【2018年秋季课程人教版高一数学】函数与映射课程教案

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适用学科高中数学i适用年级i高中一年级

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适用区域人教版区域课时时长（分钟）2课时

知识点函数的概念

函数的三要素（定义域、值域、对应法则）

区间的意义及表示

解析法

列表法

图象法

分段函数及其应用

映射的概念

教学目标1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的

概念；

2.会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示

函数；

3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；

4.学会运用函数图象理解和研究函数的性质.

教学重点运用函数图象理解和研究函数的性质.

教学难点

运用函数图象理解和研究函数的性质.

【教学建议】

1.对映射概念的认识

（1）/：4->8与7:8—4是不同的，即A与B方向上是有序的.或者说：映射是有方向

的,

(2)输出值的集合是集合B的子集.即集合B中可能有元素在集合A中找不到对应的输入

值.集合A中每一个输入值，在集合B中必定存在唯一的输出值.或者说：允许集合

B中有剩留元素；允许多对一，不允许一对多.

(3)集合A,B可以是数集，也可以是点集或其它类型的集合.

2.对函数概念的认识

(1)对函数符号/(%)的理解知道y=于(x)与/(%)的含义是一样的，它们都表示y是x

的函数，其中x是自变量，/(X)是函数值，连接的纽带是法则了.

(2)注意定义中的集合A,B都是非空的数集,而不能是其他集合;

(3)函数的三种表示法：解析法，列表法，和图像法.

【知识导图】

教学过程

一、导入

函数是整个高中数学的重点，其中函数思想是最重要的数学思想方法，在未来的高考中

可以说的得函数者得天下.对本部分内容的考察形势稳中求变，向着更灵活的的方向发展,

对于函数的概念及表示多以下面的形式出现：通过具体问题(几何问题、实际应用题)找出

变量间的函数关系，再求出函数的定义域、值域，进而研究函数性质，寻求问题的结果.

复习预习

下列各组函数中，表示同一函数的是()

A.fix)=\x\,g(x)=[7

B.八©=迎，g(x)=(5)2

X2—1

C.g(x)=x+l

一二知识讲解」

考点1函数的基本概念

(1)函数的定义

设46是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系£使对于集合力中的任意一个数x,

在集合6中都有唯一确定的数F(x)和它对应，那么就称人/一8为从集合/到集合8的一

个函数，记作尸f(x),x^A.

⑵函数的定义域、值域

在函数y=f(x),xG"中，x叫做自变量，x的取值范围/叫做函数的定义域；与x的值相

对应的y值叫做函数值，函数值的集合"(X)|xe/｝叫做函数的值域.显然，值域是集合6

的子集.

(3)函数的三要素：定义域、对应关系和值域.

(4)函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.

考点2映射的概念

设48是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系£使对于集合/中的任意一个

元素x,在集合6中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应公d一彳为从集合力到

集合方的一个映射.

考点3函数解析式的求法

求函数解析式常用方法有待定系数法、换元法、配凑法、消去法.

三、例题精析

类型一函数的基本概念

有以下判断:

UI[1(xeo)

①f(x)=」与g(x)=表示同一函数;

X[-1")

②函数尸/<x)的图象与直线x=l的交点最多有1个;

③/1(x)=Y—2x+l与g(t)=t2—2t+l是同一函数；

④若/'(x)=Ix—11—1x1,则//13]=0.

其中正确判断的序号是.

【解析】

1(x20)

对于①，由于函数f(x)=—的定义域为且xWO},而函数g(x)=

-1(X0)

的定义域是此所以二者不是同一函数；对于②，若x=l不是y=f(x)定义域内的值，则直

线x=l与y=f(x)的图象没有交点，如果x=l是y=f(x)定义域内的值，由函数定义可知,

直线x=l与y=f(x)的图象只有一个交点，即y=f(x)的图象与直线x=l最多有一个交点;

对于③，f(x)与g(t)的定义域、值域和对应关系均相同，所以f(x)和g1)表示同一函数；

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_-

对于④，由于f22=0,所以7=f(0)=l.

综上可知，正确的判断是②③.

【总结与反思】函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系

都相同的函数才是同一函数.值得注意的是，函数的对应关系是就效果而言的(判断两个函

数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这

两个对应关系算出的函数值是否相同).

[2,UV2,

函数〃x)=L的定义域为________

[3,

【答案】[1，+8)

【解析】分段函数的定义域是各定义域的并集.

ln(2+x-x2)

⑴函数危)二一-的定义域为()

\x\-X

A.(-1,2)B.(-1,0)U(0,2)C.(-1,0)D.(0,2)

(2)已知函数f(x)的定义域为[1,2],则函数g(x)=的定义域为.

【答案】⑴c(2)[1,1)

(2+x—x>0[一]〈/2

【解析】(Df(x)有意义，贝U「二解之得"‘；.一1〈水0,

[|x|—xWO,[x<0,

；.f(x)的定义域为(-1,0).故选C

(2)要使函数g(x)=/0Ro有意义,

(x—1)

则必须有…,

.,.■jw水1,故函数g(x)的定义域为D1,1).

【总结与反思】

(1)求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等

式组，然后求出它们的解集.

(2)已知f(x)的定义域是[&b],求/tg(x)]的定义域，是指满足aWg(x)W6的x的取值

范围，而已知的定义域是[a,b\,指的是xd[a,b].

类型三映射

下列对应不是映射的是()

［答案］D

［解析］结合映射的定义可知A,B,C均满足〃中任意一个数x,在"中有唯一确定的y与

之对应，而D中元素1在“中有a,右两个元素与之对应，故不是映射.

判断下列对应是不是从集合A到集合B的映射：

(1)/=N*,8=N*,对应关系f：3|；

(2)/={平面内的圆},6={平面内的矩形},对应关系f；作圆的内接矩形；

(3)力={高一⑴班的男生},B=R,对应关系f：每个男生对应自己的身高；

(4)2={x|OW启2},6={y|0WZ6},对应关系公x-y=gx.

［答案］同解析

［解析］⑴力中元素3在对应关系『的作用下与3的差的绝对值为0,而0物故不是映射.

(2)因为一个圆有无数个内接矩形，即集合A中任何一个元素在集合B中有无数个元素与之

对应，故不是映射.

(3)对/中任何一个元素，按照对应关系£在6中都有唯一的元素与之对应，符合映射定

义，是映射.

⑷因为/中每一个元素在f：x一尸1作用下对应的元素构成的集合C={y［0Wj<l}U8,

符合映射定义，是映射.

【总结与反思】要判断两个集合能否构成映射，一般从映射的定义入手.若满足映射定义

就能构成映射；若不满足映射定义，只要举一反例，即说明集合4中的某一元素在5中无

对应元素即可.

类型二求函数的解析式

Y

⑴如果勺则当户0且时,f(x)等于()

(2)已知_f(x)是一次函数，且满足3_f(x+l)—2_f(x-1)=2x+17,则/'(x)

(3)已知函数Ax)的定义域为(0,+8),且/'(x)=2/1(：)-、&一1,则/*(x)=.

1

【解析】⑴令—士得x=；,/(t)=——r="f{x)=~^—r.

xt1x—1

(2)设f{x)=ax+6(aW0),则3_f(x+l)—2F(x—1)=3dx+3a+36—2ax+2a—26=ax+5a

+b,

a=2,a=2,

即乃x+5a+6=2x+17不论x为何值都成立,解得F(x)=

6+5H=17,b=7,

2x+7.

⑶在f{x)=2fd)、「一1中，用工代替x,得f(­)=2广(才))一1,

xVxx立

将吊)=2者)-1代入Hx)=2f(^y[x—1中，可求得f(x)=|\/^+1.

【总结与反思】函数解析式的求法

(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；

(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；

(3)配凑法：由已知条件KgS=F0可将Mx)改写成关于g(x)的表达式，然后以x

替代g(x),便得f(x)的解析式；

(4)消去法：已知关于f(x)与或f(-x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一

个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).

容,x>0,

(1)已知函数F(x)=,…若/1(a)+F(l)=0,则实数a的值等于()

[x十i1,xWO,

A,i3B,i1C.1D.3

(2)设函数y=f(x)在火上有定义.对于给定的正数四定义函数笳(x)=

f(x),f{x)W弘

则称函数加(x)为Ax)的“挛生函数”.若给定函数f(x)=2—M

M,f(x)＞例

=1,则%(0)的值为()

A.2B.1C.y[2D.一也

【答案】(1)-3(2)1

【解析】⑴由题意知*1)=2,=2.•.,/(a)+f(l)=0,，/3)+2=0.

①当a>0时,f(a)=2a+2=0无解；

②当dWO时，f(a)=a+l,/.5+1+2=0,J,a=~3.

(2)由题设_f(x)=2—fWl,得当xW—1或时，_fi/(x)=2一3；

当一l〈x〈l时，方(x)=1.，方(0)=1.

【总结与反思】(1)应用分段函数时，首先要确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应

关系代入计算求解，特别要注意分段区间端点的取舍，当自变量的值不确定时，要分类讨

论.

(2)若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围时，应根据每一段的解析

式分别求解，但要注意检验所求自变量值是否符合相应段的自变量的取值范围.

函数y=\x\的图象是(

y

-i

［答案］

*20,

［解析］因为尸|引=所以B选项正确

—X,x<0,

如图，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P,沿折线BCDA由点6(起点)向点4(终点)

运动，设点户运动的路程为x,%的面积为y.

(1)求y关于x的函数关系式y=f(x)；

(2)画出y=f(x)的图象；

(3)若△9方的面积不小于2,求x的取值范围.

D,-------------1c

2x,0<x<4

［解析］(1)y=<8,4<x<8

2(12-x),8<x<12

(2)尸/Xx)的图象如下图所示.

⑶即/'(x)22,当0《后4时，2x22,：.x^l,

当8〈后12时，2(12—x)N2,

的取值范围是IWxWll.

y

O\24681012x

[总结与反思]利用分段函数求解实际应用题的策略

(1)首要条件：把文字语言转换为数学语言.

(2)解题关键：建立恰当的分段函数模型.

(3)思想方法：解题过程中运用分类讨论的思想方法.

四、课堂运用

1.函数y=的定义域为()

A.[0,+°°)B.(―8,o]

C.(0,+8)D.(—8,0)

X

2.已知/=U,2,3,…，9},8=R,从集合力到集合8的映射工

2x+「

(1)与A中元素1相对应的B中的元素是什么?

4

(2)与B中元素g相对应的A中的元素是什么？

2x~3fx>0,

3.已知函数/U)=<3,x=0,求/ve)的值.

、2x+3,xVO,

V

4.在下列的四个图象中，是函数『3=而的图象的是()

答案与解析

1.【答案】B

【解析】：l—2'N0,2'W1=2°,xWO.故选B.

2.【答案】，，4

V11

【解析】(1)/中元素1,即X=l,代入对应关系，得即与/中元素1

LtXILLi入J.I1U

相对应的8中的元素是)

0

4VA,4

(2)6中元素曰即解得x=4,因此与8中元素d相对应的/中的元素是4.

92x十199

3.【答案】一1

【解析】A|)=|x2-3=-2,f(—2)=2X(―2)+3=—1,

.•"(/•(；))=『(-2)=T.

4.【答案】C

【解析】略

1.试判断以下各组函数是否表示同一函数?

(1)(x)=y[x^,g(x)=y[x^；

⑵f(x)二区，g(x)=[1X-0,

x[-1x<0;

(3)/'(X)=2〃叭2〃+1,gi)=(2〃痴)21(崔”)；

(4)(X)=y[xy/x+1,g(X)=Vx2+X;

(5)f(x)-x—2x—1,g(t)=d—21—1.

2.a,6为实数，集合〃=12,1},N={a,0},f：x—2x表示把集合〃中的元素x,映射到

集合”中为2x,求a+力的值.

x-3(%>100)

3.(1)设函数/(%)=<，求/X89).

/[/(x+5)](%<100)

(2)设函数f(x)=<2"e(°o,l],则满足f(x)=上的才值为.

log81x,xe(l,+oo)4

答案与解析

1.【答案】同解析

【解析】(1)由于/'(X)=必=|d，g(x)=值=x,故它们的值域及对应法则都不相

同，所以它们不是同一函数；

(2)由于函数f(x)=—的定义域为(-8,0)u(0,+8),而g(x)=PX一0,

x[-1x<0;

的定义域为尼所以它们不是同一函数；

(3)由于当时，2〃±1为奇数，

:.f9=2闻k=x,g(x)=(2"近)吩二X,它们的定义域、值域及对应法则都相同，

所以它们是同一函数；

(4)由于函数/1(x)=6JTZi的定义域为3x20},而g(x)=Jx2+尤的定义域为

—1或x》0},它们的定义域不同，所以它们不是同一函数；

(5)函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数.

2.【答案】2

【解析】由题意知，集合〃中的元素1只能对应集合N中的&故<3=2,故后{2,0},而〃

中的“可能对应集合N中的2或0,当“对应2时，则2=1,即6=2,此时集合〃中有两个相

3.Q,Q,

bb

同元素，不合适，故6=2应舍去，当一对应0时，贝卜=0,即6=0.此时”={0,1},符合题

aa

意，综上可知a=2,b=0,即a+b=2,.

3.【答案】(1)98,(2)3

【解析】(1)这是分段函数与复合函数式的变换问题，需要反复进行数值代换，

/(89)=/(/(94))=/(/(/(99)))=/(/(/(/(104))))=/(/(/(101)))

=/(/(98))=/(/(/(103)))=/(/(1OO))=/(97)=/(/(102))=/(99)

=/(/(104))=/(101)=98,

(2)当xe(―oo,1],值域应为[,，+°°],

2

当xW(1,+°°)时值域应为(0,+°o),：.y=—,(0,+°°)

4

1-

...此时xW(1,+°°).'.logsix——,x=814=3.

1.求下述函数的定义域:

」2x-X。

⑴于(x)+(3-2%)°；

lg(2x-l)

(2)/(X)=lg(x-^tz)+lg(x2-a2).

2.在如图的对应关系中，哪些对应不是集合力到集合6的映射()

①

一

③

B.①、④

C.②、⑤D.①、②、③

x~\-1,—2,

3.已知函数f(x)=<f+2痴-2<X2,

2x~1,x22.

(1)求/1(—5),f(一小),F(F(—£))的值;

(2)若f(a)=3,求实数a的值;

（3）若/1（4>3"一5（勿22）,求实数力的取值范围.

4.某市出租车的计价标准是：4km以内10元，超过4km且不超过18km的部分1.2元

/km,超过18km的部分1.8元/km.

⑴如果不计等待时间的费用，建立车费与行车里程的函数关系式；

⑵如果某人乘车行驶了20km,他要付多少车费？

答案与解析

1.【答案】同解析

2x-x2>0

【解析】（1）..\2x~1>Q,解得函数定义域为d,i）u（i,3）u（a,2］.

2x-1H1222

3-2%w0

x>ka

（2）・・・〈99,（先对〃进行分类讨论，然后对左进行分类讨论），

x>a

①当。=0（左eR）时，函数定义域为（0,+00）；

x>ka

②当。>0时，得<

x<一。或%>a

a>0a>0

1）当《左〉］时，函数定义域为（左凡+8）,2）当<］<卜］时，函数定义域为（。,+8），3）

a>0

当《时，函数定义域为（左小一〃）U（。,+8）;

k<-l

x>ka

③当。<。时，得《一

x<。或%>-a

a<0a<0

1）当1时，函数定义域为（左凡+8）,2）当1时，函数定义域为（一4,+8）,

k<-l［一1<左《1

a<0

3）当1时，函数定义域为（履M）（-。,+8）。

k>l

2.【答案】D

【解析】由图知①②中元素已在6中对应元素不唯一，③中元素勿在耳中无象，都不是

映射，④⑤是映射，故选D.

3.【答案】(1)—4,3-2^3,(2)3=1,或〃=2(3)加€[2,4)

【解析】(1)由一5£(—8,-2],一#£(—2,2),一|金(一8,-2],知广(一5)=一

5+1=—4,

f(一十)—(~y[3)2+2(—y[3)=3~2y/3,

/5、5.3,3

•・"(-5)=—/+1=—5,而一2C—]<2,

//5、、/3、,3.2./3、93

/./(/(--))=/(—-)=(--)+2X(―-)=4j—3=--

乙乙乙乙at

(2)当aW—2时，a+l=3,即a=2>—2,不合题意，舍去.当一2〈a〈2时，a°+2a=3,即

a~+2a—3=0.

所以(a—l)(a+3)=0,得a=l,或a=-3.

vie(-2,2),一3阵(一2,2),；.a=l符合题意.

当a》2时，2a—1=3,即a=2符合题意.

综上可得，当f(a)=3时，a=l,或a=2.

⑶\•加》2,=20一1,即2以一1>3加一5,解得勿<4,又山》2,...加的取值范围为[2,4).

4.【答案】C

【解析】(1)设车费为y元，行车里程为xkm.

'10,0<x<4,

则根据题意得Wl.2x+5.2,4〈出18,

8x—5.6,x>18.

(2)当x=20时,7=1.8X20-5.6=30.4,

即当乘车20km时，要付车费30.4元.

五、课堂小结

本节讲了3个重要内容:

1.函数的基本性质

2.映射

3.求函数的解析式

1.(1)下列函数中，与函数y=x相同的是()

4(也产D.久

(2)函数y=(3-2x--的定义域是

x+2,xW—

2.函数F(x)=</,—IVxV，若f(x)=3,则x的值为()

2xx

A.1B.1或小C.D.小

\x,x>Q,

3.函数y=的定义域为_________

[—2,x<0

4.4知/(x)是一次函数，f(/(x))=4x-l,求/(X)的解析式.

答案与解析

1.【答案】⑴B;(2)[-3,1]

【解析】(1)略；

(2)解析：要使函数有意义，必须3—2x—即/+2x—3W0,解得一3dL

2.【答案】D

【解析】略

3.【答案】(一8,0)U(0,+8)

【解析】每段函数自变量的取值范围的并集是分段函数的定义域，

即(一8,0)U(0,+°°).

1

4.【答案】f(x)=2x3或一2x+l.

【解析】设f(x)=kx+b(k#0),

则f[f(x)]=f(kx+b)=k(kx+b)+b=kzx+kb+b=4x-l,根据多项式相等得出,/=4,

1

kb+b=-l,解得k=2,b=-3'或k=-2,b=l

1

因此所求的函数解析式为：f(x)=2x］或-2x+l.

1

故答案为：f(x)=2x3或—2x+l.

1.已知函数Ax)的定义域为(一1,0),则函数H2x+1)的定义域为()

A.(-l,l)一斗

C.(-1,O)D.g1]

2.设工LEX—1为从集合/到6的映射，若/1(2)=3,则/'⑶=.

r_1

1+一，X>1,

X

3.已知函数F(x)=<2_L1

x十1f1W1,

、2x+3,x<-1.

(i)求HI—忑、)，f(f(a—2)))的值;

(2)求f(3x—1)；

⑶若f(a)=-,求a.

4.已知函数f(x)对任意的xCR,都满足f(x)+2f(-x)=3x-2,求f(x)解析式.

答案与解析

1.【答案】B

11

-l<2x+l<0-1<%<——(-1——)

【解析】’2,函数-2久+1)的定义域为‘2，故选B

2.【答案】5

【解析】/1(2)=2a—1=3,

a=2,f(x)—2x~l,

：.A3)=5.

3.【答案】同解析

【解析】(1)因为1—忑、=1—(斓+1)=一4<—1,

所以爪1一

因为f(—2)=—1,广(f(—2))=F(—1)=2,

i3

所以aa#—2)))=*2)=i+,=5.

(2)当3x—1>1,即x>|时，f(3x—l)=l+—7=/7；

36x—16x~1

2。

当一lW2x—1W1,即。忘丫・年时，F(3x—1)=(3x—1)2+1=(^x—6x+2；

当3x—IV—1,即xVO时，f(3x—l)=2(3x—l)+3=6x+l.

CZx2

x>,

综上，f(3x—1)=<02..9nv<2

9x—6x十2,OWxW§,

\6x+l,XVO.

I3

(3)当d>l时，f{a)=1+-=-,所以a=2>l；

a2

当一IWaWl时，f(a)=a2+l=|,所以d=±芈£［—1,1］；

33

当aV—l时，F(a)=2a+3=5，所以己=一^>一］(舍去),

综上,3=2或2=土坐.

2

4.【答案】f(x)=-3x-3

【解析】f(x)+2f(-x)=3x-2................(1)

把x用-x替代得:

f(-x)+2f(x)=-3x-2................(2)

(2)x2-⑴得:

4f(x)-f(x)=-6x-4-(3x-2)

3f(x)=~9x~2

1.己知函数/(尤)定义域为(0,2),求下列函数的定义域:

/(x2)+l

(1)/(X2)+23；(2)y=

log/一》)

2.判断下列对应是否构成映射.

(1)/1={1,2,3},B={7,8,9),尸(1)=尸(2)=7,