八年级数学下册17.2勾股定理的逆定理（解析版）

17.2勾股定理的逆定理互逆命题如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题.注意：原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.题型1：互逆命题1.（2021八下·武侯期中）下列命题的逆命题为假命题的是（）A．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方B．若一个三角形的三边相等，则它的三个角也相等C．若c＝d，则（a﹣b）c＝（a﹣b）dD．两直线平行，同位角相等【答案】C【解析】【解答】解：A、逆命题是“如果一个三角形的两边的平方和等于另一边的平方，这个三角形就是直角三角形”，是真命题，错误；

B、逆命题是“若一个三角形的三个角相等，则它的三边相等”，是真命题，错误；

C、逆命题是“若（a﹣b）c＝（a﹣b）d，则c＝d”，∵a-b=0时不成立，是假命题，正确；

D、逆命题是“同位角相等，两直线平行”，是真命题，错误；

故答案为：C.

【变式1-1】下列命题：①同旁内角互补，两直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③同位角相等；④垂线段最短．其中（）A．①④是真命题 B．①③是真命题C．②③是真命题 D．①②④是真命题【答案】A【解析】【解答】解：①同旁内角互补，两直线平行；该命题符合题意，②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；该命题不符合题意，应改为：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；③同位角相等；该命题不符合题意，应改为：两直线平行，同位角相等；④垂线段最短；该命题符合题意；故答案为：A

【分析】根据平行线的判定、同位角的定义逐项判断即可。【变式1-2】（2021八上·西湖期中）命题“等腰三角形两底角相等”的逆命题是，逆命题是命题（填“真”或“假”).【答案】两个角相等三角形是等腰三角形；真【解析】【解答】解：因为原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个角相等三角形是等腰三角形”，是真命题.故答案为：两个角相等三角形是等腰三角形，真.【分析】根据逆命题的定义：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题，原命题的条件“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，互换即可得解，然后结合等腰三角形的判定定理进行判断.勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.题型2：勾股定理的逆定理2.下列数据中不能作为直角三角形的三边长是（）A．1、1、 B．5、12、13 C．3、5、7 D．6、8、10【分析】根据勾股定理的逆定理进行计算分析，从而得到答案．【解答】解：A、12+12＝（）2，能构成直角三角形，故选项错误；B、52+122＝132，能构成直角三角形，故选项错误；C、32+52≠72，不能构成直角三角形，故选项正确；D、62+82＝102，能构成直角三角形，故选项错误．故选：C【变式2-1】（2022七上·招远期末）已知△ABC的三边为a，b，c，下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）．A．a=3，b=2，c=5 B．a=40，b=50，C．a=54，b=1，c=34 D．a=【答案】B【解析】【解答】解：A.∵a=3，b=2，c=5∴∴∴△ABC为直角三角形，不符合题意，B.∵a=40，b=50，c=60，c∴∴△ABC不是直角三角形，符合题意，C.∵a=54，b=1∴∴∴△ABC为直角三角形，不符合题意，D.∵a=41，b=4，∴∴∴△ABC为直角三角形，不符合题意，故答案为：B

【分析】利用勾股定理的逆定理逐项判断即可。【变式2-2】（2022八下·承德期末）满足下列条件的三边长为a、b、c的△ABC，不是直角三角形的是（）A．b2=aC．∠C=∠B-∠A D．∠A【答案】D【解析】【解答】解：A.∵b2=a2B.∵a：b：c=3：4C.∵∠C=∠B-∠A，∴∠C+∠A=∠B=90D.∵∠A：∠B：∠C=3故答案为：D．

【分析】结合勾股定理的逆定理，即可判断A和B为正确；由有一个角为直角的三角形为直角三角形，判定C和D两个选项。如何判定一个三角形是否是直角三角形首先确定最大边（如）.验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.题型3：判定三边能否构成三角形（具体数值、比值或字母参数）3.在△ABC中，a，b，c是∠A，∠B，∠C的对边，a=32，b=52【答案】解：△ABC是直角三角形，∠B是直角．理由：

因为a2+c2=(32)2+2=254，b2=(52)2=254，

所以a2+c2=b【解析】【分析】已知三角形的三边长，根据勾股定理的逆定理推出△ABC是以∠B为直角的直角三角形即可.【变式3-1】（2021八下·云浮期末）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是BC的中点，F为CD上一点，且CF＝1，判断△AEF是不是直角三角形？试说明理由．【答案】解：△AEF是直角三角形．理由：∵正方形的边长为4，E是BC的中点，CF＝1，∴DF＝3，CE＝BE＝2．由勾股定理得：AF2＝AD2+DF2＝16+9＝25，EF2＝CE2+CF2＝4+1＝5，AE2＝AB2+BE2＝16+4＝20，∴AF2＝EF2+AE2，∴△AEF为直角三角形．【解析】【分析】先求出DF＝3，CE＝BE＝2，再利用勾股定理证明求解即可。【变式3-2】（2022八上·嘉兴期中）已知△ABC的三条边长分别为a，b，c，其中a=m-n，b=2mn，c=m+n，且m>n>0【答案】解：∵△ABC的三条边长分别为a，b，c，a2+b2=∴a∴△ABC是直角三角形.【解析】【分析】根据已知条件可得a2+b2=(m-n)2+4mn=(m+n)2，c2=(m+n)2，然后结合勾股定理逆定理进行解答.【变式3-3】已知△ABC的三边a＝m2﹣1（m＞1），b＝2m，c＝m2+1．（1）求证：△ABC是直角三角形．（2）利用第（1）题的结论，写出两个直角三角形的边长，要求它们的边长均为正整数．【分析】（1）知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；（2）依据m＞1，a，b，c均为正整数，即可得到直角三角形的边长．【解答】解：（1）∵△ABC的三边a＝m2﹣1（m＞1），b＝2m，c＝m2+1，而当m＞1时，m2﹣1＜m2+1，2m＜m2+1，∴（m2﹣1）2+（2m）2＝m4+1﹣2m2+4m2＝（m2+1）2，即a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形；（2）当m＝2时，直角三角形的边长为3，4，5；当m＝3时，直角三角形的边长为8，6，10（答案不唯一）勾股数满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.注意：（1）（是自然数）是直角三角形的三条边长；（2）（是自然数）是直角三角形的三条边长；（3）（是自然数）是直角三角形的三条边长；勾股数的求法：如果a为一个大于1的奇数，b，c是两个连续的自然数，且有a²=b+c，则a,b,c为一组勾股数；如果a,b,c为一组勾股数，那么na，nb，nc也是一组勾股数，其中n为自然数.题型4：勾股数及规律问题4.下列各组数中，为勾股数的是（）A．1，2，3 B．3，4，5 C．1.5，2，2.5 D．5，10，12【分析】根据勾股定理的逆定理分别进行分析，从而得到答案．【解答】解：A、∵12+22≠32，∴这组数不是勾股数；B、∵32+42＝52，∴这组数是勾股数；C、∵1.52+22＝2.52，但这三个数不都是整数，∴这组数不是勾股数；D、∵52+102≠122，∴这组数不是勾股数．故选：B【变式4-1】若3、4、a为勾股数，则a的相反数的值为（）A．﹣5 B．5 C．﹣5或﹣ D．5或【分析】根据勾股数的定义：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数求解即可．【解答】解：∵3、4、a为勾股数，∴a＝＝5，∴a的相反数为﹣5，故选：A【变式4-2】观察右面几组勾股数，①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；并寻找规律，请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：，第n组勾股数是．【分析】先找出每组勾股数与其组数的关系，找出规律，再根据此规律进行解答．【解答】解：∵①3＝2×1+1，4＝2×12+2×1，5＝2×12+2×1+1；②5＝2×2+1，12＝2×22+2×2，13＝2×22+2×2+1；③7＝2×3+1，24＝2×32+2×3，25＝2×32+2×3+1；④9＝2×4+1，40＝2×42+2×4，41＝2×42+2×4+1；∴第⑤组勾股数为2×5+1＝11，2×52+2×5＝60，2×52+2×5+1＝61，第n组勾股数是2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1．故答案为：11，60，61；2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1【变式4-3】满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．若正整数a，n满足a2+n2＝（n+1）2，这样的三个整数a，n，n+1（如：3，4，5或5，12，13）我们称它们为一组“完美勾股数”，当n＜150时，共有组这样的“完美勾股数”．【分析】由于n＜150，149+150＝299，大于等于9小于297的非偶数完全平方数有9，25，49，81，121，169，225，289，一共8个，可得共有8组这样的“完美勾股数”．【解答】解：∵n＜150，（n+1）2﹣n2＝2n+1，149+150＝299，大于等于9小于297的非偶数完全平方数有9，25，49，81，121，169，225，289，一共8个，∴共有8组这样的“完美勾股数”．故答案为：8题型5：勾股定理逆定理的应用5.（2022八下·老河口期中）某小区有一块四边形空地ABCD（如图所示），为了美化小区环境，现计划在空地上铺上草坪，经测量∠A=90°，AB=20米，BC=24米，CD=7米，AD=15米，若铺一平方米草坪需要25元，铺这块空地需要投入多少钱？【答案】解：如下图所示，连接BD.∵∠A=90°，AB=20米，AD=15米，∴BD=AB2∵BC=24米，CD=7米，25∴BD∴∠C=90°.∴S△BCD∴S四边形ABCD=S△ABD∵铺一平方米草坪需要25元，∴铺这块空地需要投入的费用为234×25=5850元.答：铺这块空地需要投入5850元.【解析】【分析】连接BD，先求出△ABD的面积，根据勾股定理求出BD的长度，再根据勾股定理逆定理求出∠C=90°，再求出△BCD的面积，从而求出四边形ABCD的面积，再根据铺草坪的单价即可求出铺这块空地需投入的费用即可.【变式5-1】（2022八下·建昌期末）在如图所示的四边形草坪中，∠ADC=90°，CD=12m，AD=9m，AB=36m，BC=39m，求这块草坪的面积．【答案】解：如图所示，连接AC，∵∠ADC=90°，∴在Rt△ACD中，AC=A∵AC∴△ABC是直角三角形，∴∠BAC=90°，∴S四边形ABCD∴这块草坪的面积为216平方米．【解析】【分析】连接AC，先利用勾股定理证明△ABC是直角三角形，再利用三角形的面积公式和割补法求解即可。【变式5-2】（2022八上·仁寿月考）如图，在五边形ABCDE中，AB⊥BC，AE⊥DE，AB=1，BC=2，CD=25，DE=3，AE=4，求五边形ABCDE【答案】解：连接AC、AD，∵AB⊥BC，AE⊥DE，∴∠B=90°，∠E=90°，∴AB2+B∵AB=1，BC=2，DE=3，AE=4，∴12+∴AC=5，AD=5∵CD=25∴AC∴∠ACD=90°，∴五边形ABCDE的面积==1【解析】【分析】连接AC、AD，根据勾股定理的逆定理可判断∠ACD=90°，根据五边形ABCDE的面积=S【变式5-3】如图，在△ABC中，AB＝10，BD＝8，AD＝6，CD＝2（1）试说明AD⊥BC；（2）试求点D到直线AC的距离．【分析】（1）根据已知条件推知AD2+BD2＝AB2，然后利用勾股定理的逆定理推得结论；（2）在直角△ACD中，利用勾股定理可以求得AC的长度，由三角形的面积公式来求点D到直线AC的距离．【解答】解：（1）∵AD2+BD2＝62+82＝100，AB2＝102＝100，∴AD2+BD2＝AB2，∴△ABD是直角三角形，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC；（2）∵∠ADB＝90°，且点D为BC边上的一点，∴∠ADC＝90°，∴由勾股定理得：AC＝＝＝4，∴点D到直线AC的距离为6×2÷2×2÷4＝3题型6：勾股定理逆定理探究问题6.（2023八上·渠县期末）定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点.（1）已知M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若AM＝2.5，MN＝6.5，BN＝6，则点M，N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由.（2）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝14，AM＝4，求BN的长.【答案】（1）解：点M、N是线段AB的勾股分割点.理由如下：∵AM2+BN2＝2.52+62＝42.25，MN2＝6.52＝42.25，∴AM2+NB2＝MN2，∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，∴点M、N是线段AB的勾股分割点；（2）解：设BN＝x，则MN＝14﹣AM﹣BN＝10﹣x，①当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2+NB2，即（10﹣x）2＝x2+16，解得x＝4.2；②当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2+MN2.即x2＝16+（10﹣x）2，解得x＝5.8.综上所述，BN＝4.2或5.8.【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理进行判断即可得出结论；

（2）设BN＝x，则MN＝14﹣AM﹣BN＝10﹣x，分类讨论：①当MN为最大线段时，②当BN为最大线段时，分别根据勾股定理建立方程，求解即可得出答案.【变式6-1】（2022八下·济南期末）先阅读下面的材料，再解决问题：因式分解多项式：am+an+bm+bn，先把它的前两项分成一组，并提出a；把它的后两项分成一组，并提出b：得：a（m+n）+b（m+n）再提公因式（m+n），得：（m+n）（a+b）．于是得到：am+an+bm+bn＝a（m+n）+b（m+n）＝（a+b）（m+n）．这种因式分解的方法叫做分组分解法．请用上面材料中提供的方法解决问题：（1）将多项式ab﹣ac+b2﹣bc分解因式；（2）若△ABC的三边a、b、c满足条件：a4﹣b4+a2c2+b2c2＝0，试判断△ABC的形状．【答案】（1）解：ab-ac+==a=(（2）解：由a4得(a即(a∵作为三角形的边长，有a2∴a2即a2∴△ABC是直角三角形．【解析】【分析】（1）利用分组分解法分解因式即可；

（2）先求出(a2+【变式6-2】（2022八下·巴州期中）阅读下列内容，设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三边长间的关系来判断这个三角形的形状；①若a2=b2+c2则该三角形是直角三角形例如一个三角形的三边长分别是4，5，6则最长边是6，62=36<4（1）若一个三角形的三条边长分别是2，3，4，则该三角形是三角形（2）若一个三角形的三条边长分别是3，4，x且这个三角形是直角三角形则x的值为（3）若一个三角形的三条边长分别为m2-n【答案】（1）钝角（2）5或7（3）解：若一个三角形的三条边长分别是m2-n∵m2+n22＞m∴这个三角形是直角三角形.【解析】【解答】解：（1）若一个三角形的三条边长分别是2，3，4，则该三角形是钝角三角形；理由如下：∵22+32＜42，∴该三角形是钝角三角形；故答案为钝角；（2）若一个三角形的三条边长分别是3，4，x且这个三角形是直角三角形，则x的值为5或7；理由如下：①当x为斜边时，x=3②当x为直角边时，斜边为4，x=4综上所述：x的值为5或7；【分析】（1）根据三角形的三边长可得22+32＜42，据此可判断出三角形的形状；（2）分x为斜边；x为直角边，利用勾股定理进行计算即可；

（3）结合勾股定理逆定理判断即可.一、单选题1．（2021八上·余杭期中）三角形的三边长分别为a、b、c，且满足(a+b)2A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形【答案】C【解析】【解答】解：∵(a+b)2∴a2+b2=c2．因为a、b、c，为三角形的三边长，所以为直角三角形．故答案为：C．【分析】由已知等式整理得出a2+b2=c2，则由勾股定理的逆定理判定该三角形为直角三角形.2．（2020八上·德化月考）下列各组数中，是勾股数的是（）A．7，8，9 B．6，8，11 C．5，12，14 D．3，4，5【答案】D【解析】【解答】A、∵72+82≠92，∴此选项不符合题意；B、∵62+82≠112，∴此选项不符合题意；C、∵52+122≠142，∴此选项不符合题意；D、∵32+42=25=52=25，∴此选项符合题意；故答案为：D

【分析】利用勾股定理逆定理逐项判定即可。3．（2020八下·潮南月考）下列各组数中，是勾股数的为（）A．1，1，2 B．1.5，2，2C．7，24，25 D．6，12，13【答案】C【解析】【解答】A、12B、1.52C、72D、62+12故答案为：C．【分析】根据勾股数的定义“勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数”即可得．4．（2021八上·成都月考）如图所示，将一根长为24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在外面的长为hcm，则h的取值范围是（）A．0＜h≤11 B．11≤h≤12 C．h≥12 D．0＜h≤12【答案】B【解析】【解答】解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大＝24﹣12＝12cm．当筷子与杯底直径及杯高构成直角三角形时h最小，如图所示：此时，AB＝AC2+B∴h＝24﹣13＝11cm．∴h的取值范围是11cm≤h≤12cm．故答案为：B.【分析】当筷子与杯底垂直时h最大，h最大＝24-12＝12cm．当筷子与杯底直径及杯高构成直角三角形时h最小，利用勾股定理求出AB的值，然后求出h的最小值，进而可得h的范围.5．（2020八上·沈阳月考）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件中，能判断△ABC是直角三角形的是（）A．a＝13，b＝14，c＝1C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．a＝3，b＝7，c＝2【答案】D【解析】【解答】A.(1B.a＝b，∠C＝45°，不是直角三角形，故B错误；C.最大角∠C＝180°×5D.(7故答案为：D.【分析】选项A、D根据勾股定理逆定理解题；选项B无法判断是否是直角三角形；选项C根据三角形内角和180°解题.6．（2020八上·临川月考）三角形的三边长为a，b，c，且满足(a-b)2A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形【答案】C【解析】【解答】解：由(a-b)2=c即a2∵a,b,c为三角形的三边长，∴这个三角形是直角三角形，故答案为：C．

【分析】先化简，再利用勾股定理的逆定理判断即可。二、填空题7．（2022八下·黔西月考）如图，一棵垂直于地面的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树干底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是米.【答案】8【解析】【解答】解：如下图.由题意得：AC=4米，BC=3米，∠ACB=90°，∴折断的部分AB的长为：AC∴折断前高度为5+3=8（米）.故答案为：8.【分析】根据勾股定理算出折断部分AB的长，再利用AB+BC即可算出折断前的高度.8．（2020八上·仪征月考）如图所示，圆柱的高AB=3，底面圆的周长是8，现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是.【答案】5【解析】【解答】解：圆柱侧面展开图如图所示，AC为最短距离，则BC=12∵AB=3，∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC∴AC=即：爬行的最短距离为5.【分析】首先将圆柱侧面展开，即可得出最短距离为展开后AC的距离，根据勾股定理即可求出AC，即最短距离.9．若正整数a，n满足a2+n2=(n+1)2，这样的三个整数a，n，n+1(如：3，4，5或5，12，13)我们称它们为一组“完美勾股数"．当n<150时，共有组“完美勾股数"．【答案】8【解析】【解答】解∵n<150，a2=(n+1)2-n2=2n+1，∴a2<301，a2为奇数，满足条件的非偶数完全平方数有9，25，49，81，121，169，225，289，一共8个，共有8组这样的“完美勾股数"．故答案为8．【分析】根据n<150，a2=(n+1)2-n2=2n+1，求解即可。10．（2020八上·富平期末）如图，一只蚂蚁从长为7cm、宽为5cm，高是9cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所走的最短路线的长是cm.【答案】15【解析】【解答】解：由题意可得，当展开前面和右面时，最短路线长是：(7+5)当展开前面和上面时，最短路线长是：7当展开左面和上面时，最短路线长是：5∵15<7∴一只蚂蚁从长为7cm、宽为5cm，高是9cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所走的最短路线的长是15cm，故答案为：15.【分析】根据题意，过A点和B点的平面展开图分三种情况，再根据两点之间线段最短和勾股定理可以分别求得三种情况下的最短路线，然后比较大小，即可得到A点到B点的最短路线，本题得以解决.11．（2020八上·东阳期末）如图，将一根长度为16cm、自然伸直的弹性皮筋AB两端固定在水平的桌面上，然后把中点C竖直向上拉升6cm至点D，则此时该弹性皮筋被拉长了cm.【答案】4【解析】【解答】解：由题意，得AD=BD，CD⊥AB，AC=BC=8，∵CD=6∴AD=BD=∴AD+BD=10+10=20∴此时该弹性皮筋被拉长了20-16=4cm故答案为：4.【分析】首先根据等腰三角形的性质判定AD=BD，CD⊥AB，AC=BC，然后根据勾股定理求得AD，即可得解.三、解答题12．（2019八上·毕节月考）一棵树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离树根底部12米处，求树折断之前的高度？（自己画图并解答）【答