线性代数教案

第一章线性方程组的消元法与矩阵的初等变换教学目标与要求1.了解线性方程组的基本概念2.掌握矩阵的三种初等变换教学重点运用矩阵的初等变换解一般的线性方程组教学难点矩阵的初等变换§1.1线性方程组的基本概念基本概念定义：m个方程n个未知数的线性方程组为如下形式：(1)称(1)为非齐次线性方程组；当时则称为齐次线性方程组。方程组(1)的一个解为：（或称为解向量）；此时称为系数矩阵，称为增广矩阵。线性方程组的消元法例1：解线性方程组解：，，；，，，从上面可以看出，整个消元过程和回代过程都只与的系数有关，且仅用了以下3种变换：①交换两行；②某行乘k倍；③某行乘k倍加至另一行（即初等行变换）。故我们隐去，得到一个数字阵（即矩阵），对进行初等行变换：其中称为行阶梯形矩阵，称为行最简形矩阵。三、小结例1告诉我们求解一般的线性方程组的基本方法：对其增广矩阵进行3种初等行变换，把它变为行阶梯形矩阵，再最终变成行最简形矩阵，然后从中读出所需的解。四、一般解和通解例2：解方程组解：即，亦即一般解为，其中为自由未知量。令，得方程组的通解为注意：自由未知量的取法并不唯一。定理：在齐次线性方程组中，若（即方程的个数小于未知数的个数），则它必有非零解。习题P11T1(2)T2§1.2矩阵的初等变换矩阵及其初等变换1、定义：称由个数排成的行列的数表为矩阵，简记为。矩阵的初等行(列)变换①交换两行(列)；②某行(列)乘k倍；③某行(列)乘k倍加至另一行(列)。矩阵的标准形定理：任意一个的矩阵，总可以经过初等变换（包括行变换和列变换）化为如下的标准形：即其中1的个数就是行阶梯形矩阵中非零行的行数。习题P18T1(4)(5)T2(1)T3P19总复习题：T3T4行列式教学目标与要求会用对角线法则计算二阶行列式和三阶行列式理解排列、逆序数的概念，掌握n阶行列式的定义及其重要性质理解并会灵活运用行列式的展开公式，掌握范德蒙德行列式的结论掌握克拉默法则及其应用教学重点1.n阶行列式的重要性质2.n阶行列式展开公式的运用以及范德蒙德行列式的结论3.克拉默法则的运用教学难点1.n阶行列式的重要性质及其展开公式2.克拉默法则的运用§2.1二阶和三阶行列式二阶行列式1、引例：对于线性方程组（1），其系数矩阵为用消元法解得（2）2、定义：称为二阶行列式，记那么（2）可以表示为，其中，，从而。三阶行列式1、定义：对于三元线性方程组，记，称为三阶行列式。2、三对角线法则（记忆）：习题P25T1(2)(3)(5)T2T3§2.2n阶行列式的定义和性质排列与逆序数1.定义1：由组成的一个有序数组称为一个n级排列。（n级排列共有个）定义2：在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序，一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数，记作。例：（奇排列）；（偶排列）。定理：对换改变排列的奇偶性；在全部n级排列中，奇、偶排列的个数相等，各有个。n阶行列式的定义1.定义：n阶矩阵，则n阶行列式定义如下：这里，表示对这个数的所有排列求和。即n阶行列式是指项取自不同行不同列的个元素乘积的代数和。2、例：（常用结论）（1）（2）3、n阶行列式的等价定义定理：；其中为行标排列的逆序数，为列标排列的逆序数。行列式的性质设n阶矩阵的行列式为，则有如下性质：①；②交换两行（列），则变号；③提公因子：某行(列)所有元素的公因子可以提到的外面。特别地，若某行（列）为，则；若某两行（列）成比例，则。④拆和：若中某行（列）的元皆为两项之和，则等于两个行列式的和。⑤某行（列）乘倍加至另一行（列），则不变。例：②如；③如④如；⑤如注意：计算行列式的常用方法：利用定义；利用性质把行列式化为上(下)三角形行列式，从而算得行列式的值；利用展开公式(下一节)。习题P36T1T4T5(3)(4)(8)T6(1)§2.3行列式的展开公式余子式与代数余子式1、定义：在n阶行列式中，划去元所在的第行和第列的元后，剩下的元按原来的顺序所构成的阶行列式称为的余子式，记作；又记，称为的代数余子式。2.如：中，的余子式为，代数余子式为，的余子式为，代数余子式为，展开公式定理：阶行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和。即可按第行展开或可按第列展开如：讲解P42例2和例3范德蒙德行列式推论：行列式某行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。即或例证：如习题P46T2(3)(4)(5)§2.4克拉默法则一、克拉默法则定理1：含有个未知数与个方程的线性方程组(1)称(1)为非齐次线性方程组；当时称为齐次线性方程组。如果线性方程组(1)的系数行列式（这里），那么(1)有唯一解，且解为，其中是把中第列元素用方程组右端的常数项替代后所得到的阶行列式。推论：(1)如果线性方程组(1)无解或至少有两个不同的解，那么它的系数行列式。(2)如果齐次线性方程组的系数行列式，那么它只有零解；如果齐次线性方程组有非零解，那么它的系数行列式。注意：用克拉默法则解线性方程组的两个条件：①方程个数等于未知数个数；②系数行列式不等于零。克拉默法则的意义主要在于建立了线性方程组的解和已知的系数以及常数项之间的关系。它主要适用于理论推导。习题P50T2T3；P51总复习题：T1T2T3T6矩阵教学目标与要求1.理解矩阵的概念，掌握矩阵的3种运算(加法、数乘、乘法)，以及它们的运算律2.熟记几种特殊矩阵(单位阵、对角阵、数量矩阵、三角阵、转置矩阵、对称和反对称阵)及其性质，掌握方阵行列式的性质3.掌握伴随矩阵和逆矩阵的定义及其性质，熟悉逆矩阵的运算规律4.了解分块矩阵的运算律，以及常用结论5.理解初等矩阵与初等变换之间的关系，掌握初等变换求逆矩阵的方法6.掌握矩阵的秩的概念及其性质，会用初等变换求矩阵的秩教学重点1.矩阵乘法的运算律和方阵行列式的性质2.逆矩阵和伴随矩阵的运算性质，以及初等变换法求逆矩阵3.矩阵的秩的性质，以及初等变换法求矩阵的秩教学难点1.逆矩阵的概念，以及求逆的方法2.矩阵的秩的概念，以及求秩的方法§3.1矩阵的概念及其运算一、矩阵的概念1、定义：称由个数排成的行列的数表为矩阵，简记为。矩阵的相等：行矩阵（行向量）：；列矩阵（列向量）：矩阵的运算1、矩阵的加法定义1：设，，则注意：两个矩阵是同型矩阵时才能进行加法运算。矩阵的加法满足下列运算律(设都是矩阵)：交换律：；结合律：负矩阵，规定减法运算：2、矩阵的数乘定义2：数与矩阵的乘积记作或，规定为；矩阵的数乘满足下列运算律(设都是矩阵，为数)：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)或3、矩阵的乘法定义3：设，,那么矩阵与矩阵的乘积是一个矩阵，其中记为（的列数等于的行数）。例1：求矩阵与的乘积与。解：例1说明：矩阵的乘法不满足交换律，即一般地。若，则称方阵与可交换。矩阵的乘法满足下列运算律：结合律：(2)(3)分配律：，例2：举例说明下列命题是错误的若，则；若，则或；若，且，则。解：（1）；（2）；（3）。方阵的幂及方阵多项式1、定义：设是阶方阵，则方阵的幂满足的运算律：(1)；(2)方阵多项式设为次多项式，为阶方阵，则仍为一个阶方阵，称为方阵的多项式。习题P61T2(3)(4)(5)(8)T3T4T6§3.2特殊矩阵与方阵行列式特殊矩阵单位矩阵，性质：对角矩阵性质：，为正整数。数量矩阵，性质：三角矩阵或性质：5、转置矩阵如果，则。性质：(1)；(2)；3(3)；(4)穿脱原理：对称矩阵和反对称矩阵设，如果，则称为对称矩阵；如果，则称为反对称矩阵。方阵行列式性质：①（都是阶方阵）②③伴随矩阵定义：阶行列式的各个元素的代数余子式所构成的如下矩阵称为的伴随矩阵。例1：试证：（1）；（2）当时，证明：（1）因为故同理可得。（2）对两边取行列式，得即，所以当时，。习题P69T1t2T6t7t8(2)§3.3逆矩阵一、逆矩阵1、定义：对于阶方阵，如果有一个阶方阵，使则称是可逆的，并把矩阵称为的逆矩阵，记为。2、可逆的判定定理定理：方阵可逆；当可逆时，，其中为的伴随矩阵。证明：必要性.因为可逆，即存在，使。故，所以充分性.由§3.3的例1可知；因为，故有按照逆矩阵的定义，即有。注意：当时，称为非奇异矩阵，否则称为奇异矩阵。可见，可逆矩阵就是非奇异矩阵。同时，定理也提供了一种求逆矩阵的方法——伴随矩阵法（公式法）。3、推论：若（或），则。证明：，故，从而存在，于是二、逆矩阵的运算律方阵的逆矩阵满足下列运算律：①若阶方阵可逆，则也可逆，且；②若可逆，数，则可逆，且；③若均为阶可逆方阵，则也可逆，且（穿脱原理）；④若可逆，且，则；⑤若可逆，则也可逆，且；⑥若可逆，则也可逆，且；⑦若可逆，则；⑧若可逆，则⑨若均为阶可逆方阵，则（穿脱原理）证明：①因为，由推论可知，②因为，由推论可知，③，由推论有，④因为可逆，则，即，故⑤，由推论有，⑥因为可逆，故，且，从而；又，即所以。⑦因为，所以⑧因为，即，所以⑨由可知，也可逆。又，所以例1、问满足什么条件时可逆，并求。解：，，当时，可逆；且例2、设是三阶方阵，且，求解：例3、解矩阵方程解：习题P75T2T3(3)T6T7T9§3.4分块矩阵和初等矩阵分块矩阵设，，其中与()是同阶的子方块，则①；②③；④⑤；⑥初等矩阵1、定义：由阶单位阵经过一次初等变换得到的矩阵称为阶初等矩阵。三种初等变换对应三种初等矩阵(1)交换第行和第行；对应(2)第行乘k倍；对应(3)第行乘k倍加至第行；对应例1、将化为标准形。解：则即初等变换与初等矩阵的关系定理1：设是一个矩阵，对施行一次初等行变换，相当于对左乘一个相应的阶初等矩阵；对施行一次初等列变换，相当于对右乘一个相应的阶初等矩阵。初等变换求逆矩阵定理2：对任意一个矩阵，总存在有限个阶初等矩阵和阶初等矩阵，使得定理3：对于阶可逆矩阵，总存在有限个阶初等矩阵，使得定理4：设为可逆矩阵，则有限个初等矩阵，使得推论：矩阵与等价存在阶可逆矩阵和阶可逆矩阵，使，记为。（等价关系具有反身性、对称性、传递性）因此，由定理3可知，方阵可逆由定理4可知，方阵可逆(为初等矩阵)由推论可知，存在可逆矩阵，使1、求逆方法的推导：由定理4的，得（1）式两端分别右乘，得（2）上述两式表明，用一样的初等行变换将变成的同时，会将变成。求逆矩阵的基本方法初等变换法：或3、解矩阵方程或（可逆）初等变换法：或习题P91T1T2(1)(2)T3§3.5矩阵的秩阶子式的概念定义：在矩阵中，任取行列()，其交叉处的个元素按原来的位置构成的一个阶行列式，称为矩阵的一个阶子式。例：，等都是的一个2阶子式。可知，矩阵的阶子式共有个。矩阵的秩定义：矩阵的非零子式的最高阶数，称为矩阵的秩，记为。若，则中至少有一个阶子式不为0，且所有阶子式都为0。三、矩阵秩的性质①②③的行阶梯形含个非零行的标准形④若则（矩阵的初等变换不改变矩阵的秩）⑤若可逆，则⑥；特别地，当为列向量时，有⑦⑧⑨若，则例1、设为阶矩阵的伴随矩阵，证明证明：(1)当时，则可逆，即；由知。故可逆，从而(2)若，则。故，。又由知矩阵中至少有一个阶子式不为零，也就是说中至少有一个元素不为零。所以，从而有。(3)若，则的任意一个阶子式都为零。故，即。例2、求的秩解：故例3、已知矩阵的秩为3，求的值解：因为，所以，即习题P96T2T3(2)T7T8P97总复习题：T1T2T3T4T5线性方程组理论教学目标与要求1.掌握齐次和非齐次线性方程组解的判定定理和解的结构定理2.理解向量组的线性相关与线性无关的概念，以及它们的判定方法掌握向量组的秩和最大无关组的概念，会求向量组的秩4.理解基础解系的概念，会求齐次与非齐次线性方程组的通解教学重点齐次与非齐次线性方程组解的判定定理以及通解的求法向量组线性相关与线性无关的判定方法3.向量组的最大无关组的求法和秩的求法教学难点1.齐次与非齐次线性方程组解的判定方法2.向量组秩的概念及其求法3.基础解系的概念及其求法§4.1线性方程组有解的条件一、线性方程组解的判定1、非齐次线性方程组定理1：对于非齐次线性方程组（1），则①有唯一解②有无穷多解③无解2、齐次线性方程组定理2：对于齐次线性方程组（2），则①仅有零解②有非零解推论：当时，有非零解定理3：矩阵方程有解线性方程组的解法例1、求下列线性方程组的通解解：，令，得通解为：()例2、问取何值时，下列线性方程组(1)有唯一解；(2)无解；(3)有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解。解：由克拉默法则知，当时，方程组有唯一解。当时，因，，，所以方程组无解。当时，因，，，所以方程组无解。当时，因，所以方程组有无穷多解。即，令，得其通解为：（）习题P106T1T2T3(2)T4T5T6T7§4.2向量组的线性相关性维向量及其线性运算1.定义：由个数组成的有序数组称为维向量。称矩阵为维列向量；其转置称为维行向量。其中称为的第个分量()。2.运算①维向量的相等；②零向量；③负向量；④加法；⑤数乘向量组的线性组合1.向量组定义：由若干个同维的列向量(或行向量)所组成的集合，称为一个向量组。2.向量组与矩阵设，则，其中为矩阵的列向量组；或，其中为矩阵的行向量组。3.向量组与线性方程组一个线性方程组可以写成：向量组的线性组合定义：设向量组，对于数，我们称为向量组的一个线性组合，称为这个线性组合的系数。线性表示给定向量组和向量，若存在一组数，使得则称向量是向量组的线性组合，也称向量可以由向量组线性表示。例：任何一个维向量都可以由维单位向量组：，，，线性表示。即。显然，向量能由向量组线性表示，也就线性方程组：有解。6.定理1：向量能由向量组线性表示的充要条件是，其中。向量组的线性相关与线性无关设齐次线性方程组，写成向量形式：。若它有非零解，即存在一组不全为零的数，使得。因此，我们引入如下概念。1.线性相关与线性无关定义：设有维向量组，如果存在一组不全为零的数使则称向量组线性相关；否则称它线性无关。注意：（特殊情形）①只有一个向量的向量组线性相关②两个向量的向量组线性相关(即两向量共线：对应分量成比例)③三个向量线性相关：几何意义是三个向量共面。④含有零向量的向量组一定线性相关。定理2：向量组线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可由其余个向量线性表示。定理3：设向量组构成矩阵，则向量组线性相关的充要条件是；向量组线性无关的充要条件是。推论1：当向量的个数等于向量的维数时，向量组线性相关的充要条件是；向量组线性无关的充要条件是。推论2：()个维向量组成的向量组一定线性相关。推论3：任一个维向量组中线性无关的向量最多有个。定理4：设向量组线性无关，而向量组线性相关，则向量必能由向量组线性表示，且表示法是唯一的。若向量组线性相关，则向量组()必线性相关；反之，若向量组()线性无关，则向量组必线性无关。（部分相关，整体相关；整体无关，部分无关。）若个维向量线性相关，同时去掉其第个分量得到的个维向量也线性相关；反之，若个维向量线性无关，同时增加其第个分量得到的个维向量也线性无关。习题P116T1(3)(4)T2T3T4(1)(2)T5T6T7T8T9(1)(3)§4.3向量组的秩向量组的等价定义1：设有向量组；向量组，若向量组中的每一个向量都能由向量组线性表示，则称向量组能由向量组线性表示。如果向量组和向量组能相互线性表示，则称这两个向量组等价。命题1：若为有限个列向量组成的向量组，则向量组能由向量组线性表示的充要条件是矩阵方程有解。命题2：若矩阵经过初等行(列)变换变成，则矩阵的列(行)向量组与矩阵的列(行)向量组等价。定理1：设向量组和向量组均为列向量组成的向量组，则向量组能由向量组线性表示的充要条件为推论：向量组和向量组等价的充要条件是其中和是向量组和向量组所构成的矩阵。讲教材P118例1向量组的秩1.最大无关组定义2设向量组是向量组的一个部分组，若向量组线性无关；中的任意向量均可由向量组线性表示；则称为的一个最大线性无关向量组（简称最大无关组）。显然，最大无关组一般不唯一；任意向量组都与它的最大无关组等价。2.最大无关组的求法定理：矩阵的初等行变换不改变(部分或全部)列向量之间的线性关系；矩阵的初等列变换不改变(部分或全部)行向量之间的线性关系。注意：上述定理提供了求向量组最大无关组的方法定理2：设向量组可由向量组线性表示，(1)若向量组线性无关，则；(2)若，则向量组线性相关。推论1：两个等价的线性无关的向量组必含有相同个数的向量。推论2：两个等价的向量组的最大无关组含有相同个数的向量。推论3：一个向量组的任意两个最大无关组所含向量个数相等。3.向量组的秩定义3：向量组的最大无关组所含向量的个数，称为该向量组的秩。定理2'：若向量组能由向量组线性表示，则向量组的秩不大于向量组的秩。矩阵的秩与向量组的秩的关系定理3：对矩阵，则的行秩的列秩。即矩阵的秩等于它的行向量组的秩也等于它的列向量组的秩。四、矩阵的秩的性质性质1：性质2：性质3：若可逆，则习题P124T1T2T3T9§4.4线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构1.解的性质对于齐次线性方程组(1)性质1：若都是的解，则也是的解。性质2：若是的解，则也是的解。解的结构定义1：设是的非零解，且满足(1)线性无关；(2)的任一个解都可由线性表示，即则称是齐次线性方程组的基础解系；且的通解可表示为如下形式：(为任意常数)。定理1：若元齐次线性方程组的系数矩阵的秩，则的基础解系恰含有个线性无关的解向量。讲教材P128例1和例2非齐次线性方程组解的结构1.解的性质对于非齐次线性方程组(2)性质1：若都是的解，则是的解。性质2：若是的解，是的解，则是的解。解的结构定理2：设是非齐次线性方程组的一个解，是对应的导出组的基础解系，则的通解为其中为任意常数。讲教材P132例3和例4习题P134T1T2(1)T3T4T5T6T7T8P141总复习题：T1T2T4T5T6至T13特征值和特征向量矩阵的对角化教学目标与要求1.理解内积和正交向量组的概念，掌握施密特正交化方法和正交矩阵的性质2.理解特征值与特征向量的定义，掌握它们的性质及其求法3.理解相似矩阵的定义，掌握相似矩阵的性质4.掌握矩阵可对角化的条件，熟悉实对称矩阵的对角化方法教学重点1.施密特正交化方法的运用2.特征值与特征向量的求法3.实对称矩阵的对角化方法教学难点施密特正交化方法特征值与特征向量的性质及其求法实对称矩阵的对角化方法§5.1预备知识向量的内积定义1：设有维向量，，令，称为向量与的内积。内积的性质：(2)(3)(4)，当且仅当时等号成立定义2：令，称为维向量的长度（或范数）。当时，称为单位向量。向量的长度具有以下性质：非负性：(2)齐次性：(3)三角不等式：(4)柯西不等式：定义3：当，时，称为维向量与的夹角。定义4：当时，称向量与正交。定义5：若一个向量组中任意两个向量都正交，则称此向量组为正交向量组。若正交向量组中的每一个向量都是单位向量，则称此向量组为规范正交向量组或标准正交向量组。定理1：若维向量是一组两两正交的非零向量，则线性无关。施密特正交化方法施密特正交化方法是将一组线性无关的向量，化为一组与之等价的正交向量组的方法。令；；；。讲教材P147例2和例3正交矩阵定义6：如果方阵满足（即），则称为正交矩阵。例如：，，都是正交阵。定理2：为正交矩阵的行(列)向量组为规范正交向量组。即（其中）定理3：设都是阶正交方阵，则(1)；(2)也是正交方阵。定义7：若为正交矩阵，则线性变换称为正交变换。习题P149T1(2)T2(2)T3T4T5§5.2特征值和特征向量特征值与特征向量的概念定义1：设是阶方阵，如果存在数和非零列向量，使得，称为方阵的特征值，非零列向量称为的属于特征值的特征向量。特征方程：或者有非零解特征矩阵：或者特征多项式：二、求阶方阵的特征值与特征向量的步骤(1)求出特征方程的全部根，即是的特征值；(2)对于每个特征值求解线性方程组，得出的基础解系就是的属于特征值的特征向量；基础解系的线性组合就是的属于特征值的全部特征向量。讲教材P152例3和例4三、特征值与特征向量的性质性质1：设是阶方阵，则与有相同的特征值。性质2：设是方阵的特征值，，则是方阵的特征值；是的特征值。性质3：设阶方阵的个特征值为，则，其中称为的迹；(2)证明：由特征值的定义可得由题设可知比较多项式同次幂的系数可得，推论：0是的特征值；可逆不含零特征值。讲教材P154例5和例6性质4：是方阵的互异特征值，其对应的特征向量依次为，则向量组线性无关。习题P157T1T2T3T4§5.3相似矩阵一、相似矩阵的概念定义1：设都是阶方阵，若存在可逆矩阵，使，则称矩阵与相似，记为，可逆矩阵称为相似变换矩阵。相似矩阵的基本性质：1、(1)反身性：对任意方阵，都有(2)对称性：若，则(3)传递性：若，，则定理1：若，则①与有相同的特征多项式和特征值；②；③；④与也相似（为正整数）；⑤矩阵可对角化的条件定义：阶方阵可以相似于一个对角矩阵，则称可对角化。定理2：阶方阵可对角化有个线性无关的特征向量。推论：阶方阵有个互异的特征值可对角化。定理3：阶方阵可对角化的每个重特征值对应有个线性无关的特征向量（或）。即的几何重数等于代数重数。讲教材P160例1和例2小结阶方阵对角化的步骤：解特征方程，求出的全部特征值，其中是重特征值（），。对每个，解齐次线性方程组，得基础解系；令，则，其中，这里的个数为个（）。四、习题P162T1T2T3T4T5T6§5.4实对称矩阵的相似矩阵实对称矩阵的特征值性质定理1：实对称矩阵的特征值都是实数。定理2：实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量相互正交。定理3：设是阶实对称矩阵的重特征值，则，即对应特征值恰有个线性无关的特征向量。实对称矩阵的相似理论定理4：任意实对称矩阵都与对角矩阵相似。即实对称阵一定可以对角化。定理5：设是阶实对称矩阵，则存在正交矩阵，使。其中，且是的个特征值。实对称矩阵对角化方法阶实对称矩阵对角化的步骤：(1)解特征方程，求出的全部特征值，其中是重特征值（），。(2)对每个，解齐次线性方程组，得基础解系；(3)利用施密特正交化方法将正交化，得正交向量组，再单位化得规范正交向量组（）；(4)令，则为正交矩阵，且，其中，这里的个数为个（）。讲教材P164例1和例2习题P167T1T2T4P167总复习题：T1T2T3T4T5T6；T8T9T10T11T12T13T14T15T16二次型教学目标与要求1.理解二次型及其秩的相关概念，了解矩阵的合同关系2.掌握二次型的标准形，以及用配方法、正交变换法和初等变换法化二次型为标准型3.理解惯性定理和二次型的规范形，掌握二次型正定的判别方法教学重点1.用正交变换法化二次型为标准型2.二次型正定的判别方法教学难点1.用正交变换法化二次型为标准型2.二次型正定的判别方法§6.1二次型及其矩阵表示一、二次型及其矩阵表示定义1：含有个变量的二次齐次函数：称为二次型。当全为实数时，称为实二次型。为了便于用矩阵讨论二次型，令，则二次型为：记，，则二次型，其中为对称矩阵。由此可见，对称矩阵与二次型是一一对应关系，故称对称矩阵为二次型的矩阵，也称二次型为对称矩阵的二次型，也称为二次型的秩。讲教材P173例1和例2二、线性变换定义2：称为由变量到变量的一个