2020-2021学年合肥市九年级（上）期末数学试卷(含答案解析)

2020-2021学年合肥市九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）

1.已知a是锐角，cosa=*,贝必等于（）

A.30°B,45°C.60°D,90°

2.已知二次函数y=ax2+bx+c的y与％部分对应值如下表:

X-1013

y-3131

则下列判断中正确的是（）

A.抛物线开口向上B.抛物线与y轴交于负半轴

C.抛物线的对称轴为％=1D.当久=4时，y<0

3.若双曲线丫=子的图象在第一、三象限，则k的取值范围为（）

A.A:>0B.fc<0C.fc>1D.fc<1

4.若工ABCfDEF,△ABC与△DEF的相似比为1：3,则S—w：5“所为（）

A.1：3B.1：9C.1：V3D.3：1

5.如图，双曲线%=§与直线y2=a%相交于4B两点，点Z的坐标为（2,zn）,

若yi〈y2，则》的取值范围是（）

A.%>2或—1V%<0

B.-2<%<0或0<%V2

C.x>2或—2V%<0

D.%<—2或0<x<2

抛物线y=ax2+b%+c（a。0）对称轴为直线％=1,与％轴的一个交点坐

标为（-1,0）,与y轴交点为（0,3）,其部分图象如图所示，则下列结论错误

的是（）

A.a—b+c=0

B.关于％的方程a/+b、+c-3=0有两个不相等的实数根

C.abc>0

D.当y>0时，—1V%<3

7.已知点P（4,a+1）与点Q（5,7—a）的连线平行于％轴，则a的值是（）

A.2B.3C.4D.5

8.勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉.生活中到处

可见黄金分割的美.在设计人体雕像时，使雕像的下部（腰以下）与全部（全身）的高

度比值接近0.618,可以增加视觉美感.如果雕像的高为2m,那么它的下部应设计

为（结果保留两位小数）（）

A.1.23m

B.1.24m

C.1.25m

D.1.236m

9.如果一直角三角形的三边为a,b,c,ZJ5=90°,那么关于％的方程a（/—1）—2ex+b（x2+1）=

0的根的情况为（）

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.没有实数根D.无法确定根的情况

10.如图，抛物线y=a/+b%+c（a。0）与X轴一个交点为（一2,0）,对称轴

为直线％=1,贝如>0时久的范围是（）

A.%>4或％V-2

B.-2<x<4

C.—2<%<3

D.0<%<3

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

1L若泻，则中=

12.如图，在菱形4BCD中，0、E分别是4C、4。的中点，联结。瓦如

果4B=3,AC=4,那么co"OE=

C

13.如图，在平面直角坐标系中，正方形4BCD的三个顶点4、B、。均在抛A

物线y=a/-4ax+3(a<0)上.若点4是抛物线的顶点，点B是抛物

线与y轴的交点，贝SC长为

14.如图，正方形4BCC的面积是16,E,F,G,"分别为边ZB,BC,CD,

的中点，则四边形EFGH的面积为.

三、计算题(本大题共1小题，共10.0分)

15.如图，海岛4的周围15海里内有暗礁，一渔船跟踪鱼群由西向东航行,

在点B处测得海岛2位于北偏东60。，航行12海里后到达点C处，又测

得海岛4位于北人偏东30。。如果渔船不改变航向继续向东航行，那么

它有没有触礁的危险？请说明你的理由。

四、解答题(本大题共8小题，共80.0分)

16.计算：|2-V3|+(V2+1)°-3tan300+(-1)2020-(COS600)-1

17.如图，直线y=+n交坐标轴分别于2,B(0,l)两点，交双曲线、=:于点C(2,2),点D在直线

AB上，AC=2CD.过点。作DE轴于点E,交双曲线y于点F,连接CF.

(1)求反比例函数y=g和直线y=mx+ri的表达式;

⑵求△CDF的面积.

18.如图，在RtAABC中，ZXCB=90°,AC=6,BC=8,动点M从点4出发，以每秒1个单位长

度的速度沿4B向点B匀速运动；同时，动点N从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿B4向点

4匀速运动，过线段MN的中点G作边4B的垂线，垂足为点G,交AABC的另一边于点P,连接PM,

PN,当点N运动到点4时，M,N两点同时停止运动，设运动时间为t秒.

(1)当t=秒时，动点M,N相遇；

(2)设APMN的面积为S,求S与t之间的函数关系式；

(3)取线段PM的中点K,连接K4KC,在整个运动过程中，AKaC的面积是否变化？若变化，直接

写出它的最大值和最小值；若不变化，请说明理由.

19.如图，图①、图②、图③均为4x2的正方形网格，△ABC的顶点均在格点上.

(1)图①中〃BC的正弦值=；

(2)按要求在图②、图③中各画一个顶点在格点上的三角形.要求：所画的两个三角形都与AABC相

似但都不与△ABC全等，图②和图③中新画的三角形不全等.

20.如图，在直角坐标系xOy中，一次函数丫=七％+b的图象与反比例函数y=当。＞0)的图象交

于4(1,4),两点.

(1)求反比例函数的解析式；

(2)求AAOB的面积；

(3)如图写出反比例函数值大于一次函数值的自变量x的取值范围.

21.我市出租车车费标准如下：3碗以内(含3/OTI)收费9元，超过3k仅的部分每千米收费1.5元.

(1)写出应收费y(元)出租车行驶路线(其中无>3)之间的关系式；

(2)小明乘出租车行驶6km,应付多少元？

(3)小波付车费16.5元，那么出租车行驶了多少千米？

22.某商场购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，那么每月可售出500个，根据销售

经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个；

(1)假设销售单价提高x元，那么销售每个篮球所获得的利润是一元；这种篮球每月的销售量

是个；(用含X的代数式表示)

(2)每月销售这种篮球的利润是否能达到8000元？如果能，请求出此时篮球的售价应定为多少

元？

23.如图，△28C中，DE//BC,G是4E上一点，连接BG交DE于尸，作GH〃AB交DE于点H.

(1)如图1,与AGHE相似三角形是(直接写出答案)；

(2)如图1,若4。=38。，BF=FG,求器的值；

(3)如图2,连接并延长交48于P点，交BG于Q,连接PF,则一定有PF//CE,请说明理由.

参考答案及解析

1.答案：B

解析：试题分析：直接根据特殊角的三角函数值即可得出结论.

e••a是锐角，cosa=—,

2

・•・a=45°.

故选8.

2.答案：D

解析：解：4、•.•》=1.时，y=3；%=3时，y=1；，抛物线开口向下，故本选项错误；

5、•・・％=()时，y=1,・,・抛物线与y轴交于正半轴，故本选项错误；

C、由(0,1),(3,1)可知］故本选项错误；

D、根据对称性，当％=4时与x=-1时的函数值相同，y=-3<0,故本选项正确.

故选：D.

根据二次函数的开口方向，与坐标轴的交点，以及二次函数的增减性对各选项分析判断后利用排除

法求解.

本题考查了二次函数的性质，主要利用了增减性，对称性，以及二次函数与y轴的交点坐标的求解,

熟记性质是解题的关键.

3.答案：D

解析：解：・函数y=V的图象在第一、三象限内，

1-k>0,

解得k<L

故选：D.

若反比例函数y=?的图象经过第一、三象限，即反比例系数1-k>0,从而求得k的范围.

本题考查了反比例函数y=§(k丰0)的性质：①当k>0时，图象分别位于第一、三象限；当k<0时，

图象分别位于第二、四象限.②当k>0时，在同一个象限内，y随工的增大而减小；当k<0时，在

同一个象限，y随％的增大而增大.

4.答案:B

解析：解：,:bABCMDEF,△ABC与△DEF的相似比为1：3,

S^ABC-S^DEF=1：9•

故选：B.

由△ABCsADEF,△ABC与△DEF的相似比为1：3,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，

即可求得答案.

此题考查了相似三角形的性质.注意熟记定理是解此题的关键.

5.答案：C

解析：解：双曲线为=E与直线丫2=ax相交于A,B两点，点的坐标为(2,m),

•••B(-2,-m),

又<72-

久的取值范围是一2<x<0或%>2.

故选：C.

根据反比例函数和正比例函数的对称性求得B(-2,-加)，然后根据函数图象的上下位置关系结合交

点的横坐标，即可得出不等式为<、2的解集.

本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，数形结合是解答此题的关键.

6.答案：C

解析：解：4选项正确.因为当x=-1时，y=a-b+c,根据图象可知，a-匕+c-0.不符合题意；

B选项正确.因为抛物线与x轴有两个交点，△>(),

所以关于x的方程a/+.+c-3=0有两个不相等的实数根.不符合题意；

C选项错误.因为根据图象可知：

a<0,b>0,c>0,所以abc<0,符合题意；

D选项正确.因为根据图象可知：

当y>0时，一1<x<3.不符合题意.

故选：C.

A根据当久=-1时对应的y的值即可判断；

区根据判别式的取值范围即可判断；

C.根据抛物线开口方向和对称轴的位置即可判断；

。根据抛物线与左轴的交点坐标即可判断.

本题考查了二次函数与系数的关系、根的判别式、抛物线与x轴的交点，解决本题的关键是掌握以上

知识.

7.答案：B

解析：解：,；PQ//x轴，

二点P和点Q的纵坐标相同，

即a+l=7—a,

ci—3.

故选：B.

根据平行于X轴的直线上点的坐标特征得到a+1=7-a,然后解一元一次方程即可.

本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系.解

决本题的关键是掌握平行于％轴的直线上点的坐标特征.

8.答案：B

解析：解：•••雕像的下部（腰以下）与全部（全身）的高度比值接近0.618,

••・雕像的下部（腰以下）的长=0.618X2«1.24（E）.

故选：B.

把雕像的高2nl乘以0.618,然后进行近似计算.

本题考查了黄金分割的定义：把线段4B分成两条线段4C和BC（4C>BC）,且使4c是4B和BC的比例

中项（即4B：AC=AC：BC）,叫做把线段4B黄金分割，点C叫做线段4B的黄金分割点.其中4C=

在二ABx0,618AB,并且线段4B的黄金分割点有两个.

2

9.答案：A

解析：解:♦"=90。

a2+c2=b2

化简原方程为：（a+b）x2—2ex+b—a=0

；.△=4c2—4（/?2—a2）=4c2—4c2=0

••.方程有两个相等实数根

故选：A.

根据勾股定理，确立a2+c2=b2,化简根的判别式，判断根的情况就是判断△与0的大小关系.

总结：

1、勾股定理：在直角三角形中，ZC=90°,有a2+》2=c2

2、一元二次方程根的情况与判别式A的关系：（1）△>00方程有两个不相等的实数根；（2）A=0Q

方程有两个相等的实数根；（3）A<00方程没有实数根

10.答案:A

解析：解：,.，抛物线y=ax2+bx+c（a。0）与X轴一个交点为（一2,0）,对称轴为直线1=1,

••・抛物线y=ax2+bx+c（aW0）与%轴的另一个交点为（4,0）,

••・当％<—2或1>4时，y>0.

故选：A.

利用抛物线的对称性得到抛物线y="+bx+c（a丰0）与l轴的另一个交点为（4,0）,然后写出抛物

线在久轴上方所对应的自变量的范围即可.

本题考查了抛物线与刀轴的交点：把求二次函数y=a/+.+c（a/,c是常数，。。0）与无轴的交点

坐标问题转化为解关于久的一元二次方程.也考查了二次函数的性质.

11.答案：I

解析：解：•••；=1，

・•・x=-8y,

...口=222=S；

yy3’

故答案为：|.

根据比例的性质得出X=ly,再代入要求的式子进行计算即可.

本题考查了比例的基本性质，比较简单，用y表示出x是解题关键.

12.答案：平

解析：

本题考查的是三角形中位线定理、锐角三角函数的定义，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等

于第三边的一半是解题的关键.连接。。，根据菱形的性质、勾股定理求出。。，根据三角形中位线

定理得到=根据余切的定义计算，得到答案.

解：连接0。，

•••四边形4BCD为菱形，

OD1AC,OA=OC=-AC=2,

2

由勾股定理得，OD=y/AD2-OA2=732—22=V5,

•••。、E分别是4C、4。的中点,

OE//CD,

•••Z-AOE=Z-ACD,

：.cot^AOE=cotzXCZ)=—=4=—>

ODV55

故答案为：争.

13.答案：4

解析：解：抛物线的对称轴％=-需=2,点B坐标(0,3),

••・四边形4BCD是正方形，点4是抛物线顶点，

:.B、D关于对称轴对称，AC=BD,

.•・点。坐标(4,3)

•••AC=BD=4.

故答案为4.

先求出对称轴，再根据B、。关于对称轴对称，求出点D坐标，根据正方形的性质4C=BD即可解决

问题.

本题考查二次函数的性质、正方形的性质，解题的关键是求出抛物线的对称轴，记住抛物线的对称

轴公式x=-5，属于中考常考题型.

2a

14.答案：8

解析：解：连接“尸、EG,

•.•正方形4BCD的面积为16,

BC//AD,BC=AD,

•••尸、H分别为边BC、的中点，

••・四边形BF/M是平行四边形，

•••AB=HF,AB//HF,

同理BC=EG,BC//EG,

AB1BC,

HF1EG,

四边形EFGH的面积1是x//F=j1x4x4=8.

故答案为：8.

根据正方形的性质推出BE=4F,8E〃4F得至lj平行四边形凡4,推出AB=HF,同理

得到BC=EG,BC//EG,推出HF1EG,根据三角形的面积公式求出即可.

本题主要考查中点四边形的性质，平行四边形的性质和判定，三角形的面积等知识点的理解和掌握,

能求出HF、EG的长和HF1EG是解此题的关键.

15.答案：过4点作4D1BC,交的处长线于点D.由题意可知：乙4BC=90。-60。=30。，^ACD=

90°—30°=60°.

•••ABAC="CD-AABC=60°-30°=30°,

・•.Z.BAC=Z.ABC.

•••AC—DC=12.

,nAD

sinZ.ACD=—

AC

：.AD=AC-sinzXCD=12xsin60°=&也岗］02<15•

因此，渔船继续向东航行有触礁的危险.

解析：本题主要考查利用解直角三角形来解决航海问题.

16.答案：解：原式=2—V3+1—3x-y+l-2>

=2—+1—+1—2,

=2-25

解析：本题涉及零指数累、负指数幕、乘方、绝对值和特殊角的三角函数值5个考点.在计算时，需

要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果.

本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型.解决此类题目的关键是熟

练掌握负整数指数幕、零指数幕、特殊角的三角函数值、绝对值等考点的运算.

17.答案:解：⑴•.•直线y=mx+ri经过B(0,l),C(2,2)两点，

北])，解得上二

127n+n=2(九=]

・・・直线的表达式为丫=称久+1;

•••点C(2,2)在双曲线y=5上，

2=p解得k—4,

.,•反比例函数的解析式为y=%

(2)作CH1%轴于H,

・•.CH=2,

・・,DE1%轴于点E,

・•.CH//DE,

.AC_CH_AH

••AD~DE~AE'

-1

由直线y=-%+1可知4(一2,0),

・•.0A=2,AH=4,

-AC=2CD,

,,AC=_一,2

AD3

•2_2_4

••3-DE-AE9

・•.DE=3,AE=6,

・•・D(4,3),

把％=4代入y=：得，y=1,

尸(4,1),

・•.OF=3—1=2,

•・•EH=AE-AH=2,

••.ACDF的面积=-x2x(4-2)=2.

解析：本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、反比例函数的解析式，平行线的性质以及反比

例函数图象上点的坐标特征，作出辅助线构建平行线是解题的关键.

(1)根据待定系数法即可求得；

(2)作CH，x轴于H,根据平行线分线段成比例求得DE,进一步求得。的坐标，把。的横坐标代入反

比例函数y=：中，求得F点的坐标，从而求得DF,然后根据三角形面积公式即可求得.

18.答案:(1)2.5；

(2)过点C作CHLAB于H,

-11

由=/C•=#5・C”

・•・AH=y/AC2-CH2=3.6,BH=10-3.6=6.4.

••・当点N运动到点4时，M,N两点同时停止运动，

0<t<

3

当0<£<2.5时，点M在点N的左边，如图1、图2,

MN=AB-AM-BN=10-t-3t=10-4t.

•••点G是MN的中点，MG=5"N=5—2t,

AG=AM+MG=t+5—2t=5—t,

BG=10—(5—t+5.

当点P与点c重合时，点G与点”重合，

则有5-t=3.6,解得t=1.4.

■■MN=AM-AN=AM-(AB-BN)=t-(10-3t)=4t-10,

NG=-MN=2t-5,

2

・•.AG=AN+NG=10—3t+2t—5=5—t.

综上所述：①当0〈t41.4时，点M在点N的左边，点P在BC上，如图1,

此时MN=10-43BG=t+5,

PG=BG,tanB=—(t+5)=—t+—,

11315

S=-MN-PG=-(10-4t)-(t+—)

22474

_3.邙75

-......L------Ld-----；

244

②当1,4<t<2.5时，点M在点N的左边，点P在AC上，如图2,

此时MN=10—432G=5—t,

PG=AG•tanA=—(5—t)=-------1,

633

11204

••・S='MN-PG=](10—4t)-(——-t)

=-t2-20t+—；

33

③当2.5<tW?时，点M在点N的右边，点P在AC上，如图3,

此时MN=4t-10,AG=5-t,

p204

PG=AG,tcLnA=—(5—t)-.............1,

6V733

11204

・•.S=-MN•PG=](4t-lO)-(y--t)

=-5t2+20t--；

33

・•.s与t之间的函数关系式为

f--t2t+—,0<t<1,4

244'

S=1-七2-20tH-----,1.4<t<2.5；

I33，，

--t2+20t--,2.5<t<-

l333

(3)在整个运动过程中，AK4C的面积变化，最大值为4,最小值为

提示：过点K作KD12C于D,过点M作ME1AC于E.

①当时，点P在BC上，如图4,

此时ZM=t,BG=t+5,

84

・•.EM=AM-sin乙EAM=—t=-t,

105

BP=-=^-=-t+-

COSB_44'

io

CP=CB-BP=8-(^t+-)=--t+-.

v44744

vEM1i4C,KDLAC,PCLAC,

・•.EM//DK//CP.

•・・K为PM的中点，为EC中点，

1117497

・•・DK=-(CP+EM}+-+-t)=-—t+-，

2、72v4457408

11Q72721

S2KAC=—AC,DK=-X6X(-----1H—)=------1H—,

△八AL22v4087408

随着的增大而减小，

4U<o,SAWt

.•.当t=0时，SAKAC取到最大值，最大值为勺，

当t=1.4时，SAKAC取到最小值，最小值为蓑；

②当时，点P在AC上，如图5、图6,

12

・•.OK=#M=J，

1126

S4K4c==AC,DK——x6x—1=—t.

△K2“2255

I>o,SAKAC随着t的增大而增大，

.•.当t=1.4时，4c取到最小值，最小值为蓑；

当1=?时，SAKAC取到最大值，最大值为9x^=4

综上所述：△K4C的面积的最大值为4,最小值为蓑.

解析：解：(1)•••^ACB=90°,AC=6,BC=8,AB=10,

•••t+3t=10,解得t=2.5(s),

即当t=2.5秒时，动点M,N相遇；

故答案为2.5；

(2)见答案;

(3)见答案.

(1)根据勾股定理可得=10,若动点M、N相遇，则有t+3t=10,即可求出t的值；

(2)由于“点P在BC上”与“点P在点4C上”及“点M在点N的左边”与“点M在点N的右边”对应

的MN、PG的表达式不同，S与t之间的函数关系式也就不同，因此需分情况讨论.只需先考虑临界

位置(点P与点C重合，点M与点N重合、点N与点4重合)所对应的t的值，然后分三种情况(①0<t<

1.4,②1.4<t<2,5,③2.5<tW?)讨论，用t的代数式表示出MN和PG,就可解决问题；

(3)过点K作KD于D,过点M作ME12C于E,由于4C已知，要求△K4C的面积的最值，只需用

t的代数式表示出DK,然后利用一次函数的增减性就可解决问题.

本题主要考查了平行线分线段成比例、三角函数的定义、勾股定理、梯形中位线定理、三角形中位

线定理、一次函数的增减性等知识，在解决问题的过程中，用到了分类讨论、等积法、临界值法等

重要的数学思想方法，找准临界点是解决本题的关键.

19.答案：(1)?；

(2)如图，△&Bi6和△4B2c2即为所求作三角形.

解析：

解：⑴过点4作4C8C交BC的延长线于

•••AD=1

根据勾股定理得，AB=V5,

.ZBC的正弦值弋

故答案为：g

(2)见答案.

(1)根据三角函数解答即可;

(2)将原三角形的三边分别扩大近和2倍即可得.

本题考查了作图-相似变换：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得

到.本题从乙4c8=135。，AC,BC=VI：1找到突破口.

20.答案：解：⑴•・•做1,4)在丫=子上,

4=*

•••优=1X4=4,

4

--y=-(x>o)

(2)•把B(3,m)代入y=：中，m=1

•••B(3分4

"y=k2x+b过点4(1,4)B(3,》,

A=k+b

|=3fc+

\=--

h/，

y=——4x-\,——16

J33

令y=0,

•••C(4,0)

S^AOB=S^AOC-S^COB

114

=-x4x4--x4x-

223

=8--

3

_16

-3；

(S&AOB=S梯形AEFB=T),

(3)0<x<1或x>3

解析：(i)将点a的坐标(1,4)代入，即可求出反比例函数的解析式；

(2)可求得点B的坐标，再将28两点代入y=krx+b,从而得出/q和b,再令y=0,求得直线和x轴

的交点坐标，将三角形4BC的面积化为两个三角形的面积之差；

(3)反比例