2025版高考数学一轮总复习考点突破第8章平面解析几何第7讲抛物线考点3抛物线的几何性质

抛物线的几何性质1.(2024·广东广州南沙区期中)直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线交于A，B两点．若|AF|＝3|BF|，则|AB|＝(C)A.eq\f(8,3) B．3C．eq\f(16,3) D．eq\f(3,2)[解析]解法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，∵|AF|＝3|BF|，∴x1＋1＝3(x2＋1)．即x1＝3x2＋2，①且|y1|＝3|y2|，从而x1＝9x2，②由①②可得x1＝3，x2＝eq\f(1,3)，∴|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(16,3).故选C.解法二：如图l为抛物线y2＝4x的准线，AM⊥l于M，BN⊥l于N，BH⊥AM于H，记|BF|＝λ，则|AB|＝4λ，|AH|＝|AF|－|BF|＝2λ，∴∠HAB＝60°，∴kAB＝eq\r(3).AB：y＝eq\r(3)(x－1)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\r(3)x－1，,y2＝4x，))得3x2－10x＋3＝0，记A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(10,3)＋2＝eq\f(16,3).故选C.2．(2023·安徽皖江名校模拟)设O为坐标原点，F为抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点，直线y＝1与抛物线C交于A，B两点，若∠AFB＝120°，则抛物线C的准线方程为(C)A．y＝－eq\f(2,3) B．y＝－3C．y＝－eq\f(1,3)或y＝－3 D．y＝－eq\f(2,3)或y＝－6[解析]设直线y＝1与y轴交点为M，由抛物线的对称性，易知△MFA为直角三角形，且∠AFM＝eq\f(1,2)∠AFB＝60°，∴|AF|＝2|FM|，即1＋eq\f(p,2)＝2eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1－\f(p,2)))，解得p＝eq\f(2,3)或p＝6，所以抛物线的准线方程为y＝－eq\f(1,3)或y＝－3.故选C.3．(多选题)(2023·高考新课标Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线y＝－eq\r(3)(x－1)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则(AC)A．p＝2B．|MN|＝eq\f(8,3)C．以MN为直径的圆与l相切D．△OMN为等腰三角形[解析]直线y＝－eq\r(3)(x－1)过点(1,0)，所以抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F(1,0)，所以eq\f(p,2)＝1，p＝2,2p＝4，则A正确；且抛物线C的方程为y2＝4x.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\r(3)x－1，,y2＝4x，))消去y并化简得3x2－10x＋3＝(x－3)(3x－1)＝0，解得x1＝3，x2＝eq\f(1,3)，所以|MN|＝x1＋x2＋p＝3＋eq\f(1,3)＋2＝eq\f(16,3)，B错误；设MN的中点为A，M，N，A到直线l的距离分别为d1，d2，d，∵d＝eq\f(1,2)(d1＋d2)＝eq\f(1,2)(|MF|＋|NF|)＝eq\f(1,2)|MN|，即A到直线l的距离等于MN的一半，所以以MN为直径的圆与直线l相切，C正确；又y1＝－eq\r(3)(3－1)＝－2eq\r(3)，y2＝－eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－1))＝eq\f(2\r(3),3)，∴|OM|＝eq\r(32＋－2\r(3)2)＝eq\r(21)，|ON|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)))2)＝eq\f(\r(13),3)，所以三角形OMN不是等腰三角形，D错误．故选AC.[引申]本例3中eq\f(1,|MF|)＋eq\f(1,|NF|)＝1.[解析]eq\f(1,|MF|)＋eq\f(1,|NF|)＝eq\f(2,p)＝1.名师点拨：1．求抛物线的焦点及准线方程的步骤：(1)把抛物线解析式化为标准方程形式；(2)明确抛物线开口方向；(3)求出抛物线标准方程中参数p的值；(4)写出抛物线的焦点坐标或准线方程．2．解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义的应用，通过定义将焦点弦长转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解．3．在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．注意抛物线上点到焦点距离与到准线距离的转化，关注图中的直角梯形(直角三角形)．【变式训练】1．(2020·全国高考真题)设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为(B)A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))C．(1,0) D．(2,0)[解析]因为直线x＝2与抛物线y2＝2px(p>0)交于E，D两点，且OD⊥OE，根据抛物线的对称性可以确定∠DOx＝∠EOx＝eq\f(π,4)，所以D(2,2)，代入抛物线方程4＝4p，求得p＝1，所以其焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，故选B.2．(2024·甘肃联考)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(4,0)，若|AF|＝|BF|，则AB的中点到y轴的距离是(C)A．2 B．2eq\r(2)C．3 D．3eq\r(2)[解析]由题意得，F(1,0)，则|AF|＝|BF|＝3，所以，由抛物线的定义得点A到准线x＝－1的距离为3，所以点A的横坐标为－1＋3＝2，不妨设点A在x轴上方，代入抛物线方程得，A(2,2eq\r(2))，所以AB的中点坐标为(3，eq\r(2))，到y轴的距离是3.故选C.3．(2024·湘豫名校联考)过抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点F的直线l交C于A，B两点，若直线l过点P(1,0)，且|AB|＝8，则抛物线C的准线方程是(D)A．y＝－3 B．y＝－2C．y＝－eq\f(3,2) D．y＝－1[解析]因为直线l过点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))，P(1,0)，所以直线l的方程为y＝－eq\f(p,2)(x－1)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(p,2)x－1，,x2＝2py，))得x2＋p2x－p2＝0，Δ>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－p2，x1x2＝－p2.因为|AB|＝eq\r(1＋\f(p2,4))|x2－x1|＝eq\r(1＋\f(p2,4))eq\