2024年初三下册数学专项比例线段及黄金分割（基础） 巩固练习

2024年初三下册数学专项比例线段及黄金分割（基础）巩固练习【巩固练习】一.选择题1.在比例尺为1︰1000000的地图上，相距3

cm的两地，它们的实际距离为（）.

A.3

kmB.30

kmC.300

kmD.3000

km2.（2016•滨江区模拟）由5a=6b（a≠0），可得比例式（）A． B． C． D．3.若，且3a-2b+c=3，则2a+4b-3c的值是（）.A．14B.42C.7D.4.如果（x+y）：（x-y）=3，那么x：y等于（）.A.-2B.2C.-3D.35.（2014秋•滕州市校级期末）已知点P是线段AB的一个黄金分割点（AP＞PB），则PB：AB的值为（）.A.B.C.D.6.美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（）.A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm二.填空题7.（2015•慈溪市一模）若3a=4b，则=.8.（2016•浦东新区一模）已知，那么=．9．已知：，则________________．10.已知则.11.如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割．已知AB=10cm，则AC的长约为__________cm（结果精确到0.1cm）.12.如图，△ABC顶角是36°的等腰三角形（底与腰的比为的三角形是黄金三角形），若△ABC、△BDC、△DEC都是黄金三角形，已知AB=4，则DE=__________．三.综合题13.（2014春•通川区校级期中）已知：，求代数式的值．14.若，且2a-b+3c=21，求4a-3b+c的值．

15.图1是一张宽与长之比为：1的矩形纸片，我们称这样的矩形为黄金矩形．同学们都知道按图2所示的折叠方法进行折叠，折叠后再展开，可以得到一个正方形ABEF和一个矩形EFDC，那么EFDC这个矩形还是黄金矩形吗？若是，请根据图2证明你的结论；若不是，请说明理由．

【答案与解析】一、选择题

1．【答案】B．【解析】图上距离︰实际距离＝比例尺．2.【答案】D.【解析】A、⇒ab=30，故选项错误；B、⇒ab=30，故选项错误；C、⇒6a=5b，故选项错误；D、⇒5（a﹣b）=b，即5a=6b，故选项正确．故选D．3．【答案】D．【解析】设a=5k，则b=7k，c=8k，又3a-2b+c=3，则15k-14k+8k=3，

得k=，

即a=，b=，c=，所以2a+4b-3c=．故选D．4．【答案】B.5．【答案】B.【解析】根据题意得AP=AB，所以PB=AB﹣AP=AB，所以PB：AB=．6．【答案】C.【解析】根据已知条件得下半身长是165×0.60=99cm，

设需要穿的高跟鞋是ycm，则根据黄金分割的定义得：=0.618，

解得：y≈8cm．故选C．二、填空题

7.【答案】；【解析】两边都除以3b，得=.8.【答案】．【解析】∵的两个内项是y、1，两个外项是x、3，∴，根据合比定理，知==4；又∵上式的两个内项是x和4，两个外项是x+y和1，∴．9.【答案】．【解析】由题意，，即4（x+y）=7y，4x=3y，

得x=y，∴．10.【答案】【解析】提示：设11.【答案】6.2或3.8．【解析】由题意知AC：AB=BC：AC，

∴AC：AB≈0.618，

∴AC=0.618×10cm≈6.2（结果精确到0.1cm）或AC=10-6.2=3.8．

故答案为：6.2或3.8．12.【答案】6-2．【解析】根据题意可知，BC=AB，

∵△ABC顶角是36°的等腰三角形，

∴AB=AC，∠ABC=∠C=72°，

又∵△BDC也是黄金三角形，

∴∠CBD=36°，BC=BD，

∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=36°=∠A，

∴BD=AD，同理可证DE=DC，

∴DE=DC=AC-AD=AB-BC=AB-AB=6-2．

故答案为：6-2．三、解答题13.【解析】解：设=t，∴，解得，，∴==．14.【解析】令=k，则a+2=3k，b=4k，c+5=6k，

即a=3k-2，b=4k，c=6k-5，

∵2a-b+3c=21，

∴2（3k-2）-4k+3（6k-5）=21，

∴k=2．

∴a=4，b=8，c=7．

∴4a-3b+c=4×4-3×8+7=-1．15.【解析】矩形EFDC是黄金矩形，

证明：∵四边形ABEF是正方形，

∴AB=DC=AF，

又∵=，

∴=，

即点F是线段AD的黄金分割点．

∴=，

∴=，

∴矩形CDFE是黄金矩形．比例线段及黄金分割（基础）知识讲解【学习目标】1、了解两条线段的比和比例线段的概念并能根据条件写出比例线段；2、会运用比例线段解决简单的实际问题；3、掌握黄金分割的定义并能确定一条线段的黄金分割点.【要点梳理】要点一、比例线段【高清课堂：394495图形的相似预备知识】1．成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．2．比例的性质：（1）基本性质：如果，那么.（2）合比性质：如果如果要点诠释：（1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示，若单位长度不同，先化成同一单位，再求它们的比；（2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关；（3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数．要点二、黄金分割1.定义：点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.要点诠释：≈0.618AB(叫做黄金分割值).2.作一条线段的黄金分割点：图4－7如图，已知线段AB，按照如下方法作图：（1）经过点B作BD⊥AB，使BD=AB.（2）连接AD，在DA上截取DE=DB.（3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.要点诠释：一条线段的黄金分割点有两个.【典型例题】类型一、比例线段1.（2016•兰州模拟）若a：b=2：3，则下列各式中正确的式子是（）A．2a=3b B．3a=2b C． D．【思路点拨】根据比例的性质，对选项一一分析，选择正确答案．【答案】B．【解析】A、2a=3b⇒a：b=3：2，故选项错误；B、3a=2b⇒a：b=2：3，故选项正确；C、=⇒b：a=2：3，故选项错误；D、=⇒a：b=3：2，故选项错误．故选B．【总结升华】考查了比例的性质．在比例里，两个外项的乘积等于两个内项的乘积．举一反三：【变式】（2015•崇明县一模）已知=，那么下列等式中，不一定正确的是（）．A．2a=5bB.C.a+b=7D.【答案】C．2.设，求的值．【思路点拨】由已知条件利用解方程的思想不能求出x，y，z的值，因此用设参数法代入化简．【答案与解析】设＝k则x＝2k，y＝3k，z＝4k原式＝＝＝【总结升华】解此类题学生容易误认为设k后，未知数越多更不易解出，实际上分子、分母能产生公因式约去．类型二、黄金分割3.如图所示，矩形ABCD是黄金矩形（即＝≈0.618），如果在其内作正方形CDEF，得到一个小矩形ABFE，试问矩形ABFE是否也是黄金矩形？【思路点拨】（1）矩形的宽与长之比值为，则这种矩形叫做黄金矩形．（2）要说明ABFE是不是黄金矩形只要证明＝即可．【答案与解析】矩形ABFE是黄金矩形．理由如下：因为＝＝所以矩形ABFE也是黄金矩形．【总结升华】判断四边形是否是黄金矩形，要根据实际条件灵活选择判断方法.举一反三：【变式】以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上，如图所示，（1）求AM，DM的长，（2）试说明AM2=AD·DM（3）根据（2）的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？【答案】（1）∵正方形ABCD的边长是2，P是AB中点，∴AD＝AB＝2，AP＝1，∠BAD＝90°，∴PD＝。∵PF＝PD，∴AF＝，在正方形ABCD中，AM＝AF＝，MD＝AD－AM＝3－（2）由（1）得AD×DM＝2（3－）＝6－2，∴AM2=AD·DM．（3）如图中的M点是线段AD的黄金分割点．4.（2015•慈溪市一模）如图，扇子的圆心角为x°，余下扇形的圆心角为y°，x与y的比通常按黄金比来设计，这样的扇子外形比较美观，若黄金比取0.6，则x为（）.A.144°B.135°C.136°D.108°【答案】B.【解析】由扇子的圆心角为x°，余下扇形的圆心角为y°，黄金比为0.6，根据题意得：x：y=0.6=3：5，又∵x+y=360，则x=360×=135【总结升华】此题考查了黄金分割，以及比例的性质，解题的关键是根据题意列出x与y的关系式.相似形和比例线段（提高）知识讲解1、了解两条线段的比和比例线段的概念并能根据条件写出比例线段；2、会运用比例线段解决简单的实际问题；3、掌握黄金分割的定义并能确定一条线段的黄金分割点.【要点梳理】要点一、比例线段【高清课堂：394495图形的相似预备知识】1．成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．2．比例的性质：（1）基本性质：如果，那么.（2）合比性质：如果如果要点诠释：（1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示，若单位长度不同，先化成同一单位，再求它们的比；（2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关；（3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数．要点二、黄金分割1.定义：点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.要点诠释：≈0.618AB(叫做黄金分割值).2.作一条线段的黄金分割点：图4－7如图，已知线段AB，按照如下方法作图：（1）经过点B作BD⊥AB，使BD=AB.（2）连接AD，在DA上截取DE=DB.（3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.要点诠释：一条线段的黄金分割点有两个.【典型例题】类型一、比例线段1.（2016春•上海校级月考）已知，（1）求的值；（2）如果，求x的值．【思路点拨】（1）令===k，则x=2k，y=3k，z=4k，再代入代数式进行计算即可；（2）把x=2k，y=3k，z=4k代入=y﹣z，求出k的值即可．【答案与解析】解：（1）∵==，∴令===k，则x=2k，y=3k，z=4k，∴===﹣1；（2）∵x=2k，y=3k，z=4k，=y﹣z，∴x+3=（y﹣z）2，即2k+3=（3k﹣4k）2，解得k=﹣1或k=3(舍去)，∴x=﹣2．

【总结升华】本题考查的是比例的性质，根据题意得出x=2k，y=3k，z=4k是解答此题的关键．举一反三：【高清课堂：394495图形的相似预备知识练习2】【变式】（2015春•扶沟县期中）若=，则=（）.A.B.C.D.无法确定【答案】C.2.已知：．求k值．【思路点拨】可分a+b+c=0和a+b+c≠0两种情况代入求值和利用等比性质求解.【答案与解析】①当a+b+c=0时，

b+c=-a，c+a=-b，a+b=-c，

∴k为其中任何一个比值，即k==-1;

②a+b+c≠0时，

k=．∴k=-1或.【总结升华】考查比例性质的应用；分两种情况探讨此题是解决本题的易错点．类型二、黄金分割3.宽与长之比为的矩形叫黄金矩形.如图：如果在一个黄金矩形里面画一个正方形，那么留下的矩形还是黄金矩形吗？请证明你的结论.【答案与解析】∵四边形ABEF是正方形，∴AB=DC=AF,又∵,∴，即点F是AD的黄金分割点，∴,即∴，即，∴矩形CDEF是黄金矩形.【总结升华】根据黄金矩形的定义去计算宽与长之比即可.4.（2014春•南京校级月考）（1）已知线段AB=10cm，C是AB的一个黄金分割点，且AC＜BC，求AC长；（2）已知线段a、b、c，a=4cm，b=9cm，线段c是线段a和b的比例中项．求线段c的长．【思路点拨】（1）根据黄金分割点的定义，知AC是较短线段，由黄金分割的公式：较短的线段=原线段的倍，可得AC=10×，计算即可；（2）根据线段比例中项的概念，可得a：c=c：b，可得c2=ab=36，故c的值可求．注意线段不能为负．．【答案与解析】解：（1）∵线段AB=10cm，C是AB的一个黄金分割点，且AC＜BC，∴AC=10×=15﹣5（cm）；（2）∵线段c是线段a和b的比例中项，a=4cm，b=9cm，∴c2=ab=36，解得c=±6，又∵线段是正数，∴c=6cm．【总结升华】本题考查了黄金分割，应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的倍，较长的线段=原线段的倍．也考查了比例中项的概念．．举一反三：【变式】（2014秋•章丘市校级期末）已知线段AB=1，C是线段AB的黄金分割点，则AC的长度为（）A.B.C.或D.以上都不对【答案】C.提示：∵线段AB=1，C是线段AB的黄金分割点，当AC＞BC，∴AC=AB=；当AC＜BC，∴BC=AB=，∴AC=AB﹣BC=1﹣=．比例线段及黄金分割（提高）巩固练习【巩固练习】一．选择题1.在比例尺为1︰1000000的地图上，相距3cm的两地，它们的实际距离为().

A．3kmB．30kmC．300kmD．3000km2.已知线段满足把它改写成比例式，其中错误的是（）.A.B.C.D.3.（2014•牡丹江）若x：y=1：3，2y=3z，则的值是（）.A.-5B.C.D.54.如图，已知点P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，若S1表示以PA为边的正方形的面积，S2表示长为AB、宽为PB的矩形的面积，那么S1（）S2．A.>B.=C.<D.无法确定5.若，则下列式子中不正确的是（）.A.B.C.D.6.（2016•山西）宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（）A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH二.填空题7.已知，则a：b=______________．8.（2016•奉贤区一模）线段AB长10cm，点P在线段AB上，且满足=，那么AP的长为cm．9.已知三个数1，2，，请你再写一个数，使这四个数能成比例，那么这个数是________，（填写一个即可）．10.已知若若5x-4y=0,则x:y=________.11.在△ABC和△A'B'C'，中，==．若△ABC的周长等于12，则△A'B'C'的周长等于________．12.如图所示，顶角A为36°的第一个黄金三角形△ABC的腰AB=1，底边与腰之比为K，三角形△BCD为第二个黄金三角形，依此类推，第2008个黄金三角形的周长为____________．三．综合题13.如果，一次函数经过点（-1,2），求此一次函数解析式.14.如图，在△ABC中，点D在边AB上，且DB=DC=AC，已知∠ACE=108°，BC=2．

（1）求∠B的度数；

（2）我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金比．

①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；

②求AD的长；

③在直线AB或BC上是否存在点P（点A、B除外），使△PDC是黄金三角形？若存在，在备用图中画出点P，简要说明画出点P的方法（不要求证明）；若不存在，说明理由．15.（2014秋•重庆校级月考）如图，用长为40cm的细铁丝围成一个矩形ABCD（AB＞AD）．（1）若这个矩形的面积等于99cm2，求AB的长度；（2）这个矩形的面积可能等于101cm2吗？若能，求出AB的长度，若不能，说明理由；（3）若这个矩形为黄金矩形（AD与AB之比等于黄金比），求该矩形的面积．（结果保留根号）【答案与解析】一、选择题1.【答案】B【解析】图上距离︰实际距离=1：1000000.2．【答案】B．3．【答案】A．【解析】∵x：y=1：3，∴设x=k，y=3k，∵2y=3z，∴z=2k，∴==﹣5．故选：A．4．【答案】B．【解析】根据黄金分割的概念得：，

则==1，即S1=S2．故选B．5．【答案】A．【解析】根据题意，设x=3k，y=4k，分别代入，

A、左边=，错误；

B、左边==4，正确；

C、左边=，正确；

D、左边=，正确．故选A．6.【答案】D.【解析】设正方形的边长为2，则CD=2，CF=1在直角三角形DCF中，DF==∴FG=∴CG=﹣1∴=∴矩形DCGH为黄金矩形二、填空题

7.【答案】a：b=.8.【答案】5﹣5．【解析】设AP=x，则BP=10﹣x，∵=，∴=，∴x1=5﹣5，x2=﹣5﹣5（不合题意，舍去），∴AP的长为（5﹣5）cm．故答案为：5﹣5．9.【答案】2或或．【解析】设所求数为x．分四种情况：

①如果x，1，2，，这四个数能成比例，那么x：1=2：，x=；

②如果1，x，2，，这四个数能成比例，那么1：x=2：，x=；

③如果1，2，x，，这四个数能成比例，那么1：2=x：，x=；

④如果1，2，，x，这四个数能成比例，那么1：2=：x，x=2．

综上，可知这个数是2或或．10.【答案】11.【答案】18．【解析】∵==，

∴=．

∵△ABC的周长等于12，

∴△A'B'C'的周长=12÷=18．

故答案为：18．12.【答案】K2007（K+2）.【解析】第一个三角形的周长为K+2；

第二个三角形的周长K+K+K2=K（K+2）；

第三个周长为K2+K2+K3=K2（K+