2023届新疆维吾尔自治区克孜勒苏柯尔克孜自治州第一中学高三上学期12月月考理科数学试题

克州一中2022-2023学年第一学期线上调研测试高三年级理科数学（考试时间120分钟满分150分）注意事项：答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题；本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数（其中为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．实数集R，设集合，则A．[2，3] B．(1，3) C．(2，3] D．3．一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是(1，0，1)，(1，1，0)，(1，1，1)，(0，0，1)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为A．B．C．D．4．已知数列是等比数列且公比为，则“”是“数列为递增数列”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．一圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，则该圆锥表面积为A． B． C． D．6．已知，则下列不等式一定成立的是（）A． B． C． D．7．函数的部分图象如图所示，则函数的图象可以由的图象（）A．向左平移个单位长度得到 B．向左平移个单位长度得到C．向右平移个单位长度得到 D．向右平移个单位长度得到8．已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且，角，则的面积是（）A． B．或 C． D．或9．在等比数列中，，且，则t＝（）A．-2 B．－1 C．1 D．210．一个圆锥的高和底面直径相等，且这个圆锥和圆柱的底面半径及体积也都相等，则圆锥和圆柱的侧面积的比值为A． B． C． D．11．函数是R上的奇函数，切满足，当时，，则=A．-4 B．-2 C．2 D．412．函数的大致图象是（）A． B．C． D．二、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设实数，满足，则的最大值是______.14．在直角坐标系中，已知点和点.若点在的平分线上且，则=_____________.(用坐标表示)15．直线与曲线相切于点，则_______.16．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高4cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为3cm，如果不计容器的厚度，则球的表面积为_____．三、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在数列中，．（1）证明：数列是等差数列．（2）设，是否存在最小正整数k，使对任意，恒成立?若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．18．某地区上年度电价为元/，年用电量为，本年度计划将电价降到元/至元/之间，而用户期望电价为元/.经测算，下调电价后新增用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为），该地区电力的成本价为元/.（1）本年度电价下调后，试用实际电价表示电力部门的收益，并指出的范围；（2）设，当电价最低为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%.注：收益=实际用电量×（实际电价-成本价）19．如图所示，某地有一块空地△OAB，其中OA=300米，∠AOB=90°，∠OAM=60°.当地政府计划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖△OMN，其中M，N都在边AB上，且∠MON=30°，挖出的泥土堆放在△OAM地带上形成假山，剩下的△OBN地带开设儿童游乐场.为安全起见，需在△OAN的周围安装防护网.（1）当AM=150米时，求防护网的总长度；（2）若∠AOM=15°，问此时人工湖用地△OMN的面积是堆假山用地△OAM的面积的多少倍？（3）为节省投入资金，人工湖△OMN的面积要尽可能小，问如何计施工方案，可使△OMN的面积最小？最小面积是多少？20．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，BC1⊥AC.(1)证明：点C1在底面ABC上的射影H必在直线AB上；(2)若二面角C1-AC-B的大小为60°，CC1＝2，求BC1与平面AA1B1B所成角的正弦值.21．如图，在四棱锥中，四边形是等腰梯形，，，．点为棱的中点，点为棱上的一点，且，平面平面．(1)证明：；(2)证明：平面．22．已知函数,在处的切线方程为.(1)求的值(2)当且时,求证:.参考答案：1．B根据复数的乘法运算求出复数，再根据复数的几何意义即可得出答案.解：，所以复数在复平面内对应的点为，位于第二象限.故选：B.2．D求出集合P，Q，从而求出，进而求出．∵集合P＝{x|y}＝{x|}＝{x|}，＝，∴＝{x|或}，∴＝{x|x≤﹣2或x1}＝（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）．故选D．3．D分析：把所给点放到正方体中，四面体的顶点坐标在zOx平面上的投影组成等腰直角三角形，即可得到正视图．详解：如图所示，四面体的顶点坐标分别是(1，0，1)，(1，1，0)，(1，1，1)，(0，0，1)，该四面体的顶点在zOx平面上的投影是（1，0，1），（1，0，0），（0，0，1），这四点组成等腰直角三角形，即得正视图为选项D中的图形．故选D．点睛：本题考查了空间直角坐标系中的点的坐标在坐标平面内的投影问题，考查了空间想象能力，是基础题目．4．C通过等价转化的方法判断出正确选项.“若则”或“若则”“若则”或“若则”.数列为递增数列“若则”或“若则”.所以数列为递增数列.所以“”是“数列为递增数列”的充要条件.故选：C5．A设底面圆的半径为r,则所以r=2,再求圆锥的表面积.设底面圆的半径为r,则，所以圆锥的表面积为.故选A6．B运用不等式的性质及举反例的方法可求解.对于A，如，满足条件，但不成立，故A不正确；对于B，因为，所以，所以，故B正确；对于C，因为，所以，所以不成立，故C不正确；对于D，因为，所以，所以，故D不正确.故选：B7．D先求得函数的解析式，再去判断函数的图象与的图象间的关系.由图可知，，则，所以．由，，得，所以．函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为，所以D正确．故选：D8．D利用两角和（差）的正弦公式及二倍角公式得到，即可得到或，当则，即可求出，从而求出三角形的面积，当，利用正弦定理将角化边，再结合余弦定理求出、，再根据面积公式计算可得．解：由题意，即可得，即，或．①当时，．，，．那么的面积．②当，由正弦定理可得①．又②解得，．那么的面积，故选：D．9．A先求出，利用等比中项求出t.在等比数列中，，且，所以所以，即，解得：.当时，，不符合等比数列的定义，应舍去，故.故选：A.10．C设出圆锥的底面半径和高，由此得出圆柱的底面半径和高，再求两者的侧面积比.不妨设圆锥的底面半径为，高为，设圆柱的底面半径，高为.根据圆锥和圆柱的底面半径及体积也都相等.得，记得.圆锥的母线长为，故两者侧面积比为，故选C.11．C利用周期性把自变量的的绝对值变成最小，然后再利用奇函数性质求得值．∵是以4为周期的周期函数，，又∵是R上的奇函数，∴，故选C．12．D利用导数可求得的单调性，由此排除AB；根据时，可排除C，由此得到结果.由题意得：，令，解得：，，当时，；当时，；在，上单调递减，在上单调递增，可排除AB；当时，恒成立，可排除C.故选：D.13．3根据目标函数的解析式形式，分析目标函数的几何意义，然后判断求出目标函数取得最优解的点的坐标，即可求解．作出实数，满足表示的平面区域，如图所示：由可得，则表示直线在轴上的截距，截距越小，越大.由可得，此时最大为3，故答案为：3．14．先求出与、同向的单位向量，由M在的平分线上，得结合向量模长公式，计算得解.与同向的单位向量为，与同向的单位向量为，∵M在的平分线上，，解得..故答案为：.15．5根据点在直线上求出的值，解方程，，即得解.解：直线与曲线相切于点，则点在直线上，，又，即，又点在曲线上，则.故.故答案为：16．25π设球体的半径为，根据已知条件得出正方体上底面截球所得的截面圆的半径，球心到截面圆圆心的距离，利用勾股定理即可求出球体半径，再带入球体表面积公式即可.由题意得正方体上底面到水面的高为，设球体的半径为，由题意如图所示：三角形为直角三角形，为球与正方体的交点，则，，，所以：，解得，所以球的表面积.故答案为：17．（1）证明见解析；（2）存在，.（1）根据，转化为，由等差数列的定义证明；（2）若存在最小正整数k，使对任意，恒成立，则成立，由（1）得，则，从而得到，然后由判断数列的单调性即可．（1）因为，所以．因为，所以，故数列是首项为1，公差为2的等差数列．（2）由（1）可得，则．因为，所以，所以，则，即数列是递减数列．故要使恒成立，只需，因为，所以，解得．故存在最小正整数，使对任意，恒成立．18．（1）；（2）元/.（1）根据上年度电价为元/，年用电量为和下调电价后新增用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比，得到本年度实际用电量，再乘以即可；（2）易知上年度电力部门实际收益为：，再由（1）知本年度电力部门预收益为，然后由求解.（1）由题意得：本年度实际用电量为：，所以；（2）上年度电力部门实际收益为：，本年度电力部门预收益为，依题意，知：，化简得，即，又因为，所以，即当电价最低为元/时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%.19．（1）900m；（2）倍；（3）答案见解析.（1）利用余弦定理计算出的长度，然后求得是等边三角形，得到防护网的总长度；（2）在三角形中运用正弦定理表示出的表达式，将三角形的面积比转化为底的比，计算出结果；（3）运用正弦定理表示出、的表达式，再运用三角形面积公式表示出面积，进行化简，求出面积的最小值.（1）在三角形OAM中，由余弦定理可得：百米，所以，则三角形OAM是直角三角形，所以由于，所以，所以是等边三角形，周长为百米，即防护网的总长度为900m（2）时，在中，由正弦定理可得：，在三角形中，，由正弦定理可得所以以O为顶点时，和的高相同，所以，，即人工湖用地的面积是堆假山用地的面积的倍.（3）令，在中，则，由正弦定理可得在中，，由正弦定理可得所以由于，所以当时，的最小值为百米220．(1)证明见解析(2)(1)由题目条件先证明AC⊥平面ABC1，再证明平面ABC⊥平面ABC1，过点C1作⊥AB，由面面垂直的性质定理可知⊥平面ABC，推出，H重合,得到结论.(2)在平面ABC内，过点H作Hx⊥AB，以H为坐标原点，以Hx，HB，HC1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面AA1B1B的法向量利用空间向量的数量积求解即可.（1）证明：因为BC1⊥AC，AC⊥AB，AB∩BC1＝B，所以AC⊥平面ABC1.故平面ABC⊥平面ABC1.过点C1作⊥AB，则由面面垂直的性质定理可知⊥平面ABC.又C1H⊥平面ABC，所以，H重合，所以点C1在底面ABC上的射影H必在直线AB上.（2）在平面ABC内，过点H作Hx⊥AB，以H为坐标原点，以Hx，HB，HC1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.由(1)可知∠BAC1是二面角C1­AC­B的平面角，所以∠BAC1＝60°，因为AC⊥AC1，CC1＝2，AC＝2，所以AC1＝2.在△ABC1中，AB＝2，AC1＝2，∠BAC1＝60°，所以BC1＝2，C1H＝，AH＝BH＝1.所以A(0，－1，0)，B(0，1，0)，C1(0，0，)，C(2，－1，0)，＝(0，2，0)，＝＝(－2，1，)，＝(0，－1，).设平面AA1B1B的一个法向量＝(x，y，z)，则即令x＝，得平面AA1B1B的一个法向量＝(，0，2)，设BC1与平面AA1B1B所成角为，所以=|cos〈，〉|＝＝，所以BC1与平面AA1B1B所成角的正弦值为.21．(1)证明见解析(2)证明见解析（1）证明出，利用面面垂直的性质定理可得出平面，再利用线面垂直的性质可证得结论成立；（2）取的中点，连接，取的中点，连接、，证明出平面平面，利用面面平行的性质可证得结论成立.（1）证明：因为四边形为等腰梯形，则，因为，则，所以，，故，，即，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，.（2）证明：取的中点，连接，取的中点，连接、，因为，，则，，因为，且为的中点，所以，且，因为，为的中点，所以，且，所以，四边形为平行四边形，，平面，平面，平面，、分别