2022年北京初二（上）期末数学试卷汇编：三角形章节综合

第1页/共1页2022北京初二（上）期末数学汇编三角形章节综合一、单选题1．（2022·北京西城·八年级期末）在如图的△ABC中，正确画出AC边上的高的图形是（

）A． B．C． D．2．（2022·北京门头沟·八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，分别以A，C为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧分别交于点M，N，作直线MN，分别交AB，AC于点D，E，连接CD．有以下四个结论：①∠BCD＝∠ACD＝36°；②AD＝CD＝CB；③△BCD的周长等于AC＋BC；④点D是线段AB的中点．其中正确的结论是（

）A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④3．（2022·北京西城·八年级期末）在平面直角坐标系xOy中，点A(0，2)，B(a，0)，C(m，n)（）．若ABC是等腰直角三角形，且，当时，点C的横坐标m的取值范围是（

）A． B． C． D．4．（2022·北京丰台·八年级期末）将三根木条钉成一个三角形木架，这个三角形木架具有稳定性.解释这个现象的数学原理是（

）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS5．（2022·北京海淀·八年级期末）如图，是等边三角形，D是BC边上一点，于点E．若，则DC的长为（）A．4 B．5 C．6 D．76．（2022·北京平谷·八年级期末）下列命题是假命题的是（

）A．直角三角形两锐角互余 B．有三组对应角相等的两个三角形全等C．两直线平行，同位角相等 D．角平分线上的点到角两边的距离相等二、填空题7．（2022·北京通州·八年级期末）如图，线段AF⊥AE，垂足为点A，线段GD分别交AF、AE于点C，B，连接GF，ED，则∠D+∠G+∠AFG+∠AED的度数为__________.8．（2022·北京平谷·八年级期末）如图，将两个含30°角的全等的三角尺摆放在一起，可以证得△ABD是等边三角形，于是我们得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半如果BC＝2，那么点C到AB的距离为________．9．（2022·北京石景山·八年级期末）如图，在中，，，以为直角边作等腰直角，再以为直角边作等腰直角，…，按照此规律作图，则的长度为______，的长度为______．10．（2022·北京房山·八年级期末）等边的边长为2，P，Q分别是边AB，BC上的点，连结AQ，CP交于点O．以下结论：①若，则；②若，则；③若点P和点Q分别从点A和点C同时出发，以相同的速度向点B运动（到达点B就停止），则点O经过的路径长为，其中正确的是______（序号）．11．（2022·北京平谷·八年级期末）如图，∠AOB＝90°，按以下步骤作图：①以O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于C，交OB于D；②分别以C、D为圆心，以大于的同样长为半径作弧，两弧交于点P；③作射线OP．如图，点M在射线OP上，过M作MH⊥OB于H，若MH＝2，则OM＝________．12．（2022·北京昌平·八年级期末）已知一张三角形纸片ABC（如图甲），其中∠ABC=∠C．将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点处，折痕为BD（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为EF（如图丙）．原三角形纸片ABC中，∠ABC的大小为______°．三、解答题13．（2022·北京丰台·八年级期末）如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C．求证：AD=AE．14．（2022·北京西城·八年级期末）如图，点A，B，C，D在一条直线上，，，．（1）求证：．（2）若，，求∠F的度数．15．（2022·北京丰台·八年级期末）在中，，，点是直线上一点，点关于射线的对称点为点.作直线交射线于点，连接CF．(1)如图，点在线段上，补全图形，求的大小（用含的代数式表示）；(2)如果∠°．①如图，当点在线段上时，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明；②如图，当点在线段的延长线上（不与点重合）时，直接写出线段，，之间的数量关系．16．（2022·北京顺义·八年级期末）已知：在△ABC中，AB＝AC，直线l过点A．(1)如图1，∠BAC＝90°，分别过点B，C作直线l的垂线段BD，CE，垂足分别为D，E．①依题意补全图1；②用等式表示线段DE，BD，CE之间的数量关系，并证明；(2)如图2，当∠BAC≠90°时，设∠BAC＝α（0°＜α＜180°），作∠CEA＝∠BDA＝α，点D，E在直线l上，直接用等式表示线段DE，BD，CE之间的数量关系为．17．（2022·北京延庆·八年级期末）已知：如图，点A，F，C，D在同一条直线上，点B和点E在直线AD的两侧，且AF＝DC，BC∥FE，∠A＝∠D．求证：AB＝DE．18．（2022·北京朝阳·八年级期末）如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ACD=∠B，CE平分∠BCD，交AB于点E，点F在CE上，连接AF．再从“①AF平分∠BAC，②CF=EF”中选择一个作为已知，另外一个作为结论，组成真命题，并证明．19．（2022·北京西城·八年级期末）在ABC中，，，AD为ABC的中线，点E是射线AD上一动点，连接CE，作，射线EM与射线BA交于点F．（1）如图1，当点E与点D重合时，求证：；（2）如图2，当点E在线段AD上，且与点A，D不重合时，①依题意，补全图形；②用等式表示线段AB，AF，AE之间的数量关系，并证明．（3）当点E在线段AD的延长线上，且时，直接写出用等式表示的线段AB，AF，AE之间的数量关系．20．（2022·北京房山·八年级期末）如图，，点C、D分别在射线OA、OB上，且满足．将线段DC绕点D顺时针旋转60°，得到线段DE．过点E作OC的平行线，交OB反向延长线于点F．（1）根据题意完成作图；（2）猜想DF的长并证明；（3）若点M在射线OC上，且满足，直接写出线段ME的最小值．21．（2022·北京顺义·八年级期末）已知：如图，E，F是线段BC上两点，ABCD，BE＝CF，∠A＝∠D．求证：AF＝DE．22．（2022·北京石景山·八年级期末）如图，在中，，，．AD平分交BC于点D．（1）求BC的长；（2）求CD的长．23．（2022·北京房山·八年级期末）数学课上，老师出示了一个题：如图，在中，，，，的平分线交CB于点D，求CD的长．晓涵同学思索了一会儿，考虑到角平分线所在直线是角的对称轴这一特点，于是构造了一对全等三角形，解决了这个问题．请你在晓涵同学的启发下（或者独立思考后有自己的想法），解答这道题．24．（2022·北京怀柔·八年级期末）老师布置了如下尺规作图的作业：已知：如图ABC．求作：ABC边BC上的高AM．下面是小红设计的尺规作图过程：作法：①延长线段BC；②以点A为圆心，AC长为半径作弧交BC的延长线于点D；③分别以点C，D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧在CD下方交于点E；④连接AE，交CD于点M．所以线段AM就是所求作的高线．根据小红设计的尺规作图过程和图形，完成（1）（2）两小题：（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）将该作图证明过程补充完整：由②可得：AC=．由③可得：=．∴（）．（填推理的依据）即AM是ABC边BC上的高线．25．（2022·北京东城·八年级期末）在等腰中，，点D是BC边上的一个动点（点D不与点B，C重合），连接AD，作等腰，使，，点D，E在直线AC两旁，连接CE．(1)如图1，当时，直接写出BC与CE的位置关系；(2)如图2，当时，过点A作于点F，请你在图2中补全图形，用等式表示线段BD，CD，之间的数量关系，并证明．26．（2022·北京东城·八年级期末）如图，在中，，．分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接AF．以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H，连接AH．(1)使用直尺和圆规完成作图过程（保留作图痕迹）；(2)通过作图过程，可以发现直线DE是线段AB的______，是______三角形；(3)若，则的周长为______．27．（2022·北京大兴·八年级期末）如图，在中，AD平分，于点E．求证：．28．（2022·北京海淀·八年级期末）如图，已知线段AB及线段AB外一点C，过点C作直线CD，使得．小欣的作法如下：①以点B为圆心，BC长为半径作弧；②以点A为圆心，AC长为半径作弧，两弧交于点D；③作直线CD．则直线CD即为所求．（1）根据小欣的作图过程补全图形；（2）完成下面的证明．证明：连接AC，AD，BC，BD．∵，∴点B在线段CD的垂直平分线上．（_______________）（填推理的依据）∵______________，∴点A在线段CD的垂直平分线上．∴直线AB为线段CD的垂直平分线．∴．29．（2022·北京朝阳·八年级期末）下面是小军设计的“过线段端点作这条线段的垂线”的尺规作图过程．已知：线段AB．求作：AB的垂线，使它经过点A．作法：如图，①以点A为圆心，AB长为半径作弧，交线段BA的延长线于点C；②分别以点B和点C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧相交于直线BC上方的点D；③作直线AD．所以直线AD就是所求作的垂线．根据小军设计的尺规作图过程，(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）(2)完成下面的证明．证明：连接CD，BD．∵BD=，AB=，∴AD⊥AB（）（填推理的依据）．30．（2022·北京海淀·八年级期末）在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中是一个格点三角形.请在图1和图2中各画出一个与成轴对称的格点三角形，并画出对称轴．

参考答案1．C【分析】根据三角形的高的概念判断．从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高．【详解】解：根据三角形高线的定义，AC边上的高是过点B向AC作垂线垂足为D，连接BD，因此只有选项C符合条件，故选：C．【点睛】本题考查了三角形的高，利用基本作图作三角形高的方法解答是解题的关键．2．C【分析】根据AB＝AC，∠A＝36°，可得,根据作图可知是的垂直平分线，进而可得,，进而可得，即可判断，进而判断，即可判断①②③正确，若④正确，则可得是等边三角形，进而得出矛盾，判断④不正确【详解】解：AB＝AC，∠A＝36°，,根据作图可知是的垂直平分线，，，.，∠BCD＝∠ACD＝36°,AD＝CD＝CB；；故①②正确△BCD的周长等于AC＋BC；故③正确若点D是线段AB的中点是等边三角形而点D不是线段AB的中点故④不正确故正确的有①②③故选C【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，垂直平分线的性质与作图，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．3．B【分析】过点作轴于，由“”可证，可得，，即可求解．【详解】解：如图，过点作轴于，点，，是等腰直角三角形，且，，，，在和中，，，，，，，，故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是画图及添加恰当辅助线构造全等三角形．4．A【分析】根据三根木条即为三角形的三边长，利用全等三角形判定定理确定唯一三角形即可得．【详解】解：三根木条即为三角形的三边长，即为利用确定三角形，故选：A．【点睛】题目主要考查利用全等三角形判定确定唯一三角形，熟练掌握全等三角形的判定是解题关键．5．C【分析】先求解可得从而可得答案.【详解】解：是等边三角形，，故选C【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，含的直角三角形的性质，掌握“直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半”是解本题的关键.6．B【分析】根据直角三角形的性质，全等三角形的判定方法，平行线的性质，角平分线的性质逐项分析．【详解】A.直角三角形两锐角互余，正确，是真命题；B.有三组对应角相等的两个三角形，因为它们的边不一定相等，所以不一定全等，故错误，是假命题；C.两直线平行，同位角相等，正确，是真命题；D.角平分线上的点到角两边的距离相等，正确，是真命题；故选B．【点睛】此题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的定义、性质定理及判定定理．7．270°##270度【分析】根据三角形的内角和定理及对顶角的性质可求得∠GCF+∠DBE=90°，再利用三角形的内角和定理可得∠G+∠F+∠GCF+∠D+∠B+∠DBE=360°，进而可求解∠D+∠G+∠AFG+∠AED的度数．【详解】解：∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°，∠A=90°，∴∠ACB+∠ABC=90°，∵∠GCF=∠ACB，∠DBE=∠ABC，∴∠GCF+∠DBE=90°，∵∠G+∠F+∠GCF=∠D+∠B+∠DBE=180°，∴∠G+∠F+∠GCF+∠D+∠B+∠DBE=360°，∴∠D+∠G+∠AFG+∠AED=270°，故答案为：270°．【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和定理是解题的关键．8．【分析】根据题干所给结论和勾股定理可求得AB和AC，再根据等面积法即可求得h．【详解】解：依据题意可得，根据勾股定理可得，设点C到AB的距离为h，则，即，解得，即点C到AB的距离为．故答案为：．【点睛】本题考查等边三角形的性质，勾股定理，含30°角的直角三角形，掌握等面积法是解题关键．9．

【分析】根据等腰直角三角形斜边等于直角边的倍分别求解即可．【详解】解：∵，∴同理可得，⋯故答案为：，．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，熟记等腰直角三角形斜边等于直角边的倍是解题的关键．10．①③【分析】①根据全等三角形的性质可得∠BAQ＝∠ACP，再由三角形的外角性质即可求解；第②结论有两种情况，准确画出图之后再来计算和判断；③要先判断判断轨迹（通过对称性或者全等）在来计算路径长．【详解】解：∵为等边三角形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，故①正确；当时可分两种情况，第一种，如①所证时，且时，∵，∴，第二种如图，时，若时，则大小无法确定，故②错误；由题意知,∵为等边三角形，∴，∴，∴点O运动轨迹为AC边上中线，∵的边长为2，∴AC上边中线为，∴点O经过的路径长为，故③正确；故答案为：①③．【点睛】此题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识的综合应用．本题综合性强，熟练掌握等边三角形的性质是解题关键．11．【分析】先根据题意发现OP是∠AOB的角平分线，可得△OMH是等腰直角三角形，可得OH=MH=2,最后根据勾股定理解答即可．【详解】解：由题意可得OP是∠AOB的角平分线，即∠MOH=∠AOB=45°∵MH⊥OB∴∠OMH=45°∴△OMH是等腰直角三角形∴OH=MH=2,∴OM=．故答案是．【点睛】本题主要考查了角平分线的做法、运用勾股定理解直角三角形，根据题意发现OP是∠AOB的角平分线是解答本题的关键．12．72°．【分析】根据题意设∠A为x，再根据翻折性质得到∠C=∠BED=2x，再根据AB=AC，得出∠ABC=∠C=2x，然后根据三角形内角和列出方程2x+2x+x=180°，解方程即可．【详解】解：设∠A为x，则翻折点A恰好与点D重合，折痕为EF由对应角相等可得∠EDA=∠A=x，由∠BED是△AED的外角可得∠BED=∠EDA+∠A=2x，则翻折点C落到AB边上的E点处，折痕为BD由对应角相等可得∠C=∠BED=2x，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=2x，在△ABC中，∠ABC+∠C+∠A=2x+2x+x=180°，∴x=36°，∴∠ABC=2x=72°．故答案为72°．【点睛】本题主要考查折叠性质，三角形外角性质．三角形内角和定理和等腰三角形的性质，解一元一次方程，掌握三角形内角和定理和等腰三角形的性质，折叠性质，解一元一次方程，三角形外角性质是解题关键．13．见解析【分析】先根据“ASA”证明△ABE≌△ACD，然后根据全等三角形的性质即可得证．【详解】证明：在△ABE和△ACD中，∴△ABE≌△ACD（ASA），∴AD=AE．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键．14．（1）见解析；（2）【分析】（1）根据平行线的性质可得，根据线段的和差关系可得，进而根据即证明；（2）根据三角形内角和定理以及补角的意义求得∠E，进而根据（1）的结论即可求得∠F．【详解】（1）证明：，即又，（2）解：，，【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，三角形全等的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．15．(1)补全图形见解析；(2)①，证明见解析；②．【分析】（1）根据题意画图，由点为点关于的对称点，得到，，设，解得，继而得到，据此解题；（2）①延长至点，使，连接AG，证明△≌△()，由全等三角形对应边相等得到，据此解题；②连接AE，由对称的性质，解得，继而证明△≌△()，由全等三角形对应边相等得到，即可解题．(1)解：补全图形；连接AE，∵点为点关于的对称点，∴，设∴∵∴∴∴∵，∴∴(2)①证明：延长至点，使，连接AG∵∴∴△为等边三形，由（1）知∴△为等边三角形∴，∴在△与△中，∴△≌△()

∴∴∵∴②结论为：．连接AE，∵点为点关于的对称点，∴，EF=FC,设∴∵=AE∴∴∵，∴在BE上取点G,使得FG=FA,连接AG∴△为等边三角形∴，∴在△与△中，∴△≌△()

∴∴【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．16．(1)①见详解；②结论为DE=BD+CE，证明见详解；(2)DE=BD+CE．证明见详解．【分析】（1）①依题意在图1作出CE、BD，标出直角符号，垂足即可；②结论为DE=BD+CE，先证∠ECA=∠BAD，再证△ECA≌△DAB（AAS），得出EA=BD，CE=AD，即可；（2）DE=BD+CE．根据∠BAC＝α（0°＜α＜180°）=∠CEA＝∠BDA＝α，得出∠CAE=∠ABD，再证△ECA≌△DAB（AAS），得出EA=BD，CE=AD即可．(1)解：①依题意补全图1如图；②结论为DE=BD+CE，证明：∵CE⊥l，BD⊥l，∴∠CEA=∠BDA=90°，∴∠ECA+∠CAE=90°，∵∠BAC=90°，∴∠CAE+∠BAD=90°∴∠ECA=∠BAD，在△ECA和△DAB中，，∴△ECA≌△DAB（AAS），∴EA=BD，CE=AD，∴ED=EA+AD=BD+CE；(2)DE=BD+CE．证明：∵∠BAC＝α（0°＜α＜180°）=∠CEA＝∠BDA＝α，∴∠CAE+∠BAD=180°-α，∠BAD+∠ABD=180°-α，∴∠CAE=∠ABD，在△ECA和△DAB中，，∴△ECA≌△DAB（AAS），∴EA=BD，CE=AD，∴ED=EA+AD=BD+CE；故答案为：ED=BD+CE．【点睛】本题考查一线三等角，三角形内角和，平角，三角形全等判定与性质，掌握一线三等角特征，三角形内角和，平角，三角形全等判定方法与性质是解题关键．17．见解析【分析】证明△ABC≌△DEF即可．【详解】∵BC∥FE，∴∠1＝∠2∵AF＝DC，∴AF＋FC＝DC＋CF．∴AC＝DF．在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（ASA）．∴AB＝DE．【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形全等的判定与性质，关键是证明三角形全等．18．选择已知①，结论②（或选择已知②，结论①）；证明见解析【分析】选择①作为已知，②作为结论时证明∠ACE=∠AEC得EA=CA，再根据等腰三角形的性质可得结论；选择②作为已知，①作为结论时，证明∠ACE=∠AEC得EA=CA，再根据等腰三角形的性质可得结论．【详解】解：选择已知①，结论②．

证明：∵CE平分∠BCD，∴∠DCE=∠BCE．

∵∠ACD=∠B．

∴∠DCE+∠ACD=∠BCE+∠B．∴∠ACE=∠AEC．∴EA=CA．

∵AF平分∠BAC，∴CF=EF．

选择已知②，结论①．

证明：∵CE平分∠BCD，∴∠DCE=∠BCE．∵∠ACD=∠B．

∴∠DCE+∠ACD=∠BCE+∠B．∴∠ACE=∠AEC．∴EA=CA．

∵CF=EF．∴AF平分∠BAC．【点睛】本题主要考查民角平分线的定义，三角形外角的性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解答本题的关键．19．（1）见解析；（2），证明见解析；（3）当时，,当时，【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质得，，从而可得在中，，进而即可求解；（2）画出图形，在线段AB上取点G，使，再证明，进而即可得到结论；（3）分两种情况：当时，当时，分别画出图形，证明或，进而即可得到结论．【详解】（1）∵，∴是等腰三角形，∵，∴,，∵AD为ABC的中线，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，在中，，∴；（2），证明如下：如图2，在线段AB上取点G，使，∵，∴是等边三角形，∴，，∵是等腰三角形，AD为ABC的中线，∴，，∴，即，∵，∴，在与中，，∴，∴，∴；（3）当时，如图3所示：与（2）同理：在线段AB上取点H，使，∵，∴是等边三角形，∴，，∵是等腰三角形，AD为的中线，∴，∵，∴，∴，∴，∴，当时，如图4所示：在线段AB的延长线上取点N，使，∵，∴是等边三角形，∴，∵∴，在与中，，∴，∴，∴，

∴，∴．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及等边三角形的判定与性质，根据题意做出辅助线找全等三角形是解题的关键．20．（1）见解析；（2），证明见解析；（3）【分析】（1）根据题意作出图形即可；（2）在OB上截取，连接CP、CE、OE，得出、是等边三角形，根据SAS证明，由全等三角形的性质和平行线的性质得是等边三角形，可得即可；（3）过点M作，连接，作等边，即当点E到点时，ME得最小值，由得，故可求出、，即可得出ME的最小值．【详解】（1）根据题意作图如下所示：（2），证明如下：如图，在OB上截取，连接CP、CE、OE．∵,，∴是等边三角形，∴，，∵，，∴是等边三角形，∴，，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∵，∴，∴是等边三角形，∴，∴，∴，∵，∴，（3）如图，过点M作，连接，作等边，即当点E到点时，ME得最小值，∵，∴，∴，，故ME的最小值为．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，掌握相关知识点的应用是解题的关键．21．见解析【分析】欲证明AF＝DE，只要证明△ABF≌△DCE即可；【详解】证明：∵BE＝CF，∴BF＝CE，∵ABCD，∴∠B＝∠C，在△ABF和△DCE，，∴△ABF≌△DCE，∴AF＝DE．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型．22．（1）；（2）3．【分析】（1）直接利用勾股定理求解即可；（2）作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得DE=DC，利用面积法得到关于CD的方程，求解即可．【详解】解：（1）∵AB=10，AC=6，∴BC=；（2）作DE⊥AB于E，∵AD平分∠CAB，∴DE=DC，∵S△ABD+S△ACD=S△ABC，∴×10×DE+×6×CD=×6×8，∴CD=3．【点睛】本题考查了勾股定理，角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．23．【分析】在AB上截取，连接DE，根据证明，证得，最后利用勾股定理列一元二次方程求解即可．【详解】解：在AB上截取，连接DE∵，，∴，∵AD平分，∴在和中，∴，∴，∵，∴设，则，∵∴即，解得，∴CD的长为．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，解一元二次方程，构造全等三角形是解决本题的关键．24．（1）见解析；（2）AD；CE；DE；AE是CD的垂直平分线；与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上【分析】（1）根据题中作法作图即可；（2）根据垂直平分线的作法即可证明．【详解】解：（1）如图，根据题中作法作图即可得；（2）由②可得：，（均为圆的半径）由③可得：，（相同圆的半径）∴AE是CD的垂直平分线（到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）．故答案为：；；；AE是CD的垂直平分线；到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．【点睛】题目主要考查垂直平分线的作法及证明，理解题意，熟练掌握作图方法是解题关键．25．(1)(2)或，见解析【分析】（1）根据已知条件求出∠B=∠ACB=45°，证明△BAD≌△CAE，得到∠ACE=∠B=45°，求出∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，即可得到结论；（2）根据题意作图即可，证明≌．得到，，，推出．延长EF到点G，使，证明≌，推出．由此得到．同理可证．(1)解：，，∴∠B=∠ACB=45°，∵，∴，即∠BAD=∠CAE，∵，，∴△BAD≌△CAE，∴∠ACE=∠B=45°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，∴；(2)解：如图，补全图形；．证明：∵，∴．又∵，，∴≌．∴，，．∵，∴．∴．延长EF到点G，使．∵，∴．∴．∵，∴．∴．∵，∴≌．∴．∵，∴．如图，同理可证．．【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，熟记全等三角形的判定及性质是解题的关键．掌握分类思想解题是难点．26．(1)见解析(2)垂直平分线；等腰(3)8【分析】（1）根据题意直接作图即可；（2）根据（1）的作图过程可得DE垂直平分AB，由以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H，连接AH，可得AF=AH，即可判定的形状；（3）利用等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质可得AF＋FC＝BF＋FC＝AH＋CH＝BC,最后根据三角形的周长公式解答即可．(1)解：作图如下所示：(2)解：由（1）的作图过程可知，DE垂直平分AB且AF=AH，即△AFH是等腰三角形．故答案为：垂直平