2025版高考数学一轮总复习考点突破第8章平面解析几何第5讲椭圆第1课时考点3椭圆的几何性质

椭圆的几何性质角度1椭圆焦点、顶点、焦距、长轴、短轴(2024·安徽蚌埠质检)若椭圆C：eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,2)＝1的离心率为eq\f(\r(6),3)，则椭圆C的长轴长为(D)A．6 B．eq\f(2\r(6),3)或2eq\r(6)C．2eq\r(6) D．2eq\r(2)或2eq\r(6)[解析]当焦点在y轴时，由e＝eq\f(\r(6),3)＝eq\f(\r(2－m),\r(2))，解得m＝eq\f(2,3)，符合题意，此时椭圆C的长轴长为2eq\r(2)；当焦点在x轴时，由e＝eq\f(\r(6),3)＝eq\f(\r(m－2),\r(m))，解得m＝6，符合题意，此时椭圆C的长轴长为2eq\r(m)＝2eq\r(6).故选D.名师点拨：研究椭圆几何性质的步骤(1)将所给方程化成椭圆的标准形式．(2)根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上．(3)准确求出a，b进而求出椭圆的其他特征值．角度2求椭圆离心率的值1.(2023·广东广州黄埔区模拟)若双曲线x2－eq\f(y2,3)＝1的两条渐近线与椭圆M：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为(B)A.eq\r(2)－1 B．eq\r(3)－1C.eq\f(\r(2),2) D．eq\f(\r(3),2)[解析]由题意知，双曲线x2－eq\f(y2,3)＝1的渐近线y＝eq\r(3)x与椭圆M在第一象限的交点与椭圆M的两个焦点的连线相互垂直，则c＋eq\r(3)c＝2a，所以椭圆M的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,1＋\r(3))＝eq\r(3)－1.故选B.2．(2024·重庆巴南区诊断)椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左右焦点为F1，F2，点P为椭圆上不在坐标轴上的一点，点M，N满足eq\o(F1M,\s\up6(→))＝eq\o(MP,\s\up6(→))，2eq\o(ON,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OF2,\s\up6(→))，若四边形MONP的周长等于4b，则椭圆C的离心率e＝(C)A.eq\f(1,2) B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(\r(3),2) D．eq\f(\r(6),3)[解析]由题意知点M、N分别为线段PF1、PF2的中点，又因点O为线段F1F2的中点，所以OM∥PF2且|OM|＝eq\f(1,2)|PF2|，ON∥PF1且|ON|＝eq\f(1,2)|PF1|，所以四边形MONP的周长为|PF1|＋|PF2|，又因点P为椭圆上不在坐标轴上的一点，所以|PF1|＋|PF2|＝2a，所以2a＝4b，即eq\f(b,a)＝eq\f(1,2)，故椭圆C的离心率为e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\f(\r(3),2).故选C.3．(2024·浙江名校联盟高考研究卷)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左右焦点分别是F1(－c,0)，F2(c,0)，过F2的直线交椭圆于M，N两点，若|OM|＝c(O为坐标原点)，|MF1|＝3|NF2|，则椭圆C的离心率为(B)A.eq\f(\r(3),3) B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(\r(3),2) D．eq\f(2\r(5),5)[解析]如图所示：设|NF2|＝m，因为|MF1|＝3|NF2|，所以|MF1|＝3m.又因为|MF1|＋|MF2|＝2a，所以|MF2|＝2a－3m，即|MN|＝2a－2m.因为|NF1|＋|NF2|＝2a，所以|NF1|＝2a－m.因为|OM|＝c＝eq\f(1,2)|F1F2|，所以∠F1MF2＝90°.在Rt△MF1N中，(3m)2＋(2a－2m)2＝(2a－m)2，解得m＝eq\f(a,3)，即|MF1|＝|MF2|＝a，所以a2＋a2＝(2c)2，即a2＝2c2.所以e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(1,2)，e＝eq\f(\r(2),2).故选B.4．(2024·山西大同调研)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点P(3c,0)作直线l交椭圆C于M，N两点，若eq\o(PM,\s\up6(→))＝2eq\o(NM,\s\up6(→))，|eq\o(F2M,\s\up6(→))|＝4|eq\o(F2N,\s\up6(→))|，则椭圆C的离心率为eq\f(\r(5),3).[解析]因为eq\o(PM,\s\up6(→))＝2eq\o(NM,\s\up6(→))，eq\o(PF1,\s\up6(→))＝2eq\o(PF2,\s\up6(→))所以F2N∥F1M，且|F2N|＝eq\f(1,2)|F1M|，延长MF1交椭圆于点Q，则由对称性可设|F1Q|＝|F2N|＝t，|F1M|＝2t，|F2M|＝4t，|F2Q|＝2a－t，因为|F1M|＋|F2M|＝2a，所以t＝eq\f(a,3).则由|QM|＝a，|F2M|＝eq\f(4a,3)，|F2Q|＝eq\f(5a,3)，得∠QMF2＝90°，在△F1MF2中，由|F1M|2＋|F2M|2＝|F1F2|2可得5a2＝9c2，∴离心率e＝eq\f(\r(5),3).名师点拨：求椭圆离心率的方法(1)由已知条件列方程组，求出a，c(或a，b)的值，由e＝eq\f(c,a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或e＝\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)))求解．(2)由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．注意e∈(0,1)．(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．角度3求椭圆离心率的取值范围1.(2024·河南许昌中学定位考试)已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)．若椭圆上存在一点P使eq\f(a,sin∠PF1F2)＝eq\f(c,sin∠PF2F1)，则该椭圆的离心率的取值范围为{e|eq\r(2)－1<e<1}.[解析]在△PF1F2中，由正弦定理知eq\f(sin∠PF1F2,sin∠PF2F1)＝eq\f(|PF2|,|PF1|).因为eq\f(a,sin∠PF1F2)＝eq\f(c,sin∠PF2F1)，椭圆离心率e＝eq\f(c,a)，所以eq\f(|PF2|,|PF1|)＝eq\f(a,c)＝eq\f(1,e)，即|PF1|＝e|PF2|.①又因为点P在椭圆上，所以|PF1|＋|PF2|＝2a，将①代入可得|PF2|＝eq\f(2a,e＋1).又a－c<|PF2|<a＋c，所以两边同除以a得1－e<eq\f(2,e＋1)<1＋e.又0<e<1，所以{e|eq\r(2)－1<e<1}．2．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相交，则椭圆C的离心率的取值范围为(B)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(6),3))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),3)，1)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),3)))[解析]由题设，以线段A1A2为直径的圆为x2＋y2＝a2，与直线bx－ay＋2ab＝0相交，所以eq\f(2ab,\r(a2＋b2))<a，可得3b2＝3(a2－c2)<a2，即e2>eq\f(2,3)，又0<e<1，所以eq\f(\r(6),3)<e<1.故选B.名师点拨：求椭圆离心率取值范围的方法一般借助几何量的取值范围(如|x|≤a，|y|≤b,0<e<1)建立不等关系，或者根据几何图形的临界情况建立不等关系求解，或根据已知条件得出不等关系，直接转化为含有a，b，c的不等关系求解，遇直线与椭圆位置关系通常由直线与椭圆方程联立所得方程判别式Δ的符号求解．【变式训练】1．(角度1)椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，点P在C上，|F2P|＝2，∠F1F2P＝eq\f(2π,3)，则C的长轴长为(D)A．2 B．2eq\r(3)C．2＋eq\r(3) D．2＋2eq\r(3)[解析]椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，则c＝1，∵|PF2|＝2，∴|PF1|＝2a－|PF2|＝2a－2，由余弦定理可得|PF1|2＝|F1F2|2＋|PF2|2－2|F1F2|·|PF2|·coseq\f(2π,3)，即(2a－2)2＝4＋4－2×2×2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，解得a＝1＋eq\r(3)，a＝1－eq\r(3)(舍去)，∴2a＝2＋2eq\r(3)，故选D.2．(角度2)(2024·湖北宜荆荆随联考)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左右焦点为F1，F2，过F1的直线与C交于M，N两点，若满足|MF2|，|MN|，|NF2|成等差数列，且∠MF2N＝eq\f(π,3)，则C的离心率为(B)A.eq\f(3,4) B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(\r(3),2) D．eq\f(\r(2),2)[解析]由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|MF2|＋|MN|＋|NF2|＝4a，,|MF2|＋|NF2|＝2|MN|，))得到|MN|＝eq\f(4a,3)，设|MF2|＝eq\f(4a,3)－d，|NF2|＝eq\f(4a,3)＋d，在△MF2N中由余弦定理得d＝0，∴△MF2N为等边三角形，则在△MF1F2中由|F1F2|＝eq\r(3)|MF1|得e＝eq\f(\r(3),3).3．(角度3)(2024·云南昆明一中双基检测)已知点P(x0，y0)是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))≤0，则椭圆C的离心率的取值范围是(D)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)