2022-2023学年北京市东城区八年级（上）期末数学试卷(含解析)

2022-2023学年北京市东城区八年级第一学期期末数学试卷

一、选择题（本题共20分，每小题2分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一

个.

1.如图，两个全等的直角三角板有一条边重合，组成的四个图形中，不是轴对称图形的是

A.〃2・〃3=〃6B.(〃)3=〃9C.(2〃2)2=2〃D.a6-i-a3=a1

3.已知NA03.下面是“作一个角等于已知角，即作NA0b=NA08”的尺规作图痕迹.该

尺规作图的依据是（)

0」0N,tIC7B,

A.SASB.SSSC.AASD.ASA

4.计算(2m+l)(3m-2）,结果正确的是（)

A.6m2-m-2B.6m2+m-2C.6m2-2D.5m-1

5.六边形的外角和为（)

A.180°B.720°C.360°D.1080°

6.长方形的面积是12a2-6ab.若一“边长是3a,则另一边长是)

A.4a+2bB.4a-2bC.2a-4bD.2。+48

7.如图，将一张四边形纸片ABC。沿对角线AC翻折，点。恰好落在边A5的中点。处.设

Si,S2分别为△ADC和△ABC的面积，则Si和S2的数量关系是（)

C.S1=2S2D.Si=3&

8.若一个多边形的内角和等于1800°,这个多边形的边数是（)

A.6B.8C.10D.12

9.生物小组的同学想用18米长的篱笆围成一个等腰三角形区域作为苗圃，如果苗圃的一边

长是4米，那么苗圃的另外两边长分别是（）

A.4米，4米B.4米，10米

C.7米，7米D.7米，7米，或4米，10米

10.在平面直角坐标系xOy中，长方形A8CO的两条对称轴是坐标轴，邻边长分别为4,6.若

点A在第一象限，则点C的坐标是（）

A.（-2,-3）B.（2,3）

C.（-2,-3）,或（-3,-2）D.（2,3）,或（3,2）

二、填空题（本题共12分，每小题2分）

11.若分式1r的值等于零，则x的值是_____.

x-1

12.分解因式：2Mt2-8=.

13.如图，点A,D,B,E在同一条直线上，AD=BE,AC//DF.添加一个条件，使得△

ABC注△。所.不增加任何新的字母或线，这个条件可以是.

14.如图，在△ABC中，AB=AC,ZA=36°,8。平分NABC交AC于点。，点E为AB

的中点，连接。E.则/AOE的度数是

A

15.如图，在△ABC中，BC=9,CD是/ACB的平分线，Z）E_LAC于点E,DE=3.则4

BCD的面积为

16.在平面直角坐标系xOy中，已知点A（4,0）,8（0,4）,尸（1,2）,。（2,-1）,

连接4艮在线段A3.上作点使得PM+QW最小，并求点M的坐标.

在探索过程中，同学们提出了三种不同的方法，作法与图示如下表:

方法①方法②方法③

过点P作PM1AB于点M,作点尸关于直线AB的对称点过点P作PCLAB于点C,过

则点M为所求.P,连接PQ交于点M,点。作QOLAB于点。，取

则点M为所求.。中点M,则点M为所求.

其中正确的方法是（填写序号），点〃的坐标是

三、解答题（本题共68分，第17题4分，第18题9分，第19-25题，每小题4分，第26

题6分，第27-28题，每小题4分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

17.计算：|-5|+2-2-(n-2022)0.

18.化简：

(1)-3.(-量k)；

C

(2)(。+4)(〃-4)1(〃-1)2.

19.如图，已知A3=AD,AC=AE,ZBAD=ZCAE.求证：BC=DE.

20.在化简分式孑---、时，甲同学的解法如下.阅读甲同学的解法，完成下列问题.

x-1x-1

1

解:①

原式二高MnX-1

2x•(x+1)(x-1)1•(x+1)(x-1)

(x+1)(x-1)X-1

=2x-(x+1)....③

=2x-x-1....@

=x-1.....⑤

（1）甲同学从第步开始出错（填序号）；

（2）请你写出正确的解法.

2

21.先化简，再求值：（邛一^）•三土里，其中x从-2,2,3三个数中任取一个

x+2x+2x-3

合适的值.

22.如图，在△ABC中，AB=AC=S,ZCBA=45°.

（1）求证：AC1AB；

（2）分别以点A,C为圆心，AC长为半径作弧，两弧交于点。（点。在AC的左侧），

连接CD,AD,BD.求△AB。的面积.

24.课堂上，老师提出问题:

如图1,OM,ON是两条马路，点A,B处是两个居民小区.现要在两条马路之间的空场

处建活动中心P,使得活空场动中心P到两条马路的距离相等，且到两个小区的距离也

相等.如何确定活动中心P的位置？

小明通过分析、作图、证明三个步骤正确地解决了问题，请你将小明的证明过程补充完

整.

步骤1分析：若要使得点尸到点48的距离相等，则只需点尸在线段AB的垂直平分

线上；若要使得点P到。ON的距离相等，则只需点P在/MON的平分线上.

步骤2作图：如图2,作/MON的平分线OC,线段AB的垂直平分线DE,DE交OC

于点尸，则点尸为所求.

步骤3证明：如图2,连接PA,PB,过点尸作于点孔PGLOM于点G.

;PF工ON,PG1,OM,

且（填写条件），

：.PF=PG（）（填写理由）.

,/点P在线段AB的垂直平分线DEE

：.PA=PB（）（填写理由）.

，点尸为所求作的点.

图I图2

25.在△ABC中，AB^AC,ZA=100°.点〃在8C的延长线上，/A8C的平分线交AC

于点D.ZMCA的平分线与射线BD交于点E.

（1）依题意补全图形；用尺规作图法作NMCA的平分线；

（2）求NBEC的度数.

当矩形（即长方形）的短边为长边的返4倍时，称这个矩形为黄金矩形.黄金矩形更

2

具美感.如图是某位同学的书画作品，装裱前是一个长为150厘米,宽为82厘米的矩形.现

要在作品四周加上等宽的白色边衬装裱.为了使装裱后的作品接近黄金矩形，要求装裱

后的矩形宽与长之比等于06边衬的宽度应设置为多少厘米？（注：返11%0.618）

27.已知：在△ABC中，/CAB=2N8.点。与点C关于直线AB对称，连接ADCD,

C。交直线AB于点E.

(1)当NCAB=60°时，如图1.用等式表示，与AE的数量关系是：,BE

与AE的数量关系是：;

(2)当NCA8是锐角(/CA8W60。)时，如图2；当/C48是钝角时，如图3.

在图2,图3中任选一种情况，

①依题意补全图形；

②用等式表示线段ADAE,BE之间的数量关系，并证明.

图1图2图3

28.在平面直角坐标系尤Oy中，对于点尸和正方形O42C,给出如下定义：若点尸关于了

轴的对称点P到正方形0ABe的边所在直线的最大距离是最小距离的k倍，则称点尸是

正方形O42C的“左倍距离点”.

已知：点A(a,0),B(a,a).

(1)当a—4时，

①点C的坐标是；

②在Pi(-1,1),P2(-2,2),B(2,2)三个点中，是正方形。42c的“3

倍距离点”；

(2)当a=6时，点P(-2,n)(其中n>0)是正方形0A2C的“2倍距离点”，求n

的取值范围；

(3)点M(-2,2),N(-3,3).当0<a<6时，线段MN.上存在正方形0ABC

的“2倍距离点”，直接写出a的取值范围.

备用图I备用图2

参考答案

一、选择题（本题共20分，每小题2分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一

个.

1.如图，两个全等的直角三角板有一条边重合，组成的四个图形中，不是轴对称图形的是

B.OO

D.

【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可.

解：A、A选项是轴对称图形，故此选项不符合题意;

2、B选项是轴对称图形，故此选项正确不符合题意;

C、C选项是轴对称图形，故此选项不符合题意;

D、。选项不是轴对称图形，故此选项符合题意;

故选：D.

【点评】本题考查的是轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部

分沿对称轴折叠后可重合.

2.下列运算式中，正确的是（）

A.a2-,a}=a6B.(〃)3=“9C.(2a2)2=2，D.a6-i-a3=a2

【分析】根据整式的运算法则即可判断.

解：（A）原式=炉，故A错误,

（C）原式=4/,故8错误,

（。）原式=〃，故。错误,

故选：B.

【点评】本题考查整式的运算，涉及同底数幕的乘除法，积的乘方等知识.

3.己知/A02.下面是“作一个角等于己知角，即作/&'。'夕=/4?夕'的尺规作图痕迹.该

尺规作图的依据是()

A.SASB.SSSC.AASD.ASA

【分析】作图过程可得DO=D'O'=CO=CO',CD=CD',利用SSS判定△

DOC^^D'O'C,可得NO'=/O.

解：由作图得O'=CO=CO',CD=CD',

在△DOC和O'C中，

'DO=D'O'

<co=cyo'，

CD=C'D'

:.△DOCWAD'O'C(SSS),

：.ZO'=/O.

故选：B.

【点评】本题考查了作图-基本作图，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质.

4.计算(2m+l)(3/ra-2),结果正确的是()

A.6m1-m-2B.6m1+m-2C.6m2-2D.5m-1

【分析】式利用多项式乘以多项式法则计算，合并即可得到结果.

解：(2/77+1)(3/n-2)—6m2-4m+3m-2—6m2-m-2.

故选：A.

【点评】此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

5.六边形的外角和为()

A.180°B.720°C.360°D.1080°

【分析】根据多边形的外角和是360。求解.

解：因为多边形的外角和等于360。，

所以六边形的外角和等于360。.

故选：C.

【点评】本题主要考查了多边形的外角和.解题的关键是需要熟记多边形的外角和是

360°.

6.长方形的面积是12a2-6ab.若一边长是3a,则另一边长是（）

A.4a+2bB.4a-2bC.2a-4bD.2a+4b

【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案.

解：,长方形的面积是12a2-一边长是3。，

.,.它的另一边长是：（12。2-6ab）-^-3a—12a2-r-3a-6ab-r3a—4a-2b.

故选：B.

【点评】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键.

7.如图，将一张四边形纸片ABC。沿对角线AC翻折，点D恰好落在边A2的中点。处.设

Si,S2分别为△AOC和△ABC的面积，则Si和必的数量关系是（）

A.Si=—&B.Si=4C.Si=2SzD.SI=3S2

32

【分析】利用折叠的性质得出：△AOC哈C,则SAADC=SAAD，c,利用等底同高的

三角形的面积相等即可得出结论.

解：由题意得：△AOC四△A。'C,

S^ADC=S^AD'C.

・・,点O'为AB的中点，

：.ADr=D'B.

・・,等底同高的两个三角形的面积相等,

••S/\AD'C=SABCD'，

S/kAD，C^^AABC'

SAADC节SA的，

11•SI=2-S2-

故选：B.

【点评】本题主要考查了翻折变换的性质，等底同高的三角形的每个相等，掌握折叠的

性质并熟练应用是解题的关键.

8.若一个多边形的内角和等于1800°,这个多边形的边数是（

A.6B.8C.10D.12

【分析】〃边形的内角和可以表示成(»-2)-180°,设这个正多边形的边数是"，得到

方程，从而求出边数.

解：设这个多边形是“边形，

根据题意得(«-2)X180=1800,

解得〃=12,

这个多边形是12边形.

故选：D.

【点评】此题考查了多边形的内角和定理，掌握多边形的内角和为2)X1800是解

题关键.

9.生物小组的同学想用18米长的篱笆围成一个等腰三角形区域作为苗圃，如果苗圃的一边

长是4米，那么苗圃的另外两边长分别是()

A.4米，4米B.4米，10米

C.7米，7米D.7米，7米，或4米，10米

【分析】分两种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解.

解：当4米为腰时，另两边为，4米，10米，

V4+4<10,

.,.不合题意舍去，

当4米为底边时，另两边为：7米，7米，

故选：C.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键.

10.在平面直角坐标系尤Oy中，长方形A2C。的两条对称轴是坐标轴，邻边长分别为4,6.若

点A在第一象限，则点C的坐标是()

A.(-2,-3)B.(2,3)

C.(-2,-3),或(-3,-2)D.(2,3),或(3,2)

【分析】由题意判断点C在第三象限，由邻边长分别为4,6,可求解.

解：•..长方形ABC。的两条对称轴是坐标轴，点A在第一象限，

...点C在第三象限，

:长方形ABCD的邻边长分别为4,6,

.,.点C的坐标为(-2,-3)或(-3,-2),

故选：c.

【点评】本题考查了坐标与图形性质，矩形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题

的关键.

二、填空题(本题共12分，每小题2分)

11.若分式1r的值等于零，则尤的值是x=0.

X-1

【分析】分式的值为。的条件是：(1)分子=0;(2)分母W0.两个条件需同时具备,

缺一不可.

解：由题意得，x=0且X-1W0,

.,.x=0.

故答案为：x=0.

【点评】由于该类型的题易忽略分母不为0这个条件，所以常以这个知识点来命题.

12.分解因式：2m2-8=2(加+2)(加-2).

【分析】先提取公因式2,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解因式.

解：2m2-8,

=2(m2-4),

=2(m+2)(m-2).

故答案为:2(m+2)(m-2).

【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进

行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法

分解.

13.如图，点A,D,B,E在同一条直线上，AD=BE,AC//DF.添加一个条件，使得△

ABC2ADEF.不增加任何新的字母或线，这个条件可以是AC=D"(答案不唯一).

【分析】要使得AABCZADEF.由条件可得到AB=DE,ZA^ZFDB,再加条件AC

=DF,可以用SAS证明其全等.

【解答】解；添力口4。=。尸；

\'AD=BE,

：.AD+DB=BE+DB,

即：AB=DE,

'：AC//DF,

：./A=NFDB,

在△ABC和△DEft中，

'AB=DE

<NA=NFDB，

AC=DF

:.△ABSADEF(SAS).

故答案为：AC=DF(答案不唯一).

【点评】此题主要考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS.

SAS,ASA,AAS,HL.注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全

等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.

14.如图，在△ABC中，AB=AC,ZA=36°,8。平分NABC交AC于点。，点、E为AB

的中点，连接。£则NADE的度数是108°.

【分析】根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理得到NA8C=/C=72°,然后利用

8。平分/A8C交AC于点。求得的度数，利用三角形的内角和求得NAD8的度

数即可.

解：'：AB=AC,ZA=36°,

AZABC=ZC=—X(180°-36°)=72°,

2

平分NA8C,

:.NABD=/DBC=36°,

/.ZADB=180°-(ZA+ZADB)=180°-2X36°=108°,

故答案为:108°.

【点评】考查了等腰三角形的性质，解题的关键是了解等腰三角形的等边对等角的性质,

难度不大.

15.如图，在△ABC中，BC=9,CD是/AC8的平分线，Z)E_LAC于点E,DE=3.则4

BCD的面积为"

一2一

【分析】作DF1CB于F,应用角平分线的性质求出DF的长，由三角形的面积公式即

可求解.

解：DFLBCF,

是/AC8的平分线，DELAC,

:.DF=DE=3,

1107

.,.△BCD的面积•。/=±X9X3=2.

222

故答案为：号.

【点评】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，关键是作。PLBC于忆应用角平

分线的性质.

16.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(4,0),8(0,4),尸(1,2),Q(2,-1),

连接4艮在线段A3.上作点使得PM+QW最小，并求点M的坐标.

在探索过程中，同学们提出了三种不同的方法，作法与图示如下表:

方法①方法②方法③

过点P作PMLAB于点M,作点尸关于直线AB的对称点过点P作PC±AB于点C,过

则点M为所求.P,连接P'。交于点M，点。作于点。，取

则点M为所求.C。中点则点M为所求.

其中正确的方法是②(填写序号)，点M的坐标是(2,2)

【分析】作点P关于直线AB的对称点P,连接。尸'交AB于点加，点M即为所求.

解：作点尸关于直线的对称点P,连接QP交于点M,点M即为所求.

观察图形可知，方法②正确.M（2,2）.

故答案为：②，（2,2）.

【点评】本题考查作图-轴对称变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是理解题意,

灵活运用所学知识解决问题.

三、解答题（本题共68分，第17题4分，第18题9分，第19-25题，每小题4分，第26

题6分，第27-28题，每小题4分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

17.计算：|-51+2-2-(H-2022)0.

【分析】先化简各式，然后再进行计算即可.

解：|-5|+2-2-(^-2022)0

=5+--1

4

=4+-

4

【点评】本题考查了实数的运算，零指数累，负整数指数累，准确熟练地化简各式是解

题的关键.

18.化简：

(1)(-加3.(-3jjb).

c

(2)((7+4)(a-4)-(a-1)2.

【分析】(1)根据积的乘方运算、整式的除法运算即可求出答案.

(2)根据平方差公式以及完全平方公式即可求出答案.

解：(1)原式=(-〃〃).(_—刍一)

3aJb

,2

_bc

(2)原式=区-16-(a2-2a+l)

—a2-16-a2+2a-1

—2a-17.

【点评】本题考查整式的混合运算，解题的关键是熟练运用积的乘方运算、整式的除法

运算、平方差公式以及完全平方公式，本题属于基础题型.

19.如图，已知AC=AE,ZBAD=ZCAE.求证：BC=DE.

【分析】先求出N8AC=NZME,再利用“边角边”证明△ABC和△AOE全等，根据全

等三角形对应边相等证明即可.

【解答】证明：

，ZBAD+ZDAC=ZCAE+ZDAC,

即/BAC=ZDAE,

，AB=AD

在△ABC和中，iZBAC=ZDAE>

AC=AE

/.AABC^AADE(SAS),

:.BC=DE.

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题

的关键.

20.在化简分式一-----、时，甲同学的解法如下.阅读甲同学的解法，完成下列问题.

x-1x-1

2x_______1

解:©

(x+1)(x-l)X-1

=-7----匕----—»(x+1)(X-1)----•(x+1)(X-1)....②

(x+1)(X-1)X-l

=2x-(x+1)....③

=2x-x-1....④

=X-1......⑤

(1)甲同学从第②步开始出错(填序号)；

(2)请你写出正确的解法.

【分析】(1)根据分式的加减计算得出结论即可;

(2)根据分式加减计算的运算法则得出结论即可.

解：(1)由题意知，甲同学从第②步开始出错,

故答案为：②;

2x1

(2)原式=

(x+1)(x-1)X-l

2x________(x+1)

(x+1)(x-1)(x+1)(x-1)

—2x-x-l

(x+1)(x-1)

—［一］

(x+1)(x-1)

_1

―7T

【点评】本题主要考查分式的加减计算，熟练掌握分式的加减计算是解题的关键.

2

21.先化简，再求值：（2检一•三士丝士,其中无从-2,2,3三个数中任取一个

x+2x+2x-3

合适的值.

【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把龙的值代入化

简后的式子进行计算即可解答.

解：（磔.2L^±

x+2x+2x-3

2

-X+3-6.（x+2）

x+2x-3

x-3.（x+2）2

x+2x-3

—x+2,

：x+2W0,x-3W0,

-2,尤W3,

•,.当x=2时，原式=2+2=4.

【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键.

22.如图，在△ABC中，AB=AC=8,ZCBA=45°.

（1）求证：AC±AB；

（2）分别以点A,C为圆心，AC长为半径作弧，两弧交于点。（点。在AC的左侧）,

连接C£）,AD,BD.求△ABD的面积.

【分析】（1）利用等腰三角形的性质可得NCBA=/ACB=45°,然后利用三角形内角

和定理求出/CA8=90°,即可解答；

（2）过点。作。ELBA,交BA的延长线于点E,根据题意可得：AC=AD=CD=8,从

而可得△AC。是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得N1MC=6O°,从而利用

平角定义可得NQAE=30°,最后在RtzXOEA中，利用含30度角的直角三角形的性质

可得DE=4,从而利用三角形的面积进行计算即可解答.

【解答】（1）证明：

：.ZCBA^ZACB^45°,

：.ZCAB=180°-ZACB-ZCBA=90°,

：.AC.LAB；

(2)解：过点。作。石，84,交84的延长线于点区

由题意得：AC=A£)=C£)=8,

•••△ACD是等边三角形，

：.ZDAC=60°,

：.ZDAE=1SO°-ZDAC-ZCAB=30°,

：.DE^—AD=4,

2

△AB。的面积=L小。£=1•><8X4=16,

22

；.AABD的面积为16.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，根据题目的已知条

件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.

x2

23.解分式方程：1-

x-l(x-5)(x-l)

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到X的值，经检验即可

得到分式方程的解.

解：去分母得：x2-6x+5-N5+5X=2,

解得：x=3,

检验：把x=3代入得：(x+1)(x-1)#0,

；.x=3是分式方程的解.

【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，正确记忆解分式方程过程是解题

关键..

24.课堂上，老师提出问题:

如图1,OM,ON是两条马路，点A,B处是两个居民小区.现要在两条马路之间的空场

处建活动中心P,使得活空场动中心P到两条马路的距离相等，且到两个小区的距离也

相等.如何确定活动中心P的位置？

小明通过分析、作图、证明三个步骤正确地解决了问题，请你将小明的证明过程补充完

整.

步骤1分析：若要使得点尸到点4B的距离相等，则只需点尸在线段的垂直平分

线上；若要使得点P到。ON的距离相等，则只需点尸在的平分线上.

步骤2作图：如图2,作NMON的平分线OC,线段AB的垂直平分线DE,DE交OC

于点P,则点尸为所求.

步骤3证明：如图2,连接PA,PB,过点尸作PBLON于点RPGLOM于点G.

:PFLON,PGLOM,

且点尸在/MON的平分线上（填写条件），

：.PF=PG（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）（填写理由）.

:点P在线段AB的垂直平分线DEE

：.PA=PB（垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等）（填写理由）.

点尸为所求作的点.

图I图2

【分析】利用角平分线的性质，可得出PF=PG,利用线段垂直平分线的性质，可得出

PA=PB,进而可得出点P为所求作的点.

【解答】证明：如图2,连接PA,PB,过点尸作PELON于点EPGLOM于点G.

,JPFLON,PG1.OM,

且点尸在/MON的平分线上，

:.PF=PG（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）.

V点P在线段AB的垂直平分线DE上，

：.PA=PB（垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等）.

故答案为：点尸在NMON的平分线上；角的平分线上的点到角的两边的距离相等；垂直

平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等.

【点评】本题考查了角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质，利用角平分线的性质

及线段垂直平分线的性质，找出点P的位置是解题的关键.

25.在△ABC中，AB^AC,ZA=100°.点M在8C的延长线上，NA8C的平分线交AC

于点D.ZMCA的平分线与射线BD交于点E.

（1）依题意补全图形；用尺规作图法作NMCA的平分线；

（2）求N8EC的度数.

【分析】（1）根据尺规作图法即可作NMC4的平分线；

（2）根据角平分线的定义可得/48。=/8。=20°,ZMCE=ZDCE=10°,然后利

用三角形内角和定理即可解决问题.

解：（1）如图，CE即为所求；

（2）,：AB^AC,ZA=100°,

：.ZACB=ZABC=40°,

：是/ABC的平分线，

/.ZABD=ZCBD=20°,

VZACM=180°-40°=140°,CE是/MCA的平分线，

/.ZMCE=ZDCE=10°,

：.NBEC=NMCE-NCBD=10°-20°=50°.

【点评】本题主要考查了复杂作图，复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一

般是结合了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形

的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.

26.列分式方程解应用题.

当矩形（即长方形）的短边为长边的返」倍时，称这个矩形为黄金矩形.黄金矩形更

2

具美感.如图是某位同学的书画作品,装裱前是一个长为150厘米,宽为82厘米的矩形.现

要在作品四周加上等宽的白色边衬装裱.为了使装裱后的作品接近黄金矩形，要求装裱

后的矩形宽与长之比等于06边衬的宽度应设置为多少厘米？（注：近二1七0.618）

【分析】根据装裱后的矩形宽与长之比等于0.6列出方程，解方程得到答案.

解：设边衬的宽度设置为x厘米,

由题意得:82+2x=0.6,

150+2x

解得：x=10,

经检验：x=10是原方程的解,

答：边衬的宽度应设置为10厘米.

【点评】本题考查的是分式方程的应用，列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等

关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力.

27.已知：在△ABC中，NCAB=2/B.点。与点C关于直线AB对称，连接A。，CD,

CO交直线AB于点E.

（1）当/C4B=60°时，如图1.用等式表示，AD与AE的数量关系是：AE=^AD,

BE与AE的数量关系是：BE=3AE；

（2）当NCAB是锐角（/CABW60。）时，如图2；当NCAB是钝角时，如图3.

在图2,图3中任选一种情况，

①依题意补全图形；

②用等式表示线段ADAE,BE之间的数量关系，并证明.

c

图1图2图3

【分析】（1）在RtZ\ADE中，ZD=30°,可得AE=」A。；在Rt/XBCE中，ZB=30°，

2

可得CE=4BE,在RtZWEC中，ZCAB=60°,可得CE=«AE,贝l|BE=3AE；

（2）①根据轴对称的性质画出图形即可；

②如图2,在BE上截取EG=AE,连接CG,BE=GB+EG=AD+AE；如图3,在BA的

延长线上截取AH=AC,连接CH,AD=BE+AE.

解：（1）由对称性可知NAOE=/ACE,NCAB=/CAB,CD±AB,

VZCAB=60°,

：.ZDAE=6Q°,

在Rt^ADE中，ZD=30°,

：.AE=­AD；

2

■:/CAB=2/B,

：.ZB=30°,

在RtABCE中，CE=^-BE,

3

在RtZXAEC中，CE=^AE,

夸8E=MAE,

：.BE=3AE；

故答案为：AE^AD,BE=3AE；

（2）①如图:

c

②如图2,在3E上截取£G=AE,连接CG,

由对称性可知AC=A。，CELAG,

：.AC=CG,

：.ZCAG=ZCGAf

•：/CAB=2NB,

：.ZCGA=2ZB,

：.ZB=ZBCG,

：.CG=GB,

：.BG=AD,

：.BE=GB+EG=AD+AE；

如图3,在3A的延长线上截取AH=AC,连接CH,

:・NAHC=NACH,AH=ADf

：.ZBAC=2ZCHA,

9

：ZCAB=2ZBf

：.ZB=ZCHA,

•・,CELBH,

：.HE=BE,

：.AH-AE=BEf

：.AD=BE+AE.

【点评】本题考查几何变换的综合应用，熟练掌握轴对称的性质，直角三角形的性质，

等腰三角形的性质是解题的关键.

28.在平面直角坐标系xOy中，对于点P和正方形OA8C,给出如下定义：若点P关于y

轴的对称点P到正方形042C的边所在直线的最大距离是最小距离的左倍，则称点P是

正方形0ABe的“左倍距离点”.

已知：点A(a,0),B(a,a).

(1)当a=4时，

①点C的坐标是(0,4)；

②在P(-1,1),尸2(-2,2),尸3(2,2)三个点中，尸1,P3是正方形OABC

的“3倍距离点”；

(2)当a=6时，点尸(-2,«)(其中〃>0)是正方形0ABe的“2倍距离点”，求n

的取值范围；

(3)点M(-2,2),N(-3,3).当0<a<6时，线段MN.上存在正方形OABC

的“2倍距离点”，直接写出。的取值范围.

88

—

6

55

44

33

22

I2345678]-＞人，I