行列式按行展开和克莱姆法则

行列式按行展开和克莱姆法则在阶行列式中，把元素所在的第行和第列划去后，留下来的阶行列式叫做元素的余子式，记作叫做元素的代数余子式．例如第2页,共50页，2024年2月25日，星期天第3页,共50页，2024年2月25日，星期天行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即定理证明（分三步）第一步第4页,共50页，2024年2月25日，星期天得把D的第i行依次与第i+1行，第i+2行,…,第n行对调为什么依次对调行？第二步第5页,共50页，2024年2月25日，星期天再把D的第j列依次与第j+1列，第j+2列,…,第n列对调第6页,共50页，2024年2月25日，星期天一个阶行列式，如果其中第行所有元素除外都为零，那末这行列式等于与它的代数余子式的乘积，即．例如第7页,共50页，2024年2月25日，星期天第三步第8页,共50页，2024年2月25日，星期天例1第9页,共50页，2024年2月25日，星期天行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即代数余子式的重要性质推论第10页,共50页，2024年2月25日，星期天

证用数学归纳法例证明范德蒙德(Vandermonde)行列式第11页,共50页，2024年2月25日，星期天第12页,共50页，2024年2月25日，星期天n-1阶范德蒙德行列式第13页,共50页，2024年2月25日，星期天例４计算行列式解第14页,共50页，2024年2月25日，星期天第15页,共50页，2024年2月25日，星期天例

计算阶行列式解将第都加到第一列得第16页,共50页，2024年2月25日，星期天第17页,共50页，2024年2月25日，星期天例解第18页,共50页，2024年2月25日，星期天提取第一列的公因子，得将第一列的-a1倍加到第2列，-a2倍加到第3列,…,-an倍加到最后一列，得第19页,共50页，2024年2月25日，星期天本题利用行列式的性质，采用“化零”的方法，逐步将所给行列式化为三角形行列式．化零时一般尽量选含有１的行（列）及含零较多的行（列）；若没有１，则可适当选取便于化零的数，或利用行列式性质将某行（列）中的某数化为1；若所给行列式中元素间具有某些特点，则应充分利用这些特点，应用行列式性质，以达到化为三角形行列式之目的．评注第20页,共50页，2024年2月25日，星期天例６计算解将行列式的第2、3、4行都加到第1行，并提取第一行的公因子第21页,共50页，2024年2月25日，星期天按第一行展开得把第二行加到第一行，再提取公因子得：第22页,共50页，2024年2月25日，星期天第二列减去第一列得按第一行展开第23页,共50页，2024年2月25日，星期天本题是利用行列式的性质将所给行列式的某行（列）化成只含有一个非零元素，然后按此行（列）展开，每展开一次，行列式的阶数可降低1阶，如此继续进行，直到行列式能直接计算出来为止（一般展开成二阶行列式）．这种方法对阶数不高的数字行列式比较适用．

评注

第24页,共50页，2024年2月25日，星期天例计算解拆分最后一列使得行列式等于两个行列式的和第25页,共50页，2024年2月25日，星期天第26页,共50页，2024年2月25日，星期天由此递推，得如此继续下去，可得即当第27页,共50页，2024年2月25日，星期天关于的解法二把第一行的-1被加到第2、3、…、n行，得这是一种典型的行列式,见P17例10当时当时第28页,共50页，2024年2月25日，星期天设证明递推公式：例第29页,共50页，2024年2月25日，星期天设求例第30页,共50页，2024年2月25日，星期天例求第一行各元素的代数余子式之和设n阶行列式灵活运用行列式的按行或按列展开性质第31页,共50页，2024年2月25日，星期天例３设用行列式的定义证明第32页,共50页，2024年2月25日，星期天证明由行列式的定义有第33页,共50页，2024年2月25日，星期天利用范德蒙行列式计算例计算利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。解第34页,共50页，2024年2月25日，星期天上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式，由范德蒙行列式知本题所给行列式各行（列）都是某元素的不同方幂，而其方幂次数或其排列与范德蒙行列式不完全相同，需要利用行列式的性质（如提取公因子、调换各行（列）的次序等）将此行列式化成范德蒙行列式．评注第35页,共50页，2024年2月25日，星期天用数学归纳法证明第36页,共50页，2024年2月25日，星期天证对阶数n用数学归纳法假设对阶数小于n的行列式结论成立，下证对阶数等于N的行列式也成立.现将Dn按最后一行展开所以对一切自然数成立。第37页,共50页，2024年2月25日，星期天评注本例中，为了将Dn展开成能用其同型的Dn-1、Dn-2表示，本利必须按第n行或第n列展开，否则所得的行列式不是与Dn同型的行列式一般来说，当行列式已告诉其结果，而我们证明的是与自然数有关的结论时，可考虑用数学归纳法来证明。如果未告诉结果，也可先猜想其结果，然后用数学归纳法证明其猜想结果成立。第38页,共50页，2024年2月25日，星期天计算行列式的方法比较灵活，同一行列式可以有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方法综合应用．在计算时，首先要仔细考察行列式在构造上的特点，利用行列式的性质对它进行变换后，再考察它是否能用常用的几种方法．小结第39页,共50页，2024年2月25日，星期天Laplace展开定理定义在n阶行列式D中，任取k行k列（k≤n），位于这些行列交叉处的k2个元素按它们在原行列式的相对位置组成的k阶行列式（记为N)，称为D的一个k阶子式。在D中划去N所在的行列，由剩下的元素按原来的相对位置组成的n-k阶子式（记为M），称为N的余子式，如果N的行标和列标分别为和称为M的代数余子式，记为A第40页,共50页，2024年2月25日，星期天定理设在n阶行列式中取丁某k行，则D等于这k行的所有k阶子式与它们各自对应的代数余子式的乘积之和。例第41页,共50页，2024年2月25日，星期天行列式的乘法法则两个n阶行列式的乘积等于一个n阶行列式，与其中第42页,共50页，2024年2月25日，星期天克莱姆法则音乐第43页,共50页，2024年2月25日，星期天克莱姆（Cramer,Gabriel，瑞士数学家1704-1752）1704年7月31日生于日内瓦，早年在日内瓦读书，1724年起在日内瓦加尔文学院任教，1734年成为几何学教授，1750年任哲学教授。先后当选为伦敦皇家学会、柏林研究院和法国、意大利等学会的成员。主要著作是《代数曲线的分析引论》（1750），首先定义了正则、非正则、超越曲线和无理曲线等概念，第一次正式引入坐标系的纵轴（Y轴），然后讨论曲线变换，并依据曲线方程的阶数将曲线进行分类。为了确定经过5个点的一般二次曲线的系数，应用了著名的“克莱姆法则”，即由线性方程组的系数确定方程组解的表达式。该法则于1729年由英国数学家马克劳林得到，1748年发表，但克莱姆的优越符号使之流传。

第44页,共50页，2024年2月25日，星期天如果线性方程组的系数行列式不等于零，即那么线性方程组(1)有解，并且解是唯一的，解可以表为第45页,共50页，2024年2月25日，星期天其中是把系数行列式中第列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的阶行列式，即证略.注意：在利用克莱姆法则解方程组时，系数行列式不能等于零。另外，方程组中方程的个数与未知数的个数