2025版高考数学一轮总复习知识梳理第8章平面解析几何第6讲双曲线

第六讲双曲线知识梳理知识点一双曲线的定义平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.注：设集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数，且a＞0，c＞0；(1)当a＜c时，P点的轨迹是双曲线；(2)当a＝c时，P点的轨迹是两条射线；(3)当a＞c时，集合P是空集.知识点二双曲线的标准方程和几何性质标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点顶点坐标：A1(－a,0)，A2(a,0)顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x离心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)，其中c＝eq\r(a2＋b2)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)归纳拓展双曲线中的几个常用结论(1)焦点到渐近线的距离为b.(2)实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝eq\r(2)⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．(3)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为eq\f(2b2,a)(通径)．过双曲线的焦点与双曲线一支相交所得弦长的最小值为eq\f(2b2,a)；与两支相交所得弦长的最小值为2a.(4)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.过双曲线焦点F1的弦AB与双曲线交在同支上，则AB与另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为4a＋2|AB|.(5)双曲线的离心率公式可表示为e＝eq\r(1＋\f(b2,a2)).(6)双曲线的形状与e的关系：|k|＝eq\f(b,a)＝eq\r(\f(c2,a2)－1)＝eq\r(e2－1)，e越大，即渐近线斜率的绝对值就越大，双曲线开口就越开阔．(7)若M、N为双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)实轴端点，P为双曲线上不与M、N重合的点，则kPM·kPN＝eq\f(b2,a2).(8)eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)与eq\f(y2,b2)－eq\f(x2,a2)＝1(a>0，b>0)互为共轭双曲线，其离心率倒数的平方和为1.双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(×)(2)方程eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．(×)(3)双曲线方程eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝0，即eq\f(x,m)±eq\f(y,n)＝0.(√)(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于eq\r(2).(√)(5)若双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)与eq\f(y2,b2)－eq\f(x2,a2)＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则eq\f(1,e\o\al(2,1))＋eq\f(1,e\o\al(2,2))＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线)．(√)题组二走进教材2．(选择性必修1P127T8)与椭圆eq\f(x2,49)＋eq\f(y2,24)＝1有公共焦点，且离心率e＝eq\f(5,4)的双曲线的渐近线方程为3x±4y＝0.[解析]由题意知c＝eq\r(49－24)＝5，又e＝eq\f(c,a)＝eq\f(5,4)，∴a＝4，从而b＝eq\r(c2－a2)＝3.∴双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(3,4)x，即3x±4y＝0.3．(多选题)(选择性必修1P146T11)已知常数a>0，点A(－a,0)，B(a,0)，动点M(不与A，B重合)满足：直线AM与直线BM的斜率之积为m(m≠0)，动点M的轨迹与点A，B共同构成曲线C，则关于曲线C的下列说法正确的是(BCD)A．当m<0时，曲线C表示椭圆B．当m<－1时，曲线C表示焦点在y轴上的椭圆C．当m>0时，曲线C表示双曲线，其渐近线方程为y＝±eq\r(m)xD．当m>－1且m≠0时，曲线C的离心率是eq\r(1＋m)[解析]设M(x，y)，则eq\f(y,x＋a)·eq\f(y,x－a)＝m，所以y2＝m(x2－a2)，即曲线C的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,ma2)＝1，当m<0且m≠－1时，曲线C表示椭圆，A错误；当m<－1时，－ma2>a2，曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，B正确；当m>0时，曲线C表示双曲线，其渐近线方程为y＝±eq\r(m)x，C正确；当m>0时，曲线C表示双曲线，其离心率为eq\r(1＋\f(ma2,a2))＝eq\r(1＋m)，当－1<m<0时，曲线C表示椭圆，其离心率为eq\r(1－\f(－ma2,a2))＝eq\r(1＋m)，D正确．故选BCD.题组三走向高考4．(2021·全国新高考Ⅱ)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为y＝±eq\r(3)x.[解析]因为双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2，所以e＝eq\r(\f(c2,a2))＝eq\r(\f(a2＋b2,a2))＝2，所以eq\f(b2,a2)＝3，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x＝±eq\r(3)x.故答案为y＝±eq\r(3)x.5．(2023·新课标全国Ⅰ卷)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点B在y轴上，eq\o(F1A,\s\up6(→))⊥eq\o(F1B,\s\up6(→))，eq\o(F2A,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(F2B,\s\up6(→))，则C的离心率为eq\f(3\r(5),5).[解析]解法一：依题意，设|AF2|＝2m，则|BF2|＝3m＝|BF1|，|AF1|＝2a＋2m，在Rt△ABF1中，9m2＋(2a＋2m)2＝25m2，则(a＋3m)(a－m)＝0，故a＝m或a＝－3m(舍去)，所以|AF1|＝4a，|AF2|＝2a，|BF2|＝|BF1|＝3a，则|AB|＝5a，故cos∠F1AF2＝eq\f(|AF1|,|AB|)＝eq\f(4a,5a)＝eq\f(4,5)，所以在△AF1F2中，cos∠F1AF2＝eq\f(16a2＋4a2－4c2,2×4a×2a)＝eq\f(4,5)，整理得5c2＝9a2，故e＝eq\f(c,a)＝eq\f(3\r(5),5).解法二：依题意，得F1(－c,0)，F2(c,0)，令A(x0，y0)，B(0，t)，因为eq\o(F2A,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(F2B,\s\up6(→))，所以(x0－c，y0)＝－eq\f(2,3)(－c，t)，则x0＝eq\f(5,3)c，y0＝－eq\f(2,3)t，又eq\o(F1A,\s\up6(→))⊥eq\o(F1B,\s\up6(→))，所以eq\o(F1A,\s\up6(→))·eq\o(F1B,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)c，－\f(2,3)t))(c，t)＝eq\f(8,3)c2－eq\f(2,3)t2＝0，则t2＝4c2，又点A在C上，则eq\f(\f(25,9)c2,a2)－eq\f(\f(4,9)t2,b2)＝1，整理得eq\f(25c2,9a2)－eq\f(4t2,9b2)＝1，则eq\f(25c2,9a2)－eq