高中数学第一章三角函数1.2角的概念的推广教案省公开课一等奖新名师获奖课件

1.2

角概念推广1/52【知识提炼】1.角概念平面内一条_____绕着_____从一个位置旋转到另一个位置所形成图形.射线端点终边始边顶点2/522.角分类(1)任意角逆时针顺时针不作任何3/52(2)象限角①前提条件:(ⅰ)角顶点与_____重合.(ⅱ)角始边与____非负半轴重合.②分类:(ⅰ)象限角:角终边(除端点外)在第几象限,就是___________.(ⅱ)终边落在坐标轴上角.原点x轴第几象限角4/523.终边相同角表示全部与角α终边相同角,连同角α在内,可组成一个集合S={β|β=_________________},即任何一个与角α终边相同角,都能够表示成角α与周角_______和.α+k·360°,k∈Z整数倍5/52【即时小测】1.思索以下问题(1)角概念推广后,角范围是什么?提醒:依据角定义可知,角范围推广到了任意角,即(-∞,+∞).6/52(2)在坐标系中终边相同角不一定相等,相等角终边一定相同吗?提醒:一定.在平面直角坐标系中来讨论角时必须满足以下条件:角顶点为坐标原点,角始边为x轴非负半轴,所以,相等角终边一定相同.7/522.与角-80°终边相同角是(

)A.180°

B.100°

C.240°

D.280°【解析】选D.因为280°=-80°+360°,故280°与角-80°终边相同.8/523.在0°～360°范围内,与°角终边相同角为________.【解析】因为215°=°-5×360°,故在0°～360°范围内,与°角终边相同角为215°.答案:215°9/524.-°是第________象限角.【解析】因为160°=-°+6×360°,因为160°是第二象限角,故-°是第二象限角.答案:二10/525.若角α终边和函数y=-|x|图像重合,则角α集合为________.【解析】因为y=-|x|图像是第三、四象限平分线,故在0°～360°范围内所对应两个角分别为225°及315°,从而角α集合为S={α|α=k×360°+225°或α=k×360°+315°,k∈Z}.答案:{α|α=k×360°+225°或α=k×360°+315°,k∈Z}11/52【知识探究】知识点1角概念推广观察图形,回答以下问题:问题1:组成角要素有哪几个?问题2:用旋转观点定义角会出现哪几类角?旋转时,要注意哪些要素?12/52【总结提升】角概念四个关注点(1)三个要素:顶点、始边、终边.(2)运动观点下定义:抓住“旋转”两个字,它有正负之分,与初中学习静止观点下角是有区分.13/52(3)角大小:不但与旋转大小相关,还与旋转方向相关,正角大于负角.(4)角加减法运算:角范围推广到任意角后,类似于实数加减法运算.14/52知识点2象限角与终边相同角观察图形,回答以下问题:15/52问题1:定义象限角、终边相同角前提条件是什么?问题2:终边相同角之间有什么关系?问题3:怎样用集合和符号表示各象限角?16/52【总结提升】1.定义前提条件(1)研究象限角、终边相同角时,必须注意前提条件:角顶点与坐标原点重合,始边与x轴非负半轴重合.(2)假如角顶点不与坐标原点重合,或者角始边不与x轴非负半轴重合,则没有象限角、终边相同角概念.17/522.象限角集合表示象限角集合表示第一象限角{α|k·360°<α<90°+k·360°,k∈Z}第二象限角{α|90°+k·360°<α<180°+k·360°,k∈Z}第三象限角{α|180°+k·360°<α<270°+k·360°,k∈Z}第四象限角{α|270°+k·360°<α<360°+k·360°,k∈Z}18/523.对于终边相同角认识全部与角α终边相同角,连同角α在内能够用式子k·360°+α,k∈Z表示,在利用时需注意以下三点:(1)k是整数,这个条件不能遗漏.(2)α是任意角.(3)k·360°与α之间用“+”连接,如k·360°-30°应看成k·360°+(-30°),k∈Z.19/52【题型探究】类型一角概念推广【典例】1.时钟时针走过了1小时20分钟,则分针转过角为_____.2.射线OA绕端点O顺时针旋转80°到OB位置,接着逆时针旋转250°到OC位置,然后再顺时针旋转270°到OD位置,则∠AOD=________.20/52【解题探究】1.分针转过圈数是多少?提醒:分针转过圈数是

圈.2.题2中逆时针旋转250°是+250°,还是-250°?顺时针旋转270°是+270°,还是-270°?提醒:逆时针旋转250°是+250°,顺时针旋转270°是-270°.21/52【解析】1.时针走过了1小时20分钟,则分针转了圈,又因为按顺时针方向旋转角为负角,所以分针转过角为-×360°=-480°.答案:-480°22/522.如图∠AOD=∠AOB+∠BOC+∠COD=(-80°)+250°+(-270°)=-100°.答案:-100°23/52【方法技巧】1.角表示(1)通惯用希腊字母α,β等表示,如“角α”或“∠α”,也能够简化为“α”.(2)也能够用三个大写字母表示(前面要加“∠”),如“∠AOB”.(3)用图示表示角时,箭头不能够丢掉,因为箭头代表了旋转方向,也即箭头代表着角正负.24/522.了解角概念三个“明确”25/52【变式训练】写出图(1)(2)中角α,β,γ度数.26/52【解析】图(1)中,α=360°-30°=330°.图(2)中,β=-360°+60°+150°=-150°;γ=360°+60°+(-β)=360°+60°+150°=570°.27/52类型二终边相同角【典例】(·宿州高一检测)写出与角-°终边相同角集合S,求S中最小正角.【解题探究】与角α终边相同角怎样表示?提醒:与角α终边相同角表示为α+k·360°,k∈Z.28/52【解析】与角-°终边相同角集合为S={α|α=-°+k·360°,k∈Z}.因为-°+6×360°=150°,故-°与150°终边相同,且150°为其中最小正角.答案:150°29/52【延伸探究】1.(改变问法)求S中最大负角.【解析】因为-°+5×360°=-210°,故-°与-210°终边相同,且-210°为其中最大负角.答案:-210°30/522.(变换条件)求S中在-720°～720°范围内角.【解析】令α=-°+k·360°,k∈Z,当k=4时,α=-°+4×360°=-570°,当k=5时,α=-°+5×360°=-210°,当k=6时,α=-°+6×360°=150°,当k=7时,α=-°+7×360°=510°.故S中在-720°～720°范围内角为-570°,-210°,150°,510°.31/52【方法技巧】1.在0°到360°范围内找与给定角终边相同角方法(1)普通地,能够将所给角α化成k·360°+β形式(其中0°≤β<360°,k∈Z),其中β就是所求角.(2)假如所给角绝对值不是很大,能够经过以下方法完成:当所给角是负角时,采取连续加360°方式;当所给角是正角时,采取连续减360°方式,直到所得结果到达要求为止.32/522.终边相同角惯用三个结论(1)终边相同角之间相差360°整数倍.(2)终边在同一直线上角之间相差180°整数倍.(3)终边在相互垂直两直线上角之间相差90°整数倍.33/52【赔偿训练】1.与-457°角终边相同角集合是(

)A.{α|α=475°+k·360°,k∈Z}B.{α|α=97°+k·360°,k∈Z}C.{α|α=263°+k·360°,k∈Z}D.{α|α=-263°+k·360°,k∈Z}【解析】选C.因为263°=-457°+2×360°,故与-457°角终边相同角集合可表示为{α|α=263°+k·360°,k∈Z}.34/522.已知α,β终边相同,那么α-β终边在(

)A.x轴非负半轴上B.y轴非负半轴上C.x轴非正半轴上D.y轴非正半轴上35/52【解析】选A.因为α,β终边相同,所以α=k·360°+β(k∈Z),所以α-β=k·360°(k∈Z),所以α-β终边在x轴非负半轴上.36/52类型三象限角【典例】1.(·渭南高一检测)给出以下四个命题,其中正确有(

)①-75°是第四象限角②225°是第三象限角③475°是第二象限角④-315°是第一象限角A.1个B.2个C.3个D.4个37/522.已知角α是锐角,则2α是(

)A.第一象限角B.第二象限角C.小于180°正角D.第一或第二象限角3.已知角顶点在原点,始边在x轴非负半轴上,作出以下各角,并指出它们是第几象限角.(1)-50°;(2)780°;(3)-680°.38/52【解题探究】1.象限角有什么特点?提醒:角始边在x轴非负半轴上,顶点在原点,角终边旋转,角终边在哪个象限即哪个象限角.2.题2中角α是锐角,则α范围是什么?提醒:0°<α<90°.3.题3中怎样作负角?提醒:顺时针旋转即可得到负角.39/52【解析】1.选D.①②显然正确;因为115°=475°-360°,故475°是第二象限角,③正确;因为45°=-315°+360°,故-315°是第一象限角,④正确.2.选C.因为α是锐角,所以0°<α<90°,所以0°<2α<180°.40/523.作出各角,其对应终边如图所表示.(1)-50°是第四象限角.(2)780°是第一象限角.(3)-680°是第一象限角.41/52【方法技巧】1.象限角判定方法(1)依据图像判定.利用图像实际操作时,依据是终边相同角概念,因为0°～360°之间角与坐标系中射线可建立一一对应关系.(2)将角转化到0°～360°范围内.在直角坐标平面内,0°～360°范围内没有两个角终边是相同.42/522.α,2α,等角终边位置确实定方法不等式法①利用象限角概念或已知条件,写出角α范围.②利用不等式性质,求出2α,等角范围.③利用“旋转”观点,确定角终边位置.43/52比如,假如得到k×120°<<k×120°+30°,k∈Z,可画出0°<<30°所表示区域,再将此区域依次逆时针或顺时针转动120°(如图所表示).44/52【变式训练】(·大庆高二检测)若α是第三象限角,则180°-α一定是(

)Α.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角45/52【解题指南】利用角对称、旋转确定角范围.【解析】选D.因为α是第三象限角,故-α是第二象限角,逆时针旋转180°为第四象限角,故180°-α是第四象限角.46/52【赔偿训练】若角α满足α=-30°+k·180°