人教版数学八年级上册12.1全等三角形2

12.1全等三角形

一、教学目标

1、了解全等形和全等三角形的概念，掌握全等三角形的性质。

2、能正确表示两个全等三角形，能找出全等三角形的对应元素。

二、教学重点与难点

重点：1、全等三角形的性质。

2、在通过观察、实际操作来感知全等形和全等三角形的基础上，形成理性认识，理解并掌握全等

三角形的对应边相等，对应角相等。

难点：正确寻找全等三角形的对应元素

三、教学过程

（-）示

导课：演示课庐山风景，以诗“横看成岭侧成峰，远近高低各不同，不识庐山真面目，只缘身在此山

中”指出大自然中庐山的唯一性，但是我们可以通过摄影把庐山的美景拍下来，可以洗出千万张一模一样

的庐山相片。象这样的图片，形状和大小都相同。你还能说一说自己身边还有哪些形状和大小都相同的图

形吗？

（二）看

形状、大小都相同的图形，放在一起能够完全重合，这样的图形也都是全等形。

能够完全重合的两个三角形，叫全等三角形。

（三）动

1.动手操作

以课本31页的思考的操作步骤，抽三个学生上黑板完成（即把三角形平移、翻折、旋转后得到新的

三角形）

思考：把三角形平移、翻折、旋转后，什么发生了变化，什么没有变？

归纳：旋转前后的两个三角形，位置变化了，但形状大小都没有变，它们依然全等。

2.全等三角形中的对应元素

（以黑板上的图形为例，图一、图二、三学生独立找，集体交流）

（1）对应的顶点（三个）-一重合的顶点

（2）对应边（三条）--重合的边

（3）对应角（三个）--重合的角

图一（平移）图二（翻折）图三（旋转）

归纳：方法一：全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边;

方法二：全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角。

另外：有公共边的，公共边一定是对应边；有对顶角的，对顶角一定是对应角0

3.用符号表示全等三角形

抽学生表示图一、图二、图三的全等三角形。

4.全等三角形的性质

思考：全等三角形的对应边、对应角有什么关系？为什么？

归纳：全等三角形的对应边相等、对应角相等。

请写出平移、翻折后两个全等三角形中相等的角，相等的边。

（四）练

1.下面的每对三角形分别全等，观察是怎么变化而成的，说出对应边、对应角。

2.将aABC沿直线BC平移，得到4DEF（如图）

（1）线段AB、DE是对应线段，有什么关系？线段AC和DF呢?

（2）线段BE和CF有什么关系？为什么？

（3）若/A=50。，ZB=30°,你知道其他各角的度数吗？为什么？

3.如图：已知△ABEgZXACD,AB与AC,AD与AE是对应边，ZA=40°,ZB=30°,求NADC的

大小。

（五）评

学生纠错，老师点评

（六）总

你的收获是？你的困惑是？

12.2三角形全等的判定（1）

一、教学目标

1、经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程.

2、掌握三角形全等的“边边边”条件，了解三角形的稳定性.

3、通过对问题的共同探讨，培养学生的协作精神.

二、教学重点与难点

重点：掌握三角形全等的“边边边”条件，了解三角形的稳定性.

难点：三角形全等判定的探索过程.

三、教学过程

（一）示

复习过程，引入新知：多媒体显示，带领学生复习全等三角形的定义及其性质，从而得出结论：全等

三角形三条边对应相等，三个角分别对应相等.反之，这六个元素分别相等，这样的两个三角形一定全等.

（二）看

创设情境，提出问题：根据上面的结论，提出问题：两个三角形全等，是否一定需要六个条件呢？如

果只满足上述六个条件中的一部分,是否也能保证两个三角形全等呢?

（三）动

1.只给一个条件:

①只给一条边：

②只给一个角:

/60°

2.给出两个条件:

①一边一内角：

②两内角:

③两边:

mm

4cm4cm

AD

三角形全等判定方法1：三边对应相等的两个三角形全等。简写成“边边边”或“SSS”

用符号语言表达为：在aABC与4DEF中：

~AB=DE

vAC=DF

、BC=EF

.二△ABC丝ADEF(SSS)

例：如下图AABC是一个钢架，AB=AC,AD是连接点A与BC中点D的支架，求证4ABD丝4ACD.

证明的书写步骤：

1.准备条件：证全等时要用的间接条件要先证好；

2.三角形全等书写三步骤：①写出在哪两个三角形中

②摆出三个条件用大括号括起来

③写出全等结论

(四)练

1.已知AC=FE,BC=DE,点A,D,B,F在一条直线上，要用“边边边"证明△ABCFDE,

除了已知中的AC=FE,BC=DE以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？

2.如图是用圆规和直尺画已知角的平分线的示意图，作法如下：

①以A为圆心画弧，分别交角的两边于点B和点C；

②分.别以点B、C为圆心，相同长度为半径画两条弧，两弧交于点D；

③画射线AD.

AD就是NBAC的平分线.你能说明该画法正确的理由吗？

3.如，图四边形ABCD中，AB=CD,AD=BC,你能把四边形ABCD分成两个相互全等的三角形吗?你

有几种方法?你能证明你的方法吗?试一试.

A/----------------7D

BC

4.如图，AB-AC,AE=AD,BD=CE,求证：4AEB彩△ADC

（五）评

学生纠错，老师点评

（六）总

1.知道三角形三条边的长度怎样画三角形。

2.三边对应相等的两个三角形全等（边边边或SSS）；

3.书写格式：①准备条件；②三角形全等书写的三步骤。

课后反思：回顾反思本节课对知识的研究探索过程、小结方法及结论，提炼数学思想，掌握数学规律.

12.2三角形全等的判定（2）

一、教学目标

1.理解并掌握三角形全等的第二种判定方法（SAS）；

2.能利用三角形全等的第二种判定方法（SAS）解决有关全等三角形的问题。

二、教学重点与难点

重点：三角形全等的条件.

难点：寻求三角形全等的条件.

三、教学过程

（-）示

复习提问：全等三角形的性质？三角形全等的判定I的内容是什么？

（二）看

阅读教材P37-39,回答下列问题

1.已知两条边和一角，这样的三角形能否唯一确定？为什么？

2.两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等吗？为什么？

3.怎样用文字表述两个三角形全等的判定方法（SAS）?用几何语言如何表示？

（三）动

如图：AABC和Z\DEF中，AB=DE=3cm,/B=/E=30°,BC=EF=5cm,AABC^ADEF?

5cmCE5cmF

三角形全等判定方法2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。简写成“边角边”或“SAS”

用符号语言表达为：在4ABC与4DEF中

~AB=DE

<NB=NE

、BC=EF

AAABC岭ADEF（SAS）

（四）练

1.如图，AB=EF,AC=DE,问△ABCgZ\EFD吗？为什么？

2.如图AC与BD相交于点O,已知OA=OC,OB=OD,求证：AAOB^ACOD

Q

DC

探究1：已知：如图，AB=CB,Z1=Z2，AABDffiACBD全等吗？

变式1：已知：如上图，AB=CB,Z1=Z2,求证：(1)AD=CD；(2)BD平分NADC

变式2：已知：如上图，AD=CD,BD平分NADC,求证：ZA=ZC

归纳：证明两条线段相等或两个角相等可以通过证明它们所在的两个三角形全等而得到。

探究2：如图，AC=BD,Nl=N2,求证：BC=AD

CD

/X\

A'B

变式1：如上图，AC=BD,BC=AD,求证：Zl=Z2

变式2：如图，AC=BD,BC=AD,求证：ZC=ZD

CD

AB

变式3：如图，AC=BD,BC=AD,求证：ZA=ZB

CD

/XA

AB

探究3：如图，点E、F在BC上，BE=CF,AB=DC,ZB=ZC,求证：ZA=ZD

AD

BEFC

探究4：如图，已知OA=OB,应填什么条件就得到：△AOCgABOD（只允许添加一个条件）

（五）评

师生共同点评

（六）总

1.知道三角形两条边的长度及夹角的大小怎样画三角形。

2.两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。（边角边或SAS）；

3.书写格式：①准备条件；②三角形全等书写的三步骤。

课后反思:

12.2三角形全等的判定（3）

一、教学目标

1.三角形全等的条件：角边角、角角边.

2.掌握三角形全等的“角边角”“角角边”条件.

3.能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题.

二、教学重点与难点

重点：已知两角一边的三角形全等探究.

难点：灵活运用三角形全等条件证明.

三、教学过程

（一）示

1.到目前为止，可以作为判别两三角形全等的方法有几种？各是什么？

2.在三角形中，已知三个元素的四种情况中，我们研究了三种，今天我们接着探究已知两角一边是否可

以判断两三角形全等呢？

（二）看

阅读书本P39—P41,回答问题：

1.两个角和一边对应相等的两个三角形一定全等吗？你能画图说明吗？

2.两角和它们的夹边对应相等的两个三角形一定全等吗？

3.用几何语言描述“角边角”；

4.证明“角角边”.

（三）动

提问：三角形中已知两角一边有几种可能？

1.两角和它们的夹边.

2.两角和其中一角的对边.

如图：AABC和4DEF中，ZB=ZE=30°，BC=EF=5cm,ZC=ZF=50°,AABC^ADEF?

三角形全等判定方法3：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。简写成“角边角”或“ASA”

用符号语言表达为：在aABC与4DEF中

-NB=NE

vBC=EF

一ZC-ZF

.二△ABC丝ADEF（ASA）

作图：随意画一个△ABC,作一个4A'B'C',使/A=/A'、NB=NB'、AB=A'B

思考：在一个三角形中两角确定，第三个角一定确定.我们是不是可以不作图，用“ASA”推出“两

角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等”呢？

如图：Z^ABC和4DEF中，NB=NE=30°,ZA=ZD=100°,BC=EF=5cm,AABC^ADEF?

三角形全等判定方法4：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。简写成“角角边”或

“AAS”

用符号语言表达为：在4ABC与4DEF中

~NA=/D

vZC=ZF

、BC=EF

AAABC岭ADEF（AAS）

例：如图，D在AB上，E在AC上，AB=AC,ZB=ZC.求证：AD=AE.

（四）练

课本P41练习

（五）评

师生共同点评

（六）总

至此，我们有五种判定三角形全等的方法：

1.全等三角形的定义

2.判定定理：边边边（SSS）边角边（SAS）角边角（ASA）角角边（AAS）

推证两三角形全等时，要善于观察，寻求对应相等的条件，从而获得解题途径.

课后反思:

12.2全等三角形的判定（4）

一、教学目标

1、理解直角三角形全等的判定方法一斜边直角边;

2、熟练运用“HL”定理证明执教三角形全等；

3、熟练运用“HL”定理解决有关问题.

二、教学重点与难点

重点：HL及其运用.

难点：理解HL

三、教学过程

（-）示

复习回顾：

1、判定两个三角形全等方法：，,,

2、如图，RtaABC中，直角边、，斜边

（二）看

阅读教材P42-43思考：

1、对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要找哪几个条件就能说明它们全等？

2、“HL”定理的内容是什么？如何理解？

3、到目前为止，你能够用几种方法说明两个直角三角形全等？

（三）动

这两个三角形都是直角三角形，其中/C=/F=90°,要判定这两个直角三角形全等，除了NC=/

F还需要几个条件呢？

除了NC=NF,如果这两个直角三角形还具备BC=EF,CA=FD这两个条件，那么我们可以利用什

么结论来判定它们全等？

除了/C=/F,如果这两个直角三角形还具备NA=/D,CA=FD这两个条件，那么我们可以利用

什么结论来判定它们全等？

除了/C=/F,如果这两个直角三角形还具备/A=/D,BC=EF这两个条件，那么我们可以利用

什么结论来判定它们全等？

可见，判定两个直角三角形全等可以利用SAS、ASA、AAS来判定.

三角形全等判定方法4：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.简写成“斜边、直角边”

或“HL”

用符号语言表达为：在R0ABC与RtZ\DEF中

[BA=ED

BC=EF

.'.RtAABC岭RtADEF(HL)

例:如图，AC±BC,BD_LAD,AC=BD.求证：BC=AD.

(四)练

1.已知：如图，CD=BA,DF±BC,AE±BC,CE=BF.求证：DF=AE.

2.如图，BDJ_AC,CE1AB,填空：（填SAS、ASA、AAS或HL）

(1)己知BE=CD,利用_________可以判定△BOEWACOD；

(2)已知EO=DO,利用—_____可以判定△BOE四△COD；

(3)已知AD=AE,利用—_____可以判定4ABDgZ\ACE；

(4)已知AB=AC,利用—_____可以判定aABD丝ZiACE；

(5)已知BE=CD,利用_________可以判定△BCEgZSCBD；

⑹已知CE=BD,利用_________可以判定4BCE丝aCBD.

（五）评

学生点评，老师纠错。

（六）总

总结所有判断三角形全等的方法。

课后反思:

12.2全等三角形的判定（5）

一、学习目标：

1.熟练掌握三角形全等的判定方法；

2.利用全等三角形的性质解决有关问题.

二、复习提问：

1、全等三角形具有哪些基本性质？

2、判定两个三角形全等方法有哪些？

3、如何根据题意寻找证明三角形全等的思路?

三、思路点拨：

证明两个三角形全等的基本思路：

1、已知两边，再找什么；

2、已知一边一角，再找什么；

3、已知两角，再找什么.

四、热身练习：

1.如图，△ABCZ/\BAD,如果AB=6,BD=5,AD=4,那么BC的长是（）

A.4B.5C.6D.无法确定

2.如图，AABE^AACD，AB-AC,BE=CD,ZB=50°，N2=120°,那么NDAC=()

3.两个直角三角形全等的条件是（）

A.一锐角对应相等B.两锐角对应相等

C.一条边对应相等D.两条边对应相等

4.如图，在AABC与△DEF中，如果AB=DE,BE=CF,请添加一个条件,证明△ABC

ADEF,并说明理由。

BECF

5.如图，已知AB=AC,若要使4ABE丝Z\ACD,则不能添加的条件是（）

C.AD=AED.CD=BE

五、合作探究

1、已知：如图，A、B、C、D四点在同一直线上,请你从下面四项中选出三个作为条件，其余一个作为

结论，构成一个真命题，并进行证明.

®ZACE=ZD②AB=CD③AE=BF

你的选择是：___________________________

证明：

2、如图，ZACB=90°，AC=BC,BE_LCE于E,AD_LCE于D,AD=2.5cm,DE=1.7cm,求BE的长.

3、变式练习：如图，在AABC中，AB=AC,ZBAC=90°,DE是过点A的直线，BDJ_DE于点D,CE

±DE于点E.

（1）若B、C在DE的同侧（如图①），求证：DE=BD+CE；

（2）若8、C在QE的两侧（如图②）其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请说明理由；若

不成立，请写出你的结论，并给出证明。

B

①②

12.3角的平分线的性质

一、教学目标

1.了解角平分线定义；

2.理解并掌握角平分线的性质；

3.会利用角平分线性质解决有关问题。

二、教学重点与难点

重点：角平分线的性质及其应用.

难点：角的平分线的作图方法的提炼.

三、教学过程

（一）示

复习引入：三角形中有哪些重要线段？你能作出这些线段吗？

（二）看

阅读书本19-21,回答问题：

1.什么是角平分线？如何用尺规作己知角的平分线？

2.角平分线具有怎样的性质？如何证明？

3.到角的两边距离相等的点在哪里？

4.证明一个几何命题的步骤是怎样的？>

㈢动

在学直角三角形全等的条件时做过这样一个题：---------%

在NAOB的两边0A和0B上分别取OM=ON,MC±OA,NC±OB./

MC与NC交于C点.求证：ZMOC=ZNOC.

B

通过证明RlZ\MOCgRtz^NOC,即可证明NMOC=/NOC,所以射线0C就是NAOB的平分线.

受这个题的启示，我们可以这样做：在已知/AOB的两边上分别截取OM=ON,再分别过M、N作

MC±OA,NC±OB,MC与NC交于C点，连接OC,那么0C就是NAOB的平分线了.

思考：下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角

的两边放下，沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线.你能说明它的道理吗？

A

E\

作已知角的平分线的方法：

已知：ZAOB.

求作：NAOB的平分线.

作法：（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、0B于M、N.

(2)分别以M、N为圆心，大于」MN的长为半径作弧.两弧在/AOB内部交于点C.

2

思考：1

2.第二步中所作的两弧交点一定在NAOB的内部吗？

总结：1.去掉“大于‘MN的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线.

2

2.若分别以M、N为圆心，大于LMN的长为半径画两弧，两弧的交点可能在NAOB的内部，也

2

可能在NAOB的外部，而我们要找的是NAOB内部的交点，否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是

ZAOB的平分线了.

3.角的平分线是一条射线.它不是线段，也不是直线，所以第二步中的两个限制缺一不

可.4.这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明.

角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等.

如图，己知AO平分NBAC,OE1AB,OD±AC,贝ljOE=OD。

性质2：到角的两边距离相等的点在角的平分线上.

如图，己知O为ZBAC内部的任一点，OE_LAB,OD1AC,OE=OD,贝iJ/BAO=/CAO

如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，

离公路与铁路交叉处500m,这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的

位置，比例尺为1：20000)?

1.应该是用第二个性质.这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的

角的平分线上，并且要求离角的顶点500米处.

2.在纸上画图时，我们经常在厘米为单位，而题中距离又是以米为

单位，这就涉及一个单位换算问题了.lm=100cm,所以比例尺为1：20000,其实就是图中1cm表示实

际距离200m的意思.作图如下：

第一步：尺规作图法作出NAOB的平分线OP.

第二步：在射线OP上截取OC=2.5cm,确定C点，C点就是集贸市场所建地了.

应用角平分线的性质，就可以省去证明三角形全等的步骤，使问题简单化.所以若遇到有关角平分线,

又要证线段相等的问题，我们可以直接利用性质解决问题.

例：如图，AABC的角平分线BM、CN相交于点P.

求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.

(四)练

1.在RtaABC中，BD平分NABC,DE_LAB于E,则：

(1)图中相等的线段有哪些？相等的角呢？

(2)哪条线段与DE相等？为什么？

(3)若AB=10,BC=8,AC=6,求BE、AE的长和4AED的周长。

B

2.如图，已知aABC的外角NCBD和NBCE的平分线相交于点F,求证：点F在NDAE的平分线上.

(五)评

师生共评。

(六)总

今天，我们学习了关于角平分线的两个性质：①角平分线上的点到角的两边的距离相等；②到角的两

边距离相等的点在角的平分线上.它们具有互逆性，随着学习的深入，解决问题越来越简便了.像与角平

分线有关的求证线段相等、角相等问题，我们可以直接利用角平分线的性质，而不必再去证明三角形全等

而得出线段相等.

课后反思:

全等三角形小结与复习

一、知识点：

1.全等三角形：

(1)全等形：能够完全重合的两个图形叫全等形。

(2)全等三角形的有关概念：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形重合在一

起，重合的顶点叫对应点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。

(3)全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，对应角相等。

2.三角形全等的性质：

全等三角形的识别：SAS,ASA,AAS,SSS,HL(直角三角形)

3.角平分线的性质：

(1)角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等。

(2)角平分线的判定：到角两边距离相等的点在角的平分线上。

(3)三角形三个内角平分线的性质：三角形三条内角平分线交于一点，且这一点到三角形三边的距

离相等。

二、经验与提示：

1.寻找全等三角形对应边、对应角的规律：

(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边.

(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两个对应边所夹的角是对应角.

(3)有公共边的，公共边一定是对应边.

(4)有公共角的，公共角一定是对应角.

(5)有对顶角的，对顶角是对应角.

(6)全等三角形中的最大边(角)是对应边(角)，最小边(角)是对应边(角)。

2.找全等三角形的方法：

(1)可以从结论出发，看要证明相等的两条线段(或角)分别在哪两个可能全等的三角形中；

(2)可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；

(3)从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；

(4)若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。

3.角的平分线是射线，三角形的角平分线是线段。

4.证明线段相等的方法：

(1)中点定义；

(2)等式的性质；

(3)全等三角形的对应边相等；

(4)借助中间线段(即要证2=1),只需证a=c、c=b即可)。随着知识深化，今后还有其它方法。

5.证明角相等的方法：

(1)对顶角相等；

(2)同角(或等角)的余角(或补角)相等；

(3)两直线平行，同位角、内错角相等；

(4)角的平分线定义；

(5)等式的性质：

(6)垂直的定义；

(7)全等三角形的对应角相等；

(8)三角形的外角等于与它不相邻的两内角和。随着知识的深化，今后还有其它的方法。

6.证垂直的常用方法：

(1)证明两直线的夹角等于90°：

(2)证明邻补角相等；

(3)若三角形的两锐角互余，则第三个角是直角；

(4)垂直于两条平行线中的一条直线，也必须垂直另一条。

(5)证明此角所在的三角形与已知直角三角形全等；

(6)邻补角的平分线互相垂直。

7.全等三角形中几个重要结论：

(1)全等三角形对应角的平分线相等；

(2)全等三角形对应边上的中线相等；

(3)全等三角形对应边上的高相等。

三、典型例题

例1：已知CO=DO,ZOAB=ZOBA,求证：△ACO安△BDO。

例2：求证：等腰三角形的顶角平分线垂直平分底边。

例3：如图，在Z\ABC中，ZC=90°,AD平分/CAB,BC=8cm,BD