高数多元函数基本概念

高数多元函数基本概念8.1多元函数的的基本概念一、平面点集与n维空间二、多元函数的概念三、习题8.1第2页,共64页，2024年2月25日，星期天1.邻域例如,在平面上,(圆邻域)在空间中,(球邻域)说明：若不需要强调邻域半径

,也可写成点P0

的去心邻域记为点集称为点P0

的邻域.8.1.1平面点集n维空间第3页,共64页，2024年2月25日，星期天2.n

维空间n

元有序数组的全体称为n维空间,n

维空间中的每一个元素称为空间中的称为该点的第k个坐标.记作即一个点,当所有坐标称该元素为

中的零元,记作O.第4页,共64页，2024年2月25日，星期天机动目录上页下页返回结束的距离记作规定为与零元O

的距离为中点a的邻域为第5页,共64页，2024年2月25日，星期天第6页,共64页，2024年2月25日，星期天第7页,共64页，2024年2月25日，星期天第8页,共64页，2024年2月25日，星期天第9页,共64页，2024年2月25日，星期天第10页,共64页，2024年2月25日，星期天第11页,共64页，2024年2月25日，星期天第12页,共64页，2024年2月25日，星期天第13页,共64页，2024年2月25日，星期天区域要点:(1)内点、外点、边界点设有点集E

及一点P:

若存在点P

的某邻域U(P)E,

若存在点P

的某邻域U(P)∩E=,

若对点P

的任一邻域U(P)

既含E中的内点也含E则称P

为E

的内点；则称P为E的外点

;则称P

为E

的边界点

.的外点,显然,E

的内点必属于E,

E的外点必不属于E,E

的边界点可能属于E,

也可能不属于

E.第14页,共64页，2024年2月25日，星期天(2)聚点若对任意给定的

,点P

的去心邻域内总有E中的点,则称P

是E

的聚点.所有聚点所成的点集成为E

的导集

.第15页,共64页，2024年2月25日，星期天

内点一定是聚点；说明：

边界点可能是聚点；例(0,0)既是边界点也是聚点．

点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．例如,(0,0)是聚点但不属于集合．例如,边界上的点都是聚点也都属于集合．第16页,共64页，2024年2月25日，星期天D(3)开区域及闭区域

若点集E

的点都是内点，则称E

为开集；

若点集EE

,则称

E

为闭集；

若集D

中任意两点都可用一完全属于D

的折线相连,

开区域连同它的边界一起称为闭区域.则称D

是连通的;

连通的开集称为开区域

,简称区域

;。。

E的边界点的全体称为E

的边界,记作

E;第17页,共64页，2024年2月25日，星期天例如，在平面上开区域闭区域

第18页,共64页，2024年2月25日，星期天

整个平面是最大的开域,

点集

是开集，

也是最大的闭域；但非区域.o

对区域D,若存在正数K,使一切点PD

与某定点

A的距离|APK,则称D

为有界域

,界域

.否则称为无第19页,共64页，2024年2月25日，星期天二、多元函数的概念

引例:

圆柱体的体积

定量理想气体的压强

三角形面积的海伦公式机动目录上页下页返回结束第20页,共64页，2024年2月25日，星期天定义1.

设非空点集点集D

称为函数的定义域;数集称为函数的值域.特别地,当n=2

时,有二元函数当n=3

时,有三元函数映射称为定义在D

上的n

元函数,记作第21页,共64页，2024年2月25日，星期天类似地可定义三元以上函数．第22页,共64页，2024年2月25日，星期天例1

求的定义域．解所求定义域为第23页,共64页，2024年2月25日，星期天二元函数的图形（如下页图）第24页,共64页，2024年2月25日，星期天二元函数的图形通常是一张曲面.第25页,共64页，2024年2月25日，星期天例如,二元函数定义域为圆域图形为中心在原点的上半球面.三元函数

定义域为单位闭球图形为空间中的超曲面.第26页,共64页，2024年2月25日，星期天例如,图形如右图.例如,左图球面.单值分支:第27页,共64页，2024年2月25日，星期天第28页,共64页，2024年2月25日，星期天P6第29页,共64页，2024年2月25日，星期天8.2多元函数的极限与连续一、多元函数的极限第30页,共64页，2024年2月25日，星期天说明：（1）定义中的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．第31页,共64页，2024年2月25日，星期天例2

求证证当时，原结论成立．第32页,共64页，2024年2月25日，星期天例3

求极限解其中第33页,共64页，2024年2月25日，星期天例4

证明不存在．证取其值随k的不同而变化，故极限不存在．第34页,共64页，2024年2月25日，星期天不存在.观察播放第35页,共64页，2024年2月25日，星期天确定极限不存在的方法：第36页,共64页，2024年2月25日，星期天利用点函数的形式有第37页,共64页，2024年2月25日，星期天第38页,共64页，2024年2月25日，星期天第39页,共64页，2024年2月25日，星期天三、多元函数的连续性第40页,共64页，2024年2月25日，星期天第41页,共64页，2024年2月25日，星期天类似地,第42页,共64页，2024年2月25日，星期天例5

讨论函数在(0,0)处的连续性．解取第43页,共64页，2024年2月25日，星期天故函数在(0,0)处连续.当时第44页,共64页，2024年2月25日，星期天例6

讨论函数在(0,0)的连续性．解取其值随k的不同而变化，极限不存在．故函数在(0,0)处不连续．第45页,共64页，2024年2月25日，星期天闭区域上连续函数的性质

在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．

在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．（1）最大值和最小值定理（2）介值定理第46页,共64页，2024年2月25日，星期天（3）一致连续性定理

在有界闭区域D上的多元连续函数必定在D上一致连续．多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．第47页,共64页，2024年2月25日，星期天例７解第48页,共64页，2024年2月25日，星期天多元函数极限的概念多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质（注意趋近方式的任意性）四、小结多元函数的定义第49页,共64页，2024年2月25日，星期天思考题第50页,共64页，2024年2月25日，星期天思考题解答不能.例取但是不存在.原因为若取第51页,共64页，2024年2月25日，星期天练习题第52页,共64页，2024年2月25日，星期天第53页,共64页，2024年2月25日，星期天第54页,共64页，2024年2月25日，星期天练习题答案第55页,共64页，2024年2月25日，星期天不存在.观察第56页,共64页，2024年2月25日，星期天观察不存在.第57页,共64页，2024年2月25日，星期天观察不存在.第58页,共64页，2024年2月25日，星期天观察不存在.第59页,共64