立体几何 07球的切、接问题 突破专项训练-2022届高三数学解答题

临澧一中2022届高三数学解答题突破专项训练立体几何07（球的切、接问题）类型一墙角模型（适用条件：3组或3条棱两两垂直；或可在长方体中画出该图且各顶点与长方体的顶点重合）1．（1）已知长方体中，，，与平面所成角的正弦值为，则该长方体的外接球的表面积为．（2）球面上有四个点，若两两垂直，且，则该球的表面积为．类型二麻花模型（适用条件：对棱相等的三棱锥）2．在四面体中，若，，，则四面体的外接球的表面积为．类型三矩形模型（适用条件：棱锥有两个平面为直角三角形且斜边为同一边）3．（1）在四面体中，，，则四面体的外接球的表面积为()（2）四面体中，，平面，，，，则该四面体外接球的表面积为（）类型四汉堡模型（适用条件：有一条侧棱垂直与底面的柱体或椎体）4．（1）在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，且平面，则该四棱锥外接球的表面积为（）（2）如图，在三棱锥A﹣BCD中，BD平面ADC，BD＝1，AB＝2，BC＝3，AC＝，则三棱锥A﹣BCD外接球的体积为（）（3）三棱柱中，平面，，，，，则该三棱柱的外接球的体积为（）（4）在长方体中，，，点在正方形内，平面，则三棱锥的外接球表面积为（）类型五折叠模型（适用条件：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠）5．（1）三棱锥S一ABC中，ABC与SBC都是边长为1的正三角形，二面角A﹣BC﹣S的大小为，若S，A，B，C四点都在球O的表面上，则球O的表面积为（）（2）已知二面角的大小为120°，且，，.若点P、A、B、C都在同一个球面上，则该球的表面积的最小值为______.类型六斗笠模型（适用条件：正棱锥或顶点的投影在底面的外心上）6．（1）正三棱锥中，，，则该棱锥外接球的表面积为（）（2）已知正三棱锥的侧棱长为，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的表面积是________.类型七切瓜模型（适用条件：有两个平面互相垂直的棱锥）7．（1）已知三棱锥中，，，，，面面，则此三棱锥的外接球的表面积为（）（2）已知三棱锥中，平面平面，且和都是边长为2的等边三角形，则该三棱锥的外接球表面积为（）类型八鳄鱼模型（适用条件：适用所有的棱锥）8．（1）在三棱锥中，和均为边长为2的等边三角形，且二面角的平面角为，则三棱锥的外接球的表面积为________．（2）在三棱锥S－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝eq\r(2)，SA＝SC＝2，二面角S－AC－B的余弦值是－eq\f(\r(3),3)，若S，A，B，C都在同一球面上，则该球的表面积是________．（3）已知空间四边形中，，，，若二面角的取值范围为，，则该几何体的外接球表面积的取值范围为________．（4）在三棱锥中，，三角形为等边三角形，二面角的余弦值为，当三棱锥的体积最大值为时，三棱锥的外接球的表面积为________．类型九最值模型9．（1）已知三棱锥P－ABC的顶点P，A，B，C在球O的球面上，△ABC是边长为eq\r(3)的等边三角形，如果球O的表面积为36π，那么P到平面ABC距离的最大值为________．（2）在四面体ABCD中，AB＝1，BC＝CD＝eq\r(3)，AC＝eq\r(2)，当四面体ABCD的体积最大时，其外接球的表面积为________．（3）已知四棱锥S－ABCD的所有顶点在同一球面上，底面ABCD是正方形且球心O在此平面内，当四棱锥的体积取得最大值时，其表面积等于16＋16eq\r(3)，则球O的体积等于______．（4）三棱锥A－BCD内接于半径为eq\r(5)的球O中，AB＝CD＝4，则三棱锥A－BCD的体积的最大值为________．类型十内切球的半径---等体积法秒杀公式：10．（1）正四面体的外接球与内切球的表面积比为（）A． B． C． D．不确定（2）已知直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为等边三角形，若该棱柱存在外接球与内切球，则其外接球与内切球表面积之比为（）临澧一中2022届高三数学解答题突破专项训练立体几何07（球的切、接问题）1．（1）由题意可知，该球是一个棱长为4的正方体的外接球，设球的半径为，由题意可得：,据此可得：，外接球的表面积为：.（2）作，垂足为，连接，.因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以是与平面所成的平面角.又，.所以，解得.故该长方体的体对角线为.设长方体的外接球的半径为，则，解得.所以该长方体的外接球的表面积为.2．由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以，2，为三边的三角形作为底面，且以分别x，y，z长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，并且x2+y2＝3，x2+z2＝5，y2+z2＝4，则有（2R）2＝x2+y2+z2＝6（R为球的半径），得2R2＝3，所以球的表面积为S＝4πR2＝6π．3．（1）由，，所以，可得，所以，即为外接球的球心，球的半径，所以四面体的外接球的表面积为：.（2）如图所示：由已知可得与为直角三角形，所以该几何体的外接球球心为的中点O，因为,且,所以,所以,所以四面体的外接球半径,则表面积.4．（1）由题意，四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，且平面，可把四棱锥放置在如图所示的一个长方体内，其中长方体的长、宽、高分别为，则四棱锥的外接球和长方体的外接球表示同一个球，设四棱锥的外接球的半径为，可得，解得，所以该四棱锥外接球的表面积为.（2）因为BD平面ADC，所以，，所以，，所以，所以，所以以、、为棱的长方体与三棱锥A﹣BCD具有相同的外接球，所以该外接球的直径为，半径为，则该外接球的体积为.（3）如图，取中点，连交于点，，为的外接圆圆心，，，，外接圆半径为,，平面，平面，又，点为三棱柱的外接球球心，外接球半径，外接球体积.（4）长方体中，平面，平面，∴，又平面，平面，∴，∵，∴平面，而平面，∴，∵是正方形，∴是与交点，即为的中点，也是的中点．∵是直角三角形，设是中点，是中点，则由可得平面（长方体中棱与相交面垂直），又是的外心，∴三棱锥的外接球球心在直线上（线段或的延长线上）．设，则，解得，∴外接球半径为，表面积为．5．（1）如图，取线段BC的中点D，连结AD，SD，由题意得ADBC，SDBC，∴ADS是二面角A﹣BC﹣S的平面角，∴ADS，由题意得BC平面ADS，分别取AD，SD的三等分点E，F，在平面ADS内，过点E，F分别作直线垂直于AD，SD，则两条直线的交点即球心O，连结OA，则球O半径R＝|OA|，由题意知BD，AD，DE，AE，连结OD，在RtODE中，，OEDE，∴OA2＝OE2+AE2，∴球O的表面积为S＝4πR2．（2）设，则，设和的外心分别为、，则分别为的中点，过点分别作和所在平面的垂线，两垂线的交点为点，则为三棱锥的外心，连接，则为三棱锥外接球的半径．取的中点，连接、、，如图所示，由题意可知，，，，且，，为二面角的平面角，即，连接．平面，平面，，，四点共圆，且该圆的直径为．在中，由余弦定理知，的外接圆直径，当时，取得最小值，为，此时该球的表面积取得最小值，为．6．（1）正三棱锥中，，,所以,故,同理可得,,以为棱构造正方体，则该棱锥外接球即为该正方体的外接球，如图，所以，故球的表面积为.（2）过点作平面于点，记球心为.∵在正三棱锥中，底面边长为6，侧棱长为，∴，∴.∵球心到四个顶点的距离相等，均等于该正三棱锥外接球的半径长，∴，.在中，，即，解得，∴外接球的表面积为.7．（1）如图，，，，，，所以的外接圆的圆心为斜边的中点,，为等腰三角形.取的中点，连接，，，,,又面面，面面，面，面，过点作的平行线，则球心一定在该直线上.设的外接圆的圆心为，,则点在上，连接,由球的性质则，平面，则为矩形.在中，,则所以的外接圆的半径所以，则则所以球的半径为所以三棱锥的外接球的表面积为．（2）如图，由已知可得，与均为等边三角形，取中点，连接，，则，∵平面平面，则平面，分别取与的外心，过分别作两面的垂线，相交于，则为三棱锥的外接球的球心，由与均为边长为的等边三角形，可得，，，∴三棱锥A−BCD的外接球的表面积为.8．（1）如图，取中点，连接，，因为与均为边长为2的等边三角形，所以，，则为二面角的平面角，即，设与外接圆圆心分别为，，则由，可得，，分别过作平面，平面的垂线，则三棱锥的外接球一定是两条垂线的交点，记为，连接，，则由对称性可得，所以，则，则三棱锥外接球的表面积．（2）如图，取AC的中点D，连接SD，BD．因为SA＝SC，AB＝BC，所以SD⊥AC，BD⊥AC，可得∠SDB即为二面角S－AC－B的平面角，故cos∠SDB＝－eq\f(\r(3),3)．在△ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝eq\r(2)，则AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝2，所以CD＝AD＝1．在Rt△SDC中，SD＝eq\r(SC2－CD2)＝eq\r(4－1)＝eq\r(3)，同理可得BD＝1，由余弦定理得cos∠SDB＝eq\f(3＋1－SB2,2×\r(3)×1)＝－eq\f(\r(3),3)，解得SB＝eq\r(6)．在△SCB中，SC2＋CB2＝4＋2＝(eq\r(6))2＝SB2，所以△SCB为直角三角形，同理可得△SAB为直角三角形，取SB的中点E，则SE＝EB＝eq\f(\r(6),2)，在Rt△SCB与Rt△SAB中，EA＝eq\f(SB,2)＝eq\f(\r(6),2)，EC＝eq\f(SB,2)＝eq\f(\r(6),2)，所以点E为该球的球心，半径为eq\f(\r(6),2)，所以该球的表面积为S＝4×π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))eq\s\up12(2)＝6π．（3）结合二面角的取值范围为，，则有：①当二面角的取值范围为时，面面，此时外接圆的半径最小，设为，则有，解得，此时外接圆的表面积，②当二面角的取值范围为或时，此时外接圆的半径最大，设为，设为等边的中心，中点为外接圆的圆心，过作面的垂线，过作面的垂线，两垂线的交点为空间四边形外接球球心，在面内作，则，，，则外接球表面积．（4）如图所示，过点作面，垂足为，过点作交于点，连接，则为二面角的平面角的补角，即有，易知面，则，而为等边三角形，所以为中点，设，，，则，故三棱锥的体积为：，当且仅当时，体积最大，则，即，，所以、、三点共线，设三棱锥的外接球的球心为，半径为，过点作于，则四边形为矩形，则，，，在中，，解得，三棱锥的外接球的表面积为．9．（1）依题意，边长是eq\r(3)的等边△ABC的外接圆半径r＝eq\f(1,2)·eq\f(\r(3),sin60°)＝1.∵球O的表面积为36π＝4πR2，∴球O的半径R＝3，∴球心O到平面ABC的距离d＝eq\r(R2－r2)＝2eq\r(2)，∴球面上的点P到平面ABC距离的最大值为R＋d＝3＋2eq\r(2)．（2）∵AB＝1，BC＝eq\r(3)，AC＝eq\r(2)，由勾股定理可得AB2＋AC2＝BC2，所以△ABC是以BC为斜边的直角三角形，且该三角形的外接圆直径为BC＝eq\r(3)，当CD⊥平面ABC时，四面体ABCD的体积取最大值，此时，其外接球的直径为2R＝eq\r(BC2＋CD2)＝eq\r(6)，因此，四面体ABCD的外接球的表面积为4πR2＝π×(2R)2＝6π．（3）由题意得，当四棱锥的体积取得最大值时，该四棱锥为正四棱锥．因为该四棱锥的表面积等于16＋16eq\r(3)，设球O的半径为R，则AC＝2R，SO＝R，如图，所以该四棱锥的底面边长AB＝eq\r(2)R，则有(eq\r(2)R)2＋4×eq\f(1,2)×eq\r(2)R×eq\r((\r(2)R)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)R))\s\up12(2))＝16＋16eq\r(3)，解得R＝2eq\r(2)，所以球O的体积是eq\f(4,3)πR3＝eq\f(64\r(2),3)π．（4）如图，过CD作平面ECD，使AB⊥平面ECD，交AB于点E，设点E到CD的距离为EF，当球心在EF上时，EF最大，此时E，F分别为AB，CD的中点，且球心O为EF的中点，所以EF＝2，所以Vm