初三奥数之圆的对称性

初三奥数之

圆的对称性

专题18圆的对称性

阅读与思考

圆是一个对称图形.

首先，圆是一个轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆的对称轴有无数条；同时，

圆又是一个中心对称图形，圆心就是对称中心，圆绕其圆心旋转任意角度，都能够与本身重合，这是圆特

有的旋转不变性.

由圆的对称性引出了许多重要的定理：垂径定理及推论；在同圆或等圆中，圆心角、圆周角、弦、弦

心距、弧之间的关系定理及推论.这些性质在计算和证明线段相等、角相等、弧相等和弦相等等方面有广

泛的应有.一般方法是通过作辅助线构造直角三角形，常与勾股定理和解直角三角形相结合使用.

熟悉以下基本图形和以上基本结论.

我国战国时期科学家墨翟在《墨经》中写道：“圆，一中间长也.”古代的美索不达米亚人最先开始制

造圆轮.日、月、果实、圆木、车轮，人类认识圆、利用圆，圆的图形在人类文明的发展史上打下了深深

的烙印.

例题与求解

【例1】在半径为1的。0中，弦A8,AC的长分别为百和J5,则NBAC度数为.

（黑龙江省中考试题）

解题思路：作出辅助线，解直角三角形，注AB与AC有不同位置关系.

由于对称性是圆的基本特性，因此，在解决圆的问题时，若把对称性充分体现出来，有利于圆的问题

的解决.

【例2】如图，在三个等圆上各自有一条劣弧AB,CD,EF.如果AB+CD=EF,那么AB+CQ与

石户的大小关系是（）

A.AB+CD=EFB.AB+CD>EF

C.AB+CD<EFD.A8+C。与E尸的大小关系不能确定

（江苏省竞赛试题）

解题思路：将弧与弦的关系及三角形的性质结合起来思考.

【例3】⑴如图1,己知多边形A8OEC是由边长为2的等边三角形4BC和正方形BDEC组成，

。。过A,D,E三点、,求。。的半径.

（2）如图2,若多边形ABOEC是由等腰△ABC和矩形BOEC组成，AB=AC=8A2,。。过4,D,E

三点，问。。的半径是否改变？

（《时代学习报》数学文化节试题）

解题思路：对于⑴，给出不同解法：对于⑵，。的半径不改变，解法类似⑴.

等边三角形、正方形、圆是平面几何图形中最完美的图形，本例表明这三个完美的图形能合成一个从

形式到结果依然完美的图形.

三个完美图形的不同组合可生成新的问题，同学们可参照刻意练习.

【例4】如图，已知圆内接△48C中，AB>AC,。为BAC的中点，DELABE.求证：BEP-A^AB

AC.

（天津市竞赛试题）

解题思路：从化简待证式入手，将非常规几何问题的证明转化为常规几何题的证明.

圆是最简单的封闭曲线，但解决圆的问题还要用到直线形的有关知识和方法.同样，圆也为解决直线

形问题提供了新的途径和方法，善于促成同圆或等圆中的弦、弦心距、弧、圆周角、圆心角之间相等或不

等关系的互相转化，是解圆相关问题的重要技巧.

【例5】在△ABC中，M是AB上一点，且4M2+8A/2+CM2=2AM+28M+2cM-3.若尸是线段AC上

的一个动点，是过P,M,C三点的圆，过P作PO〃AB交。。于点。.

⑴求证：M是A8的中点；

⑵求PC的长.（江苏省竞赛试题）

解题思路：对于⑴，运用配方法求出AM,BM,CM的长，由线段长确定直线位置关系；对于⑵，促

成圆周角与弧、弦之间的转化.

【例6】已知AD是。。的直径，AB,AC是弦，且A8=AC.

图1图3

⑴如图1,求证：直径A。平分NBAC；

⑵如图2,若弦8c经过半径0A的中点E,尸是CO的中点，G是FB的中点，。。的半径为1,求

弦FG的长；

（3）如图3,在⑵中若弦BC经过半径04的中点E,P为劣弧上一动点，连结以，PB,PD,PF,求

PA+PF

证:的定值.

PB+PD

（武汉市调考试题）

解题思路：对于⑶，先证明/8必=/。/乎=30°,ZBPZ>60°,这是解题的基础，由此可导出下列解题

突破口的不同思路：①由NB以==/OPF=30°,构建直角三角形；②构造%+PF,尸8+尸£>相关线段；③取

8。的中点连结PM,联想常规命题；等等.

本例实质是借用了下列问题:

⑴如图1,PA+PB=y/3PH-,⑵如图2,PA+PB=PH；

a

⑶进一步，如图3,若/APB=a,PH平分NAPB,则PA+PB=2PHcos—为定

2

值.

能力训练

A级

1.圆的半径为5cm,其内接梯形的两底分别为6cm和8cm，则梯形的面积为cm2.

2.如图，残破的轮片上，弓形的弦A8长是40cm,高CO是5cm,原轮片的直径是cm.

3.如图，已知CC为半圆的直径，ABlCD^f-B.设/AOB=a,则一sn—=.

BD2

（黑龙江省中考试题）

4.如图，在R/aABC中，ZC=90°,AC=C,BC=1,若8c=1,若以C为圆心，C8的长为半径的

圆交AB于P,则AP=（江苏省宿迁市中考试题）

5.如图，AB是半圆O的直径，点P从点O出发，沿04—AB—80的路径运动一周.设OP长为s,

运动时间为f,则下列图形能大致地刻画s与r之间的关系是（）

那么AC的长为（）

A.0.5cmB.1cmC.1.5cmD.2cm

（第8题图）

7.如图，A8为。。的直径，CQ是弦.若A5=10cm,C£>=8cm,那么A,8两点到直线CQ的距离之

和为（）

A.12cmB.10cmC.8cmD.6cm

8.如图，半径为2的。。中，弦AB与弦CD垂直相交于点P,连结0P.若OP=1,求AB2+CD2的

值.（黑龙江省竞赛试题）

9.如图，AM是。。的直径，过。。上一点8作于N,其延长线交。。于点C,弦CQ交

AM于点£

（1）如果CDJ_A8,求证：EN=NM；

⑵如果弦CD交48于点F,KCD=AB,求证：CEr^EF-ED-,

（3）如果弦CD,AB的延长线交于点F,且CQ=AB,那么⑵的结论是否仍成立？若成立，请证明；若

不成立，请说明理由.

（重庆市中考试题）

1

10.如图，。0的内接四边形A8MC中，AB>AC,M是的中点，MHLAB于点H.求证:BH=一

2

(AB-AC).

（河南省竞赛试题）

（第10题图）

11.⑴如图1,圆内接△ABC中，AB=BC=CA,OD,OE为。。的半径，O£）J_3c于点F,OE_LAC于

点G.求证：阴影部分四边形OFCG的面积是AABC面积的1.

3

⑵如图2,若/QOE保持120°角度不变，求证：当NDOE绕着。点旋转时，由两条半径和AABC的

两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是AABC的面积的

3

AA

E

DD

图1图2

12.如图，正方形ABC。的顶点A,。和正方形JKLM的顶点K,Z.在一个以5为半径的。。上，点

J,M在线段BC上.若正方形A8CQ的边长为6,求正方形JKLM的边长.

（上海市竞赛试题）

（第12题图）

B级

1.如图，AB是。。的直径，CO是弦，过A,8两点作CD的垂线，垂足分别为E,F.若AB=10,

AE=3,BF=5,则EC=.

（第1题图）

2.如图，把正三角形ABC的外接圆对折，使点A落在8C的中点H上，若BC=5,则折痕在△ABC

内的部分DE长为.（宁波市中考试题）

3.如图，已知。。的半径为R,C,。是直径AB同侧圆周上的两点，AC的度数为96°,8。的度数

为36°.动点尸在AB上，则CP+PD的最小值为.

（陕西省竞赛试题）

4.如图，用3个边长为1的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径是（）

/T-V555V17

A.V2B.——C.-D.——

2416

5.如图，AB是半圆。的直径，C是半圆圆周上一点,M是AC的中点，MNLAB于N,则有（

）

IB.MN监AC3V3

A.MN=-ACC.MN=—ACD.MN=—AC

2253

（武汉市选拔赛试题）

第4题图第5题图

6.已知，AB为。。的直径，。为AC的中点，DELAB于点E,且QE=3.求AC的长度.

7.如图，己知四边形ABC。内接于直径为3的。。；对角线AC是直径，对角线4c和8。的交点为

P,AB=BD,且PC=0.6,求四边形ABC。的周长.

（全国初中数学联赛试题）

8.如图，已知点4,B,C,。顺次在。。上，AB=BD,BM_LAC于M.求证：AM=DC+CM.

（江苏省竞赛试题）

（第8题图）

9.如图，在直角坐体系中，点8,C在x轴的负半轴上，点4在y轴的负半轴上，以AC为直径的圆

与AB的延长线交于点。，CD=AO,如果4B=10,AO>BO,且40,8。是x的二次方程/+入+48=0

的两个根.

⑴求点D的坐标；

⑵若点P在直径AC上，且AP=14C,判断点（-2,10）是否在过D,P两点的直线上，并说明理

4

由.（河南省中考试题）

X

（第9题图）

10.⑴如图1,已知PA,PB为。。的弦，C是劣弧的中点，直线CC用于点E,求证:AE=PE+PB.

⑵如图2,已知B4,PB为。。的弦，C是优弧A8的中点，直线CC_L以于点E,问：AE,PE与PB

之间存在怎样的等量关系？写出并证明你的结论.

11.如图，已知弦CO垂直于。。的直径4B于心，弦4E平分半径OC于”.求证：弦力E平分弦8c

于M（全俄奥林匹克竞赛试题）

C

HE

（第11题图）

12.如图，在△ABC中，。为AC边上一点，且A&OC+C8,过及作AC的垂线交△48C的外接圆于

M,过M作48的垂线MN,交圆于M求证：MN为△ABC外接圆的直径.

M

N

（第12题图）

专题18圆的对称性

例115。或75。提示：分48、AC在圆心。同侧、异侧两种情况讨论.

例2B

例3(1)解法一：如图，将正方形BOEC上的等边△ABC向下平移，使其底边与OE重

合，得等边ZiOOE.：A、B、C的对应点是0、D、E,：.OD=AB,OE=AC,A0=BD.V

等边△ABC和正方形BOEC的边长都是2,.•.4B=BD=AC=2,：

A、D、E三点确定一圆，。至IJA、D、E三点的距离相等.二。点为圆心，0A为半径，

,该圆的半径为2.解法二：如图，将AA8C平移到△ODE位置，并作AFLBC,垂足为尸,延长交DE于

在「△ABC为等边三角形，垂直平分8C,•••四边形BQEC为正方形，垂直

平分正方形边又是圆的弦，.必过圆心，记圆心为。点，并设00的半径

为八在Rra/b尸中，•:NBAF=30°,：.AF=ABcos300=2x^=6,：.OH^AF+

2

FH-0A=>/3+2~r.在RsODH中,OH2+DH2=OD2,?.(73+2-r)2+12=^,解得

r=2.

(2)00的半径不变，因为AB=AC=B£>=2,此题求法和(1)一样，。。的半径为2.

例4提示：BD2-AD2=(BE2+ED2)-(AE2+ED2)=(BE+AE)(BE-AE)=AB(BE-AE),只需要证明AC

=BE-4E即可.在BA上截取BF=AC.连。F可证明aOB尸丝△〃"，则。F=AD,AE=EF.

例5(1)由条件，得(AM—1)2+(BM-1)2+(CM—1)2=O,：.AM=BM=CM=\.因此，M是AB中点，

且/4CB=90。.(2)由(1)知，/A=/PCM,XPD//AB,:.乙A=4CPD,NPCM=NCPD,因止匕，

CD=PM,CPM=DCP,于是有QP=CM=1.

例6(1)连结3。、CD,是直径，所以NABO=NACC=90。，又：AB=AC,AD=AD,:4ABD

妾△AC£),；.NBAD=NDAC,平分NBAC.(2)连结。8、OC,则OA_LBC,又AE=OE,得A3

=80=0A=0C,△A08,△AOC都为等边三角形，连结0G,则NGOF=90。，FG=&.(3)取80

的中点M,过M作MSJ■外于S,于7,连AM,FM.NBPM=NDPM=30°,ZAPM=Z

FPM=60°,则MS=MT,MA=MF,Rt^ASM^Rt/\FTM,RmPMSmRtAPMF.：.PS=-PM.：.PA+

2

PF=2PS=2PT=PM.同理可证：PB+PD=&M.以士竺=/^-=2=且为定值.

PB+PDgpM733

h

A级1.49或72.853.14.—5.C6.D1.D8.过。点作OE_LAB于E,OFLCD

3

于F,连结OD,OA,则AE=BE,CF=DF,,：OE2=AO1-AE2=(4--AB2),OF2=OD2~FD2=4--CD1,

44

：.OE2+OF2=(4-AB2)+(4-CD2)=PF2+OF2=OP2=}2,即4-；AB?+4-；C£>2=1,故

714

=28.得xi=-3(舍去)，X2=5,，正方形JKLM的边长为亍.

B级上.2加一3提示:作OMJ_CD于M,则EC=T(EF-CD).2.y3.小R提示:设D'是D点关于直

径AB对称的点，连结CD,交AB于P,则P点使CP+PD最小，ZCOD'=120°,CP+PD=CP+PD'=

CD'=V3R.

的得错误,，解得f误!，『错误!

4.D提示：如图:

5.A提示:连结0M,则OMJ_AC.

6.解法一:连结OD交AC于点F,为错误!的中点，；.AC_LOD,AF=CF.XDEIAB,AZDEO=Z

AFO.，Z^ODEg/iOAF".AF=DE.：DE=3，AC=6.解法二:延长DE交。O于点G,易证错误!=2错误!

=错误!+错误!=错误!，则DG=AC=2DE=6.

7.连结BO并延长交AD于H,因AB=BD,故BH_LAD,又NADC=90°,则BH〃CD,从而△OPBs

△CPD,得器=需，艮喂=15合6,解得CD=1.于是AD=#AC2—CD2=2吸,又OH=1cD=T，则

AB=