2020-2021学年天津市东丽区高一（上）期末数学试卷 （解析版）

2020-2021学年天津市东丽区高一（上）期末数学试卷

一、选择题（共9小题）.

1.已知全集(/=(!,2,3,4,5,6),集合A={2,3,4},B={\,3,4},则Cu(AUB)

=()

A.{1,2,5,6}B.{5,6}C.{2,3,5,6}D.{1,2,?,4)

2.ua>b,c>0”是uac>bcn的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.下列赛函数在区间（0,+8）内单调递减的是（）

A.y=xB.y=x2C.y=^D.y=x-i

4.设6=0.93.1,c=iog30.2,则a,b,大小关系正确的是（)

A.a>h>cB.h>a>cC.h>c>aD.c>b>a

5.已知tana=2,则tan2a的值为（）

4444

B.C.D.

5

6.当。＞1时，在同一坐标系中，函数y=a'与yuiogd的图象为（）

7.已知角a是第二象限角，且|cos-^H=-cos-^-,则角是（）

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

JT

8.已知函数/（犬）=sin（x+-^-）.给出下列结论：

3

①/（x）的最小正周期为2n;

JT

（―）是/co的最大值；

7T

③把函数丁=$12的图象上的所有点向左平移.个单位长度，可得到函数y=/（x）的图

象.

其中所有正确结论的序号是（）

A.①B.①③C.②③D.①②③

9.下列结论正确的是（）

A.sinKcosl

B.cos(-胃D〉cos(-等)

b4

C.tan(-52°)>tan(-47°)

D一，兀/兀、

-sin(-I§-)>sin(—)

二.填空题(共6小题).

10.命题p:3x6R,无+1>0的否定形式>为,

11.设x>1,y=x+—J在x=_____时y得最小值等于_______.

X-1

1T

12.函数/(x)=tanY(-^+--)的定义域是,最小正周期是.

13.计算：log。-log315+机3-兀)4=-

14.__l=____.

sinlOcoslO

—

Y^+2x30

15.已知函数f(x)=《'，方程火x)=A有两个实数解，则攵的范围是________

-2+1nx,x>0

三.解答题（共5道大题，共45分）

16.(8分)已知集合人={a|loga/<I1，B={a[(/)<U・

(I)求集合A、B-

(II)求CRAHB.

4TT

17,(7分)已知sin(兀+CI),a£(-T—9兀).

52

，兀、/、

sin(-^-+a)+2cos(兀-a)

(I)求值：------、--------------------；

a)+sin(-a)

(II)求值：tanC^^-a).

18.(10分)已知函数/(%)=x2-ax+4.

(I)当a=5,解关于x的不等式/(x)>0;

(II)设函数g(x)=*2-(l《x<5)，若g(X)的最小值为2,求g(x)的最大值.

X

12

19.(io分)已知cos(a+Bcos(a-B)

55

(I)求证：2tanatanp=1.

(II)若a+0为第一象限角，a-0为第四象限角，求sin2a的值.

20.(10分)已知函数/(无)=2J5sinxcosx+2cos2%+6，x€[0,的最大值为1

(I)求常数相的值；

(II)当入曰0,71]时，求函数/(X)的单调递增区间.

参考答案

一.选择题（共9小题）.

1.已知全集"={1,2,3,4,5,6},集合A={2,3,4},B={1,3,4）,则Cu（AU8）

=（）

A.{1,2,5,6}B.{5,6}C.{2,3,5,6}D.{1,2,3,4}

【分析】先求出AUB,由此能求出Cu（AUB）.

解：•.•全集U={1,2,3,4,5,6},集合A={2,3,4},B={\,3,4）,，AU8={1,

2,3,4},.1.Cu（ALJ8）={5,6}.故选：B.

2.ua>b,c>0”是“ac>bc”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【分析】根据充分必要条件的定义，举例说明，从而得到答案.

解：由ua>b,c>0"能推出uac>bcn,是充分条件，

由uac>bcn推不出ua>b,c>0”不是必要条件，例如a=-1,c=-1,b=\,显然

ac>bc,但是a<b,c<0,

故选：A.

3.下列幕函数在区间（0,+oo）内单调递减的是（）

A.y—xB.y=NC.y=x3D.

【分析】由题意利用取函数的单调性，得出结论.

解：函数.丫=.*在在区间（0,+8）内单调递增，故排除A；

函数y=N在区间（0,+8）内单调递增，故排除8；

函数y=%3在区间（0,+8）内单调递增，故排除C：

函数y=xr=2•在区间（0,+8）内单调递减，故。满足题意，

X

故选：D.

4.设〃=1.1吗4=0.93」,c=log30.2,则〃，b,c,大小关系正确的是（）

A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.c>b>a

【分析】直接利用指数函数和对数函数的单调性，将。，h,c与特殊值0和1进行比较

即可判断a,b,。的大小.

解：因为所以〃>1；

因为0V0.93」V0.9°=l,所以0VAV1；

因为Iog30.2<log31=0,所以cVO,

所以a>b>c.

故选：A.

5.已知tana=2,则tan2a的值为（）

A.--4B.-4-C.4—

533

【分析】由二倍角的正切公式代入计算可得.

解：Vtana=2,

、A2tanaA

由二倍角的正切公式可得tan2a=5----

1-tana3

故选：B.

6.当。>1时，在同一坐标系中，函数与y=iogd的图象为（）

x

D.

【分析】当。＞1时，根据函数y=成”在R上是减函数，而y=k)gd的在(0,+°°)上

是增函数，结合所给的选项可得结论.

解：当。＞1时，根据函数y=/x在R上是减函数，故排除A、B;

而y=iogd的在(0,+8)上是增函数，故排除£),

故选：C.

7.已知角a是第二象限角，,EL|cos-^-|=-cos-^-,则角是()

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

［分析］根据a的范围判断出的范围，再由含有绝对值的式子得到角的余弦值的符号,

根据“一全正二正弦三正切四余弦”再进一步判断工-的范围.

2

解：由a是第二象限角知，冬是第一或第三象限角.

aaa

又VIcos--|=-cos----,cos-----＜0,

r22

.是第三象限角.

故选：C.

jr

8.已知函数f(x)=sin(x+----).给出下列结论：

3

(T)f(x)的最小正周期为2n;

TT

②/(夕)是/(X)的最大值；

TT

③把函数y=sin龙的图象上的所有点向左平移——个单位长度，可得到函数y=/(x)的图

3

象.

其中所有正确结论的序号是()

A.①B,①③C.②③D.①②③

【分析】由已知结合正弦函数的周期公式可判断①，结合函数最值取得条件可判断②,

结合函数图象的平移可判断③.

n

解：因为/(x)=sin(x+----),

3

①由周期公式可得，/（x）的最小正周期T=2n,故①正确；

@f=sin=sin,5'=!,不是f（x）的最大值，故②错误；

22362

JT

③根据函数图象的平移法则可得，函数y=sinx的图象上的所有点向左平移一外单位长

3

度，可得到函数y=f（幻的图象，故③正确.

故选：B.

9.下列结论正确的是（）

A.sinl<cosl

心口兀、

,23(17

B・cos(-匚)>cos(----)

04

C.tan(-52°)>tan(-47°)

/兀兀、

D.sin(-^-)>sin(—)

IT

解：对于选项A,因为cosl=sin1),

TTTTTT

而OV-^--1V1V1-,且丁=$足］在［0,1T上是增函数，

JT

所以sin1)<sinl,即sinl>cosl,故A错误；

对于选项B,cos(-21ZL)=cos(-")=cos2工，

555

cos(---1-7-7-T-)=cos(--K---)=cos-K--,

444

OTTJT

由余弦函数在［0,n］上为减函数可得：cos」0-二Vcos——，

54

兀、//兀、,,„.

即PnCOS(--2-3---)<COS(--1-7----),故BA错lt.7c天；

54

对于选项C,tan(-52°)=-tan52°,tan(-47°)=-tan47°,

由正切函数在［0°,90°］上为增函数，可得：tan47°<tan520,

所以tan(-52°)<tan(-47°),故C错误;

，冗、.兀71.冗

对于选项D,sin(----)=-sm---,sin(-----)=-sin---,

18181010

JTITJT

由正弦函数在［0,f］上为增函数，可得：sin--<sin-

21810

所以tan(-52°)<tan(-47°),故。正确.

故选：D.

二.填空题（每题5分，共30分）

10.命题"：3xeR,x+l>0的否定形式D为n+IWO.

解：命题为特称命题，则命题的否定为VXER,x+IWO,

故答案为：VxeR,x+IWO,

11.设x>l,y=x+—I在x=2时y得最小值等于3.

X-1

解：Vx>l,Ax-1>0,

•••y=x+-^-=(x-1)+1>(x-1)—^-+1=3,当且仅当x-l=±,即x=2时

X-lX-1VX-1X-1

取等号.

故答案为：2,3.

12.函数f(x)=tan(2-+-^-)的定义域是(xlx^Zkir+m-,keZ).最小正周期是2ir.

233

*11TT,I[111

解：由•-1----*ZnH----,得匕r+---,:・x*2ZT[4----,ZcZ.

232263

YKTT

二・函数y=tan(彳+飞-)的定义域为{■4T=#2E:+-^-,kEZ],

3

71

由7=工=2互得，函数f(x)的最小正周期是7=2n,

万

K

故答案为：{xpE=2加+弁，4WZ};27t.

o

13.计算：k)g35-logs15+3(3一/)4=『4

、5

兀-=兀-・

解：原式=log3-^-+(^-3)=logg31+34

故答案为：71-4.

1.百—4.

sinlO°coslO0

2(--cosl00--^sinlO0)

单1V3_coslO°-«sinlO°

'sinlO°coslO°sinlO°coslO0

•^■sin200

4sin20°.

---------r=4

Sin20u

故答案为：4

—

Y^+2x30

15.已知函数f(x)=《'，方程/(幻=攵有两个实数解，则攵的范围是

-2+1nx,x〉0

=-4或&>一3}

【分析】画出函数/（X）的图象，作出直线），=k,观察图象，得到直线与曲线有两个交

点的情况的A的取值范围.

V2+?Y—Q0

解：函数f（x）=1'r的图象如图，

-2+1nx,x〉0

作出直线丫=攵，观察图象，4=-4或%>-3时，直线与曲线有两个交点，故实数攵的取

值范围是{川左=-4或k>-3）.

故答案为：伙|%=-4或%>-3}.

三.解答题（共5道大题，共45分）

16.（8分）已知集合人=仁|1小4<1），8=1|皮广<1}.

（I）求集合A、B；

（II）求CRADB.

解：（।）loggS-

a,a

.♦.a>l时，a>y,：.a>\,

OV“<1时，a<5，

AA={a|a>1^0<a<-1};

・••c|）yi吗

.,.B={a|tz>0}.

（II），!^=匕|广241或@<0},

•••CRAPB={a|-1<a<l}.

17.（7分）已知sin（兀+a）=~^,aC（-r-）兀）.

52

，兀、,、

sin(_^_+CL)+2cos(兀-a)

(I)求值：------、-------------------

sin(-^--a)+sin(-a)

(II)求值：a).

解：(।)丁sin(兀+a)=—^,aW("?->兀)，

b2

・，・cosa=-V1-sin2Cl=咯，,•*tana

，又

，兀、,、

sin(n+a)+2cos(兀-a)

,2cosa-2cosacosa3

sin《-a)+sin(-a)cosa-sinacosa-sinCI7

4

(II),**tanCI=-z-,

o

7T

.,15兀、,兀、—，兀、—tarrT+tana

••tan(~---a)=tan(4兀--CL)—tan(~-^--Q.)-------------

l-tan--r-tanCl

4

18.(10分)已知函数/(x)=N-〃X+4.

(I)当〃=5,解关于x的不等式f(x)>0;

(II)设函数g(x)=T»(l《x<5)，若g(X)的最小值为2,求g(x)的最大值.

X

解：(I)当a=5时，f(x)=x2-5x+4,故不等式/(x)>0,即为1一5x+4>0,

变形可得(x-4)Cr-1)>0,

所以x>4或x<1,

故不等式/(x)>0的解集为｛x|x>4或xVl｝；

(ID因为函数g(x)=以生一(14X<5),

X

所以g(x)=-~~“x+4二x』，

XX

解法一：

4

因为y=x_<—为对勾函数，

x

所以函数g(x)在［1,2］上为减函数，在［2,5］上为增函数,

故当x=2时，g(x)取得最小值g(2)=4-67,

所以4-a=2,则a=2,又g(1)=3,g(5)^,

5

所以g(x)二^:

8X7max5

解法二：

因为g(x)=-9=x*-a>2^S-a=4-a,

当且仅当x々时取等号，即x=2取最小值，

X

所以4-4=2,解得4=2,

又函数g(x)在［1,2］上为减函数，在［2,5］上为增函数，

又g(l)=3,g(5):,

b

所以g(x)

='max5

12

19.(10分)已知cos(a+B)=^r,cos(a-6)=~^".

55

(I)求证：2tanatan0=l.

(II)若a+0为第一象限角，a-0为第四象限角，求sin2a的值.

【分析】(I)直接根据两角和与差的余弦公式展开即可；

(II)根据sin2a=sin［(a+0)+(a-p)］,再结合同角三角函数关系式即可求解.

【解答】(।)证明：・・・cos(a+B)=4，cos(a-B)等.

55

(1

cosacosB-sinQsinB=