高中数学第二章点直线平面之间的位置关系2.3.2平面与平面垂直的判定课件新人教A版必修

平面与平面垂直的判定目标导航课标要求1.了解二面角及其平面角的定义,并会求简单二面角的大小.2.理解两个平面互相垂直的定义.3.理解两个平面垂直的判定定理,并能用定理判定面面垂直.素养达成通过对二面角及平面与平面垂直判定定理的学习,培养学生的观察、分析、解决问题能力.新知导学·素养养成(1)定义:从一条直线出发的

所组成的图形叫做二面角(如图).

叫做二面角的棱,

叫做二面角的面.记法:

,在α,β内,分别取点P,Q时,可记作

;当棱记为l时,可记作

或

.两个半平面直线AB半平面α和βα-AB-βP-AB-Qα-l-βP-l-Q(2)二面角的平面角:①定义:在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,如图所示,以点O为垂足,在

分别作垂直于棱l的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫做

.②直二面角:平面角是

的二面角.思考1:棱l与平面OAB什么关系?答案:垂直.半平面α和β内二面角的平面角直角(1)面面垂直的定义①定义:如果两个平面相交,且它们所成的二面角是

,就说这两个平面互相垂直.②画法:记作:

.直二面角α⊥β(2)判定定理垂线文字语言图形语言符号语言一个平面过另一个平面的

,则这两个平面垂直⇒α⊥β思考2:垂直于同一个平面的两个平面什么关系?答案:平行或相交.名师点津(1)二面角的平面角的定义是两条“射线”的夹角,不是两条直线的夹角,因此,二面角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.二面角的平面角体现了“空间问题平面化”的思想.(2)定理的关键词是“过另一平面的垂线”,所以应用的关键是在平面内寻找另一个平面的垂线.课堂探究·素养提升题型一求二面角[例1](1)如图,在正方体ABCD-A′B′C′D′中:①二面角D′-AB-D的大小为

;

②二面角A′-AB-D的大小为

;

(1)解析:①在正方体ABCD-A′B′C′D′中,AB⊥平面AD′,所以AB⊥AD′,AB⊥AD,因此∠D′AD为二面角D′-AB-D的平面角.在Rt△D′DA中,∠D′AD=45°,所以二面角D′-AB-D的大小为45°.②因为AB⊥平面AD′,所以AB⊥AD,AB⊥AA′,因此∠A′AD为二面角A′-AB-D的平面角,又∠A′AD=90°,所以二面角A′-AB-D的大小为90°.答案:①45°②90°(2)如图,已知Rt△ABC,斜边BC⊂α,点A∉α,AO⊥α,O为垂足,∠ABO=30°,∠ACO=45°,求二面角A-BC-O的大小.方法技巧(1)求二面角的大小关键是要找出或作出平面角.再把平面角放在三角形中,利用解三角形得到平面角的大小或三角函数值,其步骤为作角→证明→计算.(2)二面角的作法①定义法:在二面角的棱上找一点,在两个半平面内过该点分别作垂直于棱的射线.②垂面法:过棱上一点作与棱垂直的平面,该平面与二面角的两个半平面形成交线,这两条射线(交线)所成的角,即为二面角的平面角.③垂线法:利用线面垂直的性质来寻找二面角的平面角,这是最常用也是最有效的一种方法.[备用例1]1.已知D,E分别是正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1和BB1上的点,且A1D=2B1E=B1C1.求过D,E,C1的平面与棱柱的下底面A1B1C1所成的二面角的大小.解:如图所示,在平面AA1B1B内延长DE和A1B1交于点F,则F是平面DEC1与平面A1B1C1的公共点.于是C1F为这两个平面的交线.因而,所求二面角即为二面角D-C1F-A1.因为A1D∥B1E,且A1D=2B1E,所以E,B1分别为DF和A1F的中点.因为A1B1=B1C1=A1C1=B1F,所以FC1⊥A1C1.又因为CC1⊥平面A1B1C1,FC1⊂平面A1B1C1,所以CC1⊥FC1.又因为A1C1,CC1为平面AA1C1C内的两条相交直线,所以FC1⊥平面AA1C1C.因为DC1⊂平面AA1C1C,所以FC1⊥DC1.所以∠DC1A1是二面角D-C1F-A1的平面角.由已知A1D=A1C1,则∠DC1A1=45°.故所求二面角的大小为45°.2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求二面角B-A1C1-B1的正切值.题型二平面与平面垂直的判定[例2](12分)如图,AB是☉O的直径,PA垂直于☉O所在的平面,C是圆周上异于A,B的任意一点,求证:平面PAC⊥平面PBC.规范解答:连接AC,BC,………………2分因为C是圆周上异于A,B的任一点,且AB是☉O的直径.所以BC⊥AC,…………4分又PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以PA⊥BC,…………6分而PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC,……9分又BC⊂平面PBC,所以平面PAC⊥平面PBC.……………12分一题多变:(1)本例中若增加条件“PA=AC”,求二面角P-BC-A的大小;(1)解:由条件得:PA⊥BC,AC⊥BC,又PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC,所以∠PCA为二面角P-BC-A的平面角.在Rt△PAC中,由PA=AC得∠PCA=45°.故所求二面角的大小为45°.(2)本例中若增加条件“PA=AC,D为PC的中点”,证明:AD⊥平面PBC.(2)证明:由例2知,BC⊥平面PAC,又AD⊂平面PBC,所以AD⊥BC,又Rt△PAC中,PA=AC,D为PC中点,所以AD⊥PC,而PC∩BC=C,所以AD⊥平面PBC.方法技巧(1)证明平面与平面垂直的方法①利用定义:证明二面角的平面角为直角;②利用面面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直.(2)根据面面垂直的定义判定两平面垂直,实质上是把问题转化成了求二面角的平面角,通常情况下利用判定定理要比定义简单些,这也是证明面面垂直的常用方法,即要证面面垂直,只要转证线面垂直,其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直.[备用例2](2018·安阳高一期末)已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形,PB=PD,E为PA的中点.(1)求证:PC∥平面BDE;证明:(1)设AC,BD交于点O,连接OE,因为四棱锥P-ABCD的底面是菱形,所以O是AC的中点,因为E为PA的中点,所以OE∥PC,因为OE⊂平面BDE,PC⊄平面BDE,所以PC∥平面BDE.(2)求证:平面PAC⊥平面BDE.证明:(2)连接PO,因为四棱锥P-ABCD的底面是菱形,PB=PD,E为PA的中点,所以AC⊥BD,BD⊥PO,因为PO∩AC=O,所以BD⊥平面PAC,因为BD⊂平面BDE,所以平面PAC⊥平面BDE.题型三线面垂直、面面垂直的综合问题[例3](2018·石家庄高一期末)四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是∠DAB=60°的菱形,侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G为线段AD的中点,求证:AD⊥平面PBG;(1)证明:如图,连接BD,因为△PAD为等边三角形,所以PG⊥AD,在△ABD中,∠A=60°,AD=AB,所以△ABD为等边三角形,所以BG⊥AD,所以AD⊥平面PBG.(2)若E为边BC的中点,能否在棱PC上找到一点F,使平面DEF⊥平面ABCD?并证明你的结论.(2)解:能在棱PC上找到一点F,使平面DEF⊥平面ABCD.证明如下:连接CG与DE相交于点H,在△PGC中,作HF∥PG,交PC于点F,因为平面PAD⊥平面ABCD,所以PG⊥平面ABCD,所以FH⊥平面ABCD,所以平面DHF⊥平面ABCD,易知四边形ECDG为平行四边形,所以H是CG的中点,所以F是PC的中点,所以在PC上存在一点F,即为PC的中点,使得平面DEF⊥平面ABCD.方法技巧(1)利用判定定理,证明两个平面垂直,实质是转化为证明线面垂直,进一步转化为线线垂直问题求解.(2)求二面角的大小的关键是作出二面角的平面角,这就需要紧扣它的三个条件,即这个角的顶点是否在棱上;角的两边是否分别在两个平面内;这两边是否都与棱垂直.在具体作图时,还要注意掌握一些作二面角的平面角的方法技巧,如:线面的垂直,图形的对称性,与棱垂直的面等.(2)平面BDM⊥平面ECA;(3)平面DEA⊥平面ECA.证明:(3)由(2)知DM⊥平面AEC,而DM⊂平面DEA,所以平面DEA⊥平面ECA.课堂达标1.下列命题中:①两个相交平面组成的图形叫做二面角;②异面直线a,b分别和一个二面角的两个面垂直,则a,b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补;③二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个面内作射线所成的角的最小角;④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系.其中正确的是(

)(A)①③ (B)②④ (C)③④ (D)①②B解析:由二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,所以①不对,实质上它共有四个二面角;由a,b分别垂直于两个面,则a,b都垂直于二面角的棱,故②正确;③中所作的射线不一定垂直于二面角的棱,故③不对;由定义知④正确.故选B.2.在四棱锥P-ABCD中,已知PA⊥底面ABCD,且底面ABCD为矩形,则下列结论中错误的是(

)(A)平面PAB⊥平面PAD(B)平面PAB⊥平面PBC(C)平面PBC⊥平面PCD(