2020-2021学年青岛市高一年级上册期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年青岛市高一上学期期末数学试卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分)

1.已知集合2={-1,0,1,2},B={久|—2<xWl},则408=()

A.{1}B.[0,1}C.{-1,0,1}D.{-1,0,1,2)

2.3x0G(a,b),f(xo)=0是f(a)/(b)<0的()

A.充要条件B.既不充分也不必要条件

C.充分不必要条件D.必要不充分条件

3.已知角a的终边与单位圆交于点P,已知P的坐标为(-右》，则ta712a=()

A.||B.C.vD.-y

252577

4.已知函数fO)=条皿3K+£)(3>0)满足：VK1，X2GR,当l/Oi)—/'(无2)|=鱼时，|尤1一

x2\min=f，那么f(%)的最小正周期是()

TT77

A.-B.7TC.-D.2兀

5.若MP和。M分别是角?的正弦线和余弦线，贝式)

A.MP<0M<0B.OM>0>MP

C.OM<MP<0D,MP>0>OM

6,函数f(x)=，^的图象关于原点对称，g(x)=lg(10"+1)+bx是偶函数，则a+b=()

A.1B.—1C.—；D.；

22

7.把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是&℃,空气的温度是。0°C,那么t分钟后物体的

kt

温度。(单位：℃)满足等式8=00+(%-0o)e-,其中k为常数,现有62久的物体放到22久的空

气中冷却2分钟后，物体的温度为42。。再经过4分钟冷却，该物体的温度可以冷却到()

A.22℃B.24,5℃C.25℃D.27℃

8.若关于久的方程式2+ax+a2-a—2=0的一根大于1,另一根小于1,贝b的取值范围为()

A.0<a<1B,a>-1C.-1<a<1D,a<1

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分)

9.在下列四个命题中，错误的有()

A.任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率

B.直线的倾斜角的取值范围是［0,兀］

C.坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率

D.直线y=3%—2在y轴上的截距为2

10.已知点P(l,—1)是角a终边上的一点，贝ij()

A.三一定是第一象限的角

o7

B.若sin(0+cr)=-,贝ijs讥2。=—

C.函数g(x)=cos(3x+a+金是奇函数

D.将函数/Q)=sin(2x+a)的图象向左平移?个单位可以得到g(x)=cos(2x-J)的图象

11.如图是函数f(x)=Asin^a>x+g)(其中2>0,to>0,0<|^>|<兀)的4xx

部分图象，下列结论正确的是()/\2n

A.函数y=/(%-勺的图象关于顶点对称-o，~~r_

B.函数/⑶的图象关于点(一2,0)\/

C.函数/(%)在区间［冶于上单调递增

D.方程/(%)=1在区间［-行,等］上的所有实根之和为:

12.已知函数y=/(x),XER,下列结论正确的是()

2

A.若对任意打，%2,且巧大不，都有今乎<。，则f(x)为R上减函数

x2~xl

B.若/Xx)为R上的偶函数，且在(—8,0)上单调递减，/(-2)=0,则/(无)>0解集为(—2,2)

C.若/(%)为R上的奇函数，则y=f(x)"(|%|)也是R上的奇函数

D.若一个函数是定义域为(—1,0)U(0,1)的奇函数，当x>0时，/(%)=2X+1,则当x<0时,

/(%)=2-x+1

三、单空题(本大题共3小题，共15.0分)

13.把地球看作是半径为R的球，4点位于北纬30。，东经20。，B点位于北纬30。，东经80。，求4、B两

点间的球面距离(结果用反三角表示)

14.已知。为第二象限角，sine=g则tan(e+£)=____.

54

1

15.(_1)。+匈2+匈5—85=-------

四、多空题(本大题共1小题，共5.0分)

16.某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/1003)与

上市时间/'(单位：天)的数据如下表:

时间t60100180

种植成本Q11684116

根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间z的变化关系.

2

Q=at+b,Q=at+bt+c,Q=a-,Q=a-logat.

利用你选取的函数，求得：

(/)西红柿种植成本最低时的上市天数是_(1)_；

(H)最低种植成本是_(2)_(元/1003).

五、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.已知一元二次函数/(*)=/+2》+«"0)的图像与丁轴交于点(0,1)，且满足f(—4)=

/(0).

(1)求该二次函数的解析式及函数的零点.

(〃)已知函数在(Z-l.+x)上为增函数，求实数/的取值范围.

18.近年来，我国部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响.经研究发现

工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓.为此，某工厂新购置

并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染.已知过滤

过程中废气的污染物数量P(单位:mg/L)与过滤时间t(单位:h)间的关系为P(t)=P0eft(Po，k均

为非零常数，e为自然对数的底数)，其中P0为t=0时的污染物数量.若经过5无过滤后还剩余90%

的污染物.

(1)求常数k的值；

(2)试计算污染物减少到30%至少需要多长时间.(精确至l]lh)

(参考数据：ln0.2«-1.61,仇0.3〜―1.20,InOA«-0.92,InO.S«-0.69,ln0.9«-0.11)

19.已知函数/(%)=y/3sinx+2sin2|.

(1)求函数/(%)的单调增区间；

(2)若a为第四象限角，且/(a-9=%求儡袅的值•

20.已知函数：/(%)=x2—mx—n(m,nER).

(I)若僧+n=0,解关于%的不等式/(%)>%(结果用含m式子表示)；

(II)若存在实数根，使得当％e[1,2]时，不等式％工/(%)44%恒成立，求实数九的取值范围.

21.锐角的内角乩瓦C所对的边分别为口，，向量加=(a,有为与阀=(cos4,sinE)平行.

(1)求角4

0若4=亚,求A/RT周长的取值范围・

22.求证：函数y=--一。一2(aeR)一定有两个零点.

参考答案及解析

1.答案：C

解析：解：•.・集合a=(-1,0,1,2},B={x|-2<x<1},

：.A(yB=[-1,0,1).

故选：C.

利用交集定义直接求解.

本题考查交集求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

2.答案：B

解析：解：y=x2,满足m06(—1,1),/(0)=0,但是/(—1)/(1)>0,；

'=满足f(0)f(2)<0,但是不存在X。e(0,2),f(%。)=0,

3%oe(a,b),/(x0)=0是/(a)/(b)<0的既不充分也不必要条件,

故选：B.

列举反例，即可得出结论.

本题考查充分、必要条件，考查学生分析解决问题的能力，比较基础.

3.答案：C

4

解析：解：角a的终边与单位圆交于点P,已知P的坐标为(-称,》，二tcma=y=一，

故选：C.

利用任意角的三角函数的定义求得tcma的值，再利用二倍角的正切公式求得tcm2a的值.

本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的正切公式的应用，属于基础题.

4.答案:B

解析：解：函数/(%)=£sin(s+工)(3>0)满足：V%1，x2&R,当/(%1)-/(久2)|=夜时，

26

所以函数正好取得最大值和最小值，

由于用一叼19=壬所以泊,

整理得：T=n.

故选：B.

直接利用正弦型函数的性质的应用求出函数的周期.

本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运

算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.

5.答案：C

解析：

本题考查了三角函数线的应用问题，在单位圆中画出角?的正弦线MP和余弦线。M,根据图形与正

弦线、余弦线的定义比较它们的大小即可.是基础题.

解：在单位圆中画出角?的正弦线MP和余弦线0M,如图所示；

6

则。M<MP<0.

故选C.

6.答案：D

解析：解：・・•/(%)=，丁关于原点对称，，函数f(%)是奇函数，.•・/(0)=0,a=1

•・•g(x)=lg(10x+1)+bx是偶函数，・•.g(-x)=g(%)对任意的％都成立，

lg(10-x+1)-bx=lg(10x+1)+bx,lgd；o：N)=lg(10x+1)+2bx

—x=2bx对一切x恒成立，，匕=—5,a+6=5

故选：D

由题意可得/'(-%)=-f(x)对任意的x都成立，代入整理可求a；由题意可得g(-x)=g(x)对任意的x

都成立，代入整理可求b

本题主要考查了奇偶函数的定义的应用，解题中要善于利用奇函数的性质/(0)=0(0在该函数的定

义域内)可以简化基本运算，属于基础题，但是容易出现错误.

7.答案：D

解析：解：由题意可得焉=22℃,%=62℃,

所以。=22+40e-kt,

当t=2时，3=42℃,即42=22+40e-2k,

所以e-2k=5两边去对数得，—2k=—ln2,即左=等，

所以当t=2+4=6时，6=22+40e-3m2=22+40x工=27℃.

8

故选：D.

根据题意表示出8=22+40b"，结合当t=2时，8=42久求出k的值，然后令t=6,即可求出所

求.

本题主要考查了实际应用，以及指数方程的解法，同时考查了运算求解的能力，属于基础题.

8.答案：C

解析：

本题主要考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，二次函数的性质，属于基础题.利用一元二

次方程的根的分布与系数的关系，二次函数的性质，求得a的取值范围.

解：・关于x的方程/+ax+a?-a-2=0的一根大于1,另一根小于1,

令/'（久）=x2+ax+a2—a—2,

则/（I）=1+a++a2—a—2=a2—1<Q,求得—1<a<1,

故选C

9.答案：BCD

解析：解：对于4任意一条直线都有倾斜角，但当直线与无轴垂直时没有斜率，故A正确；

对于B,直线的倾斜角的取值范围是［0,兀），故3错误；

对于C,坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角，但不一定有斜率，

当直线与婿由垂直时没有斜率，故C错误；

对于D,直线y=3x—2在y轴上的截距为一2,故D错误.

故选：BCD.

对于4当直线与x轴垂直时没有斜率；对于B,直线的倾斜角的取值范围是［0,兀）；对于C,当直线

与％轴垂直时没有斜率；对于O,直线y=3%-2在y轴上的截距为-2.

本题考查命题真假的判断，考查直线的斜率、倾斜角等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

10.答案：BD

解析：

本题考查角的概念的扩展，任意角的三角函数的定义，象限角，诱导公式，二倍角公式，三角函数

的奇偶性以及三角函数的平移变换等知识的综合应用，属于中档题.

立足题设条件结合各选项运用以上相关知识逐一展开论证即可得到正确结论.

解：对于4因为点P(l,-1)是角a终边上的一点，

所以可得a=2/OT-£,keZ,

故]=々兀一，fceZ,

所以5是第二，四象限角.

选项A错误；

对于8,若sin(/?+a)=|,即sin(/?+2kn—^)=sin(S—

所以s讥2s=sin[2(0-3+?

n

=cos2(6-R

c兀

=1-2sm2(^——)

9

=1-2X25

7

-25,

选项5正确；

对于C,因为函数g(%)=cos(3x+a+^)

57rTi

—cos(3xH———F2/CTT——)

=—cos3x,

所以函数g(x)为偶函数.

故选项C错误；

对于D,因为/(x)=sin(2久+a)=sin(2x—

所以将/⑶的图像向左平移泞单位可以得到y=sin[2Q+》—g=sin(2x+?)的图像，

又因为sin(2x+$=cos碎-(2x+

IT

=cos(——2%)

=cos(2x—》

即将函数f(x)=sin(2x+a)的图象向左平移？个单位可以得到g(x)=cos(2x-3)的图象

所以选项D正确.

故选BO.

11.答案：BD

解析：解：由已知图象可得：4=2,74=312=4因此「=兀，二3=2,

・•./(%)=2s讥(2%+9),过点(表一2),

因此—卜cp=——F2/CTT,kE.Z9又0V|R|<",

71

0=公o，

/(x)=2sin(2x+^),

选项4y=f{x-^)=2sin2x,是奇函数，图象关于原点对称，A错误；

选项8当久=一看时，右=2s出［2x(—专+勺=0,B正确;

1Z1Z1Zo

选项C：由2/C7T—g<2%+gW2/CTT+g,解得ATT—54%</CTT+gkEZC错误；

ZOZDof

选项。：当—等时，2x+旨［0,4扪，所以y=1与函数y=f(x)有4个交点，令交点的横坐

，%2，%3，%4，

所以尤1+x2+x3+x4=—x2+—x2=—,D正确，

故选：BD.

先根据图象求出函数解析式，再根据选项分别求出单调区间以及对称中心，对于。选项，需要借助

正弦函数的图象性质求解.

本题考查了根据图象求解三角函数的解析式问题，以及函数的奇偶性，单调性，对称性和图象问题，

考查了学生的运算转化能力，属于中档题.

12.答案：AC

解析：

本题考查了函数的单调性，奇偶性，属于中档题.

利用函数的性质单调性、奇偶性，进行分析，进而求解.

解：对于4若对于任意修，%267?且巧4％2,都有a过3<0,

%2-

即当因<%2时，f(Xl)>f(%2)，则fQ)为R上的减函数,则A正确；

对于B,若/'(久)为R上的偶函数，且在(-8,0)上单调递减，

则/(%)在(0,+8)上单调递增，/⑵=/(—2)=0,

则/(久)>0即为/(|x|)>f(2),即有印>2,解得x>2或％<—2,则B错误；

对于C,若/(X)为R上的奇函数，

则八一为=T(X),/(-%)./(|-%|)=-/(x)/(|x|),

即有y=/(x)/(|x|)是奇函数，则C正确；

对于D,当久>0时，f(x)=2X+1,

当x<0时，一%>0,贝!]/(一%)=2-x+1=—/Q),故/(%)=—2-“一1,故O错误.

故选：AC.

13.答案：R-arccos|

解析：解：设北纬30。纬线圈所在圆的圆心为0],半径为r,贝！Jr=R,cos30。=fR,

根据4点位于北纬30。,东经20。,B点位于北纬30。，东经80。，可得=60°,

・•・△40/为等边三角形，即28=r=苧R.

△40B中，由余弦定理可得AB?=?R2=R2+R2-2R2•COSNAOB,求得COSN4O8=9,

48

Z-AOB=arccos-,・•・/、8两点间的球面距离A8=R-乙AOB=R•arccos-,

88

故答案为：

R-arccoso

设北纬30。纬线圈所在圆的圆心为。i，半径为r,则…频，且AAOiB为等边三角形，即2B='R；

△40B中，由余弦定理求得N&0B的值，利用弧长共公式求得4B两点间的球面距离.

本题主要考查球面距离的求法，利用余弦定理解三角形，反三角函数、弧长公式的应用，属于中档

题.

14.答案：4

解析：解：•・•。为第二象限角，且s讥0=£

cosd=—V1—sin20=—|,

4

••・tand=—

一.+

则原式=tanO+l1

l-tan0

故答案为：-之

由。为第二象限角，及sine的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cose的值，进而确定出tern。的

值，原式利用两角和与差的正切函数公式化简，将tern。的值代入计算即可求出值.

此题考查了同角三角函数间基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键.

15.答案:0

解析：解：(_i)o+匈2+匈5—85=1+lg(2x5)—2=1+1—2=0，

故答案为：0.

由指数累及对数运算的性质化简即可.

本题考查了指数幕及对数运算的性质应用，是基础题.

16.答案:120

解析：解：由提供的数据知，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系函数不可能是常数函数，

也不是单调函数，

而函数Q=at+b,Q=a-bt,Q=a-logbt,在a70时，均为单调函数，这与表格提供的数据不

吻合，

故选取二次函数Q=at2+bt+c进行描述，

将表格所提供的三组数据(60,116),(100,84),(180,116)分别代入Q可得，

(3600a+60b+c=116

112

10000a+100h+c=84,解得a=—?b=c=224,

1802a+180h+c=116'

1r12

Q=—t2-—1+224,

yioo5

Q)Q=六/—蔡t+224的对称轴为t=120,开口向上，在对称轴处即t=120天时函数取最小值；

(U)当t=120时，Q=总X1202-yX120+224=80；

故答案为：120,80.

由提供的数据知，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系函数不可能是单调函数，故选取二

次函数Q=at2+bt+c进行描述，将表格所提供的三组数据代入Q,即得函数解析式；

(/)根据Q的函数关系，由二次函数的性质即可求得答案；

(n)由(/)中的结论，即可得到答案.

本题主要考查函数模型的选择与应用.解决实际问题通常有四个步骤：(1)阅读理解，认真审题；(2)

引进数学符号，建立数学模型；(3)利用数学的方法，得到数学结果；(4)转译成具体问题作出解答，

其中关键是建立数学模型.属于中档题.

17.答案：解：(/)因为二次函数/Q)=a/+2比+c(a力0)的图象与y轴交于点(0,1),所以c=1.

又因为函数/'(比)满足/'(一4)=f(0)(xeR),所以％=-5=-2,所以a=之，

所以二次函数的解析式为f(x)=之/+2x+1,由/(%)=0,可得函数的零点为：—2+V2--2-V2;

(〃)因为函数在(t-1,+8)上为增函数，且函数图象的对称轴为x=-2,所以由二次函数的图象可

知：t—1>-2,t>—1.

解析：本题主要考查函数性质的应用，熟悉二次函数的性质是解答本题的关键，是高考中常见的题

型，属于中档题.

(/)利用二次函数/(久)=ax2+2x+c(a丰0)的图象与y轴交于点(0,1),可求c的值；根据函数/'(%)满

足f(-4)=f(0)(xeR),可求a的值，从而可得二次函数的解析式；由f(x)=0,可得函数的零点；

(〃)根据函数在(t-1,+8)上为增函数，且函数图象的对称轴为久=-2,可得t-1>-2,从而可求

实数t的取值范围.

-fe5

18.答案：解：(1)由题意可得P(5)=Poe=Po9O%，

,lnl0-ln91.10

解得k=---=-ln—;

Znl0-ln9Qt

(2)由(1)可得p=poe--s-t=(方印0<x40%，

即舄)久40%,解得tN44,

故污染物减少到30%至少需要44个小时.

解析：(1)由题意可得「⑸=P090%,然后即可求出k的值；(2)由(1)即可求出P的关系式，

令P<40%,即可求解.

本题考查了函数的实际应用，同时还考查了对数的运算性质，属于基础题.

19.答案：解：(1)/(%)=V3sinx+2s讥2：=y/^sinx4-1—cosx=2sin(x—+1,

」.由题意可得：2k?i-<x—<2/CTT—kEZ,解得：/c7i—2%<k7+?，kEZ,

26233

・•・函数/(X)的单调增区间为：即冷水兀+福，kez；

(2)•••/(cr-^)=j>1-2coscr=解得:cosa=|,

cos2acos2a-sin2a.

------------=---------------=cosa—sina^

cosa+sinacosa+sina

又・•,a为第四象限角，且cosa=I，

.2\[2

sina=-------，

3

・••原式=cosa—sina=1+2^>

3

解析：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在三角函数化简求值中的

应用，考查了转化思想，属于中档题.

(1)利用三角函数恒等变换的应用化简可得/(%)=2s讥(％-令+1,利用正弦函数的图象和性质可求

/Q)的单调增区间.

(2)由已知可求cosa,利用同角三角函数基本关系式可求sMa,利用三角函数恒等变换的应用化简所

求即可计算得解.

20.答案：解：(I)由％W/+血％一根，gp(%+m)(x—1)>0,

①m=_l时，可得％ER；

②7n<-1时，-m>1,可得解集为(一8,1]u[-犯+8)；

③m>-l时，-m<1,可得解集为(一8,一河u[1,+8)；

(II)xG[1,2]时，x<x2+mx+n<4%恒成立，

即为1<%+^+m<4对％e[1,2]恒成立，

即存在实数根，使得一%-^+l<m<-%-^+4对汽e[1,2]恒成立，

•••(一]一:+