专题06二次函数与一元二次方程不等式

20232024高一数学必修第一册20232024高一数学必修第一册专题06二次函数与一元二次方程、不等式№考向解读专题06二次函数与一元二次方程、不等式№考向解读➊考点精析➋真题精讲➌题型突破➍专题精练第二章一元二次函数、方程及不等式专题06二次函数与一元二次方程、不等式→➊考点精析←1不等式关系与不等式①不等式的性质(1)传递性：a>b,b>c⇒a>c；(2)加法法则：a>b⇒a+c>b+c,a>b,c>d⇒a+c>b+d；(3)乘法法则：a>b,c>0⇒ac>bc,a>b,c<0⇒ac<bc；(4)倒数法则：a>b,ab>0⇒1(5)乘方法则：a>b>0⇒a②比较a,b大小(1)作差法(a−b与0的比较)a−b>0→a>b;a−b=0→a=b;a−b<0→a<b(2)作商法(ab与1比较) 2一元二次不等式及其解法①二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：(以下均以a>0为例)函数、方程、表达式∆>0∆=0∆<0二次函数y=ax2+bx+c一元二次方程ax有两个相异实数根x(有两个相等实数根x没有实数根一元二次不等式ax{x|x<{x|x≠−R一元二次不等式ax{x|∅∅②二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系，可充分利用二次函数图像去理解；③求解一元二次不等式时，利用二次函数图像思考，需要确定二次函数的开口方向，判别式，两根的大小与不等式的解集有关，而对称轴是不会影响解集的.3一元二次不等式的应用(1)分式不等式的解法解分式不等式可等价为有理整式不等式(组)求解.由于ab>0与ab>0均意味a,b同号，故abab<0与ab<0均意味a,b异号，故ab可得①fxg(x)>0⇒fxg比如x−1x−2>0⇒x−1x−2>0;②fxg(x)<0⇒fx比如x−1x−2<0⇒(2)一元高次不等式的解法①一元高次不等式通常先进行因式分解，化为x−x1x−x→➋真题精讲←1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出．方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．【详解】方法一：因为，而，所以．故选：C．方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以．故选：C．→➌题型突破←题型一不等式性质的运用1.实数a、b、c满足a>b>c，则下列不等式正确的是()A．a+b>cB．1a−c<1【解析】∵a>b>c，∴A．a+b>c错误，比如−4>−5>−6，得出−4+−5B．a−c>b−c>0，∴1a−c<C．a|c|>b|c|错误，比如|c|=0时，a|c|=b|c|；D．∵ab2−a2∴ab2故选：B．【点拨】涉及不等式的选择题，适当利用“取特殊值排除法”会做得更快些.2.已知a>0，试比较a2+1a【解析】a2(i)当a>1时，−2a<0，a2−1>0，则−2aa2−1(ii)当0<a<1时，−2a<0,a2−1<0，则−2a综上可得a>1时，a2+1a2−1【点拨】比较两个式子的大小，可用做差法或做商法；一般幂的形式比较大小用作商法，比如比较aabb与aba+b23.已知c>1，a=c+1−cA．a<bB．a>bC．a=b D．a与b的大小不确定【解析】方法一特殊值法取特殊值，令c=2，则a=3−2易知a<b,排除B,C，还不能排除D，猜测选A.方法二做差法，分析法a−b=要比较a,b大小，只需要比较c+1+⟺比较c+1⟺比较⇔比较而显然c2−1<c，故c+1+c−1方法三共轭根式法c+1−c−∵c>1，∴c+1>c－1>0⇒c+1∴1c+1+c<【点拨】①比较两个式子的方法很多，选择题可以考虑取特殊值排除法；②方法二中，遇到带有根号的常常两边平方去掉根号再比较，此时注意两个式子是否都是正数；在思考的过程中，不断使用“等价转化”把比较的两个式子越化越简单，等价过程中注意严谨；③方法三中注意到(c若A=x+yAB=x−y，A题型二二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系4.如果关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为−1<x<2，则关于x的不等式b【解析】关于x的不等式ax2+bx+c>0∴−1、2是方程ax2+bx+c=0由韦达定理得−1+2=−b∴b=−a>0,c=−2a>0，∴不等式bx2−ax−c>0即(x−1)(x+2)>0，解得x<−2或x>1；则该不等式的解集为(−∞,−2)∪(1,+∞)．【点拨】通过二次函数的图像理解，二次函数、一元二次方程和一元二次不等式三者之间的关系.5.解关于x的不等式：x−2【解析】x−2x+3等价变形为：x+8x+3≤0且x+3≠0；(注意分母解得−8≤x<−3.题型三求含参一元二次不等式角度1：按二次项的系数a的符号分类，即a>0,a6.解不等式a【解析】(不确定不等式对应函数y=ax2+(a+2)x+1是否是二次函数，分a=0(1)当a=0时，不等式为2x+1>0，解集为{x|x>−1(2)当a≠0时，∵Δ(二次函数y=ax2+(a+2)x+1解得方程ax2+(a+2)x+1=0(二次函数的开口方向与不等式的解集有关，分a>0与a<0讨论)(i)当a>0时，解集为{x|x>−a−2+(ii)当a<0时,解集为{x|−a−2+a2综上，当a=0时，解集为{x|x>−1当a>0时，解集为{x|x>−a−2+当a<0时,解集为{x|−a−2+a角度2：按判别式的符号分类7.解不等式x2【解析】∵Δ(此时不确定二次函数y=x2+ax+4∴①当−4<a<4，即Δ<0时，解集为R②当a=±4，即Δ=0时，解集为xx≠−③当a>4或a<−4，即Δ>0时，此时两根为x1=∴不等式的解集为{x|x>−a+a2综上，当−4<a<4时，解集为R；当a=±4时，解集为xx≠−当a>4或a<−4时，解集为{x|x>−a+a2角度3：按方程的根大小分类8.解不等式：x2【解析】原不等式可化为：x−ax−1令x−ax−1a(因式分解很关键，此时确定y=x−ax−1a与∴(i)当x1=x2时，即(ii)当x1<x2时，即a<1(iii)当x1>x2时，即a>1综上，当a=±1时，解集为ϕ；(ii)当a<−1或0<a<1时，解集为{x|a<x<1(iii)当−1<a<0或a>1时，解集为x1【点拨】①当求解一元二次不等式时，它是否能够因式分解，若可以就确定对应的二次函数与x轴有交点，就不需要考虑判别式.常见的形式有x2ax2+②在求解含参的一元二次不等式，需要严谨，多从二次函数的开口方向、判别式、两根大小的比较三个角度进行分类讨论，利用图像进行分析.→➍专题精练←1.若不等式2kx2+kx−38A．−3<k<0 B．−3≤k<0 C．−3≤k≤0 D．−3<k≤0【答案】D【解析】2kx2+kx−①k=0时，−3②k≠0时，k<0△=k综上可得，−3<k≤0故选：D．2.若关于x的不等式x2−3ax+2>0的解集为(−∞,1)∪(m,+A．−1 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】由题意知，1和m是方程x2则由根与系数的关系，得1+m=3a1×m=2，解得a=1所以a+m=3．故选：D．3.若不等式ax2+2x+c<0的解集是(−∞,−A．[−12,13] 【答案】C【解析】不等式ax2+2x+c<0的解集是(−∞，−∴−13和12由−13+12=−故不等式cx2−2x+a≤0即x2−x−6≤0，解得：所以所求不等式的解集是：[−2，3]，故选：C．4．关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围为（）AB．C．D．【解析】当时，，若，则原不等式可化为，显然恒成立；若，则原不等式可化为，不恒成立，所以舍去；当时，因为的解集为，所以只需且，解得.综上，实数a的取值范围为.故选：D.5.关于x的不等式x2−(a+1)x+a<0的解集中恰有1个整数，则实数A．(−1,0]∪[2,3) B．[−2,−1)∪(3,4]C．[−1,0)∪(2,3] D．(−2,−1)∪(3,4)【答案】C【解析】由x2−(a+1)x+a<0，得若a=1，则不等式无解．若a>1，则不等式的解为1<x<a，此时要使不等式的解集中恰有1个整数解，则此时1个整数解为x=2，则2<a≤3若a<1，则不等式的解为a<x<1，此时要使不等式的解集中恰有1个整数解，则此时1个整数解为x=0，则−1≤a<0．综上，满足条件的a的取值范围是[−1，0)∪(2，3]．故选：C．6.已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【解析】时，不等式可化为；当时，不等式为，满足题意；当时，不等式化为，则，当且仅当时取等号，所以，即；当时，恒成立；综上所述，实数的取值范围是答案选A7.已知不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|α<x<β}，α>0，则不等式c【答案】(1【解析】不等式ax2+bx+c>0则α，β是一元二次方程ax2+bx+c=0∴α+β=−ba，∴不等式cx2+bx+a>0∴αβx化为(αx−1)(βx−1)<0；又0<α<β，∴1∴不等式cx2+bx+a<0的解集为：{x故选：A．8.不等式的解集为______________.【解析】不等式等价于，解得.故答案为：.9.不等式的解集为________【解析】如下图所示：根据图象可知：当或或时，，所以不等式的解集为：，故答案为：.10.不等式的解集为（）A．或 B．或C．或 D．或【解析】等价于，根据穿根法可得或.故选：B.【例4】（2020·北京八中月考）解关于的不等式(为任意实数)：【解析】当时，原不等式化为，解得；当时，原不等式可化为，即，.当时，，则原不等式的解集为当时，，当，即时，有，则原不等式的解集为；当，即时，则原不等式的解集为或当，即时，则原不等式的解集为.或11.解关于x不等式.【解析】不等式化为，即当时，不等式为，解得，当时，，解得不等式为或，当时，若，即时，解得不等式为，若，即时，不等式无解，若，即时，解得不等式为，综上，时，不等式的解集为；时，不等式无解；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为.12．解不等式：.【解析】①当时，不等式为，解集为，②当时，，恒有两个实根，，当时，，解集为或；当时，，解集为，综上所述：时，解集为；时，解集为或；时，解集为.13.解关于x的不等式x【答案】a>1时，不等式的解集是Ra=1时，不等式的解集是{x|x≠−1}，a<1时，不等式的解集是{x|x>−1+1−a【解析】方程x2+2x+a=0中①当1−a<0即a>1时，不等式的解集是R②当1−a=0，即a=1时，不等式的解集是{x|x≠−1}，③当1−a>0即a<1由x2+2x+a=0解得：∴a<1时，不等式的解集是{x|x>−1+1−a综上，a>1时，不等式的解集是Ra=1时，不等式的解集是{x|x≠−1}，a<1时，不等式的解集是{x|x>−1+1−a14.解关于x的不等式：2x【答案】a>4或a<−4时，不等式的解集为{x|x<a=±4时，不等式的解集为{x|x≠−a−4<a<4时，不等式的解集为R．【解析】关于x的不等式：2x△=a当a>4或a<−4时，△>0对应的一元二次方程有两个实数根x=−a−a2且−a−a∴不等式的解集为{x|x<−a−a2当a=±4时，△=0，对应的一元二次方程有两个相等的实数根x=−a∴不等式的解集为{x|x≠−a当−4<a<4时，△<0，∴不等式的解集为R；综上，a>4或a<−4时，不等式的解集为{x|x<a=±4时，不等式的解集为{x|x≠−a4}；−4<a<4时，不等式的解集为16.若a∈R，解关于x的不等式a【答案】当a<0时，解集是(−1,−1a)；当a=0当0<a≤1时，解集是(−∞,−1a)∪(−1,+∞)；当a>1时，解集是【解析】当a=0时，x>−1．当a≠0时，a(x+1当a<0时，(x+1a)(x+1)<0当a>0时，(x+1当a=1时，x≠−1．当0<a<1时，x<−1a，或当a>1时，x<−1，或x>−1∴当a<0时，解集是(−1，−1当a=0时，解集是(−1，+∞)；当0<a≤1时，解集是(−∞，−1当a>1时，解集是(−∞，−1)∪(−117.关于x的不等式ax−12<x2恰有【答案】(−32,−43【解析】不等式ax−12<x2即ax−12∴(a+1)(a−1)