2022-2023学年吉林省长春103中九年级（上）期末数学试卷(含解析)

2022-2023学年吉林省长春103中九年级第一学期期末数学试卷

一.选择题（每题3分，共24分）

1.下列各式中，能与我合并的是（）

A.yB.V24C.^/12D.Vs

2.用配方法解方程：炉+无-1=0,配方后所得方程是（）

3.关于尤的一元二次方程（m-2）N+2x+l=0有实数根，则根的取值范围是（）

A.mW3B.m<3C.机<3且加W2D.且znW2

4.在平面直角坐标系中，将二次函数y=（x-2）2+1的图象向左平移2个单位长度，再向

下平移2个单位长度，所得图象对应的函数表达式为（）

A.y=（x+2）2-1B.y=（x+2）2+3C.y=x2-1D.y=x2+3

5.若二次函数的图象的对称轴是经过点（3,0）且平行于y轴的直线，则关于x

的方程N+"=-8的解为（）

A.xi=0,X2=6B.xi=2f初=4

C.xi=2,X2=-4D.Xi=-2,X2=-4

6.如图所示，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部5处的仰角为30°,看这

栋楼底部。处的俯角为60°,热气球A处与楼的水平距离为150加，则这栋楼的高度为

A.50V3irB.150V3irC.200V3irD.300m

7.如图，正方形0nBe与正方形。。所是位似图形，。为位似中心，相似比为1：近,

点A的坐标为（1,0）,则石点的坐标为（)

A.(-&，0)-C.(--V^)D.(-2,-2)

8.如图，RtZkABC中，ACLBC,A。平分NBAC交BC于点。，Z）E_LAO交AB于点E,M

为AE的中点，交CM的延长线于点RBD=4,CD=3.下列结论①NAED=

ZADC；②典③AC・BE=12；®4BF=5AC,其中结论正确的个数有（）

DA4

A.1个B.2个C.3个D.4个

二.填空题（每题3分，共18分）

9.计算cos60°+sin30°=.

10.若关于x的一元二次方程（优-2）x2+5x+m2-3m+2—0的一个根为0,则m的值等

于.

11.如图，在平行四边形A8CZ）中，EF〃AB交AD于E,交BD于F,DE：EA=3：4,EF

=3,则CO的长为.

D_______________7C

12.某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离S（米）关于滑行的时间f（秒）的函数解析

式是S=-0.25r2+10r,无人机着陆后滑行秒才能停下来.

13.某人沿着坡度i=l：我的山坡走到离地面50米高的地方，则他走的路程为.

14.如图，点尸是抛物线厂芳普x+2在第一象限图象上的点，设△PAC的面积为S,

则当△PAC的面积S最大时，点P的坐标为

三.解答题（共78分）

15.计算：2V2-V5W20-V32.

16.解方程：2/-4甘-1=0（用配方法）

17.有四张背面完全相同的卡片A、B、C、D,其中正面分别画有几个不同的几何图形，小

敏将这四张卡片背面朝上洗匀后摸出一张，放回洗匀后再摸出一张.请用树状图（或列

表法），求摸出两张卡片正面所画的几何图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率.

AC

口

彳泗边形

正方形正五边形

18.一商店进了一批服装，进价为每件50元，按每件60元出售时，可销售800件；若单价

每提高1元，则其销售量就减少20件，若商店计划获利12000元，且尽可能减少进货量,

问销售单价应定为多少元？此时应进多少服装?

19.图①，图②，图③均是4X4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端

点均在格点上，在图①，图②，图③给定的网格中按要求画图.（保留作图痕迹）

（1）在图①中，在线段A3上画出点使

（2）在图②中，画出一个格点C,使aABC是以为斜边的等腰直角三角形;

（3）在图③中，在线段上画出点尸，使4尸=2BP.

AA

20.为测量图中的铁塔EE的高度，小明利用自制的测角仪在C点测得塔顶E的仰角为45°,

从点A向正前方行进20米到2处，再用测角仪在。点测得塔顶E的仰角为60°.已知

测角仪AC的高度为1.5米，求铁塔斯的高度(结果精确到1米，加-1.73).

21.如图，四边形A8CD中，AB//CD,MAB=2CD,E、F分别是A8、8C的中点，EF

与相交于点

(1)求证：AEDMs^FBM；

(2)若。B=12,求3M.

22.【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容.

猜想：如图，在△ABC中，点。、E分别是与AC的中点.

根据画出的图形，可以猜想：

DE//BC,S.DE=—BC.

2

对此，我们可以用演绎推理给出证明.

(1)【定理证明】请根据教材内容，结合图①，写出证明过程.

(2)【定理应用】如图②，已知矩形ABC。中，A£>=6,C£)=4,点尸在上从B向

C移动，R、E、尸分别是。C、AP、R尸的中点，则EF=.

(3)【拓展提升】在△ABC中，42=12,点E是AC的中点，过点A作/ABC平分线

的垂线，垂足为点孔连结EF,若EF=2,则8C=.

23.如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AB=10,8C=6.点。是A8中点.点P从点A

出发，沿AC方向以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，点。以每秒2个单位长度

的速度沿折线AB-BC向终点C运动，连结PQ,取PQ的中点E,连结DE,P,Q两点

同时出发，设点尸运动的时间为t秒.

(1)点尸到的距离为；(用含f的代数式表示)

(2)当点。在上运动时，求tanNPQA的值；

(3)当OE与△ABC的直角边平行时，求。。的长.

24.在平面直角坐标系中，二次函数y=N-2x+a(x>0)的图象记为Gi,将Gi绕坐标原

点旋转180。得到图象G2,图象GI和G2合起来记为图象G.

(1)若点P(-2,3)在图象G上，求"的值.

(2)当n=-1时.

①若。G,1)在图象G上，求f的值.

②当左WxW3(左<3)时，图象G对应函数的最大值为2,最小值为-2,直接写出左的

取值范围.

(3)当以A(-2,2),8(-2,-1),C(1,-1),0(1,2)为顶点的矩形A3C£>

的边与图象G有且只有3个公共点时，直接写出w的取值范围.

参考答案

一.选择题(每题3分，共24分)

1.下列各式中，能与迎合并的是()

A.yB.V24C.V12D.我

【分析】先化成最简二次根式，再根据同类二次根式的定义判断即可.

解：A、y化简后不能与迎合并，不合题意；

B、=2遥化简后不能与加合并，不合题意；

C、J适=2我化简后不能与迎合并，不合题意；

D、我=2&化简后能与&合并，符合题意；

故选：D.

【点评】本题考查了同类二次根式的应用，注意：几个二次根式化成最简二次根式后,

如果被开方数相同，那么这几个二次根式是同类二次根式.

2.用配方法解方程：N+无一i=o,配方后所得方程是()

【分析】配方法的一般步骤：

(1)把常数项移到等号的右边；

(2)把二次项的系数化为1；

(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.

解：Vx2+x-1=0

.•.N+x=1

x2+x+—=1+—

44

(x+-)2=-

24

故选：C.

【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用.选择

用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数.

3.关于x的一元二次方程(机-2)x2+2x+l=0有实数根，则根的取值范围是()

A.B.m</iC.机<3且机力2D.机/3且〃zW2

【分析】根据一元二次方程办2+6X+C=。"W0)的根的判别式A=〃-4ac的意义得到

优-2W0且△》()，即22-4X(m-2)X1NO,然后解不等式组即可得到根的取值范围.

解：•.•关于尤的一元二次方程(m-2)/+2%+1=0有实数根，

...m-2W0且△》(),即22-4X(W?-2)义120,

则4-4(m-2)20,

4-4〃?+8?0,

-4m三-12,

解得：mW3,

的取值范围是:“W3且

故选：D.

【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c^0(aWO)的根的判别式△=抉-4ac：当

A>0,方程有两个不相等的实数根；当A=0,方程有两个相等的实数根；当A<0,方

程没有实数根.

4.在平面直角坐标系中，将二次函数y=(x-2)2+1的图象向左平移2个单位长度，再向

下平移2个单位长度，所得图象对应的函数表达式为()

A.y=(x+2)2-1B.y=(无+2)2+3C.y=x2-1D.y=/+3

【分析】直接利用二次函数的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案.

解：将二次函数y=(x-2)2+1的图象向左平移2个单位长度，得到：y=(%-2+2)2+1

=x2+l,

再向下平移2个单位长度得到：y—x2-2+1=x2-1.

故选：C.

【点评】此题主要考查二次函数图象与几何变换，正解掌握平移规律是解题的关键.

5.若二次函数y=/+6x的图象的对称轴是经过点(3,0)且平行于y轴的直线，则关于x

的方程x2+bx=-8的解为()

A.尤1=0,及=6B.xi=2,及=4

C.xi—2,xi--4D.xi--2,XT.--4

【分析】由次函数〉=尤2+法的图象的对称轴是经过点(3,0)且平行于y轴的直线，可

知抛物线的对称轴为直线x=3,从而可以求得b的值，从而可以解答方程无2+桁=7.

解：・・•二次函数的图象的对称轴是经过点（3,0）且平行于y轴的直线,

工二次函数尸N+Z?x的对称轴是直线x=3,

/.---=3.

2X1°

解得，b=-6.

.,.x2+bx=-8即为N-6x=-8.

解得，尤i=2,及=4.

故选：B.

【点评】本题考查抛物线的对称轴和解一元二次方程的相关知识，关键是明确题意，进

行正确分析，最终求出问题的答案

6.如图所示，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部8处的仰角为30°,看这

栋楼底部C处的俯角为60°,热气球A处与楼的水平距离为150山，则这栋楼的高度为

//////

A.50%nB.15073nC.200V3irD.300m

【分析】首先过点A作AOL8C于点。，根据题意得/54。=30°,ZCAD=60°,AD

=120/77,然后利用三角函数求解即可求得答案.

解：过点4作AO_LBC于点。，则/54。=30°,ZCAD=60°,AD=l50m,

在RtaAB。中，BQ=AZ>tan30°=150X（m）,

在RtZvlC。中，CD=AZ>tan60°=150Xa=150底（相）,

：.BC=BD+CD=20073（根）.

故选：C.

【点评】此题考查了仰角俯角问题.注意准确构造直角三角形是解此题的关键.

7.如图，正方形0A8C与正方形OOE尸是位似图形，O为位似中心，相似比为1：

点A的坐标为（1,0）,则E点的坐标为（）

A.（--y2,0）B.（-C.（-D.（-2,-2）

【分析】首先利用正方形的性质得出B点坐标，进而利用位似图形的性质，将B点横纵

坐标都乘以得出即可.

解：：正方形OA8C,点A的坐标为（1,0）,

点坐标为：（1,1）,

:正方形0ABe与正方形。。所是位似图形，。为位似中心，相似比为1：近,

点的坐标为：（-圾,-弧）.

故选：C.

【点评】此题主要考查了位似图形的性质以及坐标与图形的性质，得出E点与8点坐标

关系是解题关键.

8.如图，RtAABC4J,AC±BC,平分/3AC交2C于点。，DE_LA。交AB于点E,M

为AE的中点，BFLBC交CM的延长线于点RBD=4,CD=3.下列结论①

ZADC；②里/；③AC・BE=12；@4BF=5AC,其中结论正确的个数有（）

DA4

A

M

X

BDC

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】①/AEO=90°-ZEAD,/A£)C=90°-ZDAC,NEAD=/DAC；②易证

△ADESAACD,得DE：DA=DC：AC=3：AC,AC不一定等于4.③当FC_LAB时成

立；④连接DW,nTffiDM//BF//AC,得FM：MC=BD：DC=4：3；易证

CMA,得比例线段求解.

解：①NAED=90°-ZEAD,NAOC=90°-ZDAC,

'：ZEAD=ZDAC,

：.ZAED=ZADC.

故本选项正确；

②平分NA4C,

.AB=BD=A

'*AC-CD-T

.•.设AB=4x,则AC=3x,

在直角△ABC中，AC2+B^AB2,则(3无)2+49=(4%)2,

解得：X—,

ZEAD^ZDAC,ZADE^ZACD^90°,

/.AADE^AACD,

得DE：DA^DC：AC=3：3曲=1：五,

故不正确；

③由①知NAE£>=/AOC,

：.ZBED=ZBDA,

又,：/DBE=NABD,

:ABEDsABDA,

：.DE:DA=BE：BD,

由②知。E：DA=DC：AC,

:.BE：BD=DC-.AC,

C.AC'BE^BD'DC^n.

故本选项正确；

④连接DM,

在RtAADE中,MD为斜边AE的中线,

则DM=MA.

：.ZMDA=ZMAD=ADAC,

.,.DM//BF//AC,

：.FM：MC=BD：DC=4：3；

•：AFMBs^CMA,

：.BF：AC=FM：MC=4：3,

：.3BF^4AC.

故本选项错误.

综上所述，①③正确，共有2个.

【点评】本题重点考查相似三角形的判定和性质，正确记忆相似三角形的判定和性质是

解题关键.

二.填空题（每题3分，共18分）

9.计算cos60°+sin30°=1

【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案.

解：原式=《+』■=1,

22

故答案为：1.

【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键.

10.若关于x的一元二次方程(m-2)x2+5x+m2-3m+2=0的一个根为0,则m的值等于

1.

【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未

知数的值.把x=0代入方程，即可得到一个关于根的方程，从而求得加的值，还要注

意一元二次方程的系数不能等于0.

解：把x=0代入(m-2)x2+5x+m2-3m+2=0中得：

m2-3m+2=0,

解得：机=1或机=2,

•：m-2W0,

・・1,

故答案为：1.

【点评】此题主要考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，解题过程中要注意一

元二次方程的系数不能等于0.

11.如图，在平行四边形ABCD中，EF〃AB交AD于E,交BD于F,DE：EA=3：4,EF

=3,则CD的长为7.

【分析】由所〃A8,根据平行线分线段成比例定理，即可求得萼耳，则可求得AB

DAAB

的长，又由四边形A8CD是平行四边形，根据平行四边形对边相等，即可求得C。的长.

解：:DE：EA=3：4,

：.DE：DA=3：7

VEF/7AB,

,DEEF

••—,

DAAB

,:EF=3,

•.•3—3,

7AB

解得：AB=7,

,/四边形ABCD是平行四边形，

：.CD=AB=J.

故答案为：7.

【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理与平行四边形的性质.此题难度不大，解

题的关键是注意数形结合思想的应用.

12.某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离S（米）关于滑行的时间t（秒）的函数解析

式是S=-0.25户+103无人机着陆后滑行20秒才能停下来.

【分析】飞机停下时，也就是滑行距离最远时，即在本题中需求出s最大时对应的/值.

解：由题意得，

S=-0.25产+10/

=-0.25（F-407+400-400）

=-0.25G-20）2+100,

0.25<0,

.•1=20时，飞机滑行的距离最大，

即当f=20秒时，飞机才能停下来.

故答案为：20.

【点评】本题考查了二次函数的应用，能熟练的应用配方法得到顶点式是解题关键.

13.某人沿着坡度i=l：a的山坡走到离地面50米高的地方,则他走的路程为100米.

【分析】由坡度的定义设坡面的竖直高度为50米，则水平距离为50加米，再由勾股定

理即可解答本题.

解：设他走的路程为x米，

由勾股定理得：502+（73X50）2=N,

解得：尤=100或x=-100（不合题意舍去），

即他走的路程为100米，

故答案为：100米.

1=1:E

【点评】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题、勾股定理，掌握坡度的含义,

由勾股定理得出方程是解题的关键.

14.如图，点P是抛物线丫=一/乂2+1^+2在第一象限图象上的点，设△PAC的面积为S,

则当△PAC的面积S最大时，点P的坐标为(2,3).

【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征，可求出点4C的坐标，设点P的坐标为

1Q一一

(机，--m12+—m+2)(0<m<4),过点P作PE_Lx轴于点E,利用分割图形求面积

22

法，可得出S关于他的二次函数关系式，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题.

解：当尤=0时，y=2,

.•.点A的坐标为(0,2),

；Q=2；

12

当y=0时，-$：2+~!^+2=0,

解得：XI=-1,X2=4,

・••点5的坐标为(-1,0),点。的坐标为(4,0),

・・・OC=4.

1o

设点尸的坐标为Qm,-4m2+4m+2)(0<m<4),过点尸作PELx轴于点如图

22

所示.

S=S梯形-S^AOC

=—(OA+PE)•OE+—CE'PE--OA>OC

222

1121121

=—(2--m2+—m+2)m+—(4-m)(--m2+—m+2)--X2X4

2222222

-m-+4m

=-（m-2）2+4,

：-l<0,

当机=2时，S取得最大值，此时点P的坐标为（2,3）,

...当△PAC的面积S最大时，点尸的坐标为（2,3）.

【点评】本题考查了二次函数的最值以及二次函数图象上点的坐标特征，利用分割图形

求面积法，找出S关于机的函数关系式是解题的关键.

三.解答题（共78分）

15.计算：2V2-V5+V2O-V32.

【分析】先把各根式化为最简二次根式，再合并同类项即可.

解：原式=2&-后+2疾-4,/2

=遥-2&.

【点评】本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化

成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根

式不变是解题的关键.

16.解方程：2N-4X-1=0（用配方法）

【分析】解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数.然

后利用直接开平方法即可求解.

解：2尤2-4%-1=0

X2-2尤—-=0

2

X2-2x+l=—+1

2

（X-1）』反

2

.•.X1=1+运X2=l-运

22

【点评】用配方法解一元二次方程的步骤：

（1）形如N+px+q=O型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加

上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可.

（2）形如以2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0,然后配

方.

17.有四张背面完全相同的卡片A、B、C、D,其中正面分别画有几个不同的几何图形，小

敏将这四张卡片背面朝上洗匀后摸出一张，放回洗匀后再摸出一张.请用树状图（或列

表法），求摸出两张卡片正面所画的几何图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率.

ABCD

口□

T,行四边形

正方形正五边形

【分析】画树状图，共有16种等可能的结果，其中摸出两张卡片正面所画的几何图形既

是轴对称图形又是中心对称图形的结果有4种，再由概率公式求解即可.

解：画树状图如下：

/TAV./TBVCD

ABCDABCDABCDABCD

共有16种等可能的结果，其中摸出两张卡片正面所画的几何图形既是轴对称图形又是中

心对称图形的结果有4种，即88、BC、CB、CC,

摸出两张卡片正面所画的几何图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为3=

16

1'

【点评】本题考查的是用树状图法求概率以及轴对称图形和中心对称图形.树状图法可

以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件.用到的知

识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

18.一商店进了一批服装，进价为每件50元，按每件60元出售时，可销售800件；若单价

每提高1元，则其销售量就减少20件，若商店计划获利12000元，且尽可能减少进货量,

问销售单价应定为多少元？此时应进多少服装？

【分析】设销售单价应定为x元，则每件盈利(x-50)元，销售量为800-20(x-60)

=(2000-20无)件，利用总利润=每件的销售利润X销售数量，即可得出关于x的一元

二次方程，解之即可得出x的值，再结合要尽可能减少进货量，即可确定销售单价及应

购进服装的数量.

解：设销售单价应定为尤元，则每件盈利(x-50)元，销售量为800-20(x-60)=(2000

-20x)件，

依题意得：(%-50)(2000-20%)=12000,

整理得：N-150^+5600=0,

解得：Xi—70,尤2=80.

又••.要尽可能减少进货量，

：.x=80,此时2000-20x=2000-20X80=400.

答：销售单价应定为80元，此时应进400件服装.

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解

题的关键.

19.图①，图②，图③均是4X4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端

点均在格点上，在图①，图②，图③给定的网格中按要求画图.(保留作图痕迹)

(1)在图①中，在线段A8上画出点使

(2)在图②中，画出一个格点C,使△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形；

(3)在图③中，在线段A2上画出点P,使AP=23P.

【分析】(1)利用平行线分线段成比例定理作出图形即可;

(2)构造等腰直角三角形即可；

（3）利用平行线分线段成比例定理作出图形即可.

解：（1）如图①中，点M即为所求；

（2）如图②中，点C即为所求;

（3）如图③中，点尸即为所求.

【点评】本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数

形结合的思想解决问题.

20.为测量图中的铁塔EF的高度，小明利用自制的测角仪在C点测得塔顶E的仰角为45°,

从点A向正前方行进20米到2处，再用测角仪在。点测得塔顶E的仰角为60°.已知

测角仪AC的高度为1.5米，求铁塔跖的高度（结果精确到1米，我-1.73）.

【分析】设EG=x米，则CG=x米，DG=(x-20)在RtZXEDG中，有W=tan60°,

DG

从而得到言r=E，求出x即可.

解：如图，作CGLEP于点G,则。在CG上，四边形ACG尸为矩形，GF=AC=1.5米.

设EG=尤米，贝！|CG=_r米，DG=(x-20)米，

在RtZkEDG中，—=tan60°,

DG

解得x=30+10百，

；.EF=EG+G尸=30+10愿+1.5-49（米）.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，准确作出辅助线构造直角

三角形是解题的关键.

21.如图，四边形ABC。中，AB//CD,且AB=2C。，E、B分别是A3、BC的中点，EF

与3。相交于点

(1)求证：AEDMS/\FBM；

(2)若。2=12,求8AL

【分析】(1)先证明四边形3CZ比为平行四边形，从而得到即〃3C,于是得到/即3

=ZFBM,又因为从而可证明△EDMs△/巳/；

(2)由P为2C的中点，得至IJ2C=2依，又由(1)得到的四边形8CDE为平行四边形，

可得对边BC=ED,等量代换可得。E=2FB,由（1）得到的三角形与三角形FM8

相似，可得相似比为2：1,即得到DM：MB=2：1,设出DM=2k与MB=k,根据8。

的长列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，从而得到BM的长.

【解答】（1）证明：：A8=2CZ）,点E是AB的中点，

：.DC=EB.

又,：AB〃CD,

...四边形BCDE为平行四边形.

J.ED//BC.

：.ZEDB=ZFBM.

又•：NDME=NBMF,

:AEDMsAFBM.

（2）解：由尸为BC的中点，得至I]8C=2EB,

又四边形DCBE为平行四边形，得至I」DE=BC,

贝l]OE=2用，BPFB-.DE=1：2,

AFMB与AEMD的相似比为1：2,

即。M：MB=2：1,又BD=12,

设DM=2k,MB=k,

所以BD=BM+MD=k+2k=12,解得k=4,

则BM=4.

【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，以及比例的

性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键.

22.【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容.

猜想：如图，在AABC中，点。、E分别是A8与AC的中点.

根据画出的图形，可以猜想：

DE//BC,5.BC.

2

对此，我们可以用演绎推理给出证明.

（1）【定理证明】请根据教材内容，结合图①，写出证明过程.

（2）【定理应用】如图②，已知矩形ABC。中，A£>=6,CD=4,点P在2C上从B向

C移动，R、E、尸分别是。C、AP,RP的中点，则后/=_板_.

（3）【拓展提升】在△ABC中，AB=12,点E是AC的中点，过点A作/A8C平分线

的垂线，垂足为点E连结所，若EF=2,则BC=16.

【分析】（1）利用两边成比例，夹角相等证明△AOES^ABC,即可证明；

（2）连接AR,在△AOR中求出AR,再由中位线的性质求斯即可；

（3）延长交2C于点R证明（ASA）,得出AP=GRAB=BG,

再根据中位线的判定与性质定理得出CG=2EF=4,即可求解.

【解答】（1）证明：：点£分别是48与AC的中点，

.AD=AE=1

AB-AC-T

AADE^AABC,

r）F1

.•.至=±,ZADE^AABC,

BC2

J.DE//BC,DE^—BC；

（2）解：如图②，连接AR,

②

是AP的中点，歹是PR的中点,

：.EF=^AR,

2

YR是CD的中点，

：.DR=­CD

2f

VCZ)=4,

：.DR=2,

9：AD=6,

AR=2.10»

:.EF=yf^,

故答案为：7io；

(3)解：如图③，延长A尸交BC于点G,

图③

月平分NA8C,

NABF=ZGBF,

\'AG±BF,

:.NAFB=NGBF=90°,

在与△G8F中，

'NABF=NGBF

<BF=BF，

ZAFB=ZGFB

.,.△ABF名AGBF(ASA),

：.AF=GF,AB=BG=i2,

，点厂是AG的中点，

是AC的中点，

是△AGC的中位线，

，GC=2EF=4.

:.BC=BG+GC=12+4=16,

故答案为：16.

【点评】本题是四边形综合题，综合考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判

定与性质，三角形中位线定理，角平分线点的定义，通过作辅助线构造全等三角形是解

题的关键.

23.如图，在中，ZACB=90°,AB=IO,8c=6.点。是A8中点.点P从点A

出发，沿AC方向以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，点。以每秒2个单位长度

的速度沿折线向终点C运动，连结尸。，取的中点E,连结DE,P,。两点

同时出发，设点尸运动的时间为/秒.

（1）点尸到的距离为；（用含f的代数式表示）

一5一

（2）当点。在A8上运动时，求tan/PQA的值；

（3）当OE与aABC的直角边平行时，求。。的长.

【分析】（1）过点尸作PELAB于点R由同角的三角函数值相等得"=当，进而求

解.

（2）先根据相似三角形的性质或同角三角函数值相等，用含f代数式表示出QF的值，

进而求解.

（3）分类讨论Z）E〃8C和。E〃AC两种情况，通过添加辅助线求解.

解：（1）过点尸作尸尸，AB于点F,

2

：.PF=­t.

5

故答案为：2•九

5

(2)在RtAABC中，由勾股定理得AC=VAB2-BC2=8'

PFBC

tanA=—

AFAC

3

•3t_6,

4

：.AF=—t,

5

4fi

・•・QF=AQ-AF=2t-当

55

PF

tanZPQA=1

OF2

(3)如图，①当时，作尸产，AB于点居EG_LA5于点G,

°：DE〃BC,

：.ZB=ZADE,

•・•点E为尸。中点，EG//PF,

3

：.EG=-PF=-

210

9

：.GD=—EG=

440

VQF=AQ-AF=—t,QD=2t-5,

5

1Q

：.GQ^QF=^tf

27

：.GD=GQ-QD=—t-(2z-5)=5-—t,

55

97

.*•----1=5-----1,

405

40

解得t=

13,

・・・0。=2「5=骨

②当OE〃AC时，如图，点。与B重合,

2t=10,

解得t=5.

:.DQ=DB=5,

综上所述，。。=11或5.

【点评】本题考查三角形的综合应用，解题关键是掌握相似三角形的判定及性质，掌握

解直角三角形的方法，通过添加辅助线，分类讨论求解.

24.在平面直角坐标系中，二次函数y=N-2x+〃(无＞0)的图象记为G,将Gi绕坐标原

点旋转180°得到图象图