二次函数全章教案

二次函数的概念：我们把形如y=ax²+bx+c(其中a,b,c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数称a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项.(称为顶点式，a≠0,y=a(x-p)(x-q)称为交点式，a≠0)例题讲解：若函数为二次函数，则m的值为。练一练：若函数是个二次函数，求a的取值范围：若此函数是个一次函数呢，求a的取值范围。二次函数的性质：①二次函数增减性若a>0，当，y随x的增大而增大；当，y随x的增大而减小若a<0，当，y随x的增大而增大；当，y随x的增大而减小②二次函数的最值若a>0，当时，y有最小值；若a<0，当时，y有最大值。③二次函数平移规律（写成顶点式更容易表现出来）④二次函数中a、b、c的作用开口方向对称轴顶点坐标与Y轴交点y=ax2+bx＋c(a≠0)a＞0向上a＜0向下直线X＝(0,C)y=a(x+m)2+k(a≠0)oYoYx图一1、如图一，能否确定函数解析式？图一能确定a，b，c的符号吗？练习：1、已知抛物线y=x2-(m+2)x-m-3(m＞0)试判断这条抛物线的顶点M所在的象限，并说明理由；（2）如果这条抛物线与X轴交于点A、B(点A在点B的左边)，与y轴相交于点C,△ABC的面积是15，求经过A和抛物线顶点M的直线的解析式。2、若二次函数y＝(m＋1)x²＋m²－2m－3的图象经过原点，则m＝______。3、函数y＝3x²与直线y＝kx＋3的交点为(2，b)，则k＝______，b＝______。4、开口向上的抛物线y＝a(x＋2)(x－8)与x轴交于A、B两点、与y轴交于C点，若∠ACB＝90°，则a＝_____。5、已知抛物线y＝ax²＋bx＋c的对称轴为x＝2，且过(3，0)，则a＋b＋c＝______。6、某旅社有100张床位，每床每晚收费10元时，客床可全部租出．若每床每晚收费每提高2元，则减少10张床位租出，为了投资少而获利大，每床每晚应收费多少元？二次函数的表达形式：二次函数解析式常用的有三种形式(1)一般式：y＝ax²＋bx＋c(a≠0)(2)顶点式：y＝a(x－h)²＋k(a≠0)(3)交点式：y＝a(x－p)(x－q)(a≠0)根据下列条件，求出二次函数的解析式。抛物线y＝ax²＋bx＋c经过(0，1)，(1，3)，(－1，1)三点。抛物线顶点P(－1，－8)，且过点A(0，－6)。(3)已知二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象过(3，0)，(2，－3)两点，并且以x＝1为对称轴。已知二次函数y＝ax²＋bx＋c图象经过一次函数y＝－x＋3图象与x轴、y轴的交点；且过(1，1)，求这个二次函数解析式，并把它化为y＝a(x－h)²＋k的形式。考点一相关概念及定义二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零．二次函数的定义域是全体实数．二次函数的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2．⑵是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．典型例题例1.下例函数中，是二次函数的是（)A，B，C，D，例2.下列函数中哪些是二次函数？哪些不是二次函数？若是二次函数，指出a、b、c．

3y=x(x-1)；（2)y=3x(2-x)＋3x2；（3)y=x4＋2x2＋1；（4)y=2x2＋3x+1例3．当k为何值时，函数为二次函数？补充：判断一个函数是否为二次函数的方法和步骤;先将函数进行整理，使其右边是含有自变量的代数式，左边是因变量；判断右边含自变量的代数式是否为整式；判断含自变量的项的最高次数是否为2；判断二次项的系数是否为零。练习1.判断：下列函数是否为二次函数，如果是，指出其中常数a.b.c的值.(1)y＝1—(2)y＝x(x－5)(3)y＝－x＋1(4)y＝3x(2－x)＋3x2(5)y＝(6)y＝(7)y＝x4＋2x2－1(8)y＝ax2＋bx＋c取哪些值时，函数是二次函数？3.用一根长为800厘米的木条，做一个长方形的窗框，若宽为厘米，写出它的面积与之间的函数解析式，并判断是否是的二次函数。考点二二次函数的一般形式任何一个二次函数的解析式都可以化成的形式，因此，把叫做二次函数的一般形式。其中分别是二次项、一次项和常数项；而分别是二次项系数，一次项系数和常数项。补充：在一般形式中，只有时，才是二次函数，当时，，若，则它是一次函数，若，则它是一个常数函数。典型例题例1.把下列二次函数化成一般形式，并指出二次项系数、一次项系数、常数项：（1）（2）（3）（4）练习1.说出下列二次函数的二次项系数，一次项系数和常数项．(1)中=,=,=(2)中=,=,=;(3)中=,=,=;2.已知函数当m为何值时，y是x的二次函数？当m为何值时，y是x的一次函数？当m为何值时，这个函数是常值函数？考点三确定二次函数解析式要确定二次函数的解析式，就是要求解析式中二次项系数，一次项系数，常数项。通常采用待定系数法对，，进行确定典型例题例1已知二次函数，当；时，；时，，求这个二次函数的解析式。例2已知一个二次函数，当自变量的值为1时，函数的值为6，试写出一个符合条件的函数解析式。例3，已知二次函数部分对应值如下表，求这个二次函数的解析式。012300410练习已知二次函数,若时；时；时.求这个二次函数关系式.已知函数，且当，，求该二次函数的解析式及的值。考点四二次函数的实际应用：主要能够根据题设条件列出二次函数解析式并能准确确定自定义的取值范围典型例题1.一个圆柱的高与底面直径相等，试写出它的表面积S与底面半径r之间的函数关系式2.某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满。当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲。宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用。根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元。设每个房间的房价每天增加x元(x为10的正整数倍)。(1)设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；练习1.某村为增加蔬菜的种植面积，一年中修建了一些蔬菜大棚，平均修建每公顷大棚要用的支架，塑料膜等材料的费用为27000元，此外还要购置喷灌设备，这项费用（元）与大棚面积x（公顷）的平方成正比，比例系数为9000，每公顷大棚的年平均经济收益为75000元。（1）一年中这个村修建了多少公顷蔬菜大棚，才能使蔬菜大棚而增加的收益（扣除修建费用后）为60000元（2）修建3公顷大棚收益是否为该年的最大收益，请说明理由；（3）修建大棚数量在什么范围内，该年年收益不低于63000元。2.利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销，经市场调查发现：当每吨售价下降10元时，月销售量会增加7.5吨，综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其他费用100元，设每吨材料售价为x元，该经销店的月利润为y元。当每吨售价是240元时，计算此时的月份销售量求出y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？回家作业1.下列函数一定是二次函数的是（）A，B，C，D，2.下列函数：（1）y=3x2++1;(2)y=x2+5;(3)y=(x-3)2-x2;(4)y=1+x-,属于二次函数的是(填序号).3.函数y=(a-b)x2+ax+b是二次函数的条件为.4.是二次函数，则m=_______5.已知正方形边长为3，若边长增加，那么面积增加，则与的函数关系式是.6.已知二次函数当时，分别求它所对应的函数值y当为何值时，函数值？7.当是何值时，下列函数是二次函数，并写出这时的函数关系式．（1）,（2）=,（3）=,8.某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品的日销量m（件）与每件商品的销售价x（元）满足一次函数关系式m=162-3x，求商场销售这种商品的日销售利润y（元）与每件商品的销售价x元之间的函数关系式9.已知y+2x2=kx(x-3)(k≠2).(1)证明y是x的二次函数;(2)当k=-2时,写出y与x的函数关系式10.写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数．⑴正方体的表面积S（cm2）与棱长a（cm）之间的函数关系；⑵圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数关系；⑶某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y（元）与所存年数x之间的函数关系；⑷菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S（cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系．11.善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）．若设绿化带的BC边长为xm，绿化带的面积为ym2．求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．二次函数图像的平移例1把抛物线向左平移一个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的表达式为（）A.B.C.D.例2将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，则a的值为（）A.1B.2C.3D.4【举一反三】抛物线的图像向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图像的函数解析式为，则b、c的值为（）A.b=2，c=3B.b=2，c=0C.b=-2.，c=-1D.b=-3，c=2例3已知二次函数，当b从-1逐渐变化到1的过程中，它所对应的抛物线位置也随之变动，下列关于抛物线的移动方向的描述中，正确的是（）A.先往左上方移动，再往右下方移动B.先往左下方移动，再往左上方移动B.先往右上方移动，再往右下方移动D.先往右下方移动，再往右上方移动例4已知抛物线C：，将抛物线C平移得到抛物线.若两条抛物线C、关于直线x=1对称，则下列平移方法在，正确的是（）A.将抛物线C向右平移个单位B.将抛物线C向右平移3个单位C.将抛物线C向右平移5个单位D.将抛物线C向右平移6个单位练习题1．要从抛物线y=-2x2的图象得到y=-2x2-1的图象，则抛物线y=-2x2必须

[

]A．向上平移1个单位；

B．向下平移1个单位；C．向左平移1个单位；

D．向右平移1个单位．2．将抛物线y=-3x2的图象向右平移1个单位，再向下平移两个单位后，则所得抛物线解析式为

[

]A．y=-3(x-1)2-2；

B．y=-3(x-1)2+2；C．y=-3(x+1)2-2；

D．y=-3(x+1)2+2．3．要从抛物线y=2x2得到y=2(x-1)2+3的图象，则抛物线y=2x2必须

[

]A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位；B．向左平移1个单位，再向上平移3个单位；C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位；D．向右平移1个单位，再向上平移3个单位．4、=-x2必须

[

]A．向左平移1个单位，再向上平移3个单位；B．向左平移1个单位，再向下平移3个单位；C．向右平移1个单位，再向上平移3个单位；D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位．5、位，则所得抛物线解析式为___6．抛物线向左平移1个单位得到抛物线（）A．Ｂ．Ｃ．Ｄ．7．函数与的图象的不同之处是（）Ａ．对称轴Ｂ．开口方向Ｃ．顶点Ｄ．形状8．把y=-x2-4x+１化成y=a(x+m)2+n的形式是（）A．B．C．D．9.把二次函数的图象先向右平移2个单位，再向上平移5个单位后得到一个新图象，则新图象所表示的二次函数的解析式是()A.B.C.D.10．对于抛物线，下列叙述错误的是（）A.开口方向相同B.对称轴相同C.顶点坐标相同D.图象都在x轴上方11、已知二次函数的图像过点（0，3），图像向左平移2个单位后的对称轴是轴，向下平移1个单位后与轴只有一个交点，则此二次函数的解析式为。12、抛物线y=x2+px+q，当x=2时，y=12，且x=3时y=2求解析式．14.若函数y=3x2+(m1)x+n+1的图象关于y轴对称，求m，n的值．15.二次函数图象经过坐标原点，其顶点是(1，1)求此二次函数解析式．16.已知二次函数图象的顶点为(1，8)，且过点(0，6)，求解析式．17.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴是x=1，且过点(0，0)和点(1，2)求此函数的解析式，若图象经过点(1，m)求m的值．18、已知，≠0，把抛物线向下平移1个单位，再向左平移5个单位所得到的新抛物线的顶点是（－2，0），求原抛物线的解析式。二次函数的图象讲义二次函数的图象 1．二次函数图象与系数的关系 （1）决定抛物线的开口方向 当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下．反之亦然． 决定抛物线的开口大小：越大，抛物线开口越小；越小，抛物线开口越大． 温馨提示：几条抛物线的解析式中，若相等，则其形状相同，即若相等，则开口及形状相同，若互为相反数，则形状相同、开口相反． （2）和共同决定抛物线对称轴的位置（抛物线的对称轴：） 当时，抛物线的对称轴为轴； 当、同号时，对称轴在轴的左侧； 当、异号时，对称轴在轴的右侧． （3）的大小决定抛物线与轴交点的位置（抛物线与轴的交点坐标为） 当时，抛物线与轴的交点为原点； 当时，交点在轴的正半轴； 当时，交点在轴的负半轴．2.二次函数图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图．一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）．画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点．3.二次函数的图象信息⑴根据抛物线的开口方向判断的正负性．⑵根据抛物线的对称轴判断的大小．⑶根据抛物线与轴的交点，判断的大小．⑷根据抛物线与轴有无交点，判断的正负性．⑸根据抛物线所经过的已知坐标的点，可得到关于的等式．⑹根据抛物线的顶点，判断的大小．二次函数的图象及性质1．二次函数的性质：⑴抛物线的顶点是坐标原点（0，0），对称轴是（轴）．⑵函数的图像与的符号关系．①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；②当时抛物线开口向下顶点为其最高点；的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．2．二次函数的性质的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．3．二次函数或（）的性质⑴开口方向：⑵对称轴：（或）⑶顶点坐标：（或）⑷最值：时有最小值（或）（如图1）；时有最大值（或）（如图2）；⑸单调性：二次函数（）的变化情况（增减性）①如图1所示，当时，对称轴左侧，随着的增大而减小，在对称轴的右侧，随的增大而增大；②如图2所示，当时，对称轴左侧，y随着x的增大而增大，在对称轴的右侧，随的增大而减小；⑹与坐标轴的交点：①与轴的交点：（0，C）；②与轴的交点：使方程（或）成立的值．例题精讲及练习在同一直角坐标系下，画出二次函数和的图象．画出函数的图象，并指出图象顶点坐标、对称轴及函数最值．若二次函数的图象的开口向下，顶点在第一象限，抛物线交于y轴的正半轴；则点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【巩固】已知二次函数的图象如下右图所示，则点在第象限.下左图所示为二次函数的图象，则一次函数的图象不经过（）第一象限第二象限第三象限第四象限【巩固】已知，如图所示为二次函数的图象，则一次函数的图象不经过（）第一象限第二象限第三象限第四象限二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（）【巩固】函数与的图象可能是()【巩固】在同一直角坐标系中，函数和函数（是常数，且）的图象可能是（）设二次函数图像如图所示，试判断的符号．【巩固】二次函数的图象如下左图所示，判断，，，，，，的符号【巩固】已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④；⑤其中所有正确结论的序号是（）A．①② B．①③④C．①②③⑤ D．①②③④⑤【巩固】如下右图所示，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为，，其中，，下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（）个 个 个 个二次函数的图象的一部分如图所示，求的取值范围【巩固】已知抛物线的一段图象如图所示．⑴确定、、的符号；⑵求的取值范围．【巩固】设二次函数的图象如图所示，若，求的取值范围.如图，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，下列关系不正确的是（）A．B． C． D．已知函数（）的图象，如图所示．求证：二次函数在其图象对称轴的左侧，随着的增大而减小，则的值为_____．【巩固】二次函数在其图象对称轴的右侧，随着的增大而减小，则的值为_____．已知点，是函数上两点，则当时，函数值___________．【巩固】已知，当取不同的值，时函数值相等，则当时的值（）与的函数相等．与的函数相等．与的函数相等．与的函数相等．若二次函数有最大值，则________．【巩固】若二次函数有最小值，则________．二次函数的图象上最低点的坐标是（）A．（-1，-2） B．（1，-2）C．（-1，2） D．（1，2）【巩固】抛物线的顶点坐标是（）．A．B．C．D．已知，点，，，，，都在函数的图象上，则（）【巩固】已知二次函数的图象过点．若点，，也在二次函数的图象上，则下列结论正确的是（）．A． B． C． D．已知：二次函数和分别有最大值、最小值，则和的图像有个交点．【巩固】已知二次函数和分别有最大值、最小值，则这两个二次函数的图像有个交点；设抛物线为，根据下列各条件，求的值．⑴抛物线的顶点在轴上；⑵抛物线的顶点在轴上；⑶抛物线经过点；⑷抛物线经过原点；⑸当时，有最小值；⑹的最小值为．【巩固】抛物线的对称轴为，函数的最小值是，求实数，的值．求函数的最小值．若，求的最大值、最小值若，求的最大值、最小值；若，求的最大值、最小值．【巩固】分别求出在下列条件下，函数的最值：⑴取任意实数；⑵当时；⑶当时；⑷当时．试求在的最值．【巩固】已知函数在范围内的最小值为，写出函数关于的函数解析式，并求出的取值范围．已知二次函数（其中是正整数）的图象经过点和，且与轴有两个不同的交点，求的最大值．设直线与抛物线的两个交点的横坐标分别是，且直线与轴的交点的横坐标为，求证：．家庭作业画出函数的图象，并指出图象顶点坐标、对称轴及函数最值．已知的图象如下左图所示，则的图象一定过（）第一、二、三象限 第一、二、四象限第二、三、四象限 第一、三、四象限在同一坐标系中一次函数和二次函数的图象可能为（）已知，在同一直角坐标系中，函数与的图象有可能是（）若二次函数（，为常数）的图象如下图，则的值为（） 已知二次函数的与的部分对应值如下表：…………则下列判断中正确的是（）A.抛物线开口向上B.抛物线与轴交于负半轴C.当时，D.方程的正根在与之间已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：；方程的两根之和大于0；随的增大而增大；④，其中正确的个数（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数为（）A.4个B.3个C.2个D.1个的图象如图所示．并设，则（）A．B．C．D．不能确定为正，为负或为二次函数的图象的一部分如下右图所示，试求的取值范围.若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（）A． B．C． D．已知抛物线的对称轴为直线，且经过点，试比较和的大小：____（填“>”，“<”或“=”）已知二次函数和分别有最大值、最小值，则这两个二次函数的图像有个交点．已知点与点关于原点对称，求函数的顶点坐标．已知二次函数，为常数，当达到最小值时，的值为（）A．B．C．D．已知二次函数的图象的开口向上，顶点在第三象限，且交于轴的负半轴，则的取值范围是_________________．已知二次函数中，与的部分对应值如下表：…………求当为何值时，有最小值或最大，最值是多少？已知抛物线有最大值，求抛物线的解析式．设，⑴当取任意实数时，恒为非负数，求的取值范围；⑵当时，的值恒为非负数，求实数的取值范围．知识结构：二次函数图像例1、在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有何共同点？有何不同点？（1） （2）例2．在同一直角坐标系中，画出函数与的图象，并说明，通过怎样的平移，可以由抛物线得到抛物线．例3．已知正方形周长为Ccm，面积为Scm2．（1）求S和C之间的函数关系式，并画出图象；（2）根据图象，求出S=1cm2时，正方形的周长；（3）根据图象，求出C取何值时，S≥4cm2．例4、将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为．例5、抛物线可由抛物线向平移个单位得到。总结：几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时开口向上当时开口向下（轴）（0,0）（轴）(0,)(,0)(,)()练习1．函数的开口，对称轴是，顶点坐标是；2．已知等边三角形的边长为2x，请将此三角形的面积S表示成x的函数，并画出图象的草图．3、已知抛物线C1的解析式y=2x2-4x+5，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，则抛物线C2的解析式为.4、将二次函数y=-x2+2x+3的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，则平移后的抛物线的解析式为.5.抛物线与x轴的一个交点的坐标为（l,0),则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是.6.如图，二次函数的图象经过点D，与x轴交于A、B两点．⑴求的值；⑵如图①，设点C为该二次函数的图象在x轴上方的一点，直线AC将四边形ABCD的面积二等分，试证明线段BD被直线AC平分，并求此时直线AC的函数解析式；⑶设点P、Q为该二次函数的图象在x轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点P、Q，使△AQP≌△ABP？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由．_Q_C_P_E_y_O_x例6.已知抛物线与轴交于、_Q_C_P_E_y_O_x足条件（1）求抛物线的解析式；（2）能否找到直线与抛物线交于P、Q两点，使轴恰好平分△CPQ的面积？若能，求出、所满足的条件．练习：已知二次函数与x轴交点的横坐标为、（），则对于下列结论：①当x＝－2时，y＝1；②当时，y＞0；③方程有两个不相等的实数根、；④，；⑤，其中所有正确的结论是（只需填写序号）．2.已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B；一抛物线的解析式为.（1）若该抛物线过点B，且它的顶点P在直线上，试确定这条抛物线的解析式；（2）过点B作直线BC⊥AB交x轴交于点C，若抛物线的对称轴恰好过C点，试确定直线的解析式.二次函数y=a+bx+c中a,b,c的符号判断方法1、决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.2、和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，故：①时，对称轴为轴；②（即、同号）时，对称轴在轴左侧；③（即、异号）时，对称轴在轴右侧.3、的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点（0，）：①，抛物线经过原点;②,与轴交于正半轴；③,与轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.例1已知抛物线的图象如图所示，则a、b、c的符号为（） Ａ. B. C. D.例2抛物线中，b＝4a，它的图象如图，有以下结论：①；② ③④⑤；⑥；其中正确的为（）A．①② B．①④ C．①②⑥ D．①③⑤例3下列图象中，当时，函数与的图象是（）ODOCODOCOAOB练习：如图是二次函数在平面直角坐标系中的图象，根据图形判断=1\*GB3①＞0；=2\*GB3②++＜0；=3\*GB3③2-＜0；=4\*GB3④2+8＞4其中正确的是（填写序号）．1、二次函数y＝ax2＋bx＋c图象如图所示，则点A(ac，bc)在（）．O(第1题图)xyA、第一象限BO(第1题图)xy2题图O2题图O（3题图）2、已知二次函数的图象如图所示，对称轴是，则下列结论中正确的（）A． B． C． D．3、二次函数的图象如图所示，则直线的图象不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4、已知二次函数的图象如图所示，则在“①a＜0，②b＞0，③c＜0，④b2－4ac＞0”中，正确的判断是（

）A．①②③④

B．④

C．①②③

D．①④4题4题5题6题5、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中：①abc>0；②b=2a；③a+b+c；④a–b+c，正确的个数是（）.(A)4个(B)3个(C)2个(D)1个6、二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则下列关于a、b、c间的关系判断正确的是（）(A)ab<0(B)bc<0(C)a+b+c>0(D)a-b+c<0二次函数简单题目1.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（）A、a＞0 B、当x＞1时，y随x的增大而增大C、c＜0 D、3是方程ax2+bx+c=0的一个根2.下列二次函数中，图象以直线x=2为对称轴、且经过点（0，1）的是（） A．y=（x﹣2）2+1B．y=（x+2）2+1C．y=（x﹣2）2﹣3D．y=（x+2）2﹣33.如图，抛物线y=x2+1与双曲线y=的交点A的横坐标是1，则关于x的不等式+x2+1＜0的解集是（）A．x＞1 B．x＜﹣1C．0＜x＜1 D．﹣1＜x＜04.已知二次函数QUOTEy＝－x2＋x－，当自变量x取m时对应的值大于0，当自变量x分别取m﹣1．m+1时对应的函数值为y1．y2，则y1．y2必须满足（） A．y1＞0．y2＞0 B．y1＜0．y2＜0C．y1＜0．y2＞0 D．y1＞0．y2＜05.已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论正确的是（）A．B．方程的两根是C．D．当x>0时，y随x的增大而减小yOOx136.若二次函数的图像过三点，则大小关系正确的是（）A．B．C．D．7.抛物线y=-（x+2）2-3的顶点坐标是（）A、（2，-3）B、（-2，3）C、（2，3）D、（-2，-3）8.若二次函数．当≤l时，随的增大而减小，则的取值范围是（）A．＝lB．>lC．≥lD．≤l9.坐标平面上，二次函数y=x2﹣6x+3的图形与下列哪一个方程式的图形没有交点（） A、x=50 B、x=﹣50C、y=50 D、y=﹣5010.如图为坐标平面上二次函数y=ax2+bx+c的图形，且此图形通（﹣1，1）、（2，﹣1）两点．下列关于此二次函数的叙述，何者正确（） A、y的最大值小于0 B、当x=0时，y的值大于1 C、当x=1时，y的值大于1 D、当x=3时，y的值小于011.若下列有一图形为二次函数y＝2x2－8x＋6的图形，则此图为（） A． B．C． D．12.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是()OO1xy12题A．a>0B．b＜0C．c＜0D．a＋b＋c>013.把二次函数y=x2的图象沿着x轴向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得到的函数图象的解析式为（） A、y=（x+2）2+3 B、y=（x﹣2）2+3 C、y=（x+2）2﹣3 D、y=（x﹣2）2﹣314.将y=2x2的函数图象向左平移2个单位长度后，得到的函数解析式是（） A、y=2x2+2 B、y=2（x+2）2 C、y=（x﹣2）2 D、y=2x2﹣215.如图，坐标平面上二次函数y=x2+1的图形通过A、B两点，且坐标分别为（a，QUOTE）、（b，QUOTE），则AB的长度为何？（） A、5 B、QUOTE C、QUOTE D、QUOTE16.抛物线可以由抛物线平移得到,则下列平移过程正确的是()A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位．17.已知函数y=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如下面右图所示，则函数y=ax+b的图象可能正确的是（） A、 B、C、 D、18.如图为抛物线y=ax2+bx+c的图象，A．B．C为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下列关系中正确的是（） A．a+b=﹣1 B．a﹣b=﹣1C．b＜2a D．ac＜019.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则正比例函数y=（b+c）x的图象与反比例函数y=QUOTE的图象在同一坐标系中大致是（）20.二次函数y=x2–2x–3的图象如图所示．当y＜0时，自变量x的取值范围是（）A、–1＜x＜3B、x＜–1C、x＞3D、x＜–3或x＞321.巳知一元二次方程的两个实效根满足和，那么二次函救的图象有可能是()22.如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是（）A．m＝n，k＞hB．m＝n，k＜hC．m＞n，k＝hD．m＜n，k＝h（第22题图）（第22题图）23.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（） A、ac＞0 B、方程ax2+bx+c=0的两根是x1=﹣1，x2=3 C、2a﹣b=0 D、当x＞0时，y随x的增大而减小24..二次函数的图象如图所示，反比列函数与正比列函数在同一坐标系内的大致图象是（）第24题第24题OxyOyxAOyxBOyxDOyxC25.二次函教y=x2+2x﹣5有（） A、最大值﹣5 B、最小值﹣5C、最大值﹣6 D、最小值﹣626.若二次函数．当≤l时，随的增大而减小，则的取值范围是（）A．＝lB．>lC．≥lD．≤l27.将抛物线y=﹣x2向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是（） A.y=﹣（x+2）2 B.y=﹣x2+2C.y=﹣（x﹣2）2 D.y=﹣x2﹣228.已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0，②b2-4ac＜0，③a-b+c＞0，④4a-2b+c＜0，其中正确结论的个数是（）A.1B.2C.3D.429.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x=﹣1，给出下列结果①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b=0；④a+b+c＞0；⑤a﹣b+c＜0，则正确的结论是（） A、①②③④ B、②④⑤ C、②③④ D、①④⑤30.已知二次函数的图像如图，其对称轴，给出下列结果①②③④⑤，则正确的结论是（）A①②③④B②④⑤C②③④D①④⑤31.在同一坐标系中，一次函数y=ax+1与二次函数y=x2+a的图象可能是（）A、B、C、D、32.点A（2，y1）、B（3，y2）是二次函数y=x2﹣2x+1的图象上两点，则y1与y2的大小关系为_______（填“＞”、“＜”、“=”）．33.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则反比例函数QUOTE与一次函数y=bx+c在同一坐标系中的大致图象是（） A、 B、C、 D、35.抛物线y=x2﹣6x+5的顶点坐标为（） A．（3，﹣4） B．（3，4）C．（﹣3，﹣4） D．（﹣3，4）36.下列图象中，能反映函数y随x增大而减小的是（） A. B.C. D.37.抛物线的顶点坐标是（）A．（1，0） B．（－1，0） C．（－2，1） D．（2，－1）38.如图所示的二次函数的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）；（2）c>1；（3）2a－b<0；（4）a+b+c<0。你认为其中错误的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．1个xxy-11O139.如图，正方形ABCD的边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为S，AE为x，则S关于x的函数图象大致是（）AABCDEFGHxy-1O1xy1O1xyO1xy1O11A． B． C． D．40.下列函数中，当x>0时，y值随x值增大而减小的是（）A.B.C.D.41.下列函数的图象在每一个象限内，y值随x值的增大而增大的是（） A． B． C． D．43.函数y=2x与函数y=﹣QUOTE在同一坐标系中的大致图象是（） A．B．C．D．44.如图，关于抛物线，下列说法错误的是（）A．顶点坐标为（1，－2）B．对称轴是直线x＝lC．开口方向向上D．当x＞1时，y随x的增大而减小45.已知二次函数y=ax2的图象开口向上，则直线y=ax﹣1经过的象限是（） A、第一、二、三象限 B、第二、三、四象限 C、第一、二、四象限 D、第一、三、四象限46.下列函数：①y=﹣x；②y=2x；③y=﹣QUOTE；④y=x2（x＜0），y随x的增大而减小的函数有（） A、1个 B、2个C、3个 D、4个47在抛物线y=﹣x2+1上的一个点是（） A.（1，0） B.（0，0） C.（0，﹣1） D.（1，1）48.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现有下列结论：①b2﹣4ac＞0②a＞0③b＞0④c＞0⑤9a+3b+c＜0，则其中结论正确的个数是（） A、2个 B、3个C、4个 D、5个49.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，现有下列结论：①b2－4ac＞0②a＞0③b＞0④c＞0⑤9a+3b+c＜0，则其中结论正确的个数是（）A.2个B.3个C.4个D.5个50.对抛物线：y=-x2+2x-3而言，下列结论正确的是（）A、与x轴有两个交点B、开口向上C、与y轴的交点坐标是（0，3）D、顶点坐标是（1，-2）51.已知拋物线y＝－QUOTEx2＋2，当1≤x≤5时，y的最大值是（） A．2 B． C． D．52.在平面直角坐标系中，将抛物线绕着它与轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是（）．A．B．C．D．二、填空题1.抛物线y=x2-2x-3的顶点坐标是.2.如图，已知函数与（a>0，b>0）的图象交于点P，点P的纵坐标为1，则关于x的方程=0的解为3.如图，是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c=0；②b＞2a；③ax2+bx+c=0的两根分别为﹣3和1；④a﹣2b+c＞0．其中正确的命题是．（只要求填写正确命题的序号）4.将抛物线：y＝x2﹣2x向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线是．5.（2011•贺州）函数y=ax﹣2（a≠0）与y=ax2（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（） A、 B、C、 D、6.如图是二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）和一次函数y2=mx+n（m≠0）的图象，当y2＞y1，x的取值范围是．

7.一个y关于x的函数同时满足两个条件：①图象过(2，1)点；②当时．y随x的增大而减小，这个函数解析式为_______________(写出一个即可)8.在同一平面内下列4个函数；①y=2（x+1）2﹣1；②y=2x2+3；③y=﹣2x2﹣1；④y=x2－1QUOTE的图象不可能由函数y=2x2+1的图象通过平移变换得到的函数是．（把你认为正确的序号都填写在横线上）9．将二次函数y=（x﹣2）2+3的图象向右平移2个单位，再向下平移2个单位，所得二次函数的解析式为．12.抛物线y＝x2的图象向上平移1个单位，则平移后的抛物线的解析式为．13.如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），（1，﹣2），当y随x的增大而增大时，x的取值范围是14.如图，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点（－1，0），（1，－2），当y随x的增大而增大时，x的取值范围是．16.把抛物线y=（x﹣2）2﹣3向下平移2个单位，得到的抛物线与y轴交点坐标为．17.已知函数y=﹣3（x﹣2）2+4，当x=时，函数取得最大值为．18.抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是．三、解答题1.已知A(1，0)，B(0，－1)，C(－1，2)，D(2，－1)，E(4，2)五个点，抛物线y＝a(x－1)2＋k（a＞0），经过其中三个点.求证：C，E两点不可能同时在抛物线y＝a(x－1)2＋k（a＞0）上；点A在抛物线y＝a(x－1)2＋k（a＞0）上吗？为什么？求a和k的值.2.已知二次函数y=x2﹣x+QUOTE．（1）在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；（2）根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围；（3）若将此图象沿x轴向右平移3个单位，请写出平移后图象所对应的函数关系式．1.二次函数基本形式：的性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．2.的性质：上加下减。开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．3.的性质：左加右减。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下X=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．的性质：上加下减,左加右减的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下X=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．知识点1：二次函数和的关系函数的图像的形状、大小、对称轴、开口方向与都相同，只有顶点不同。抛物线的图像的顶点是，抛物线的图像的顶点是.例题1：抛物线可由抛物线沿________轴向________平行移动________个单位得到，它的开口向________，顶点坐标是_________，对称轴是_________.知识点2：二次函数和的关系函数的图像的形状、大小、开口方向与都相同，顶点、对称轴均不相同。抛物线的图像的顶点是，对称轴是；抛物线的图像的顶点是，对称轴是.例题2：抛物线可由抛物线沿________轴向________平行移动________个单位得到，它的开口向________，顶点坐标是________，对称轴是_________.例题讲解：例1：函数与的图像可能是……（）ABCD例2已知函数是关于x的二次函数．求：（1）满足条件的m的值．（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点．这时当x为何值时，y随x的增大而增大？（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x为何值时，y随x的增大而减小？．y例4：如图，已知抛物线上的点与轴上的点和构成平行四边形，与轴交于点.yEDC求的值；EDCOBAx求直线的解析式.OBAx练习1、抛物线的（）(A)开口向上，且有最高点(B)开口向上，且有最低点(C)开口向下，且有最高点(D)开口向下，且有最低点2、函数，当x=_________时，有最小值___________3、函数，当x=_________时，有最小值___________4、函数，当x=_________时，有最小值___________5、函数，当x=_________时，有最____值(填“大”或“小”)6、函数，当x=_________时，有最大值___________7、函数，当x=_________时，有最大值___________8、函数当x_______时，y随x增大而增大；当x_______时，y随x增大而减小。9、函数当x_______时，y随x增大而增大；当x_______时，y随x增大而减小。10、函数，当x_______时，y随x增大而增大；当x_______时，y随x增大而减小。11、抛物线是由向_______平移1个单位所得到12、抛物线是由向________平移________单位所得到13、抛物线是由抛物线，向________平移1个单位，再向_______平移5个单位所得到。14、把抛物线向下移动2个单位，再向右平移4个单位后，所得图象的解析式为________________15、函数y=-ax2与y=-ax+a的图象在同一个坐标系中的图象大致是()解答题当m取何值时，抛物线的顶点在y轴的正半轴上。若抛物线与轴的交点都在正半轴，则的取值范围为是什么？3、根据下列条件，求抛物线的解析式抛物线y=ax2经过点（1,2）：(2)抛物线y=ax2与y=2的开口大小相同，但开口方向相反抛物线y=ax2与y=3x2的形状相同回家作业1.在同一直角坐标系中y=ax2+b与y=ax+b(a≠0，b≠0)的图象的大致位置是()2.若抛物线y=2x2向左平移1个单位，则所得抛物线是（）A．y=2x2＋1B．y=2x2－1C．y=2（x＋1）2D．y=2（x－1）23.二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，下列说法错误的是（）A．点C的坐标是（0，1）B．线段AB的长为2C．△ABC是等腰直角三角形D．当x>0时，y随x增大而增大4.抛物线y=x2不具有的性质是()A.开口向下B.对称轴是y轴C.与y轴不相交D.最高点是坐标原点5．二次函数y=3x2-3开口向__________，顶点坐标为__________，对称轴为__________．当x＞0时，y随x的增大而__________；当x＜0时，y随x的增大而__________．因为a=3＞0，所以y有最__________值，当x=__________时，y的最__________值是__________．6．若点A（-2，a）在抛物线y=-5x2上，则点A关于y轴对称点的坐标为__________．7.汽车刹车距离s(m)与速度v(km/h)之间的函数关系是，在一辆车速为100km/h的汽车前方80m处，发现停放有一辆故障车，此时刹车________(填“会”或“不会”)有危险.8.已知二次函数y=mxm2-2m-6中，当x＞0时，y随x的增大而增大，则m=______________．9．抛物线y=5x2与直线y=kx+3的交点为（1，b），则b=____________，k=____________．10.．二次函数y=-mx2-m+4，开口向下，其图象的顶点在y轴的正半轴上，则m的取值范围是.解答已知二次函数y=(a-3)-3.求a的值求该函数的解析式，并指出他的开口方向，顶点坐标和对称轴。写出将（2)中的函数图像向右平移5个单位后的新抛物线的解析式。2.如图26-1-2-2，等边△ABC以2m/s的速度沿直线l向菱形DCEF移动，直到AB与CD重合，其中∠DCF＝60°，设xs时，三角形与菱形重叠部分的面积为ym2．（1）写出y与x的关系表达式．（2）当x＝0.5，1时，y分别是多少?（3）当重叠部分的面积是菱形面积的一半时，三角形移动了多长时间？抛物线经过点A（m,0)和点B（-2，n)。求点A、B的坐标。指出该抛物线所经过的象限。4．如图26-1-2-6，有一座抛物线型拱桥，桥下面在正常水位AB时宽20m，水位上升3m就达到警戒线CD，这时水面宽度为10米．(1)建立适当的坐标系，求抛物线的关系式；（2）若洪水到来时水位以0．2米／时的速度上升，从正常水位开始，再过几小时就能到达桥面？图26-1-2-6二次函数应用1、二次函数y=x2-(12-k)x+12,当x>1时，y随着x的增大而增大，当x<1时，y随着x的增大而减小，则k的值应取（）CACAyxO2、下列四个函数中，y的值随着x值的增大而减小的是（）（A）（B）（C）（D）3、抛物线y=ax2+bx+c的图象如图，OA=OC，则（）（A）ac+1=b（B）ab+1=c（C）bc+1=a（D）以上都不是4、若二次函数y=ax2+bx+c的顶点在第一象限，且经过点（0，1），（-1，0），则S=a+b+c的变化范围是()0<S<2(B)S>1(C)1<S<2(D)-1<S<15、如果抛物线y=x2-6x+c-2的顶点到x轴的距离是3,那么c的值等于（）（A）8（B）14（C）8或14（D）-8或-146、把二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数关系式是（）（A）（B）（C）（D）7、(3)已知抛物线y=ax2+bx,当a>0,b<0时,它的图象经过( )A.一、二、三象限 B.一、二、四象限C．一、三、四象限 D.一、二、三、四象限8、若，则二次函数的图象的顶点在（）（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限9、已知二次函数，为常数，当y达到最小值时，x的值为（）（A）（B）（C）（D）10、当a>0,b<0,c>0时,下列图象有可能是抛物线y=ax2+bx+c的是（ ）11、已知二次函数y＝ax2（a≥1）的图像