2024年中考数学考点方法06一网打尽11类函数中的存在性问题（原卷版）

方法必备06一网打尽11类函数中的存在性问题（23年中考真题+模拟50题专练）题型一面积存在性问题题型二线段存在性问题题型五直角三角形存在性问题题型六平行四边形存在性问题题型七正方形存在性问题题型八菱形存在性问题题型九矩形存在性问题题型十相似三角形存在性问题题型十一角的存在性问题题型一面积存在性问题1．（2023•牡丹区二模）已知抛物线的对称轴是直线，与轴相交于，两点（点在点右侧），与轴交于点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，若点是抛物线上、两点之间的一个动点（不与、重合），是否存在点，使四边形的面积最大？若存在，求点的坐标及四边形面积的最大值；若不存在，请说明理由．2．（2023•莲湖区模拟）现有一个三角形广场，如图所示，经测量，的长度为100米，点到线段的距离为50米，，均为锐角．点为边上的一动点（点不与点，重合），点为边上一动点（点不与点，重合），且．（1）当的长为50米时，的面积为平方米；（2）设点关于的对称点为，△与四边形的重叠部分的面积记为平方米，现准备在该重叠部分内种花．请问重叠部分的面积是否存在最大值？若存在，请求出的最大值及此时的长；若不存在，请说明理由．3．（2023•黑龙江）如图，抛物线与轴交于，两点．交轴于点．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．4．（2023•湖州）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴的交点坐标为，图象的顶点为．矩形的顶点与原点重合，顶点，分别在轴，轴上，顶点的坐标为．（1）求的值及顶点的坐标．（2）如图2，将矩形沿轴正方向平移个单位得到对应的矩形．已知边，分别与函数的图象交于点，，连接，过点作于点．①当时，求的长；②当点与点不重合时，是否存在这样的，使得的面积为1？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．5．（2023•安徽）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线经过点，对称轴为直线．（1）求，的值；（2）已知点，在抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为．过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点．当时，求与的面积之和；在抛物线对称轴右侧，是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形的面积为？若存在，请求出点的横坐标的值；若不存在，请说明理由．6．（2023•南山区三模）在平面直角坐标系中，由两条与轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．如图所示，抛物线与抛物线的部分图象组成一个“月牙线”，相同的交点分别为，（点在点的左侧），与轴的交点分别为，，且点的坐标为．（1）求，两点的坐标及抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为，当时，试判断三角形的形状，并说明理由；（3）在（2）的条件下，点是抛物线上一点，抛物线第三象限上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．7．（2023•西陵区模拟）如图，开口向下的抛物线经过点，顶点为，和直线交于另一点，动点从点出发，沿着抛物线向点运动，到达点后立即停止．过点作轴的垂线，与线段或者上方的抛物线交于另一点，过作轴垂线交于，以和为边作矩形，该矩形被分成上、下两部分，其面积分别记为和，设点的横坐标是，已知当点运动时，由0逐渐增大到后又逐渐减小到0．（1）填空：；（2）当时，求的范围；（3）若，点在运动过程中能否使得，若能，请求出此时点的坐标；若不能，请说明理由．题型二线段存在性问题8．（2023•济宁）如图，直线交轴于点，交轴于点，对称轴为的抛物线经过，两点，交轴负半轴于点，为抛物线上一动点，点的横坐标为，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，作轴的垂线，垂足为，直线交轴于点．（1）求抛物线的解析式；（2）若，当为何值时，四边形是平行四边形？（3）若，设直线交直线于点，是否存在这样的值，使？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．9．（2023•徐州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴分别交于点、，顶点为．连接、，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接．点、分别在线段、上，连接、、，与交于点，．（1）求点、的坐标；（2）随着点在线段上运动．①的大小是否发生变化？请说明理由；②线段的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由；（3）当线段的中点在该二次函数的图象的对称轴上时，的面积为．10．（2023•山西模拟）综合与探究如图1，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且，．点是抛物线上的一个动点；（1）求抛物线的函数表达式，并直接写出直线的函数表达式；（2）如图1，当点在直线上方时，连接交于点，当时，求点的坐标．（3）如图2，连接，过点作交抛物线的对称轴于点．试探究：是否存在一点使．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．题型三等腰三角存在性问题11．（2023•绵阳）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，一次函数的图象过点与反比例函数交于另一点．（1）求反比例函数的解析式；当时，根据图象直接写出的取值范围；（2）在轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．12．（2023•潮阳区二模）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，已知，．（1）求抛物线的解析式；（2）点是线段上的一个动点（不与、重合），过点作轴的垂线与抛物线相交于点，当点运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出四边形的最大面积及此时点的坐标．（3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．13．（2023•扎兰屯市三模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点．已知，．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点，使得的值最小，求此点的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形，如果存在，求出点的坐标，如果不存在，请说明理由．题型四等腰直角三角形存在性问题14．（2023•娄底）如图，抛物线过点、点，交轴于点．（1）求，的值．（2）点，是抛物线上的动点．①当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值；②过点作轴，交于点，再过点作轴，交抛物线于点，连接，问：是否存在点，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．15．（2023•南宁三模）如图1，抛物线的图象与轴的交点为和，与轴交点为，与直线交点为和，且．（1）求抛物线的解析式和值；（2）在直线上是否存在一点，使得是等腰直角三角形，如果存在，求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）将抛物线图象轴上方的部分沿轴翻折得一个“”形状的新图象（如图，若直线与该新图象恰好有四个公共点，请求出此时的取值范围．16．（2023•城区二模）综合与探究：如图1，已知抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴相交于点，直线与轴相交于点，交线段于点且．（1）求，，三点的坐标；（2）求直线的函数表达式；（3）如图2，已知点在该抛物线的对称轴上，且纵坐标为，点是该抛物线上位于第四象限的动点，且在直线右侧，点是直线上的动点，试探究是否存在以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．题型五直角三角形存在性问题17．（2023•眉山）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数在第四象限内的图象交于点．（1）求反比例函数的表达式；（2）当时，直接写出的取值范围；（3）在双曲线上是否存在点，使是以点为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．18．（2023•利川市模拟）抛物线与轴交于点和，与轴交于点，连接．点是线段下方抛物线上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的平行线交于，交轴于，设点的横坐标为．（1）求该抛物线的解析式；（2）用关于的代数式表示线段，求的最大值及此时点的坐标；（3）过点作于点，，①求点的坐标；②连接，在轴上是否存在点，使得为直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．19．（2023•霍林郭勒市二模）如图所示，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接，若．（1）求抛物线对应的二次函数的解析式；（2）如图所示，连接，是线段上（不与、重合）的一个动点，过点作直线，交抛物线于点，连接、，设点的横坐标为．当为何值时，的面积最大？最大面积为多少？（3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使为直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．题型六平行四边形存在性问题20．（2023•牡丹区一模）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点．（1）求抛物线的解析式；（2）是直线上方抛物线上的一动点，当点到直线的距离最大时，求点的坐标；（3）是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．21．（2023•枣庄）如图，抛物线经过，两点，并交轴于另一点，点是抛物线的顶点，直线与轴交于点．（1）求该抛物线的表达式；（2）若点是轴上一动点，分别连接，，求的最小值；（3）若点是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．22．（2023•昔阳县模拟）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点是直线上方的抛物线上一动点，设三角形的面积为，求的最大值及取得最大值时点的坐标；（3）点为抛物线上一动点，在轴上是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．23．（2023•巴中）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和，其顶点的横坐标为1．（1）求抛物线的表达式．（2）若直线与轴交于点，在第一象限内与抛物线交于点，当取何值时，使得有最大值，并求出最大值．（3）若点为抛物线的对称轴上一动点，将抛物线向左平移1个单位长度后，为平移后抛物线上一动点．在（2）的条件下求得的点，是否能与、、构成平行四边形？若能构成，求出点坐标；若不能构成，请说明理由．题型七正方形存在性问题24．（2023•西安校级三模）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点坐标为，点坐标为，点是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式及点的坐标；（2）点是抛物线上的动点，过点作轴与抛物线交于点，点在轴上，在坐标平面内是否存在点，使得以线段为对角线的四边形为正方形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．25．（2023•长沙）我们约定：若关于的二次函数与同时满足，，则称函数与函数互为“美美与共”函数．根据该约定，解答下列问题：（1）若关于的二次函数与互为“美美与共”函数，求，，的值；（2）对于任意非零实数，，点与点，始终在关于的函数的图象上运动，函数与互为“美美与共”函数．①求函数的图象的对称轴；②函数的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由；（3）在同一平面直角坐标系中，若关于的二次函数与它的“美美与共”函数的图象顶点分别为点，点，函数的图象与轴交于不同两点，，函数的图象与轴交于不同两点，．当时，以，，，为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围；若不请说明理由．题型八菱形存在性问题26．（2023•孝义市三模）综合与探究：如图，已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左边），与轴交于点．直线与抛物线的对称轴交于点．将直线沿射线方向向下平移个单位，平移后的直线与直线交于点，与抛物线的对称轴交于点．（1）求出点，，的坐标，并直接写出直线，的解析式；（2）当是以为斜边的直角三角形时，求出的值；（3）直线上是否存在一点，使以点，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．27．（2023•锦州）如图，抛物线交轴于点和，交轴于点，，顶点为．（1）求抛物线的表达式；（2）若点在第一象限内对称轴右侧的抛物线上，四边形的面积为，求点的坐标；（3）在（2）的条件下，若点是对称轴上一点，点是坐标平面内一点，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形是菱形，且，如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．28．（2023•青岛二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），点A在原点的左侧，点B的坐标为（3，0），点P是抛物线上一个动点，且在直线BC的上方．（1）求这个二次函数的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△BPC的面积最大？请求出点P的坐标和△BPC面积的最大值．（3）连接PO，PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP'C，那么是否存在点P，使四边形POP'C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．29．（2023•清原县三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点为直线上方抛物线上一动点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点作交抛物线于点，点为直线上一动点，连接，，，，求四边形面积的最大值及此时点的坐标；（3）将抛物线沿射线方向平移个单位，为平移后的抛物线的对称轴上一动点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标，若不存在，请说明理由．30．（2023•金台区模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线L：y＝ax2+bx+3与x轴相交于点A（﹣3，0）、B（﹣1，0），与y轴相交于点C．（1）求抛物线L的函数表达式；（2）将抛物线L向右平移3个单位长度得到新的抛物线L′，点Q为坐标平面内一点，试判断在抛物线L′的对称轴上是否存在点P，使得以点B、C、P、Q为顶点的四边形是以BC为边的菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．31．（2023•武昌区模拟）如图，直线分别交轴，轴于点，，抛物线过，两点，其顶点为，对称轴与直线交于点．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）如图1，点是线段上一动点，过点作轴于点，交抛物线于点，问：是否存在点，使四边形为菱形？并说明理由；（3）如图2，点为轴负半轴上的一动点，过点作，直线与抛物线交于点，，与直线交于点，若，求点的坐标．题型九矩形存在性问题32．（2023•陕西模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于、两点，交轴于点．（1）求点、、的坐标；（2）将抛物线向右平移1个单位，得到新抛物线，点在坐标平面内，在新抛物线的对称轴上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．33．（2023•泰山区校级二模）如图所示，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于、两点，抛物线经过、两点，且交轴于另一点．点为抛物线在第一象限内的一点，过点作，交于点，交轴于点．（1）求抛物线的解析式；（2）设点的横坐标为，在点的移动过程中，存在，求出值；（3）在抛物线上取点，在平面直角坐标系内取点，问是否存在以、、、为顶点且以为边的矩形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．题型十相似三角形存在性问题34．（2023•陆丰市二模）如图，抛物线与轴交于、两点在的左边），与轴交于点，顶点为．（1）求该抛物线所对应的函数关系式；（2）如图，若点是第二象限内抛物线上的一动点，过点作轴于点，交于点，连接，是否存在点，使得与相似？若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．35．（2023•乐至县）如图，直线与轴、轴分别交于、两点，抛物线经过、两点．（1）求抛物线的表达式；（2）点是抛物线在第二象限内的点，过点作轴的平行线与直线交于点，求的长的最大值；（3）点是线段上的动点，点是抛物线在第一象限内的动点，连结交轴于点．是否存在点，使与相似，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．36．（2023•微山县三模）已知：如图，顶点为的抛物线经过原点，且与直线交于，两点（点在点的右边）．（1）求抛物线的解析式；（2）猜想以点为圆心，以为半径的圆与直线的位置关系，并加以证明；（3）若点为轴上的一个动点，过点作轴与抛物线交于点，则是否存在以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．37．（2023•随州）如图1，平面直角坐标系中，抛物线过点，和，连接，点，为抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，交轴于点．（1）直接写出抛物线和直线的解析式；（2）如图2，连接，当为等腰三角形时，求的值；（3）当点在运动过程中，在轴上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形相似（其中点与点相对应），若存在，直接写出点和点的坐标；若不存在，请说明理由．38．（2023•建华区三模）如图，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，连接．抛物线的对称轴与轴交于点，点是直线上方抛物线上的一个动点（不于、重合），过点作交于点．（1）求抛物线的解析式；（2）点是轴上一动点，当的和最小时，点的坐标为；（3）求四边形面积的最大值及此时点的坐标；（4）是否存在点，使与相似，若存在请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．题型十一角的存在性问题39．（2023•东莞市校级一模）如图，已知抛物线的图象与轴交于点和点，与轴交于点．（1）求二次函数的表达式；（2）如图，点是直线下方的二次函数图象上的一个动点，过点作轴于点，交于点，求线段最大时点的坐标；（3）在（2）的条件下，该抛物线上是否存在点，使得．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．40．（2023•自贡）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．（1）求抛物线解析式及，两点坐标；（2）以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点坐标；（3）该抛物线对称轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．41．（2023•岳阳）已知抛物线与轴交于，两点，交轴于点．（1）请求出抛物线的表达式．（2）如图1，在轴上有一点，点在抛物线上，点为坐标平面内一点，是否存在点，使得四边形为正方形？若存在，请求出点，的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线，抛物线的顶点为，与轴正半轴交于点，抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．42．（2023•衡阳）如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，过、两点作直线．（1）求的值．（2）将直线向下平移个单位长度，交抛物线于、两点．在直线上方的抛物线上是否存在定点，无论取何值时，都是点到直线的距离最大．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．（3）抛物线上是否存在点，使，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由．43．（2023•肇东市校级二模）如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点．抛物线的对称轴为直线，点坐标为．（1）求抛物线表达式；（2）在抛物线上是否存在点，使，如果存在，求出点坐标；如果不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，若点在轴上方，点是直线上方抛物线上的一个动点，求点到直线的最大距离．44．（2023•东平县校级模拟）如图，已知抛物线交轴于，两点，交轴于点，点是抛物线上一点，连接、．（1）求抛物线的表达式；（2）连接，，若，求点的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使得？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．45．（2023•原平市模拟）综合与探究：如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，是抛物线上的一个动点，设点的横坐标为，过点作轴交轴于点，交直线于点，连接，，，与