩的数量与用

5000元购买3型口罩的数量相同.

（1）A、B两种型号口罩的单价各是多少元？

（2）根据疫情发展情况，该公司还需要增加购买一些口罩，增加购买B型口罩数量是A

型口罩数量的2倍，若总费用不超过3800元，则增加购买A型口罩的数量最多是多少个？

【解答】解：（1）设A型口罩的单价为x元，则B型口罩的单价为（x-1.5）元，

根据题意，得：8000.=5000

xx-l.5

解方程，得：x=4.

经检验：x=4是原方程的根，且符合题意.

所以x-1.5=25

答：A型口罩的单价为4元，则B型口罩的单价为2.5元;

（2）设增加购买A型口罩的数量是根个,

根据题意,得:2.5X2/n+4，W3800.

解不等式，得：mW422Z.

9

因为根为正整数，所以正整数机的最大值为422.

答：增加购买A型口罩的数量最多是422个.

四.一元一次不等式组的应用（共1小题）

5.（2021•贵港）某公司需将一批材料运往工厂，计划租用甲、乙两种型号的货车，在每辆

货车都满载的情况下，若租用30辆甲型货车和50辆乙型货车可装载1500箱材料；若租

用20辆甲型货车和60辆乙型货车可装载1400箱材料.

（1）甲、乙两种型号的货车每辆分别可装载多少箱材料？

（2）经初步估算，公司要运往工厂的这批材料不超过1245箱.计划租用甲、乙两种型

号的货车共70辆，且乙型货车的数量不超过甲型货车数量的3倍，该公司一次性将这批

材料运往工厂共有哪几种租车方案？

【解答】解：（1）设甲型货车每辆可装载x箱材料，乙型货车每辆可装载y箱材料，

依题意得：俨x+50y=1500,

l20x+60y=1400

解得：卜=25.

ly=15

答：甲型货车每辆可装载25箱材料，乙型货车每辆可装载15箱材料•.

（2）设租用，/辆甲型货车，则租用（70-,〃）辆乙型货车，

依题意得：（25m+15（70-m）<1245,

I70-m43m

解得：

22

又；，"为整数，

二根可以取18,19,

,该公司共有2种租车方案，

方案1：租用18辆甲型货车，52辆乙型货车；

方案2：租用19辆甲型货车，51辆乙型货车.

五.反比例函数与一次函数的交点问题（共3小题）

6.（2022•贵港）如图，直线A8与反比例函数>=区（X>0,x>0）的图象相交于点A和点

X

C（3,2）,与无轴的正半轴相交于点艮

(1)求R的值；

(2)连接OA,OC,若点C为线段AB的中点，求aAOC的面积.

【解答】解：(1)•••点C(3,2)在反比例函数)，=K的图象上，

X

，K=2,

3

解得：&=6；

(2)・・,点C(3,2)是线段A8的中点，

・••点A的纵坐标为4,

.♦.点A的横坐标为：旦=旦，

42

...点A的坐标为(旦，4),

2

设直线AC的解析式为：y=ax+b,

r2

则付+b=4,

3a+b=2

解得：a-T.

b=6

直线4c的解析式为：)，=-殳计6,

3

当y=0时，x="|"，

08=9,

2

•.•点C是线段AB的中点，

S^,AOC=工SMOB=—XX9X4=—.

22222

7.(2021•贵港)如图，一次函数y=x+2的图象与反比例函数y=K的图象相交，其中一个

交点的横坐标是1.

(1)求R的值；

(2)若将一次函数y=x+2的图象向下平移4个单位长度，平移后所得到的图象与反比

例函数y=K的图象相交于A,8两点，求此时线段4B的长.

【解答】解：(1)将x=l代入y=x+2=3,

二交点的坐标为(1,3),

将(1,3)代入y=K,

解得：氏=1X3=3；

(2)将一次函数y=x+2的图象向下平移4个单位长度得到y=x-2,

y=x-2

由《3,

y=­

X

解得：fx=3或卜=-1,

Iy=lly=-3

(-1,-3),B(3,1),

AB=7(3+l)2+(l+3)2=4版.

8.(2020•贵港)如图，双曲线为常数，且20)与直线*=2%+6交于A(1,m)

X

和B(X?,H+2)两点.

2

(1)求匕m的值；

(2)当x>0时，试比较函数值yi与”的大小.

【解答】解：(1)•・•点8(工〃，〃+2)在直线"=标+》上,

2

:.〃+2=2X上〃+匕，

2

:.b=2,

・・・直线”=2什2,

•・•点A(1,“)在直线”=2x+2上，

，加=2+2=4,

・・・A(1,4),

•.•双曲线yi=K(A为常数，且2/0)与直线”=2x+b交于A(1,4),

x

.•.Z=1X4=4；

(2)由图象可知，当OVxVl时，y\>y2；

当尤=1时，yi="=4；

当x>\时，y\<y2.

六.二次函数综合题(共3小题)

9.(2022•贵港)如图，已知抛物线y=-7+灰+。经过A(0,3)和B(工，-9)两点，

24

直线AB与x轴相交于点C,P是直线AB上方的抛物线上的一个动点，POJ_x轴交AB

于点D.

(1)求该抛物线的表达式；

(2)若PE〃尤轴交AB于点£,求PD+PE的最大值；

(3)若以4,P,。为顶点的三角形与△AOC相似，请直接写出所有满足条件的点P,

点D的坐标.

【解答】解：（1）将A（0,3）和8（工，-2）代入y=-/+以+c,

24

解得产2,

1c=3

该抛物线的解析式为y=-f+2x+3：

（2）设直线48的解析式为尸乙+〃，把A（0,3）和B（X-2）代入,

'n=3

.7,9，

L

解得｛2，

n=3

...直线AB的解析式为y=-m+3,

2

当y=0时，-■1x+3=0,

解得：x=2,

，C点坐标为（2,0）,

：PQ_Lx轴，PE〃x轴，

NACO=NDEP,

：.RtADPE^RtA4OC,

；PD_0A_3,

♦■荻为

：.PE=^PD,

3

：.PD+PE=^-PD,

3

设点P的坐标为（。，-J+2a+3）,则。点坐标为（“，-2+3）,

2

：.PD=（-a2+2a+3）-（-线+3）=-（a-Z）2+,^.,

2416

2

:.PD+PE=-A（a-工）+^15r

3448

：-Svo,

3

.♦.当“=工时，PO+PE有最大值为2/；

448

（3）①当△AOCS/\AP。时，

：PO_Lx轴，ZDPA=90Q,

.•.点P纵坐标是3,横坐标x>0,

即-/+2x+3=3,解得x=2,

.•.点。的坐标为（2,0）；

：PO_Lx轴，

.♦.点尸的横坐标为2,

...点P的纵坐标为：y=-22+2X2+3=3,

...点P的坐标为（2,3）,点。的坐标为（2,0）；

②当△AOCs/^DAP时，

此时NAPG=NAC。，

过点A作AGLPQ于点G,

/XAPG^^ACO,

.PG0C

"AG"AO，

设点尸的坐标为（m,-/n2+2/??+3）,则。点坐标为（m，-3m+3）,

2

9

pii]-m+2m+3-3_2_t

m3

解得：

3

二。点坐标为（4，1）,P点坐标为（刍，至），

339

综上，点尸的坐标为（2,3）,点。的坐标为（2,0）或尸点坐标为（匹，翌），。点

39

坐标为（X1）.

3

10.（2021•贵港）如图，已知抛物线y=o?+版+c与x轴相交于A（-3,0）,8两点，与y

轴相交于点C（0,2）,对称轴是直线x=-1,连接AC.

（1）求该抛物线的表达式；

（2）若过点B的直线/与抛物线相交于另一点。，当/ABO=NBAC时，求直线/的表

达式；

（3）在（2）的条件下，当点。在x轴下方时，连接A。，此时在y轴左侧的抛物线上存

在点P，使SMDP=3SMBD.请直接写出所有符合条件的点尸的坐标.

2

【解答】解：（1）•••抛物线的对称轴为x=-1,

-1,

2a

•**Z?=2。，

•・•点C的坐标为(0,2),

Ac=2,

抛物线的解析式为y=o?+2or+2,

•.•点A(-3,0)在抛物线上，

9a-6。+2=0,

:.a=一-,

3

:・b=2a=-―,

3

...抛物线的解析式为产-2/-刍+2；

33

(2)I、当点。在x轴上方时，如图1,

记BD与AC的交点为点E,

ZABD=ZBAC,

：.AE=BE,

•.•直线x=-1垂直平分A8,

...点E在直线x=-1上，

,点A(-3,0),C(0,2),

直线AC的解析式为尸学+2,

当x=-1时，y=—,

-3

...点E(-1,-1),

3

•.•点A(-3,0)点B关于x=-1对称，

：.B(1,0),

二直线BD的解析式为产-2r+2,

33

即直线/的解析式为v=-

33

II、当点。在x轴下方时，如图2,

•:ZABD=ABAC,

：.BD//AC,

由I知，直线AC的解析式为y=Zr+2,

3

直线BD的解析式为y=2r-2,

33

即直线/的解析式为y=2r-2；

33

综上，直线/的解析式为y=-2r+2或y=4-2：

3333

(3)由(2)知，直线8。的解析式为y=2x-2①,

33

；抛物线的解析式为y=-&2-&+2②，

33

或M

Iy=0y=-

:.D(-4,-12),

3

SMBD=LB•卜，D|=』x4x12=型,

2233

o

S^BDP=-^SMBD,

2

，SA8DP=3X&L=IO,

23

;点尸在y轴左侧的抛物线上，

，设P(«/>--生”+2)(/n<0),

33

过P作y轴的平行线交直线BD于F,

.'.F(〃2,—m-―),

33

PF=\-2m2-至"+2-(Z”-2)|=|2相2+2加_马,

333333

S&BDP=LPF・(XB-XD)=Ax\lm2+2m-岂|X5=10,

2233

".m=-5或m=2(舍)或m=-1或m=-2,

：.P(-5,-8)或(-1,四)或(-2,2).

x=-l

11.(2020•贵港)如图，已知抛物线y=M+&c+c与x轴相交于A(-6,0),B(1,0),

2

与y轴相交于点C,直线/L4C,垂足为C.

(1)求该抛物线的表达式；

(2)若直线/与该抛物线的另一个交点为£>,求点。的坐标；

(3)设动点PCm,〃)在该抛物线上，当NB4C=45°时，求机的值.

0节X36-6b+c（_5_

【解答】解:(1)将点A、B的坐标代入抛物线的表达式得《1，解得.b节,

05+b+cc=-3

故抛物线的表达式为＞'=-V+-1r-3①;

(2)过点。作。轴于点E,

而直线/_LAC,AO_Ly轴，

/.ZCDE+ZDCE=90°,ZDCE+ZOCA=90",

：.ZCDE=ZOCA,

；/AOC=/CBD=90°,

：.t\CEDs/\&oc,则述

0CAO

而点A、C的坐标分别为（-6,0）、（0,-3）,则AO=6,OC=3,设点。（x,工2+刍

22

-3）,

贝IJDE=-x,CE=-L2-Sx,

22

125

—x—X

则二二=二--------,解得x=0（舍去）或-1,

36

当x=-1时，丫=-1^+鸟-3=-5,

.22

故点D的坐标为（-1,-5）；

(3)①当点P在入轴的上方时,

由点C、。的坐标得，直线/的表达式为），=2x-3,

延长4p交直线/于点M,设点MS2f-3）,

VZMC=45°，直线以4C,

...△ACM为等腰直角三角形，贝ijAC=CM,

则6?+32=（z-0）2+（2r-3+3）2,解得f=3,

故点用的坐标为（3,3）,

由点A、M的坐标得，直线AM的表达式为＞=1+2②，

3

联立①②并解得'=-6（舍去）或包，

3

故点P的横坐标〃?=§；

3

②当点P在x轴的下方时，

同理可得》=-6（舍去）或x=-5,

故m--5,

综上，m=-5或5.

3

七.三角形综合题（共1小题）

12.（2022•贵港）已知：点C,。均在直线/的上方，AC与都是直线/的垂线段，且

8。在AC的右侧，BD=2AC,A。与BC相交于点。.

（1）如图1,若连接CD,则△BCD的形状为等腰三角形，四•的值为1:

AD-3-

（2）若将BO沿直线/平移，并以AZ）为一边在直线/的上方作等边△AOE.

①如图2,当AE与AC重合时，连接OE,若AC=2,求OE的长；

2

②如图3,当NAC8=60°时，连接EC并延长交直线/于点凡连接OE.求证：0尸_1_

AB.

过点C作CH1.BD于H,

"：ACLl,DBLl,CHLBD,

：.NCAB=NABD=NCHB=9Q°,

四边形AB”C是矩形，

:.AC=BH,

又：BD=2AC,

：.AC=BH=DH,KCHVBD,

,△BCD的形状为等腰三角形，

；AC、8。都垂直于/,

：./\AOC^/\BOD,

...也走_」，gpD0=2A0,

DODB2

•A。=AO=1

"AD=AO+DO

故答案为：等腰三角形，1；

3

（2）①如图2,过点E作于点H,

E

AB

佟b

VAC,8。均是直线/的垂线段，

：.AC//BD,

•.•△AOE是等边三角形，且AE与4c重合,

：.ZEAD=60c,,

.,./4£>B=NEAD=60°,

：.ZBAD=30°,

...在RtZ\4DB中，AD=2BD,AB=MBD,

又；BD=2AC,AC=3,

2

：.AD=6,A8=3禽，

：.AH=DH^X\D=3,A0=LD=2,

23

0H=1,

由旋转性质可得EH=AB=3M，

在RtZXEOH中，OE=2A/7；

②如图3,连接CQ,

E

'JAC//BD,

.•.NCBO=NACB=60°,

：△BCD是等腰三角形，

...△BCD是等边三角形，

又,**/S.ADE是等边三角形,

・,.AABD绕点D顺时针旋转60°后与△ECQ重合,

：.ZECD=ZABD=90°,

又,../BCOnNACB=60°,

/4CF=/FCB=ZFBC=30°,

：.FC=FB=2AF,

•AFAO1

,,瓦石节，

又尸=ND4B,

：./\AOF^/\ADB,

...NAFO=NA8O=90°,

OFLAB.

八.四边形综合题（共1小题）

13.（2020•贵港）已知：在矩形ABCQ中，AB=6,AD=2M，P是BC边上的一个动点，

将矩形A8C。折叠，使点A与点尸重合，点。落在点G处，折痕为E尸.

（1）如图1,当点尸与点C重合时，则线段EB=2,EF=4；

（2）如图2,当点P与点B,C均不重合时，取EF的中点。，连接并延长P。与GF的

延长线交于点M,连接PF，ME,MA.

①求证：四边形MEPF是平行四边形；

②当tan/MAD=工时，求四边形MEPF的面积.

3

图1图2

【解答】解：（1）•••将矩形A8CQ折叠，使点A与点尸重合，点。落在点G处,

：.AE=CE,NAEF=/CEF,

:CW=BE^+Bd,

：.(6-BE)2=B£2+12,

；.BE=2,

：.CE=4,

VCOSZCEB=^=A,

CE2

：.ZCEB=60°,

AZAEF=ZFEC=60°,

•:AB//DC,

；・NAEF=NCFE=60°,

**.△CEF是等边三角形，

:.EF=CE=4,

故答案为：214；

(2)①：将矩形ABC。折叠，

J.FG//EP,

：.ZMFO=ZPEO,

:点。是EF的中点，

：.EO=FO,

又,：4E0P=2F0M,

:.丛EOPQXFOM(AAS),

：.FM=PE,

又,：MF〃PE,

四边形MEPF是平行四边形;

②如图2,连接AP交EF于”,

图2

:将矩形ABC。折叠，

：.AE=EP,NAEF=NPEF,NG=/O=90°,AD=PG=2«,

：.EFLPA,PH=AH,

•.•四边形MEPF是平行四边形，

：.MO=OP,

：.MA//EF,

：.ZMAP=ZFHP=90°,

；.NM4P=NZMB=90°,

/MAD=ZPAB,

tanNMAO=tan/=2=里，

3AB

.•.PB=JLA8=」X6=2,

33

,:P修=BE^+BP2,

（6-BE）2=*+%

；.BE=爸,

3

：.PE=6-85=也，

3

，四边形MEPF的面积=PEXPG=」2x3学

3v3

九.切线的判定与性质（共2小题）

14.(2021•贵港)如图，。0是△ABC的外接圆，AD是的直径，尸是4。延长线上一

点，连接CD,CF,且NDCF=NC4D.

(1)求证：CF是。。的切线；

(2)若cos8=旦，AD=2,求F£)的长.

【解答】解：（1）连接OC,

是。。的直径，

AZACD=90Q,

...NADC+/C4O=90°,

又；OC=OO,

ZADC=ZOCD,

又•.,NZ）CF=NCAD

AZDCF+ZOCD=90c,,

即OCVFC,

；.FC是OO的切线；

(2)VZB=ZADC,COSB=3,

5

cosZ/ADC=—,

5

在RtAACD中，

'：cosZADC=^.=^-,AD=2,

5AD

.•.C£>=AZ>cos/AOC=2xg=旦，

55

•■-AC=VAD2-CD2^22-(-1)2^-|­

...型=旦，

"ACT

'：ZFCD=ZFAC,ZF=ZF,

...△FCZJs△以c,

-CD_FC_FD_3

ACFAFC4

设FD=3x,则FC=4x,AF=3x+2,

又,：FG=FD*FA,

即(4x)2=3X(3x+2),

解得尢=且(取正值)，

7

.\FD—3x—^-.

7

15.(2020•贵港)如图，在△4BC中，AB=AC,点D在BC边上，S.AD=BD,。0是4

4c。的外接圆，AE是。0的直径.

(1)求证：AB是。。的切线；

(2)若AB=2巫,AO=3,求直径AE的长.

A

\'AB=AC,AD=BD,

:・/B=/BAD,NB=NC,

：.ZC=ZEf

；・NE=NBAD,

・・・AE是。。的直径，

AZADE=90°,

：.ZE+ZDAE=90°,

・・・NR4Q+ND4E=90°,

即N8AE=90°,

：.AE±AB,

・・・直线A5是。。的切线；

(2)解：如图2,作垂足为点”,

图2

t：AB=AC,

:.BH=CH,

'：ZB=ZC=ZBAD,

：.XABCsXDBA,

.ABBC

"BD'AB"

即AB2=BD'BC,

又AB=2«i，BD=AD=3,

；.BC=8,

在RtZ\ABH中，BH=CH=4,

•，M//=VAB2-BH2=V(2V6)2-42=2^>

•：NE=NB,NADE=NAHB,

:./XAEDs丛ABH,

•••A--EZ2--A--D»

ABAH

•收AB-AD

,，AETr

一十.作图一基本作图（共1小题）

16.（2022•贵港）尺规作图（保留作图痕迹，不要求写出作法）:

如图，已知线段机，n.求作△48C,使NA=90°,AB=m,BC=n.

।mi

n

【解答】解：如图，AABC为所作.

一'I■"一.作图-旋转变换（共1小题）

17.(2020•贵港)如图，在平面直角坐标系中，己知△ABC三个顶点的坐标分别为4(1,4),

B(4,1),C(4,3).

(1)画出将△ABC向左平移5个单位得到的△AiBiCj；

(2)画出将aABC绕原点。顺时针旋转90°得到的282c2.

【解答】解：(1)如图所示，△AiBiCi即为所求.

一十二.几何变换综合题(共1小题)

18.(2021•贵港)已知在△ABC中，。为BC边的中点，连接AO,将△AOC绕点O顺时针

方向旋转(旋转角为钝角)，得到△EOF,连接AE,CF.

(1)如图1,当/B4C=90°且AB=4C时，则AE与b满足的数量关系是AE=b；

(2)如图2,当NB4C=90°且AB#4c时，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请

写出证明过程；若不成立，请说明理由.

(3)如图3,延长AO到点£>,使OZ)=OA,连接。E,当AO=CF=5,8c=6时，求

OE的长.

图1图2图3

【解答】解：(1)结论：AE=CF.

理由：如图1中，

图1

：A8=AC,N8AC=90°,OC=OB,

：.OA=OC=OB,AOA.BC,

"：ZAOC=ZEOF=W,

ZAOE=ZCOF,

\'OA=OC,OE=OF,

A(SAS),

：.AE=CF.

(2)结论成立.

理由：如图2中,

图2

；NBAC=90°,OC=OB,

：.OA=OC=OB,

ZAOC=NEOF,

，ZAOE=ZCOF,

'：OA=OC,OE=OF,

.♦.△40E空△COF(SAS),

：.AE=CF.

(3)如图3中,

图3

由旋转的性质可知OE=OA,

"：OA=OD,

\OE=OA=OD=5,

\ZAED=90°,

：OA^OE,OC=OF,/AOE=NCOF,

•丝=理

"ocOF