八年级数学下册19.2.3一次函数与方程、不等式八大题型

19.2.3一次函数与方程、不等式一次函数与一元一次方程的关系一次函数（≠0，为常数）.当函数＝0时，就得到了一元一次方程，此时自变量的值就是方程＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.

从图象上看，这相当于已知直线（≠0，为常数），确定它与轴交点的横坐标的值.方程组解的几何意义1．方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标．2．根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解的情况：根据交点的个数，看出方程组的解的个数；根据交点的坐标，求出（或近似估计出）方程组的解．3．对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数．题型1：一次函数图象与一元一次方程的解1.（2023春·八年级课时练习）如图是一次函数的图象，则关于的一次方程的解是（）A． B． C． D．【变式1-1】如图所示，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点P（3，2），则方程kx+b＝2的解是（）A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．无法确定【变式1-2】已知一次函数y＝kx+b（k≠0），如表是x与y的一些对应数值，则下列结论中正确的是（）x…﹣1.5012…y…631﹣1…A．y随x的增大而增大 B．该函数的图象经过一、二、三象限 C．关于x的方程kx+b＝1的解是x＝1 D．该函数的图象与y轴的交点是（0，2）【变式1-3】如图，根据一次函数y＝kx+b的图象，直接写出下列问题的答案：（1）关于x的方程kx+b＝0的解；（2）当x＝1时，代数式kx+b的值；（3）关于x的方程kx+b＝﹣3的解．题型2：解一元一次方程与一次函数坐标轴交点2.一元一次方程ax﹣b＝0的解是x＝3，函数y＝ax﹣b的图象与x轴的交点坐标为（）A．（3，0） B．（﹣3，0） C．（a，0） D．（﹣b，0）【变式2-1】（2023·陕西·模拟预测）若关于x的方程的解是，则直线一定经过点（

）A． B． C． D．【变式2-2】（2023春·全国·八年级专题练习）已知方程的解为，则一次函数的图象与轴交点的坐标为(

)A． B． C． D．【变式2-3】已知一次函数y＝2x﹣1的图象如图所示，请根据图象解决下列问题：（1）写出一次函数的图象与x轴y轴的交点坐标；（2）写出方程2x﹣1＝3的解；一次函数与一元一次不等式由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围.注意：求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集，从“数”的角度看，就是为何值时，函数的值大于0？从“形”的角度看，确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围.如何确定两个不等式的大小关系：（≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐标范围．题型3：一次函数图象与一元一次不等式解集3.（2023·福建宁德·校考二模）直线的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（）A． B． C． D．【变式3-1】如图，一次函数y＝kx+b的图象经过A、B两点，则kx+b＜2的解集是（）A．x＜0 B．x＞2 C．x＞﹣3 D．﹣3＜x＜2【变式3-2】（2023春·上海静安·市北校考期中）直线交坐标轴于、两点，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【变式3-3】若k﹣3＞0，则一次函数y＝（3﹣k）x+k﹣3的图象可能是（）A． B． C． D．一次函数与二元一次方程组每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标.注意：

1.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.2.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.3.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立.题型4：一次函数图象与二元一次方程组的解4.（2022秋·安徽·八年级期末）如图，直线与相交于点，则关于x的方程的解是（）A． B． C． D．【变式4-1】已知直线和直线相交于点，则方程的解是()A． B． C． D．【变式4-2】（2023·陕西西安·校考二模）在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于x，y的方程组的解为（

）A． B． C． D．【变式4-3】已知：如图一次函数y1＝﹣x﹣2与y2＝x﹣4的图象相交于点A．（1）求点A的坐标；（2）若一次函数y1＝﹣x﹣2与y2＝x﹣4的图象与x轴分别相交于点B、C，求△ABC的面积．题型5：函数的交点坐标与一元一次不等式的解集5.（2023春·四川德阳·八年级四川省德阳市第二中学校校考期中）根据图象，可得关于x的不等式的解集是(

)A． B． C． D．【变式5-1】如图，已知直线y＝ax+2与直线y＝mx+b的交点的横坐标是﹣2．根据图象有下列四个结论：①a＞0；②b＜0；③方程ax+2＝mx+b的解是x＝﹣2；④不等式ax﹣b＞mx﹣2的解集是x＞﹣2．其中正确的结论个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【变式5-2】（2023春·河北保定·八年级保定十三中校考期中）如图，直线与的交点的横坐标为，根据图象信息，下列结论错误的是（

）A． B．C． D．当时，【变式5-3】如图，直线y＝kx+b经过点A（﹣5，0），B（﹣1，4）（1）求直线AB的表达式；（2）求直线CE：y＝﹣2x﹣4与直线AB及y轴围成图形的面积；（3）根据图象，直接写出关于x的不等式kx+b＞﹣2x﹣4的解集．题型6：一次函数与方程的面积问题6.（2023春·山西晋中·八年级统考期中）如图，一次函数的图象与轴交于点，与正比例函数的图象交于点．(1)求的面积；(2)利用函数图象直接写出当时，的取值范围．【变式6-1】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，已知直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，与直线交于点，直线与x轴交于点A．(1)求直线的解析式；(2)求四边形的面积．【变式6-2】（2023春·河北承德·八年级统考期中）如图，直线的函数关系式为，且与x轴交于点D，直线经过点，，直线与交于点C．(1)求直线的函数关系式；(2)求点C的坐标；(3)设点P在y轴上，若，求点P的坐标．题型7：一元一次函数与数形结合的综合问题7.如图：直线l1：y＝kx与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，1），且直线l2与x轴，y轴分别相交于A，B两点，△POA的面积是1．（1）求△POB的面积；（2）直接写出kx＞mx+n的解集．【变式7-1】如图，直线l是一次函数y＝kx+b的图象，点A、B在直线l上，根据图象回答下列问题：（1）写出方程kx+b＝0的解；（2）写出不等式kx+b＞2的解集；（3）若直线l上的点P（m，n）在线段AB上移动，则m、n的取值范围分别是什么？【变式7-2】如图，直线y＝kx+2与直线y＝x相交于点A（3，1），与x轴交于点B．（1）求B点坐标；（2）根据图象写出不等式组0＜kx+2＜x的解集．题型8：实际应用问题8.甲骑自行车、乙骑摩托车沿相同路线由A地到B地，行驶过程中路程y（千米）与时间x（分钟）的函数关系的图象如图：（1）谁先出发？先出发多长时间？谁先到达终点？先到多长时间？（2）分别求出甲、乙两人的行驶速度；（3）请根据图象回答：在甲行驶途中，在什么时间段内：①甲在乙的前面？②两人相遇？③甲在乙的后面？（不包括起点和终点）【变式8-1】如图所示，L1，L2分别表示一种白炽灯和一种节能灯的费用y（费用＝灯的售价+电费，单位：元）与照明时间x（h）的函数关系图象，假设两种灯的使用寿命都是2000h，照明效果一样．（1）根据图象分别求出L1，L2的函数关系式．（2）当照明时间为多少时，两种灯的费用相等？（3）小亮房间计划照明500h，他买了一个白炽灯和一个节能灯，观察图象，用哪种灯照明最省钱？（简要说明理由即可）．【变式8-2】甲、乙两列火车分别从A、B两城同时匀速驶出，甲车开往B城，乙车开往A城．由于墨迹遮盖，图中提供的是两车距B城的路程S甲（千米）、S乙（千米）与行驶时间t（时）的函数图象的一部分．（1）分别求出S甲、S乙与t的函数关系式（不必写出t的取值范围）；（2）求A、B两城之间的距离，及t为何值时两车相遇；（3）当两车相距300千米时，求t的值．一、单选题1．一次函数的图像如图所示，则一元一次不等式解集为(

)A．＞-2 B．＜-2 C． D．2．如图，函数y=3x与y=kx+b的图象交于点A（2,6）,则不等式3x＜kx+b的解集为（

）A．x＜4 B．x＜2 C．x＞2 D．x＞43．直线与直线的交点为（

）A． B． C． D．4．关于一次函数y=x﹣1，下列说法：①图象与y轴的交点坐标是（0，﹣1）；②y随x的增大而增大；③图象经过第一、二、三象限；④直线y=x﹣1可以看作由直线y=x向右平移1个单位得到．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．如图所示，直线l1：y1＝与直线l2：y2＝交于点P（﹣2，3），不等式＞的解集是（）A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x＜﹣2 D．x≤﹣2二、填空题6．如图，已知函数和的图象交点为，则不等式的解集为______．7．如图，一次函数y＝kx＋b和y＝mx＋n的图象交于点P（1，2），则不等式（k﹣m）x≥n﹣b的解集是____．8．如图，一次函数的图象与x轴的交点坐标为，则下列说法：随x的增大而减小；；关于x的方程的解为；当时，其中正确的是______请你将正确序号填在横线上三、解答题9．已知在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过与两点.（1）求这个一次函数解析式；（2）若