新人教版A版高中数学（必修2）3.1 两条直线的交点坐标

§3.1两条直线的交点坐标

心学习目标

1.掌握判断两直线相交的方法；会求两直线交点坐标；

2.体会判断两直线相交中的数形结合思想.

五、预习与自学

(预习教材户102~尸104,找出疑惑之处)

问题1：已知两直线方程《：Ax+Bj+G=0,/ziA^+B,y+CzuO,如何判断这两条直线

的位置关系？

应用：可以利用两直线的个数判断两直线的位置关系：

(1)若二元一次方程组有•个解，则4与一。

(2)若二元一次方程组无解，则人与4。

(3)若二元一次方程组有无数个解，则4与4―。

探究：两直线是否相交与其方程组成的方程组的系数有何关系？

问题2：如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？

求法：用代数法求两条直线的交点坐标，两直线方程联立方程组，此方程组的就是这

两条直线的交点坐标，因此解方程组即可。

尝试：判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标.

(1)/(:x-2y=0,/2:3x+4y-10=0；

(2)/l：3x-y=O,/2:6x-2y+l=0；

(3)Z,：3x+4y-6=0,/2:6x+8y-12=0.

§3.3.1两条直线的交点坐标

心学习目标

1.掌握判断两直线相交的方法；会求两直线交点坐标；

2.他会判断两直线相交中的数形结合思想.

心学习过程

一、当堂检测：

1.两直线4：x+2y+l=0,4：-x+2y+2=0的交点坐标为（）.

2.两条直线3x+2y+n=0和2x-3y+l=0的位置关系是（）.

A.平行B.相交且垂直

C.相交但不垂直D.与"的值有关

3.当k为何值时，直线y=fcx+3过直线2x-y

+1=0与y=x+5的交点？

二、综合提高

例1、求经过两直线2x-3），-l=0和x+），+2=0的交点且与直线3x+），-l=0平行的直线方

程.

变式：求经过两直线2x-3），-l=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-l=0垂直的直线

方程.

例2、当力变化时，方程3x+4y-2+2（2x+y+2）=0表示何图形，图形有何特点？求出这些

图形的交点坐标。

变式：直线mv+y-w=O,无论加取任意实数，它都过点.

例3.已知两条直线4:(3+m)x+4y=5-3加，/,:2x+(5+m)y=8,试分别求实数〃2的值:

(1)/,Z2;(2)/,1/2；(3)相交

变式：与直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线方程是().

A.3x-2y+2=0B.2x+3y+7=0

C.3x-2y-12=0D.2x+3y+8=0

三、总结提升：

i.两直线的交点问题.一般地，将两条直线的方程联立，得方程组[4X+4)'+G=°,若

[A2x+B2y+C2=0

方程组有唯一解，则两直线相交；若方程组有无数组解，则两直线重合；若方程组无解，则

两直线平行.

2.直线号直线的位置关系，求两直线的交点坐标，能将几何问题转化为代数问题来解决.

四、心课后作业

1、点M(1⑵与直线/:2x—4y+3=0的位置关系是()

A.MelBM^l.C.重合D.不确定

2.已知点A(5,8),8(4,l),则点A关于点B的对称点C的坐标.

3.光线从M(-2,3)射到x轴上的一点尸(1,0)后被x轴反射，则反射光线所在的直线方

程.

4.若直线4:qx+4y=1与直线4：电工+62y=1的交点为(2，T)，则为-&=.

5.直线2x+4y-2m-1=0与直线2x+3y-〃?=0的交点在第四象限，求，*的取值范围.

6.已知直线4的方程为Ax+3y+C=0,直线4

的方程为2x-3)，+4=0,若4,4的交点在y轴上，求C的值.

7、已知两点A(-2,l),8(4,3),求经过两直线2方一3丫+26=0和3;(:+2)，-26=0的交点和线段

A8中点的直线/的方程.

8、已知直线6：x+my+6=0,l2：(m-2)x+3y+2m=0,试分别求实数的值:

(1)/,///,；(2)/,±/2：(3)相交

五、预习与自学

(预习教材？04~尸侬，找出疑惑之处)

问题1：已知数轴上两点4,8,怎么求A,8的距离？

问题2：怎么求坐标平面上两点的距离？及A,B的中点坐标？

1、(1)公式：已知平面上两点《(网,％),6区,%)，则1片61=1

(2)/>(%,,)>,),/>(x2,y2)的中点坐标为。

2、文字叙述：______________________________

_________________________________________O

特殊地：尸(x,y)与原点的距离为10尸1=.

尝试：已知点A(8,10),8(-4,4)求线段AB的长及中点坐标.

问题3：坐标法

1、定义：_________________________________

____________________________________________________________________________________________O

2、步骤：(1)建立，用坐标表示有关量,(2)进行运算，(3)把代

数运算“"成几何关系。

§3.3.2两点间的距离

心学习目标

1.掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题.

2.通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性.

3.体会事物之间的内在联系，，能用代数方法解决几何问题.

一、当堂检测：

1.两点4(-1,3),8(2,5)之间的距离为().

A.2GB.V13C.VHD.3

2.以点A(-3,0),8(3,-2),C(-l,2)为顶点的三角形是()三角形.

A.等腰B.等边C.直角D.以上都不是

3.已知点,在x轴上存在一点P,使|PA|=|PB|,则

—,上宁幺、力？二白;

例；、漏点间距离公式的推导：

已知平面上两点片(石,％),£(&,当)，从点片分别向X轴和y轴作垂线，垂足分别为

M(o,%),%(尤2,0)。直线GM与P2?相交于点Q。

在直角ABC中，帜鸟「=忸0『+过图2,为了计算其长度，过点6向x轴作垂线，垂

足为M(x,0)过点向y轴作垂线，垂足为％2(0,%)，于是有

照「=|%%「=区7『,以「=用&『=|%-才所以，

忸=忸+|以「=k-玉「+|乃一弘「。

由此得到两点间的距离公式

忸止丁(仁一*21+(%-4)2

例2、已知A(a,3)和B(3,3a+3)的距离为5,求a的值。

变式:已知人(1,-1)出(43),(2(4,5),且|4同=忸1，则a=.

例3、证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和.

变式：证明直角三角形斜边上的中点到三个顶点的距离相等.

三、总结提升：

1.坐标法的步骤：①建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示有关的量；②进行有关的代数

运算；口把代数运算结果“翻译”成几何关系.

四、心课后作业

1、已知A(2』),B(-l,b),1.=54肌等于()

A.-3B.5C.-3或5D.-1或-3

2.已知点A(4,12),在x轴上的点P与点A的距离等于13,求点P的坐标.

3、已知点A(1,2).B(3,4),C(5,O),求证：A4BC是等腰三角形.

4、已知\ABC的顶点坐标为4(L2),8(3,4),C(5,0)求BC边上的中线AM的长。

5、用坐标法证明：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。

6.已知直线/经过点。(3,1),且被两平行直线4：x+y+l=O,和ix+y+6=0所截

线段长为5,求直线/的方程.

五、预习与自学

(预习教材P106~P09,找出疑惑之处)

问题1.在平面直角坐标系中，如果已知某点P的坐标为(玉),%),直线/的方程是

l-.Ax+By+C=O,怎样用点的坐标和直线的方程直接求点尸到直线/的距离呢？

1、方法1：

2、方法2：

结论：已知点P(%,y0)和直线/:Ax+&y+C=O,则点尸到直线/的距离为：d=

注意：⑴点到直线的距离是直线上的点与直线外•点的连线的最短距离;

⑵在运用公式时，直线的方程要先化为一般式.

尝试：分别求出点力(0,2),8(-1,0)分别到直线京-4丫-1=0的距离

问题2：在直线方程/:4工+8)，+。=0中，如果A=0,或8=0,怎样用点的坐标和直线

的方程直接求点P到直线/的距离呢并画出图形来.

尝试：求点P(-L2)到直线3y=2的距离。

问题3：设直线如何求4与。间的距离？

1、定义：夹在两条平行直线间的长叫做这两条平行直线间的距离。

2、思路：转化为的距离。

尝试：求两平行线4：2x+3y-8=0,l2：2x+3y

-1=0的距离.

拓展结论：已知两条平行线直线4Ax+8y+G=0，3Ax+By+C?=0,则人与4的距离为

d-o

注意：应用此公式应注意如下两点:(1)把直线方程化为；(2)使的系

数.

§3A3点到直线的距离及两平行线间的距离

学习目标

1.理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式；

2.会用点到直线距离公式求解两平行线距离。

3.认识事物之间在••定条件下的转化.用联系的观点看问题.

一、当堂检测：

I.求点P(-5,7)到直线12》+5丫-3=0的距离()

2、点P(-5,7)到直线5x=3的距离为。

3.两平行线3x—2y—1=0和3x—2y+1—0的距离为

二、综合提高

例1已知点A(l,3),8(3/),C(-l,0),求三角形A8C的面积.

例2.求过点力㈠⑵，且到原点的距离等于等的直线方程.

变式：求与直线/:5尤-12y+6=0平行且到/的距离为2的直线方程.

例3、已知一直线/被两平行线3x+4y-7=0与3x+4y+8=0所截线段长为3,直线/过点(2,3),

求直线/的方程。

变式：过点A(1,O)和B(0,5)分别作两条互相平行的直线《与/?,且它们的距离为5,求人与人

的方程。

三、总结提升：

1•点到直线距离公式的推导过程，点到直线的距离公式，能把求两平行线的距离转化为点到

直线的距离公式

四、心课后作业

1.求点。(2,到直线2x+3y—3=0的距离.

2.已知点A(a,6)到直线3x—4y=2的距离d=4,求。的值:

3.过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是().

A.x+2y-5=0B.2x+y-4=0

C.x+3y—7=0D.3x+y-5=0

4.到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是().

A.x-y=0B.x+y=0

C.|x|-j=0D.|x|-|y|=0

5.在坐标平面内，与点4(1,2)距离为1,且与点8(3,1)距离为2的直线共有条.

6、已知点A(l,3),8(3,1),C(-l,0),求三角形A8C的BC边上的高。

7.已知正方形的中心为G（-1,O）,一边所在直线的方程为x+3y-5=0,求其他三边所在的

直线方程.

五、预习与自学

（预习教材&2~修13,找出疑惑之处）

复习知识点：

直线的倾斜角与斜率

1.倾斜角的定义___________________________

倾斜角a的范围

斜率公式々=，或.

二.直线的方程

1.点斜式：_________________

2.斜截式：_____________________

3.两点式：_____________________

4.截距式：__________________

5.—■般式：____________________

6.与直线/:Ax+8），+C=0平行的直线系方程：

7.与直线/:4》+3）：+。=0垂直的直线系方程：

8、过两直线方程4：Ax+4y+C=0,++G=0交点的直线系方程：

三.直线的位置关系

1、两直线斜率不存在:

1.两直线平行《

2、两直线斜率存在:…

2.两直线相交.

有一直线斜率不存在:

⑴两直线垂直

两直线斜率存在:……

有一直线斜率不存在:

⑵两直线相交

两直线斜率存在:……

3.两直线重合

四.距离

1.两点之间的距离公式

2.点线之间的距离公式

3.两平行直线间的距离公式.

五、对称

1、点P(x,y)关于点M(a,b)对称的点Q的坐标:

2、点P(a,h)关于直线l:Ax+By+C=0对称的点Q(a：b'),则

,a+a'_b+b'八八

A--------+B---------+C=0

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§333章未复习提高

1.掌握直线的倾斜角的概念、斜率公式；

2.掌握直线的方程的几种形式及其相互转化，以及直线方程知识的灵活运用；

3.掌握两直线位置关系的判定，点到直线的距离公式及其公式的运用.

一、当堂检测：

1.方程(a-l)x-y+2a+1=0(aeR)所表示的直线().

A.恒过定点(-2,3)B.恒过定点(2,3)

C.恒过点(-2,3)和(2,3)D.都是平行直线

2.已知点(3,m)到直线x+6y-4=0的距离等于1,则机=().

A.V3B.-73C.--D.G或-正

33

3.已知P(3,a)在过M(2,—1)和N(-3,4)的直线上，贝i]a=.

4.点(3,9)关于直线欠+3丫-10=0对称的点的坐标是().

A.(-1,-3)B.(17,-9)

C.(-1,3)D.(-17,9)

二、综合提高

例1、菱形ABCO的NBA。=60",以点A为原点，以AB所在直线为x轴的正半轴建立直

角坐标系，求菱形各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率.

变式：已知在第一象限的AA8C中，4(1,1),8(5,1),4=60°,ZB=450.求

⑴AB边的方程；

⑵AC和BC所在直线的方程.

例2、求经过直线3x+2y+6=0和2x+5y-7=0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直

线方程.

变式：过点P(4,2)作直线/分别交x轴、