2021年中考数学真题分类汇编之图形的旋转与相似

2021年中考数学真题分类汇编之图形的旋转与相似

一、选择题（共6小题）

1.（2021•黄石）如图，AABC的三个顶点都在方格纸的格点上，其中A点的坐标是（-1,0）,现将AA8C绕A

点按逆时针方向旋转90。，则旋转后点C的坐标是（）

C.(-2,2)D.(-3,2)

2.（2021•贺州）在平面直角坐标系中，点A（3,2）关于原点对称的点的坐标是（）

A.(-3,2)B.(3,-2)C.(-2,-3)D.(-3,-2)

3.(2021•哈尔滨)如图，在AABC中，DE//BC,4)=2,BD=3,AC=10,则的长为()

4.（2021•广西）平面直角坐标系内与点P（3,4）关于原点对称的点的坐标是（）

A.(-3,4)B.(-3,-4)C.(3,-4)D.(4,3)

5.（2021•本溪）下列漂亮的图案中似乎包含了一些曲线，其实它们这种神韵是由多条线段呈现出来的，这

些图案中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

6.（2021•安徽）如图，在菱形A88中，AB=2,ZA=120°,过菱形A88的对称中心O分别作边AB,

3c的垂线，交各边于点£,F,G,H,则四边形EFG”的周长为（）

A.3+73B.2+2&C.2+GD.1+2>73

二、填空题（共5小题）

7.（2021•上海）定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离，在平面内

有一个正方形，边长为2,中心为O,在正方形外有一点P,OP=2,当正方形绕着点。旋转时，则点P到

正方形的最短距离d的取值范围为

C

8.（2021•青海）如图所示的图案由三个叶片组成，绕点O旋转120。后可以和自身重合.若每个叶片的面积

为4c>,NAO3为120。，则图中阴影部分的面积之和为cm2.

9.（2021•牡丹江）如图，矩形ABCD中，AD=®AB,点E在3c边上，且AE=A£>,。尸_LAE于点

连接。E,BF,8尸的延长线交QE于点O,交C£>于点G.以下结论：

®AF=DC,②OF:BF=CE:CG,③/»“=夜$必《;，④图形中相似三角形有6对，则正确结论的序号

10.(2021•抚顺)在平面直角坐标系中，点M(-2,4)关于原点对称的点的坐标是.

2

11.(2021•大庆)已知2=2=三，则r+X)'=

234yz----

三、解答题(共9小题)

12.(2021•长春)如图，在菱形AB8中，对角线AC与应)相交于点O,AC=4,8。=8,点E在边4)

上，AE=-AD,连结班1交AC于点M.

3

(1)求AM的长.

(2)tan/MBO的值为.

13.(2021•江西)已知正方形ABCD的边长为4个单位长度，点E是CD的中点，请仅用无刻度直尺按下列

要求作图(保留作图痕迹).

(1)在图1中，将直线AC绕着正方形438的中心顺时针旋转45。；

(2)在图2中，将直线AC向上平移1个单位长度.

14.(2021•百色)如图，PM、PN是OO的切线，切点分别是A、B,过点O的直线CE//PN,交O。于

点C、D,交.PM于点、E,AO的延长线交PN于点尸，若BCI/PM.

(1)求证：ZP=45°；

(2)若8=6,求PF的长.

N

15.(2021•黑龙江)己知ZABC=60°,点F在直线8c上，以AF为边作等边三角形AFE,过点E作EDA.AB

于点。.请解答下列问题:

图①图②图③

(1)如图①，求证：AB+BF=2BD；

(2)如图②、图③，线段AB,BF,8D又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明.

16.(2021•黑龙江)如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内,

A4BO的三个顶点坐标分别为A(-l,3),8(-4,3),0(0,0).

(1)画出AA8O关于x轴对称的△4与0,并写出点A的坐标;

(2)画出A48O绕点。顺时针旋转90。后得到的△人与。，并写出点儿的坐标;

(3)在(2)的条件下，求点A旋转到点为所经过的路径长(结果保留；r).

17.（2021•贵港）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）.如图，已知AABC,iLAB>AC.

（1）在AB边上求作点O,使£>B=£）C；

（2）在AC边上求作点E,使AADEs.CB.

18.（2021•绥化）如图所示，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，把小正方形的顶点叫做

格点，O为平面直角坐标系的原点，矩形。WC的4个顶点均在格点上，连接对角线03.

（1）在平面直角坐标系内，以原点O为位似中心，把AOAB缩小，作出它的位似图形，并且使所作的位似

图形与A。记的相似比等于4；

2

（2）将AOAB以O为旋转中心，逆时针旋转90。，得到△。4,耳，作出△04百，并求，出线段03旋转过

程中所形成扇形的周长.

19.（2021•北京）如图，在AABC中，AB=AC,ABAC=a,M为8c的中点，点。在上，以点A为

中心，将线段AD顺时针旋转a得到线段AE,连接BE,DE.

（1）比较NS4E与NC4D的大小；用等式表示线段BE,BM,之间的数量关系，并证明；

（2）过点〃作A3的垂线，交DE于氤N,用等式表示线段NE与N£>的数量关系，并证明.

E

20.(2021•重庆)在等边A48c中，AB=6,f3D±AC,垂足为。，点E为"边上一点，点F为直线BD

上一点，连接印.

(1)将线段EF绕点£逆时针旋转60°得到线段EG,连接FG.

①如图1,当点E与点3重合，且GF的延长线过点C时，连接OG,求线段。G的长;

②如图2,点E不与点A,8重合，G尸的延长线交边于点H,连接求证：BE+BH=6BF；

(2)如图3,当点E为中点时，点M为比;中点，点N在边AC上，且DN=2NC,点、F从BD中点、Q

沿射线QD运动，将线段EF绕点E顺时针旋转60。得到线段EP,连接尸P,当最小时，直接写

2

出ADPN的面积.

图2图3

2021年中考数学真题分类汇编之图形的旋转与相似

参考答案与试题解析

一、选择题（共6小题）

1.（2021•黄石）如图，A4BC的三个顶点都在方格纸的格点上，其中A点的坐标是（-1,0）,现将AABC绕A

点按逆时针方向旋转90。，则旋转后点C的坐标是（）

C.(-2,2)D.(-3⑵

【答案】B

【考点】坐标与图形变化-旋转

【专题】几何直观；作图题

【分析】利用旋转变换的性质分别作出3,C的对应点8,C可得结论.

【点评】本题考查坐标与图形变化-旋转，平移等知识，解题的关键是熟练掌握旋转变换的性质，属于中

考常考题型.

2.（2021•贺州）在平面直角坐标系中，点A（3,2）关于原点对称的点的坐标是（）

A.(-3,2)B.(3,-2)C.(-2,-3)D.(-3,-2)

【答案】D

【考点】关于原点对称的点的坐标

【专题】符号意识；平面直角坐标系

【分析】两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x,y)关于原点O的对称点是尸(-x,-y).

【解答】解：点(3,2)关于原点对称的点的坐标是：(-3,-2).

故选：D.

【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键.

3.(2021•哈尔滨)如图，在AABC中，DEHBC,4)=2,应)=3,AC=1O,则的长为()

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【考点】平行线分线段成比例

【专题】推理能力；图形的相似

【分析】根据平行线分线段成比例由0E//3C得到丝=空，然后根据比例的性质可求出

ABAC

【解答】解：・・・£>£/ABC,

ADAE

..---=---,

ABAC

♦.,4)=2,BD=3,AC=\O,

,2AE

"2+3--m(

:.AE=4.

故选：B.

【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.

4.(2021•广西)平面直角坐标系内与点尸(3,4)关于原点对称的点的坐标是()

A.(-3,4)B.(-3,-4)C.(3,-4)D.(4,3)

【答案】B

【考点】关于原点对称的点的坐标

【专题】平面直角坐标系；符号意识

【分析】平面直角坐标系中任意一点P(x,y),关于原点的对称点是记忆方法是结合平面直角坐标

系的图形记忆.

【解答】解：点P（3,4）关于中心对称的点的坐标为（-3,-4）.

故选：B.

【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键.

5.（2021•本溪）下列漂亮的图案中似乎包含了一些曲线，其实它们这种神韵是由多条线段呈现出来的，这

些图案中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

【答案】A

【考点】轴对称图形；中心对称图形

【专题】平移、旋转与对称；空间观念

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解.

【解答】解：A.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；

B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；

C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；

D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意.

故选：A.

【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折

叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.

6.（2021•安徽）如图，在菱形ABCD中，AB=2,ZA=120°,过菱形的对称中心O分别作边他，

3c的垂线，交各边于点E,F,G,H,则四边形EFG”的周长为（）

A.3+6B.2+26C.2+x/3D.l+2x/3

【答案】A

【考点】等边三角形的判定与性质；中心对称；菱形的性质

【专题】平移、旋转与对称；矩形菱形正方形；推理能力

【分析】证明是等边三角形，求出防，同法可证ADG",AEOH,都是等边三角形，求出£77,

GF,FG即可.

【解答】解：如图，连接瓦＞,AC.

・・•四边形ABCD是菱形，ZBAD=120°,

；.AB=BC=CD=AD=2,ZBAO=ZDAO=60°,BDLAC,

ZABO=ZCBO=30°.

OA=—AB=1,OB=A/3OA=G,

2

•,OE±AB,OF上BC,

：.ZBEO=/BFO=%。,

在ABEO和AB尸O中，

/BEO=/BFO

<ZEBO=ZFBO,

BO=BO

:.^BEO=ABFO(AAS),

:.OE=OF,BE=BF,

・・・ZEBF=60。，

；.MEF是等边三角形,

.•.£F=BE=V3X—=-,

22

同法可证，NDGH,\OEH,AO/G都是等边三角形，

,'.EF=GH=-EH=FG=—,

292

二.四边形ER3H的周长=3+6，

故选：A.

【点评】本题考查中心对称，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键

是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型.

二、填空题（共5小题）

7.（2021•上海）定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离，在平面内

有一个正方形，边长为2,中心为O,在正方形外有一点尸，OP=2,当正方形绕着点。旋转时，则点P到

正方形的最短距离d的取值范围为_2-何口1_.

C

【答案】2-也融1.

【考点】正方形的性质；旋转的性质

【专题】矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；推理能力

【分析】由题意以及正方形的性质得OP过正方形A8CD各边的中点时，d最大,OP过正方形A8CD的顶

点时，d最小，分别求出d的值即可得出答案.

【解答】解：如图：设他的中点是£,OP过点£时，点O与边口上所有点的连线中，OE最小，此时d=PE

最大，OP过顶点A时，点。与边河上所有点的连线中，最大，此时4=R4最小，

如图①：•.•正方形ABCD边长为2,O为正方形中心,

：.AE^1,ZOAE=45°,OE1AB,

:.OE=\,

-,-OP=2,

:.d=PE=l；

如图②：•.•正方形ABC。边长为2,。为正方形中心，

:.AE=1,Z.OAE=45°,OEYAB,

：.OA=y/2,

♦.6=2,

:.d=PA=2-yf2；

的取值范围为2-夜蒯/1.

故答案为：2-夜蒯/1.

【点评】本题考查正方形的性质，旋转的性质，根据题意得出d最大、最小时点尸的位置是解题的关键.

8.（2021•青海）如图所示的图案由三个叶片组成，绕点O旋转120。后可以和自身重合.若每个叶片的面积

为4c>,NAOB为120。，则图中阴影部分的面积之和为4cm,.

【考点】旋转对称图形

【专题】平移、旋转与对称；几何直观

【分析】由于NAOB为120。，由三个叶片组成，绕点O旋转120。后可以和自身重合，所以图中阴影部分的

面积之和等于三个叶片的面积和的三分之一.

【解答】解：•.•三个叶片组成，绕点O旋转120。后可以和自身重合，

而NAOB为120。，

图中阴影部分的面积之和=3（4+4+4）=4（的2）.

故答案为4.

【点评】本题考查了旋转对称图形：如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360。）后能与原图形

重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形.

9.（2021•牡丹江）如图，矩形中，A。=,点E在边上，且AE=AZ）,。尸_LAE于点F,

连接。E,BF,3尸的延长线交小于点O,交CD于点G.以下结论:

@AF=DC，②OF:BF=CE:CG,③=啦$皿<；，④图形中相似三角形有6对，则正确结论的序号

是①②.

【答案】①②.

【考点】全等三角形的判定与性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质

【专题】三角形；矩形菱形正方形；应用意识

【分析】①根据A4S证AD户E=ADCE■即可得£>F=£>C,根据A£>=043,得出即A45E是等

腰直角三角形，A/也是等腰直角三角形，即AfuDFuDC,故①正确；

②作FH_LA£>于H,得出歹是3G的中点，即BF=FG,连接Cr，证XOEFsmCG即可得证

OF:BF=CE-.CG,即②正确；

③令4?=1,分别求出DG和CG的长度，可得出CG=e〃G,故48“=夜5必忆错误，即③不正确；

④根据角相等可以得出图形中相似三角形如下：^ABE^/SAFD,这是1对；AABF^AOEF^AADE,可组

成3对；ABCGsADCEsAD庄，又可组成3对；ABEF^ABOE^^DOG^AFDG,还可组成6对.综上，

图形中相似三角形有13对，故④不正确.

【解答】解：®-;AE=AD,AD=41AB,

：.AE=4IAB,

即A43E是等腰直角三角形,

,-.ZBAE=45°,

.•.Zft4F=900_45°=45。，

即A4/D为等腰直角三角形,

：.AF=DF,

•;ADIIBC,

.-.ZADE=ZDEC,

.AE^AD,

:.ZAED=ZADE,

:.ZAED=ADEC,

又•；NDFE=ZDCE=90。,DE=DE,

\DFE=\DCE(AAS),

:.DF=DC,

即AF=DC,

故①正确：

②由①知A4AD为等腰直角三角形，

如图1,作/H_L4)于，，连接CF,

.•.点〃是AD的中点，

点尸是BG的中点，

即BF=FG=FC,

vZAEB=45o,

NEFC=Z.ECF=-ZAEB=22.5°,

2

ZFCG=ZFGC=90。一22.5°=67.5°,

ZOFE=ZAFB=g(180°-45°)=67.5°,ZOEF=90°-Z£DF=90°-22.5°=67.5°,

/.ZFCG=ZFGC=ZOFE=NOEF,

:.AGFC^AFOE,

:.OF:FC=EF,CG,

又•；FC=BE,EF=CE,

:.OF-.BF=CE:CG,

即②正确；

③令AB=1,则AQ=A£=BC=夜，

.-.C£=V2-1,

•/ZGBC=ZEDC,ZDCE=ZBCG=90°,

...ABCGSADCE,

BCDC

~CG~~CE

V21

即：

CG-V2-1

CG=2-,^2,

DG=1—(2—>/2)=5/2—1,

:.CG=&DG,

'''SgCG=J5SAO.G不成“，

即③不正确；

④根据角相等可以得出图形中相似三角形如下：AABESWD,这是1对；AABF^AOEF^AADE,可组

成3对；ABCGSADCESAOFE,又可组成3对；\BEF^^OE^^DOG^\FDG,还可组成6对，

综上，图形中相似三角形有13对，故④不正确.

故答案为：①②.

【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，利用辅助线构造相似三角形

是解题的关键.

10.(2021•抚顺)在平面直角坐标系中，点M(-2,4)关于原点对称的点的坐标是_(2,-4)

【答案】(2,-4).

【考点】关于原点对称的点的坐标

【专题】数感；平面直角坐标系

【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案.

【解答】解：点(-2,4)关于原点对称的点的坐标为(2,T).

故答案为：(2,-4).

【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对

称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数.

11.(2021•大庆)已知±=上=三，则'*.

234yz16一

【考点】比例的性质

【专题】实数；运算能力

【分析】设2=2=三=4，分别求出X、y、Z的值，代入所求式子化简即可.

234

【解答】解：设f=2=三=R，

234

/.x=2kfy=3kfz=4A,

./+外4r+2h3。101_5

-yz-3h4Z~-12F~6T

故答案为3.

6

【点评】本题考查比例的性质，利用比值相等的特点，将已知等式进行转化得到x=2A:,y=3k,z=4l是

解题的关键.

三、解答题（共9小题）

12.（2021•长春）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与如相交于点O,AC=4,BD=8,点E在边AD

上，AE=-AD,连结班'交AC于点M.

3

（1）求AW的长.

（2）tan/MBO的值为

【答案】（1）1.

【考点】菱形的性质；解直角三角形；相似三角形的判定与性质

【专题】解直角三角形及其应用；矩形菱形正方形：推理能力

【分析】（1）由菱形的性质可得MSWSACBM,再由也.=空求解.

CMBC

（2）由tanNMBO="求解.

BO

【解答】解：（1）在菱形ABCD中，

AD//BC,AD=BC,

..AAEMSACBM，

.AMAE

CM'

•/AE=-AD,

3

：.AE=-BC,

3

.AMAE_\

"CM~BC~3,

AM=-CM=-AC=].

34

（2）■.■A0=-AC=2,f3O=-BD=4,ACrBD,

22

:.ZBOM=90°,AM=OM=-AO=\,

2

tanNMBO=.

BO4

故答案为：

4

【点评】本题考查菱形与直角三角形，解题关键是熟练掌握菱形的性质与解直角三角形的方法.

13.（2021•江西）已知正方形ABCD的边长为4个单位长度，点E是8的中点，请仅用无刻度直尺按下列

要求作图（保留作图痕迹）.

（1）在图1中，将直线AC绕着正方形438的中心顺时针旋转45。；

（2）在图2中，将直线AC向上平移1个单位长度.

【考点】作图-平移变换；正方形的性质；作图-旋转变换；全等三角形的判定与性质

【专题】几何直观；作图题；平移、旋转与对称

【分析】（1）根据正方形的性质和旋转的性质即可作出图形；

（2）根据平移的性质即可作出图形.

【解答】解：（1）如图1,直线/即为所求；

图2

（2）如图2中，直线a即为所求.

【点评】本题考查了作图-旋转变换，作图-平移变换，正方形的性质，解决本题的关键是掌握旋转的性质

和平移的性质.

14.（2021•百色）如图，PM、/W是。。的切线，切点分别是A、B,过点O的直线CE//PN,交。。于

点C、D,交于点E,AD的延长线交PN于点尸，若3C7/PM.

（1）求证：NP=45。；

（2）若C£>=6,求PF的长.

【答案】（1）见解析；（2）PF=3.

【考点】圆周角定理；垂径定理；相似三角形的判定与性质；切线的性质

【专题】图形的相似；正多边形与圆；应用意识

【分析】（1）连接03,PM、PN切。。于点A、B,根据平行四边形的判定得出四边形P3CE是平行四

边形，即NP=NC=45。，

（2）CD=6,由（1）得N1=NP=45。，根据勾股定理得出OE的长度，由相似三角形的判定得出

AAED^AAPF,根据相似比可以得出尸尸的长.

【解答】解：(1)证明：连接08,

・；PM、PN切OO于点A、B,

:.OALPM,OB工PN,

•：CEHPN,

,\OB±CE9

・・・OB=OC,

.\ZC=45°,

•,BC〃PM,

四边形尸3CE是平行四边形，

/.ZP=ZC=45°；

(2)・.・8=6,

:.OB=OA=OD=3,

由(1)WZ1=ZP=45°,

AE=OA=3，

:.OE=V32+32=3y/2=BC,

:.PE=BC=3^,ED=OE-OD=3x/2-3,

-,-ED//PF,

AAEZ>^AAPF，

AEED

——=——,

APPF

即--=巫2,

30+3PF

:.PF=3.

【点评】本题考查相似三角形的判定与定理、垂径定理、圆周角定理、切线的性质.解本题要熟练掌握相

似三角形的判定与定理、垂径定理、圆周角定理、切线的性质等这些基本知识点.

15.(2021•黑龙江)已知60°,点F在直线上，以AF为边作等边三角形AFE,过点E作ED±AB

于点。.请解答下列问题：

图①图②图③

(1)如图①，求证：AB+BF=2BD-,

(2)如图②、图③，线段AB,BF,8。又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明.

【答案】(1)证明见解析部分.

(2)如图②，结论：AB—BF=2BD,如图③，结论：BF-AB=2BD,证明见解析部分.

【考点】几何变换综合题

【专题】几何综合题；推理能力

【分析】(1)如图①中，连接8E,在8c的延长线上截取3T,使得37=84,连接AT.根据等边三角形

的性质得到AF=AE,N7XB=ZE4E=60。，推出NZ477=Na4E,证得AA7F三AAfiE,根据

全等三角形的性质得到7F=BE,ZA7B=ZAB£=60°,根据直角三角形的性质得到80='BE,等量代换

2

即可得到结论；

(2)①如图②中，结论：AB—BF=2BD.连接5E,在BC的延长线上截取BT,使得=84,连接AT.根

据等边三角形的性质得到4C=A8,AF^AE,NC4B=NE4E=60。，推出NC4尸=NB4E,证得

AACF=MBE,根据全等三角形的性质得到CF=3E,NC=NASE=60。，根据直角三角形的性质得到

BI)=-BE,等量代换即可得到结论.②如图③中，结论：BF-AB=2BD,证明类似①中.

2

【解答】(1)证明：如图①中，连接8E,在3c的延长线上截取取，使得取=84,连接AT.

E

:./\ABT是等边二角形，

vAABT,AAEF是等边三角形，

/.AT=AB,AF=AE,N7XB=NE4E=60。，

:.ZTAF=ZBAE,

在AA7F与AAB石中，

AT=AB

<ZTAF=ZBAE,

AF=AE

M7F=MBE(SAS),

:.TF=BE,NA7B=NA晅=60。，

v£D±AB,

:.ZDEB=30°,

:.BD=-BE,

2

:.TF=2BD,

・.・BT=AB,

.\AB+BF=2BD.

(2)①如图②，结论：AB-BF=2BD.

理由：连接BE,在8C的延长线上截取仃，使得87=84,连接AT.

图②

\AABT,AAEF是等边三角形，

/.AT=AB,AF=AE,ZTAB=ZFAE=60°,

:.ZTAF=ZBAE,

在AA7F与AABE中，

AT=AB

<ZTAF=/BAE,

AF=AE

M7F会/SABE(SAS),

:.TF=BE,ZATF=ZABE=60。，

:.ZEBD=60°，

vED±AB,

.\ZDEB=30°,

:.BD=-BE,

2

:.TF=2BD,

-：BT=AB,

:.AB=2BD,

:.AB-BF=2BD.

②如图③，结论：BF-AB=2BD.

理由：连接BK,在3。上截取BT,使得BT=BA,连接AT.

图③

vAABT,AA£F是等边三角形，

:.AT=AB,AF=AE,

.\ZTAF=ZBAE,

在AA7F与AASE中，

AT=AB

<ZTAF=ZBAE,

AF=AE

^ATFMBE(SAS),

:.TF=BE,ZA7F=ZABE=120。，

.­.ZEBD=60°

・•."£»=30。，

:.BD=-BE

2f

:.TF=2BD,

・.・BT=AB,

:,BF-AB=2BD

【点评】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形，直角三角形的性质，

正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.

16.(2021•黑龙江)如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内,

A4BO的三个顶点坐标分别为A(—l,3),8(-4,3),0(0,0).

(1)画出AA3O关于x轴对称的△并写出点4的坐标；

(2)画出A43O绕点O顺时针旋转90。后得到的△人&0,并写出点&的坐标；

(3)在(2)的条件下，求点A旋转到点A?所经过的路径长(结果保留；r).

【答案】(1)作图见解析部分，A的坐标(-1,-3)；

(2)作图见解析部分，点4的坐标(3,1)；

小回

(3)-----71.

2

【考点】轨迹；作图-旋转变换；作图-轴对称变换

【专题】几何直观；平移、旋转与对称

【分析】(1)利用轴对称的性质分别作出A,B的对称点A，即可.

(2)利用旋转变换的性质分别作出A,3的对应点为,区即可.

(3)利用弧长公式/=也，求解即可.

180

【解答】解：(1)如图，△4与。即为所求，点4的坐标(-1,-3)；

(2)如图，即为所求，点4的坐标(3,1)；

(3)点A旋转到点儿所经过的路径长=甄二叵=典万

1802

【点评】本题考查作图-旋转变换，轴对称变换，弧长公式等知识，解题的关键是熟练掌握旋转变换，轴

对称变换的性质，属于中考常考题型.

17.（2021•贵港）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）.如图，已知AABC,且

（1）在A3边上求作点O,使。8=DC；

（2）在AC边上求作点E,使AADESA4cB.

【考点】线段垂直平分线的性质；作图-相似变换

【专题】作图题；几何直观

【分析】（1）作线段8c的垂直平分线交A8于点。，连接8即可.

（2）作NA0T=NACB,射线0T交AC于点E,点E即为所求.

【解答】解：（1）如图，点。即为所求.

（2）如图，点E即为所求.

【点评】本题考查作图-相似变换，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用

所学知识解决问题.

18.（2021•绥化）如图所示，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，把小正方形的顶点叫做

格点，O为平面直角坐标系的原点，矩形。4BC的4个顶点均在格点上，连接对角线08.

（1）在平面直角坐标系内，以原点O为位似中心，把AOAB缩小，作出它的位似图形，并且使所作的位似

图形与AQ钻的相似比等于4：

2

（2）将Aas以O为旋转中心，逆时针旋转90。，得到△OAB「作出△。4田，并求，出线段08旋转过

(2)4A/13+713^-.

【考点】矩形的性质：弧长的计算：作图-旋转变换：作图-位似变换

【专题】作图题；几何直观

【分析】(1)根据位似变换的性质作出图形即可，注意有两种情形.

(2)利用勾股定理，弧长公式求解即可.

【解答】解：(1)如图，△OA6或△04"次即为所求.

（2）如图，即为所求.0B="+6,=2g,

线段08旋转过程中所形成扇形的周长=2x2万+也为叵=4乃.

180

【点评】本题考查作图-位似变换，旋转变换，弧长公式等知识，解题的关键是熟练掌握旋转变换的性质,

属于中考常考题型.

19.（2021•北京）如图，在AAfiC中，AB=AC,ZBAC=a,M为BC的中点，点。在上，以点A为

中心，将线段4）顺时针旋转a得到线段AE,连接DE.

（1）比较N&4E与NC4D的大小；用等式表示线段BE,BM,用。之间的数量关系，并证明；

（2）过点M作/记的垂线，交DE于氤N,用等式表示线段NE与A©的数量关系，并证明.

【答案】（1）ZBAE=ZCAD,BE+MD=BM；（2）EN=DN.

【考点】全等三角形的判定与性质；旋转的性质

【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力

【分析】（1）由NZM£=44C可得44E=NC4£>,然后SAS证=AAC£>即可；

（2）作.9交3c于〃，可证ABEFm&BHF得BE=BH,再证用H=再借助肱V///7F,由平

行线分线段成比例即可证出.

【解答】解：（1）-.-ZDAE=ZBAC=a,

ZDAE-ABAD=ABAC-ABAD,

即Nfi4E=NCM>,

在AASE和AACD中，

AB=AC

<Z.BAE=Z.CAD,

AE=AD

.■.AABEwAAC5sAS）,

:.BE=CD,

•.•M为3c的中点，

/.BM=CM,

:.BE+MD=BM；

(2)如图，作交8C于”，交AB于尸，

由(1)AA8EMAA8得：ZABE=ZACD,

-.■ZACD=ZABC,

:.ZABE=ZABD,

在Afi防和中，

,ZEBF=ZHBF

<BF=BF,

NBFE=NBFH

^BEF三ABHF(ASA),

:.BE=BH,

由(1)知：BE+MD=BM,

:.MH=MD,

•：MNIIHF,

.ENMH

"而一砺’

【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的对称性等知识，作

构造出全等三角形是解题的关键.

20.（2021•重庆）在等边AA8c中，AB=6,BDrAC,垂足为D,点,E为AB边上一点，点F为直线BD

上一点，连接£F.

（1）将线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG,连接FG.

①如图1,当点E与点8重合，且G/7的延长线过点C时，连接。G,求线段OG的长；

②如图2,点£不与点A,8重合，G尸的延长线交BC边于点H,连接求证：BE+BH=-^BF；

（2）如图3,当点E为相中点时，点M为破中点，点N在边AC上，且DN=2NC,点F从BD中点Q

沿射线。。运动，将线段所绕点E顺时针旋转60。得到线段），连接尸尸，当NP+g〃P最小时，直接写

出ADPN的面积.

【答案】（1）①句;

②证明见解答过程；

⑵”

3

【考点】几何变换综合题

【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形：推理能力；模型思想；应用意识

【分析】（1）①过。作七），_LGC于”，先证明ABG/是等边三角形，求出CD长度，再证明BFuCVuG/7,

从而在RlABDC中，求出CF=———=--一=26,即得G5,在RtACDH中，求出

cosZDCFcos30°

£>”=C£>-sin30°=a和C〃=C£）cos30°=更，可得GH=GF+FH=史,RtAGHD中，即可得到

222

DG=-JGH2+DH2=721；

②过E作交3。于P,过”作MH_L3C交皮）于M,连接尸G,作3P中点N,连接EV,由

ZABC+ZE/77=180°,得B、E、F、〃共圆，可得NFBH=/FEH,从而可证//F=GF,由£、P、

F、G共圆可得/比断=/6尸尸=60。，故.暮JFPwHFM,PF=FM,可得NF=MH,BF=MH+EP,

h巧

在RtABEP中，EP=BEtan300=—BE,RtRVIHB中，MH=BH-tan300=—BH,即可得到

33

BE+BH=y/3BF；

（2）以M为顶点，MP为一边，作NHWL=30。，ML交,BD于G,过尸作于H,设初户交3D于

K,RtAPMH中，HP=-MP,NP+^MP最小即是NP+HP最小，此时N、P、”共线，而将线段EF

22

绕点E•顺时针旋转60。得到线段EP,可得NQK尸=NFEP=60。，从而可证ML//AC,四边形GMVD是矩

形，由DN=2NC,得DN=GH=2,由等边AABC中，AB=6,点后为AB中点时，点M为8E中点，可

得8M=3,BD=ABsinA=3y/3,RtABGM中，MG=-BM=-,BG=cos30°=—,可求

2244

MH=MG+GH=—,GD=BD-BG=^—,RtAMHP中，可得HP=—^—,从而可得

4412

PN=HN-HP=GD—HP=^~,故$ADPN=；PN,DN=更・

【解答】解：（1）①过。作D"_LGC于”，如图：

•・・线段£F绕点上逆时针旋转60。得到线段EG,点£与点3重合，且G尸的延长线过点C,

，BG=BF,N—5G=60°,

:.ABGF是等边三角形，

/.ZBFG=ZDFC=60°,BF=GF,

••等边A/WC,AB=6,BD1.AC,

.ZDCF=180°-ZBDC-Z.DFC=30°,NDBC=1ZABC=30。,CD=-AC=-AB=3f

222

4BCG=ZACB-ADCF=30°,

ZBCG=ZDBC,

；,BF=CF,

；,GF=CF,

RtAFDC中，CF=———=―-—=26，

cosZ.DCFcos30°

.-.GF=2y/3,

RtACDH中，DH=CDsin300=-,CH=CDcos300=—,

22

：.FH=CF-CH=—,

2

sh

・•.GH=GF+FH=­

2f

RtAGHD中，DG=\lGH2+DH2=后；

②过E作£?，他交班）于尸，过H作MHLBC交BD于M,连接PG,作B尸中点N,连接回V,如图:

・・・EF绕点£逆时针旋转60。得到线段EG,

/.AEGF是等边三角形，

/.Z.EFG=AEGF=Z.GEF=60°,NEFH=120。,EF=GF,

・・・AABC是等边三角形，

/.ZABC=60°,

:.ZABC+ZEFH=\S00,

...B、E、F、”共圆，

.\ZFBH=ZFEHf

而AABC是等边三角形，BDVAC,

:.ADBC=ZABD=3(T,即NFBH=30。，

/./FEH=30。,

ZFHE=180O-ZEFH-ZFEH=30°,

.・.EF=HF=GF①,

v£P±AB,ZABE>=30°,

/.ZEPB=60°,Z£PF=120°,

.\ZEPF+ZEGF=180°,

・•・£：、P、F、G共圆，

ZGPF=ZGEF=60°,

,.MH工BC,NDBC=30。,

.\ZBMH=60°,

:・ZBMH=/GPF②,

而NGFP=NHFM③,

由①②③得bGFP三*FM〈AAS),

:.PF=FM,

.EPLAB,BP中点N,ZABD=30°,

:.EP=-BP=BN=NP,

2

:.PF+NP=FM+BN,

:.NF=-BM,

2

RlAMHB中，MH=-BM,

2

:.NF=MH,

:.NF+BN=MH+EP,^BF=MH+EP,

RtABEP中，EP=BE-tan300=—BE,

3

RtAMHB中，MH=BHVdn30°=—BH,

3

:.BF=—BE+—BH,

33

:.BE+BH=6BF；

(2)以例为顶点，MP为一边，作NWWL=30。，ML交BD于G,过P作于H,设MP交BD于

K,如图：

.•.NP+'MP最小即是NP+HP最小，此时N、P、，共线，

2

•••将线段EF绕点E顺时针旋转60。得到线段EP,

,户在射线QF上运动，则尸在射线上运动，根据“瓜豆原理”，尸为主动点，P是从动点，E为定点,

ZFEP=6O°,则F、P轨迹的夹角NQKP=NFEP=60。，

/.ZBAJW=60°,

•/ZABD=30°，

=90°,

-,•ZPML=30°,

:.ZBML=6O。,

:.ZBML=ZA,

:.MLIIAC,

ZHNA=180°-4PHM=90°,

而60_LAC,

・•.ZBDC=Z/ZV4=4PHM=90°,

四边形G”NO是矩形，

:.DN=GH,

・・•等边AABC中，AB=6,BD±AC,

,\CD=3，

又DN=2NC,

:.DN=GH=2,

•.•等边A4BC中，AB=6,点£为回中点时，点M为BE中点,

3

/.BM=—,BD=AB•sinA=6xsin60°=3G,

2

Io3c

RtABGM中，MG=-BM=-,=cos30°=—,

244

.\MH=MG+GH=—GD=BD-BG=—,

4f4

RtAMHP中，"尸=MHtan300=^^,