高考数学复习第六章数列6.4数列求和理市赛课公开课一等奖省名师获奖课件

§6.4数列求和1/62基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引2/62基础知识自主学习3/621.等差数列前n项和公式知识梳理2.等比数列前n项和公式4/623.一些常见数列前n项和公式(1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝

.(2)1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝

.(3)2＋4＋6＋8＋…＋2n＝

.(4)12＋22＋…＋n2＝.n2n(n＋1)5/62数列求和惯用方法(1)公式法等差、等比数列或可化为等差、等比数列可直接使用公式求和.(2)分组转化法把数列每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.知识拓展6/62(3)裂项相消法把数列通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项.常见裂项公式7/62(4)倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式推导过程推广.(5)错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得数列求和，即等比数列求和公式推导过程推广.(6)并项求和法一个数列前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如an＝(－1)nf(n)类型，可采取两项合并求解.比如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050.8/62思索辨析判断以下结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)假如数列{an}为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn＝.()(2)当n≥2时，.()(3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan之和时，只要把上式等号两边同时乘以a即可依据错位相减法求得.()√√×9/62(4)数列{＋2n－1}前n项和为n2＋.()(5)推导等差数列求和公式方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝44.5.()×√10/62考点自测1.(·南京模拟)设{an}是公差不为0等差数列，a1＝2，且a1，a3，a6成等比数列，则{an}前n项和Sn＝_______.答案解析设等差数列公差为d，则a1＝2，a3＝2＋2d，a6＝2＋5d.又∵a1，a3，a6成等比数列，∴

＝a1·a6.即(2＋2d)2＝2(2＋5d)，整理得2d2－d＝0.∵d≠0，∴d＝.11/622.(教材改编)数列{an}中，an＝，若{an}前n项和Sn＝，则n＝________.答案解析2017Sn＝a1＋a2＋…＋an12/623.数列{an}通项公式为an＝(－1)n－1·(4n－3)，则它前100项之和S100＝_______.S100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.答案解析－20013/624.若数列{an}通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}前n项和Sn＝___________.答案解析2n＋1－2＋n214/625.数列{an}通项公式为an＝ncos，其前n项和为Sn，则S2017＝_____.答案解析1008因为数列an＝ncos呈周期性改变，观察此数列规律以下：a1＝0，a2＝－2，a3＝0，a4＝4.故S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝2.a5＝0，a6＝－6，a7＝0，a8＝8，故a5＋a6＋a7＋a8＝2，∴周期T＝4.∴S2017＝S2016＋a2017＝1008.15/62题型分类深度剖析16/62题型一分组转化法求和例1已知数列{an}前n项和Sn＝，n∈N*.(1)求数列{an}通项公式；解答当n＝1时，a1＝S1＝1；a1也满足an＝n，故数列{an}通项公式为an＝n.17/62(2)设bn＝＋(－1)nan，求数列{bn}前2n项和.解答由(1)知an＝n，故bn＝2n＋(－1)nn.记数列{bn}前2n项和为T2n，则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n).记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，则A＝＝22n＋1－2，B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.故数列{bn}前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.18/62引申探究例1(2)中，求数列{bn}前n项和Tn.解答由(1)知bn＝2n＋(－1)n·n.当n为偶数时，Tn＝(21＋22＋…＋2n)＋[－1＋2－3＋4－…－(n－1)＋n]＝2n＋1＋－2；当n为奇数时，Tn＝(21＋22＋…＋2n)＋[－1＋2－3＋4－…－(n－2)＋(n－1)－n]19/62分组转化法求和常见类型(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采取分组求和法求{an}前n项和.(2)通项公式为an＝数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采取分组求和法求和.提醒：一些数列求和是将数列转化为若干个可求和新数列和或差，从而求得原数列和，注意在含有字母数列中对字母讨论.思维升华20/62跟踪训练1已知数列{an}通项公式是an＝2·3n－1＋(－1)n·(ln2－ln3)＋(－1)nnln3，求其前n项和Sn.解答Sn＝2(1＋3＋…＋3n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n]·(ln2－ln3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn]ln3，当n为奇数时，＝3n－ln3－ln2－1.所以当n为偶数时，21/62题型二错位相减法求和例2已知a>0，a≠1，数列{an}是首项为a，公比也为a等比数列，令bn＝an·lgan(n∈N)，求数列{bn}前n项和Sn.解答∵an＝an，bn＝n·anlga，∴Sn＝(a＋2a2＋3a3＋…＋nan)lga， ①aSn＝(a2＋2a3＋3a4＋…＋nan＋1)lga， ②①－②得：(1－a)Sn＝(a＋a2＋…＋an－nan＋1)lga，∴Sn＝[1－(1＋n－na)an].22/62错位相减法求和时注意点(1)要善于识别题目类型，尤其是等比数列公比为负数情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”表示式时应尤其注意将两式“错项对齐”方便下一步准确写出“Sn－qSn”表示式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.思维升华23/62跟踪训练2设等差数列{an}公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}公比为q，已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100.(1)求数列{an}，{bn}通项公式；解答24/62(2)当d>1时，记cn＝，求数列{cn}前n项和Tn.解答由d>1，知an＝2n－1，bn＝2n－1，故cn＝，于是①－②可得25/62题型三裂项相消法求和命题点1形如an＝型例3设数列{an}前n项和为Sn，点(n，)(n∈N*)均在函数y＝3x－2图象上.(1)求数列{an}通项公式；解答把点(n，)代入函数y＝3x－2，∴＝3n－2，∴Sn＝3n2－2n，当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5.又a1＝1符合该式，∴an＝6n－5(n∈N*).26/62(2)设bn＝，Tn是数列{bn}前n项和，求Tn.解答∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn27/62命题点2形如an＝型例4已知函数f(x)＝xa图象过点(4,2)，令an＝，n∈N*.记数列{an}前n项和为Sn，则S2017＝_________.答案解析由f(4)＝2，可得4a＝2，解得a＝，则f(x)＝28/62(1)用裂项相消法求和时，要对通项进行变换，如：，裂项后能够产生连续相互抵消项.(2)抵消后并不一定只剩下第一项和最终一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项.思维升华29/62跟踪训练3在数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足(1)求Sn表示式；解答an＝Sn－Sn－1(n≥2)，即2Sn－1Sn＝Sn－1－Sn， ①由题意得Sn－1·Sn≠0，①式两边同除以Sn－1·Sn，∴数列是首项为＝1，公差为2等差数列.∴＝1＋2(n－1)＝2n－1，∴Sn＝.30/62(2)设bn＝，求{bn}前n项和Tn.解答31/62典例(14分)已知数列{an}前n项和Sn＝＋kn(其中k∈N*)，且Sn最大值为8.(1)确定常数k，并求an；(2)设数列前n项和为Tn，求证：Tn<4.审题路线图规范解答四审结构定方案审题路线图系列32/62返回33/62(1)解当n＝k∈N*时，Sn＝＋kn取得最大值，即8＝Sk＝，故k2＝16，k＝4.当n＝1时，a1＝S1＝， [3分]当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝.当n＝1时，上式也成立.综上，an＝. [6分]34/62 [10分]②－①，得∴Tn＝4－.∴Tn<4. [14分]返回35/62课时作业36/621.(·江苏无锡一中质检)设Sn为等差数列{an}前n项和，S4＝14，S10－S7＝30，则S9＝____.答案解析设等差数列{an}首项为a1，公差为d，则S4＝4a1＋6d＝14， ①S10＝10a1＋45d，S7＝7a1＋21d，则S10－S7＝3a1＋24d＝30， ②解①②可得d＝1，a1＝2，故S9＝9a1＋36d＝18＋36＝54.5412345678910111213141537/622.(·无锡模拟)设等比数列{an}前n项和为Sn，已知a1＝2016，且an＋2an＋1＋an＋2＝0(n∈N*)，则S2016＝____.答案解析0∵an＋2an＋1＋an＋2＝0(n∈N*)，∴an＋2anq＋anq2＝0，q为等比数列{an}公比，即q2＋2q＋1＝0，∴q＝－1.∴an＝(－1)n－1·2016，∴S2016＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a2015＋a2016)＝0.12345678910111213141538/62答案解析12345678910111213141539/624.(教材改编)数列{n×}前n项和Sn＝___________.答案解析12345678910111213141540/625.已知函数f(n)＝且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝_____.由题意，得a1＋a2＋a3＋…＋a100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)－(4＋3)＋…－(99＋100)＋(101＋100)＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101)＝－50×101＋50×103＝100.答案解析10012345678910111213141541/626.(·江苏连云港四校期中)一个只有有限项等差数列，它前5项和为34，最终5项和为146，全部项和为234，则它第7项为____.据题意知a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝34，an－4＋an－3＋an－2＋an－1＋an＝146，又∵a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝a4＋an－3＝a5＋an－4，∴a1＋an＝36.又Sn＝n(a1＋an)＝234，∴n＝13，∴a1＋a13＝2a7＝36，∴a7＝18.18答案解析12345678910111213141542/627.(·苏州模拟)已知数列{an}通项公式为an＝，若前n项和为10，则项数n为_____.答案解析120∴Sn＝a1＋a2＋…＋an12345678910111213141543/628.(·泰州模拟)设数列{an}满足a1＝1，(1－an＋1)(1＋an)＝1(n∈N*)，则值为_____.答案解析因为(1－an＋1)(1＋an)＝1，所以an－an＋1－anan＋1＝0，即数列是以1为首项，1为公差等差数列，所以＝1＋n－1＝n，12345678910111213141544/629.(·苏北四市期末)若公比不为1等比数列{an}满足log2(a1·a2·…·a13)＝13，等差数列{bn}满足b7＝a7，则b1＋b2＋…＋b13值为_____.因为等比数列{an}满足log2(a1·a2·…·a13)＝13，所以a1·a2·…·a13＝213，(a7)13＝213，a7＝2，所以等差数列{bn}中，b7＝a7＝2，b1＋b2＋…＋b13＝13b7＝13×2＝26.答案解析2612345678910111213141545/62*10.已知正项数列{an}前n项和为Sn，∀n∈N*，2Sn＝

＋an.令bn＝，设{bn}前n项和为Tn，则在T1，T2，T3，…，T100中有理数个数为___.答案解析912345678910111213141546/62∵2Sn＝

＋an， ①∴2Sn＋1＝

＋an＋1， ②②－①，得2an＋1＝

＋an＋1－

－an，

－an＋1－an＝0，(an＋1＋an)(an＋1－an－1)＝0.又∵{an}为正项数列，∴an＋1－an－1＝0，即an＋1－an＝1.在2Sn＝

＋an中，令n＝1，可得a1＝1.∴数列{an}是以1为首项，1为公差等差数列.∴an＝n，12345678910111213141547/62∴T1，T2，T3，…，T100中有理数个数为9.12345678910111213141548/6211.(·南京、盐城一模)设Sn是等比数列{an}前n项和，an>0，若S6－2S3＝5，则S9－S6最小值为____.答案解析2012345678910111213141549/62方法一当q＝1时，S6－2S3＝0，不合题意，所以q≠1，故1－q<0，即q>1，当且仅当t＝1，即q3＝2时等号成立.12345678910111213141550/62方法二因为S6＝S3(1＋q3)，所以由S6－2S3＝5得S3＝>0，从而q>1，故S9－S6＝S3(q6＋q3＋1)－S3(q3＋1)＝S3q6＝，以下同方法一.12345678910111213141551/6212.数列{an}满足an＝2an－1＋2n＋1(n∈N，n≥2)，a3＝27.(1)求a1，a2值；由a3＝27，得27＝2a2＋23＋1，∴a2＝9.∵9＝2a1＋22＋1，∴a1＝2.解答12345678910111213141552/62(2)是否存在一个实数t，使得bn＝(an＋t)(n∈N*)，且数列{bn}为等差数列？若存在，求出实数t；若不存在，请说明理由；假设存在实数t，使得{bn}为等差数列，则2bn＝bn－1＋bn＋1.∴4an＝4an－1＋an＋1＋t，∴4an＝4×＋2an＋2n＋1＋1＋t，∴t＝1，即存在实数t＝1，使得{bn}为等差数列.解答12345678910111213141553/62(3)求数列{an}前n项和Sn.由(1)，(2)得b1＝，b2＝，∴an＝(n＋)·2n－1＝(2n＋1)2n－1－1.Sn＝(3×20－1)＋(5×21－1)＋(7×22－1)＋…＋[(2n＋1)×2n－1－1]＝3＋5×2＋7×22＋…＋(2n＋1)×2n－1－n， ①∴2Sn＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n＋1)×2n－2n，②由①－②得－Sn＝3＋2×2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n－1－(2n＋1)×2n＋n＝1＋2×－(2n＋1)×2n＋n＝(1－2n)×2n＋n－1.∴Sn＝(2n－1)×2n－n＋1.∴bn＝n＋，解答12345678910111213141554/6213.(·天津)已知{an}是等比数列，前n项和为Sn(n∈N*)，且，S6＝63.(1)求{an}通项公式；解答设数列{an}公比为q.解得q＝2或q＝－1.又由S6＝a1·＝63，知q≠－1，所以a1·＝63，得a1＝1.所以an＝2n－1.12345678910111213141555/62(2)若对任意n∈N*，bn是log2an和log2an＋1等差中项，求数列前2n项和.解答由题意，得bn＝(log2an＋log2an＋1)即{bn}是首项为，公差为1等差数列.设数列前n项和为Tn，则＝(log22n－1＋log22n)＝n－，＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b