专题07函数的概念及其表示

20232024高一数学必修第一册20232024高一数学必修第一册专题07函数的概念及表示№考向解读专题07函数的概念及表示№考向解读➊考点精析➋真题精讲➌题型突破➍专题精练第三张章函数的概念及性质专题07函数的概念及表示→➊考点精析←一函数的概念1概念设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x),x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合2定义域①概念函数自变量x的取值范围.②求函数的定义域主要应考虑以下几点(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1；(5)指数为零底不可以等于零；(6)抽象函数的定义域较为复杂.3函数定义域的求法（1）确定函数定义域的原则①当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合．具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件．②当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义．③当函数用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数的集合．（2）抽象函数定义域的确定所谓抽象函数是指用表示的函数，而没有具体解析式的函数类型，求抽象函数的定义域问题，关键是注意对应法则．在同一对应法则的作用下，不论接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，都在同一取值范围内．求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示．4值域 ①概念函数值y的取值范围②求值域的方法5函数值域的求法实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有：观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域；配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域；判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；换元法：通过对函数 的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域．求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等．总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约．6区间实数集R表示为(−∞,+∞).二函数的表示方法1表格法如上表，我们很容易看到y与r之间的函数关系.在初中刚学画一次函数图像时，第一步就是列表，其实就是用表格法表示一次函数.2图像法如上图，很清晰的看到某天空气质量指数I与时间t两个变量之间的关系，特别是其趋势.数学中的“数形结合”也就是这回事，它是数学一大思想，在高中解题中识图和画图尤为重要.三法辨析：解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值．图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．优点：直观形象，反应变化趋势．列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．优点：不需计算就可看出函数值．3解析式求函数解析式的方法(1)配凑法(2)待定系数法(3)换元法(4)构造方程组法(5)代入法三、函数定义域的求法（1）确定函数定义域的原则①当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合．具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件．②当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义．③当函数用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数的集合．（2）抽象函数定义域的确定所谓抽象函数是指用表示的函数，而没有具体解析式的函数类型，求抽象函数的定义域问题，关键是注意对应法则．在同一对应法则的作用下，不论接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，都在同一取值范围内．（3）求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示．→➋题型突破←【题型一】函数概念的理解1.[安徽师范大学附中2023高一选科诊断]下列说法中正确的是()B.函数值域中的每一个数，在定义域中都有唯一的数与之对应C.函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了D.若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中也只含有一个元素【答案】D【解析】函数的定义域和值域也可以是有限集，A错误.对于定义域中的每一个数x，在值域中都有唯一的数y和它对应，反之则不然，故B错误，D正确.C显然错误.故选D.2.下列图形能表示函数图象的是（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】由函数的定义：任意垂直于x轴的直线与函数的图象至多有一个交点，所以A、B显然不符合，C在与函数图象有两个交点，不符合，只有D符合要求.故选：D3.设集合M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},给出如下四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是()【解析】(本题相当把M={x|0≤x≤2}看成定义域，N={y|0≤y≤2}看成值域)图象A不满足条件，因为当1<x≤2时，N中没有y值与之对应.图象B不满足条件，因为当x=2时，N中没有y值与之对应.图象C不满足条件，因为对于集合M={x|0<x≤2}中的每一个x值，在集合N中有2个y值与之对应，不满足函数的定义.只有D中的图象满足对于集合M={x|0≤x≤2}中的每一个x值，在N={y|0≤y≤2}中都有唯一确定的一个y值与之对应，故选D.4.给定的下列四个式子中，能确定y是x的函数的是()①x2③x−1+y−1A．① B．② C．③ D．④【解析】①由x2+y比如x=0，y=±1，所以①不是函数．②由|x－1|+y2−1所以x=1,y=±1，所以②不是函数．③由x−1+y−1=④要使函数y=x−2+1−x有意义，则x−2≥0故选：C．【点拨】函数中自变量x与函数值y的关系是“一对一或多对一”的关系，不能是“一对多”.5.（2022·陕西·武功县普集高级中学高一阶段练习）下列对应中：（1），其中，；（2），其中，，；（3），其中y为不大于x的最大整数，，；（4），其中，，.其中，是函数的是（

）A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（3）（4）【答案】B【解析】（1），其中，；满足函数的定义，（1）正确；（2），其中，，，不满足一个自变量有唯一一个实数y与之对应，例如当时，；不满足函数的定义，（2）不正确；（3），其中y为不大于x的最大整数，，；满足函数的定义，③正确；（4），其中，，，当时，对应的，（4）不正确．故选：B6.（多选题）（2022·江苏·高一期中）存在函数f(x)满足：对任意的实数x都有（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】A.当时，，当时，，故错误；B.令，得，所以，即，故正确；C.令，得，所以，即，故正确；D.因为，所以存在，故正确；故选：BCD【题型二】求函数的定义域7．（2023·全国·高一单元测试）函数的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由已知得，解得且，所以函数的定义域为，故选：B.8.函数y=−x2+2x+3【解析】要使函数有意义，则−x2+2x+3≥0x≠0，即即−1≤x<0或0<x≤3，即函数的定义域为[−1,0)⋃0,39.已知fx2−1定义域为[0,3]【解析】∵0≤x≤3∴−1≤∴−1≤2x−1≤8∴0≤x≤故函数f(2x−1)的定义域是0,9【点拨】抽象函数的定义域理解起来不容易，由于函数的解析式与字母的选择无关，若把题目换成“已知fx2−1定义域为[0,3]，求①谨记定义域指的是自变量的取值范围，所以由“fx2−1定义域为[0,3]”得到的是“0≤x≤3”，“求f(2t−1)②把“x2−1”和“2t−1”都看成整体，它们的范围这样就有“−1≤10.（2023·全国·高一课时练习）求下列函数的定义域.(1)；(2).【解析】（1）要使该函数有意义，只需，解得，且，所以该函数的定义域为:（2）要使该函数有意义，只需，解得，且，所以该函数的定义域为:11．（2023·全国·高一单元测试）函数的定义域为______．【答案】【解析】由题意得，解得或，所以函数的定义域是．故答案为：.【题型三】抽象函数求定义域12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________．【答案】【解析】由解得，所以函数的定义域为.故答案为：13．（2023·全国·高一课时练习）已知函数的定义域为，求函数的定义域．【解析】因为函数的定义域为，所以，，所以函数的定义域为，所以要使函数有意义，则有，解得，所以函数的定义域为.【题型四】同一函数14.下列各组函数中表示的函数不同的是()A．f(x)=x,g(x)=3x3 C．fx=x2−3x,g【解析】A,B,C的定义域和对应法则相同，表示同一函数，D中g(x)=x+2的定义域是R，fx=x两个函数的定义域不相同，不是同一函数.故选：D．【点拨】①判断两个函数是否是同一函数，看函数的定义域和解析式是否均相同；②函数反应的是两个变量的关系，至于用什么字母表示都一样，故选项C的fx15．（2023·天津南开·高一期末）下列各组函数是同一函数的是（

）①与；

②与；③与；

④与A．①② B．①③ C．③④ D．①④【答案】C【解析】①与的定义域是，而，故这两个函数不是同一函数；②与的定义域都是，，这两个函数的定义域相同，对应法则不同，故这两个函数不是同一函数；③与的定义域是，并且，对应法则也相同，故这两个函数是同一函数；④与是同一函数；所以是同一函数的是③④.故选：C.16．（2023·新疆·和硕县高级中学高一阶段练习）在下列四组函数中，与表示同一函数的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】对于A中，函数的定义域为，而函数的定义域为，所以两个函数不是同一个函数；对于B中，函数的定义域和对应法则完全相同，所以是同一个函数；对于C中，函数的定义域为，而函数的定义域为，所以两个函数不是同一个函数；对于D中，函数的定义域为，而函数的定义域为，所以不是同一个函数，故选：B【题型五】给出自变量求函数值17.（2023·吉林油田高级中学高一开学考试）已知函数对任意x，，总有，若，则（

）A．－3 B．－2 C．－1 D．0【答案】A【解析】由题设，．故选：A．18．（2023·全国·高一课时练习）已知，．（1）计算：____________；（2）计算：____________．【答案】

1

【解析】（1），，所以．（2）由（1）知，从而，故，而，所以．故答案为：1；.19．（2023·广东·广州外国语学校高一阶段练习）已知函数．(1)求的定义域；(2)求的值；(3)当时，求a的值．【解析】(1)因为，则，解得，所以的定义域是；(2)因为，所以，所以；(3)因为，解得.【题型六】求函数的值域20．（2023·全国·高三专题练习）若函数的最大值为，最小值为，则（

）A．4 B．6C．7 D．8【答案】B【解析】设，，，时，，时，因为，所以，解得，即且，综上，最大值是，最小值是，和为6．故选：B．方法1配方法21.求函数y=5x2【解析】y=∵x∈14,1即y=5x2【点拨】配方法针对二次函数型的函数值域.方法2数形结合22.求函数fx【解析】(这是分段函数，两段函数均为二次函数，其图像易得，故可用数形结合求值域)fx=2x−而f(0)=0,f(3)=−3,fx=x2可得到函数图像如右图，易得函数值域为[−8,1].【点拨】数形结合最大的好处是直观.方法3换元法23.求函数fx【解析】令t=1−x(t≥0)，(要注意新变量t得x=−t∴原函数化为y=−2t2+t+2=−2∴函数fx=2x+1−x【点拨】本题利用换元法把不熟悉函数值域问题转化为熟悉的二次函数值域问题，即求函数fx=2x+1−x的值域⇔y=−224函数f(x)=−9−x+(13)【解析】f(x)=−(本题主要是注意到了9−x和(13)x−1均可令t=(13)x，因为原函数的值域等价于函数g(t)=−由二次函数的性质可知，f(x)=[34,3]【点拨】①换元法的本质就是“整体思想”，它能把“不太友善的”表示形式转化为“友善的”，前2题均用换元法把复杂形式函数转化为二次函数，故解题过程中特别要注意式子的结构特征.②换元法要注意换元后变量的取值范围，比如典题3的“t≥0”，典题4中的“方法4分离常数法25求函数fx=【解析】函数fx(在分子2x2−1中“凑出”分母x2∵x故函数fx=【点拨】形如f(x)=a∙g(x)+bc∙g(x)+d均可用分离常数法求函数值域，比如求函数方法5基本不等式法(对勾函数法)26求函数f(x)=x2【解析】∵f(x)=x∴①当x=0时，fx=1；(x=0②当x>0时，0<4xx2+1=此时1<fx≤3，(利用对勾函数∴函数f(x)=x2+4x+1【点拨】利用基本不等式法(对勾函数法)能处理二次分式函数y=dx【题型七】分段函数27已知函数f(x)=x2−6x+6,x≥0f(x1)=f(x2)=f(x【解析】(乍眼一看，不太理解题意，设fx1=t，本题就函数y=t与y函数f(x)=x不妨设x1则x2,x3关于直线且x1满足−则x1+x即x1【点拨】分段函数本质上是“分类讨论”，特别要注意“每段函数”的定义域.处理分段函数的性质问题(值域、交点等)常常用数形结合的方法.【题型八】求函数解析式28.已知是一次函数，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依题意，设，则有，解得，所以.故选：D29．（2022·全国·高一单元测试）若函数，则______．【答案】【解析】令，则，∴，故，∴.故答案为：.30．（2022·全国·高一课时练习）（1）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式；（2）已知，求函数的解析式；（3）已知是R上的函数，，并且对任意的实数x，y都有，求函数的解析式.【解析】（1）设，由得：c＝1.由得：，整理得，∴，则，∴.（2）∵，①∴，②②×2－①得：，∴.（3）令，则，∴.方法1配凑法31已知f(x+1x)=【解析】∵x>0∴x+∵fx+1x=x+1【点拨】本题主要是观察到x+1x与方法2待定系数法32已知函数f(x)是二次函数，若f(0)=0,且f(x+1)=f(x)+x+1，求【解析】依题意可设fx若f(0)=0，且f(x+1)=f(x)+x+1，∴c=0且即c=0且∴c=02a+b=b+1a+b+c=c+1∴f(x)=【点拨】当函数的类型已知，利用待定系数法可求函数解析式.方法3 换元法33.已知f(x+1)=x+2x【解析】令t=x+1，则∵f(∴f(t)=t−12∴fx+1【点拨】用换元法时注意新变量的取值范围.②用配凑法fx+1方法4构造方程组法34设f(x)满足f(x)−2f(1x)=x,【解析】∵f(x)−2f(1x)=x显然x≠0，将x换成1x，得：f(1解①②联立的方程组，得：f(x)=−x方法5代入法35与函数y=x2−3x+2的图象关于点(0,1)对称的函数是【解析】设P(x,y)为所求函数图象上的任意一点，它关于点(0,1)对称的点是Q(−x,2−y)．由题意知点Q(−x,2−y)在函数则2−y=x2+3x+2【点拨】①由下图可对本题有个更清晰的理解.②求与一已知函数关于点对称或轴对称的函数解析式均可以用“代入法”.若把本题的函数y=x2−3x+2换成y=2x【题型九】分段函数36．（2022·黑龙江哈尔滨·高三开学考试）已知函数，则（

）A．0 B． C． D．1【答案】D【解析】因为，所以，所以；故选：D37．（2022·全国·高一课时练习）已知函数(1)求，，的值；(2)若，求实数a的值；(3)若，求实数m的取值范围．【解析】（1）由题可得，，因为，所以；（2）①当时，，解得，不合题意，舍去；②当时，，即，解得或，因为，，所以符合题意；③当时，，解得，符合题意；综合①②③知，当时，或；（3）由，得或或，解得或，故所求m的取值范围是.→③专题精练←1．（2023·全国·高一单元测试）函数的定义域是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依题意且， 所以函数的定义域是．故选：B．2．已知，则函数的解析式A． B．且 C． D．【解答】解：令，则，，因为，所以．故且．故选：．3．（2023·全国·高一专题练习）某人去上班，先快速走，后中速走．如果表示该人离单位的距离，表示出发后的时间，那么下列图象中符合此人走法的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】当时，距离单位最远，不可能是，排除A，C，先快速走，后中速，则随的变化慢，排除B，故选：D．4．已知函数的定义域为，则实数的取值范围是A． B． C． D．【解答】解：因为函数的定义域为，所以恒成立，时，不等式为，满足题意；时，应满足，，所以实数的取值范围是，．故选：．5．（2023·陕西·长安一中高一阶段练习）如果函数对任意满足，且，则（

）A．2022 B．2024 C．2020 D．2021【答案】A【解析】根据题意，令，则，所以，因为2,4,6，…，2022共有个数，所以.故选：A.6．（2023·浙江衢州·高一期中）已知函数满足，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，则，即，令，则，即，令，则，即，令，则，即，令，则，即，故选：B7．下列函数中，值域是，的是A． B． C． D．【解答】解：对于，，由于，故，正确；对于，，令，，，则，当，时，递增，故的最小值为，即值域为，错误；对于，需满足，即，，故，当时取等号，正确；对于，，即函数值域为，错误，故选：．8．下列说法正确的是A．若的定义域为，，则的定义域为 B．函数的值域为，， C．函数的值域为 D．函数在，上的值域为，【解答】解：若的定义域为，，则中，，解得，正确；，错误；令，则，，所以，根据二次函数的性质可知，当时，函数有最大值，正确；根据二次函数的性质可知，在，上先减后增，对称轴，故当时，函数有最小值3，当时，函数有最大值12，错误．故选：．9．设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数，例如．令函数，以下结论正确的有A． B． C．的值域为， D．的零点有2个【解答】解：选项，，即正确；选项，，即正确；选项，由选项可知，是周期为1的周期函数，当时，，当时，，，当时，（1），综上，的值域为，，即错误；选项，由选项，可知，且的周期为1，令，则，原问题转化为函数与函数的交点个数，在同一坐标系中作出这两个函数的图象，如下所示，由图可知，交点个数有2个，所以的零点有2个．故选：．10．（2023·湖北·宜昌市一中高一期中）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】选项A，，正确；选项B，，错误；选项C，，正确；选项D，，正确故选：ACD11．（2022·全国·高一单元测试）已知函数关于函数的结论正确的是（

）A．的定义域为R B．的值域为C．若，则x的值是 D．的解集为【答案】BC【解析】函数的定义域是，故A错误；当时，，值域为