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文档简介
八年级数学导学案
第一课时变量与函数
知识目标:
1、通过直观感知,领悟常量、变量、因变量、自变量与函数的意义.
2、了解函数的三种表示方法.
3、能应用方程思想列出实例中的等量关系,并能够列出简单问题的函数解析式.
能力目标:
经历对熟悉的具体事例数量关系的探索过程,体验函数是刻画事物变化规律的常用方法,
初步形成用函数描述事物变化规律的习惯.
重点:在具体的问题情境中,探究出相应的函数关系式.
难点:对函数概念和对应思想的理解.
学习过程
一、结合课本,合作探究:
(1)看问题1,完成书中对应问题思考:
通过解决问题可以发现,在这个变化过程中,任选一个时刻t的一个确定值,温度T
有个值和这个时刻相对应?
(2)看问题2,完成书中对应问题
通过解决问题,观察上表,说一说随着年龄的增长,相应的体重是如何变化的?
在这个变化过程中,任选一个年龄,体重都有一个值和年龄相对应?
(3)看问题3,观察表格,在上述变化过程中,任取波长—的一个确定值,频率f有一个
值和它对应?
(4)看问题4由表可以看出,圆的半径越大,它的面积就.
在上述变化过程中,任取圆的半径r的一个确定值,其面积S有_个值和它相对应?
思考:
1、在问题1、2、3、4中,分别涉及几个可以取不同值的量(变量)?把它们一一写出来.一
2、什么是常量?________________________________________________________________
什么是变量?_________________________________________________________________
3、函数的概念:_______________________________________________________________
4、函数的三种表示方法.(结合课本总结)
(1)法,例如:______________________________________________________________
⑵法,例如:______________________________________________________________
(3)法,例如.:____________________________________________________________
二、运用所学,解决问题:(做课后练习题2、3)
练习2解答:练习3解答:
三.达标反馈:
(1)指出下列变化关系中,哪些y是x的函数?哪些不是?说出你的理由.
①xy=2;()②⑵y2=x;()③x+y=5;()
@IyI=3x+l;()⑤y=x2-4x+5;()©y=Ix|()
(2)写出下列问题中的函数关系式,并指出其中的常量与变量.
①等腰三角形的顶角度数y与底角度数x的关系式;
②时速为110千米的火车行驶的路程y(千米)与行驶的时间x(小时)之间的关系式;
③底边长为10的三角形的面积y与高x之间的关系式;
④某种弹簧原长20厘米,每挂重物1千克,伸长0.2厘米,挂上重物后的长度y(厘米)
与所挂上的重物x(千克)之间的关系式;____________________________________________
⑤某种饮水机盛满20升水,打开阀门每分钟可流出0.2升水,饮水机中剩余水量y(升)
与放水时间x(分)之间的关系式._________________________________________________
四.学习小结:
五、作业:课本第33页第1题、第2题
八年级数学导学案
第二课时变量与函数
教学目标
1.学会求函数自变量的取值范围,了解实际情境中对函数自变量取值的限制.
2.理解函数自变量与函数值的对应关系,会求指定条件下的函数值.
3.进一步会求具体问题中的函数关系式.
教学重点:在具体的问题情境中,求函数自变量的取值范围
教学难点:探究出相应的函数关系式.
教学过程:
一.知识回顾(独立完成)
(1)为了刻画事物变化规律,数学上常用表示;
⑵函数概念:__________________________________________________________________
(3)函数的表示方法主要有、、;
(4)如果分式的分母中含有字母,那么这个字母的取值有什么限制?
(5)如果二次根式的被开方式中含有字母,那么这个字母的取值有什么限制?
(6)当x=&时,代数式6-3的值是多少?
二.探求新知:
1、求下列函数中自变量的取值范围:
(Dy=3xT(2)y=2x2+7(3)y=」一
x+2
(4)y=Jx-2.(5)y=^
Jx-2
解:(l)x取值范围是;(2)x取值范围是:
(3)x取值范围是;(4)x取值范围是;
(5)x取值范围是;
归纳上述结论可知:(相对于己学知识而言)函数自变量的取值范围必须满足下列条件:
(1);(2);
⑶
2、看课本31页“试一试”解决课本中问题:(1)
(2)(3),
2、试写出等腰三角形顶角的底数y与底角度数x之间的函数关系式.并求出自变量x的
取值范围。
3、如图17-1-6所示,等腰直角4ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长
均为10厘米,AC与MN在同一条直线上,开始时A点与M点重合,让AABC
向右运动,最后A点与N点重合.试写出重叠部分面积y(厘米2)与MA的
长度x(厘米)之间的函数关系式.
(提示:重叠部分的△AMD是什么三角形?边AM与DM之间存在怎样的大
小关系?在反映实际问题的函数中,函数自变量的取值范围必须满足“使
实际有意义”.)
三.达标反馈:课本第32页中的练习第1题、第2题、第3题.
四.学习小结
(1)内容总结
[函数自变量取值范围的限制条件
[函数值的求法
(2)方法归纳
求函数自变量的取值范围,常常首先依据函数关系式的结构特点或依据实际构建不等式
或不等式组,通过解不等式(组)达到解决问题的目的.在给定一个函数
解析式的条件下,已知自变量的一个固定值,可以利用求代数式的值的方法求出函数的对
应值;已知函数的一个固定值,可以首先构建方程,通过解方程求出自变量的对应值.
五、课后作业:课本第33页第3题、第4题
八年级数学导学案
第三课时函数的图象平面直角坐标系
学习目标:1.联系数轴知识、统计图知识,经历探索平面直角坐标系的概念的过程;掌握平面直角坐标
系的有关概念;2.能画出直角坐标系,以及根据点的坐标找出它的位置、由点的位置确定它的坐标;
3.知道坐标平面内点的坐标特征
学习重点:①在直角坐标系中,根据坐标找出点;由点求出坐标的方法;②特殊点的坐标特征
学习难点:探索特殊点的坐标特征;
学习过程
一、情境再现:
如图是一条数轴,数轴上的点与实数是一一对应的.数轴上每个点都对应一个实数,这个实数叫做
这个点在数轴上的坐标.例如,点力在数轴上的坐标是4,点B在数轴上的坐标是一2.5.知道一个点
的坐标,这个点的位置就确定了.
iI1B.1iIIiIAjI
-5.4-3-2-1012345x
学过了利用数轴研究一些数量关系的问题,在实际生活中.还会遇到利用平面图形研究数量关系的问题.
二、探究归纳
问题1例如你去过电影院吗?还记得在电影院是怎么找座位的吗?
因为电影票上都标有“X排x座”的字样,所以找座位时,先找到第几—,再找到这一排的
第几就可以了.也就是说,电影院里的座位完全可以由一个数确定下来.
问题2在教室里,怎样确定一个同学的座位?
结合实际,举例说明:这样教室里座位也可以用一对实数表示.
归纳总结:平面直角坐标系在数学中,我们可以用来确定平面上点的位置.为此,在平面
上画两条重合、互相—且具有相同单位长度的,这就建立了平面直角坐标系.通常把其
中水平的一条数轴叫做一轴或一轴,取向—为正方向;铅直的数轴叫做一轴或—轴,取向上为正
方向;两数轴的交点。叫做.(试着在练习本上建立平面直角坐标系)
在平面直角坐标系中,任意一点都可以用一对有序实数来表示.(看35页试一试上边知识,理解识记)
三、知识应用:例1写出图中的点/、&&仄反尸的坐标.观归
察你所写出的这些点的坐标,回答:(1)在四个象限内的点的°.
坐标各有什么特征?(2)两条坐标轴上的点的坐标各有什么A
特征?
1木D
---1--乳——■------■--1---'-->
-3-2-1O123x
Ef-1''C
-2
-3-
思考:观察例题1的图形说出图中的点A、B、C、D、E、F各点到两条坐标轴的距离?各点到两条
坐标轴的距离与各点的坐标有何关系?
SC-2.3)'
,以.23)
-3
.A3,2)
2
例2在右图中分别描出坐标是(2,3)、(-2,3)、(3,-2)的点0、S、1
R,。(2,3)与尸(3,2)是同一点吗?S(-2,3)与E(3,—2)是同一点吗?
例3在直角坐标平面内,(D第一、三象限角平分线上点的坐标有
什么特点?(2)第二、四象限角平分线上点的坐标有什么特点?
四、检测反馈
1,下列说法正确的是:()
(1)(-5,3)和(3,-5)表示同一点;(2)点(-4,1)到x轴的距离是4,到y轴的距离是1;
(3)坐标轴上的点的横坐标和纵坐标至少有一个为0;(4)第一象限内的点的横坐标与纵坐标均为正数.
2、在下图中,确定A、B、C、D、E、F、G的坐标。3、如下图,求出A、B、C、D、E、F的坐标。
(第2题)(第3题)
4.指出下列各点所在的象限或坐标轴:并写出点A、B、C、D、E、各点到两条坐标轴的距离?
A(-3,-5)在象限,到x轴的距离为J1Jy轴的距离为
B(6,-7)在象限,到x轴的距离为^到丫轴的距离为
C(0,-6)在象限,到x轴的距离为^到丫轴的距离为
D(-3,5)在象限,到x轴的距离为^到丫轴的距离为
E(4,0)在象限,到x轴的距离为»到丫轴的距离为
五、课内小结:
1.直角坐标系上的点和有序实数对是对应的.
2.在直角坐标系中,根据坐标找出点;由点求出坐标的方法;
3.在四个象限内的点的坐标特征;____________________________________________________
4、x轴上点的纵坐标等于;y轴上点的横坐标等于.(+i>
5、第一、三象限角平分线上点:横坐标与纵坐标;
第二、四象限角平分线上点:横坐标与纵坐标.
六、作业:课本第41页习题第2题.(_m,jv>
八年级数学导学案,J-
平面直角坐标系(第二课时)
学习目标
1,进一步巩固画平面直角坐标系,在给定的直角坐标系中,会根据坐标轴描出点的位置,由点的位置
写出它的坐标。理解平面直角坐标系上的点与有序实数对是一一对应关系.
2、探索并掌握关于x轴y轴和原点对称的点的坐标的特征,能运用这些知识解决问题,培养学生探索
问题的能力.
学习重点:探索并掌握关于x轴y轴和原点对称的点的坐标的特征,能运用这些知识解决问题,
学习难点:能运用这些知识解决问题;根据己知条件,建立适当的坐标系。
学习方法:探究式小组合作学习
学习过程
一、知识回顾:
1、所有横标为0的点在上:所有纵标为0的点在_____上;所有横、纵坐标相等的点在一
上;所有横、纵坐标互为相反数的点在_____上;P(x,y)为第一象限内的点,则x0;y0;
P(x,y)为第二象限内的点,则x_____0;y0:P(x,y)为第三象限内的点,则x_____0;y_0;
P(x+1,x-5)为第四象限内的点,则的取值范围是x«
二、实践探究:
问题:1、在同一个直角坐标系中描出下列各点所在的位置
A(3,2)、B(3,一2)、C(-3,2)、D(-3,-2).
2、大家观察坐标系中可A,B,C,D各点位置有什么关系?这与各点坐标有什么关系?
①A与B点;点___与___—分别是关于_____________对称.
②A与C点;点___与___—分别是关于_____________对称.
③A与D点;点__与_—分别是关于_______对称.
①点P(a,b)关于x轴对称点的P,坐标为R(a,-b);两点横坐标相同,纵坐标互为相反数;
②点P(a,b)关于y轴对称点的B坐标为3_____;两点横坐标,纵坐标互为;
③点P(a,b)关于原点对称点的R坐标为R;两点横坐标,纵坐标互为
三.学以致用:
1、己知A(2,y,)、B(x”-3),根据下列条件,求出A、B点坐标.
(DA,B关于x轴对称:(2)A、B关于y轴对称;(3)A、B关于原点对称.
解:
2如图11,平行四边形ABCD中,A在坐标原点,D在第一象限角平分线
上,又知AB=6,AD=2^/2,求B、C、D点坐标.
3.已知:平面直角坐标系中AABC的AB边在Y轴上,且AB=5点A的坐标为A(0,3)点C的坐标为C(2,-1).
①画出符合条件的aABC,并写出B点的坐标。
②求4ABC的面积
三、课堂练习
1.(1)点户(5,-3)关于x轴对称点的坐标是;
(2)点尸(3,-5)关于y轴对称点的坐标是;
(3)点户(-2,—4)关于原点对称点的坐标是.
2.如果A(l—a,b+1)在第三象限,那么点B(a,2在()
(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限
3.若A(a—2,3)和2b+2)关于原点对称,求a、b的值。
4.已知:P(aF,牛)点在y轴上,求P点的坐标。
5.(1)在平面直角坐标系中的点与有序实数对之间成关系.
(2)如果点P(x,y)的坐标满足xy>0,那么点P在象限,如果满足xy=O,那么点P在
(3)如果点P(m-2,m-3)在第四象限,那么m的取值范围是.
(4)如果点P的坐标是(-2,3),则点P关于x轴的对称点的坐标是;点P关于y轴的对称点的
坐标是(2,3);点「关于原点的对称点的坐标是I1.
(5)若点(m,2)与(3,n)关于原点对称,则m+n的值是.
四、小结
1.要注意数形结合,
2.(1)关于x轴对称的两点O其横坐标相同,纵坐标互为相反数;
(2)关于y轴对称的两点O其横坐标互为相反数,纵坐标相同;
(3)关于原点对称的两点O其横、纵坐标都互为相反数.
五、作业
八年级数学导学案
函数的图象(一)
学习目标
1.会用描点法画简单函数的图象;会列表、描点、连线;通过动手,体会用描点法画函数的图象的步骤
2.理解解析法和图象法表示函数关系的相互转换.合实际问题,经历探索用图象表示函数的过程;
学习重点:认识函数图象的意义,会对简单的函数列表、描点、连线画出函数图象。
学习难点:灵活选择自变量的值,便于描点使画图简便.注意自变量的取值范围。
学习过程
一、情境再现
看课本36页“回顾”
气温曲线是用图象表示函数的一个实际例子.什么是函数的图像呢?
二、自学探究
自学课本例1,归纳描点法画函数图像的方法____________________________________________
小组讨论描点法画函数图像应注意的事项________________________________________________
三、学以致用
1、画出函数y=x+l的图象.
解:(1)列表:
(2)描点,
(3)连线.
2、画出函数丫二,,X2的图象.
四、检测反馈
在所给的直角坐标系中画出函数y=的图象(先填写下表,再描点、连线).
4
3
2
1
-4-3-2-101234x
-1
-2
五、交流反思
由函数解析式画函数图象,一般按下列步骤进行:
1.列表:列表给出自变量与函数的一些对应值;
2.描点:以表中对应值为坐标,在坐标平面内描出相应的点;
3.连线:按照自变量由小到大的顺序,把所描各点用光滑的曲线连结起来.
描出的点越多,图象越精确.有时不能把所有的点都描出,就用光滑的曲线连结画出的点,从而得到函
数的近似的图象.
六、作业p414题
八年级数学导学案
函数的图象(二)
学习目标:L会用描点法画实际问题的函数图象;
2.能从图形中分析变量的相互关系,寻找对应的现实情境,预测变化趋势等问题.培养应用数学的意识
3.通过观察实际问题的函数图象,感受解析法和图象法表示函数关系的相互转换这一数形结合的思想.
学习方法:小组合作交流
教学过程
情境再现
王教授和孙子小强经常一起进行早锻炼,主要活动
是爬山.有一天,小强让爷爷先上,然后追赶爷
爷.图中两条线段分别表示小强和爷爷离开山脚的
距离(米)与爬山所用时间(分)的关系(从小强
开始爬山时计时).
1、图中有一个直角坐标系,它的横轴(x轴)
和纵轴(y轴)各表示什么?
2、如图,线段上有一点尸,则尸的坐标是多
少?表示的实际意义是什么?
我们能否从图象中看出其它信息呢?
二.学习新课
1、看上面问题的图,回答下列问题:
(1)小强让爷爷先上多少米?____________________________________________________
(2)山顶离山脚的距离有多少米?谁先爬上山顶?
(3)小强何时赶上爷爷?这时
距山脚的距离是多少?
2、周末,小李8时骑自行车从
家里出发,到野外郊游,16时回到家里.他离开家后的距离S(千米)与时间t(时)的关系可以用图
中的曲线表示.根据这个图象回答下列问题:
(1)小李到达离家最远的地方是什么时间?
(2)小李何时第一次休息?
(3)10时到13时,小骑了多少千米?
(4)返回时,小李的平均车速是多少?
三、课堂练习
八世界总人口数(亿)
1.下图为世界总人口数的
变化图.根据该图回答:70-
(1)从1830年到1998年,
世界总人口数呈怎样的变
化趋势?
(2)在图中,显示哪一段时
间中世界总人口数变化最
快?
3.一枝蜡烛长20厘米,点燃后每小时燃烧掉5厘米,则下列3幅图象中能大致刻画出这枝蜡烛点燃后
剩下的长
度力(厘米)
与点燃时
间£之间的
函数关系
的是
().
3.己知等
腰三角形的周长为12cm,若底边长为ycm,―•腰长为xcm.
(1)写出y与x的函数关系式:(2)求自变量x的取值范围;(3)画出这个函数的图象.
四.检测反馈
如图表示某学校秋游活动时,学生乘坐旅游车所行走的路程与时间的关系
的示意图,请根据示意田回答下列问题:1.学生何时下车参观第一风景
区?参观时间有多长?
2.11:00时该车离开学校有多远?
3.学生何时返回学校,返回学校时车的平均速度是多少?
五.作业:教材P42第6题
八年级数学导学案
一次函数(第1课时)
学习目标
1、理解一次函数和正比例函数的概念,以及它们之间的关系。
2、能根据所给条件写出简单的一次函数表达式。
学习重点;一次函数、正比例函数的概念及关系。
学习难点:1会根据已知信息写出一次函数的表达式。2.理解一次函数与正比例函数的联系和区别.
学习过程
一.情境导学
某辆汽车油箱中原有汽油100升,汽车每行驶50千克耗油9升。
汽车行驶路程X/千米050100150200300
油箱剩余油量y/升
(2)写出y与x之间的关系式:_____________________________________________________
二、合作探究
看课本p43问题1、问题2
思考:问题1、问题2中所列的函数关系式具有怎样的共同特征?能用一个表达式表示这个共同特征吗?
概括:一次函数:_________________________________________________________________________
正比例函数:_____________________________________________________________________________
三、学以致用:
1、函数:①y=-2x+3;②x+y=0;③xy=l;④y=«+l;⑤尸,尤2+1;@y=-0.5x中,属一次函数的
2
有;属正比例函数的有(填写序号).
2、判断正误.
(1)一次函数是正比例函数;()(2)正比例函数是一次函数;()
(3)x+2y=5是一次函数;()(4)2y-x=0是正比例函数.()
3、已知函数y=(m4-l)x+(m*2-l),当m取什么值时,y是x的一次函数?当m取什么值时,y是x的正比例函
数?(独立尝试后,推选代表上黑板板演,然后在全班互评)
四、课堂练习
1、小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来.他已存有50元,从现在起每个月节存12元,试写出小张
的存款数与从现在开始的月份数之间的函数关系式.
2、某弹簧的自然长度为3厘米,在弹性限度内,所挂物体的质量x每增加1千克、弹簧长度y增加0.5
厘米。(D计算所挂物体的质量分别为1千克、2千克、3千克、4千克、5千克时弹簧的长度,并填入
下表:
x/千克012345
y/厘米
(2)写出y与x之间的关系式:_____________________________________________________
3、汽车以60千米/时的速度匀速行驶,行驶路程中y(千米)与行驶时间x(时)之间的关系式;
4、小明暑假第一次去北京.汽车驶上A地的高速公路后,小明观察里程碑,发现汽车的平均速度是95千
米/时.己知A地直达北京的高速公路全程570千米,小明想知道汽车从A地驶出后,距北京的路程和汽
车在高速公路上行驶的时间有什么关系,以便根据时
--------
间估计自己和北京的距离.-----------
A------HJ北京
—95tcs胃
以上四个函数,属一次函数的有;属正
比例函数的有(填写题号)
五、达标反馈
(1)设圆的面积为S,半径为R,那么下列说法正确的是()
A.S是R的一次函数B.S是R的正比例函数
C.S是N的正比例函数D.以上说法都不正
(2)当m=时,y=(m2T)x2+(mT)x+m是一次函数.
(3)写出一个满足条件:当自变量取2时,对应的函数值为-3的一次函数的解析式(只写一个)-
(4)我国是一个水资源缺乏的国家,大家要节约用水.据统计,拧不紧的水龙头每秒钟会滴下2滴水,每滴
水约0.05毫升.李丽同学在洗手时,没有把水龙头拧紧,当李丽同学离开x小时后水龙头滴了y毫升水.
则y与x之间的函数关系式是,该函数是函数.
(5)已知函数尸(A-2)x+2A+L若它是正比例函数,求力的值.若它是一次函数,求A的值.
六、学习小结
七、作业:
课本第52页习题第1-2题.
八年级数学导学案
一次函数的图象(一)
学习目标
1、理解函数图象的概念。经历一次函数的作图过程,初步了解作函数图象的一般步骤。
2、理解一次函数和正比例函数的图象是一条直线;
3体会用类比的思想研究一次函数,体验研究数学问题的常用方法:由特殊到一般,由简单到复杂.
4.经历一次函数的作图过程,探索某些一次函数图象的性质,培养数形结合的意识和能力。
学习重点:熟练地作出一次函数和正比例函数的图象,掌握力与6的取值对直线位置的影响.
学习难点:对一次函数y=kx+伙%,6为常数,4r0)中k,b的数与形的联系的理解
学习方法:”自主学习、小组合作、实践探究、启发引导、归纳概括”的引导探究法
学习过程
一、知识回顾:
1.作函数图象一般步骤是什么?___________________________________________________
2.在同个平面直角坐标系中画出下列函数的图象.
(l)y=1x(2)y=jx+2(3)y=3x(4)y=3x+2
二、探究发现:
思考:问题1:以上四个一次函数图象是什么形状呢?
问题2:一次函数y=kx+b(kW0)的图象都是一条直线吗?举例验证.
问题3:几个点可以确定一条直线?____________________________________________________
问题4:画一次函数图象时,只要取几个点?__________________________________________
讨论:问题5、问题6后,交流,发表意见,达成共识,然后填空:
问题5:观察“知识回顾2题”画出的四个函数的图象,比较下列各对一次函数的图象有什么共同点,
有什么不同点.能否从中发现一些规律?
(l)y=3x与y=3x+2(2)y=Jx与y=/x+2(3)y=3x+2与y=gx+2
问题6:对于直线丫=1«+15(1<、b是常数,k#0).常数k和b的取值对于直线的位置各有什么影响?
①两个一次函数,当k一样,b不一样时,有共同点;___________________________________________
不同点:________________________________________________________________________________
②当两个一次函数,b一样,k不一样时,有
共同点j__________________________________________________________________________________
不同点::
试一试:在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象.
(l)y=2x+2(2)y=2x-2(3)y=-2x-2
你画出的图象,是否与上面的讨论结果一样.
你取的是哪几个点?和同学比较一下,怎样取比较简便?对你有什么启发
三、学以致用:
+111、一一一
1、直线y=—耳*+3,y=——x—5分别是由直线y—经过怎样的移动得到的.
2,说出直线尸:3x+2与y=2;尸=5六1与y=5『4的相同之处.
四、小结
1.一次函数的图象是什么形状呢?________________________________________________
2.画一次函数图象时,只要取几个点?怎样取比较简便?
3.两个一次函数图象,当k一样,b不一样时,有什么共同点和不同点?当b一样,k不一样时,有什
么共同点和不同点?______________________________________________________________________
五、作业:P52页习题第3、4题。
2.一次函数的图象
第二课时一次函数的图象(二)
教学目标
知识目标
1.使学生熟练地作出一次函数的图象,会求一次函数与坐标轴的交点坐标:
并能解有关问题。
2.会作出实际问题中的一次函数的图象.
能力目标
1.通过画一次函数图象和实际问题中的一次函数图象,感受数学来源于生活又应用于生活:
2.探索一次函数图象的特点体会用“数形结合”思想解决数学问题.
教学重点与难点
教学重点
求一次函数与坐标轴的交点坐标:
教学难点
会根据实际问题中自变量取值作出实际问题中的一次函数的图象.
教学方法
“实践探究、启发引导、归纳概括”讲练结合
教学过程
一、复习引入:
1.一次函数的图象是什么,如何简便地画出一次函数的图象?
(一次函数尸行+。(立/0)的图象是一条直线,画一次函数图象时,取两点即可画出函数的图象).
2.正比例函数尸乂(4#0)的图象必经过哪一点的直线?
(正比例函数旷=履(胫0)的图象是经过原点(0,0)的一条直线).
3.平面直角坐标系中,x轴、y轴上的点的坐标有什么特征?
二、探究归纳
1,
问题1.在平面直角坐标系中,画出函数y=/X-1的图象.我们画一次函数时,所选取的两个点有
什么特征,通过观察图象,你发现这两个点在坐标系的什么地方?
引导分析:在画函数y='x—l的图象时,通过列表,可知我们选取的点是(0,-1)和(2,0),这
两点都在坐标轴上,其中点(0,T)在y轴上,点⑵0)在x轴上,我们把这两个点依次叫做直线与y轴
与x轴的交点.
2.求直线尸-2r3与x轴和尸轴的交点,并画出这条直线.
分析x轴上点的纵坐标是0,y轴上点的横坐标0.由此可求x轴上点的横坐标值和y轴上点的纵
坐标值.
解因为x轴上点的纵坐标是0,尸轴上点的横坐标0,所以当尸0时,x=-1.5,点(-1.5,0)就是
直线与x轴的交点;当x=0时,y=-3,点(0,-3)就是直线与y轴的交点.
过点(-1.5,0)和(0,-3)所作的直线就是直线y=-2尸3.
归纳:所以一次函数
(1)正比例函数y=kx(k为常数,k#0)的图象的画法:过原点与点(1,幻的直线即所求的图象;
(2)一次函数y=+为常数,%#0)图象的画法:在y轴上取点(0涉),在x轴上取点
(--,0),过这两点的直线即所求的图象;
k
三、实践应用
例1若直线与直线y=-*平行,且与y轴交点的纵坐标为-2;求直线的表达式.
分析直线y=-履+6与直线y=-x平行,可求出"的值,与y轴交点的纵坐标为-2,可求出。的值.
解因为直线尸-M+6与直线尸-x平行,所以"=T,又因为直线与y轴交点的纵坐标为-2,所
以b=-2,因此所求的直线的表达式为尸-尸2.
3
例2求函数y=]X-3与X轴、y轴的交点坐标,并求这条直线与两坐标轴围成的三角形的面
积.
分析求直线y=。》-3与“轴、y轴的交点坐标,根据X轴、y轴上点的纵坐标和横坐标分别
3
为0,可求出相应的横坐标和纵坐标;结合图象,易知直线y=,x-3与X轴、y轴围成的三角形是
的交点坐标是8(0,-3).
SXOAB=~ONxOB=—x2x3=3.
例3画出第一节课中问题(1)中小明距北京的路程s(千米)与在高速公路上行驶的时间t(时)
之间函数s=570-95t的图象.
分析这是一题与实际生活相关的函数应用题,函数关系式s=570-95t中,自变量t是小明在高速
公路上行驶的时间,所以0WtW6,画出的图象是直线的一部分.再者,本题中Z和s取值悬殊很大,故
横轴和纵轴所选取的单位长不一致.
475\
380P\
。I123456;(时)
教师巡视指导,及时纠正学生画图中可能出现的错误画法。
画出这个函数图象后,讨论以下几个问题:
1.这个函数是不是一次函数?
2.这个函数中自变量t的取值范围是什么?函数的图象是什么?
3.在实际问题中,一次函数的图象一定是直线吗?
例4旅客乘车按规定可以免费携带一定重量的行李.如果所带行李超过了规定的重量,就要按超
重的千克收取超重行李费.已知旅客所付行李费y(元)可以看成他们携带的行李质量x(千克)的一
1u
次函数为y=—x-5.画出这个函数的图象,并求旅客最多可以免费携带多少千克的行李?
6
分析求旅客最多可以免费携带多少千克的行李数,即行李费为o元时的行李数.为此只需求一次
函数与x轴的交点横坐标的值.即当尸0时,x=30.由此可知这个函数的自变量的取值范围是x》30.
1=
解函数y=-x-5(x>30)图象为:
当y=0时,x=30.
所以旅客最多可以免费携带30千克的行李.
例5今年入夏以来,全国大部分地区发生严重干旱.某市自来水公司为了鼓励市民节约用水,采
取分段收费标准,若某户居民每月应交水费y(元)是用水量x(吨)的函数,当0WxW5时,y=0.72x,
当x>5时,y=0.9『0.9.
(1)画出函数的图象:
(2)观察图象,利用函数解析式,回答自来水公司采取的收费标准.
分析画函数图象时,应就自变量0WA<5和x>5分别画出图象,当0W后5时,是正比例函数,
当x>5是一次函数,所以这个函数的图象是一条折线.
解(1)函数的图象是:
吨0.90元.
四、检测反馈
1.一次函数尸3x+6的图象与两坐标轴围成的三角形面积是24,求b.
2.某水果批发市场规定,批发苹果不小于100千克时,批发价为每千克2.5元.小王携带现金3000
元到这市场采购苹果,并以批发价买进.如果购买的苹果为x千克,小王付款后的剩余现金为y元,试
写出y与x之间的函数关系式并指出自变量的取值范围,画出这个函数的图象.
五、课内小结;
(1)正比例函数y=Ax(Z为'常数,%声0)的图象的画法:过原点与点(1,&)的直线即所求的图象;
(2)一次函数y+为常数,左工0)图象的画法:在y轴上取点(0/),在x轴上取点
(--,0),过这两点的直线即所求的图象;
k
2.在画实际问题中的一次函数图象时,要考虑自变量的取值范围,画出的图象往往不再是一条直线.
作业1.①求下列直线与x轴和y轴的交点,并在同一直角坐标系中画出它们的图象.
2°
(l)y=4x<-2;(2)V—---X+2.
3
22
②设尸4户2;>=一—X+2.两直线与y轴的交点为B;直线尸4卢2,y=一一X+2与x
33
轴分别交于A点和C点;求三角形ABC的面积?
2.已知函数y=2尸4.
(1)作出它的图象:
(2)标出图象与x轴、y轴的交点坐标;
(3)由图象观察,当-2WxW4时,函数值y的变化范围.
3.P47页习题18.3第6题
3.一次函数的性质
第一课时一次函数的性质(一)
教学目标
知识技能目标
1.掌握一次函数y=kx+b(k于0)的性质.
2.能利用一次函数的有关性质解决有关问题。
过程性目标
1.经历探索一次函数图象性质的过程,感受一次函数中才与。的值对函数性质的影响;培养学生合
作交流探究意识。
2.观察图象,体会一次函数大6的取值和直线位置的关系,提高学生数形结合能力.
教学重点与难点
教学重点:掌握一次函数尸行+。("片0)的性质.利用一次函数的有关性质解决有关问题。
教学难点
探索一次函数图象的性质。感受一次函数中4与6的值对函数性质的影响;
教学方法
实践探究、讲练结合
教学过程
一、创设情境,引入课题
1在同一直角坐标系中,画出正比例函数y=0.5x,y=-0.5x,
y=2x,y=-2x;y=x;y=-x;的图象。
二、新课教学
1.)观察图象、研究性质
提出问题1:观察图像探究正比例函数y="(Z为常数,/HO)中,k对函数图象有何影响?y随
x的变化的趋势?并填写实验报告(课前印好发给学生)。
填写实验报告如下:
实验报告:k对正比例函数)=h(攵为常数ZwO)的图象的影响。
k——2,—1,-0.5,0.5,1,2
图象示
解析式图象所在的象限y随x的变化趋势
意图
y-0.5x在刚才1,3象限y随x的增大而增大
k>0所画
y=x1,3象限y随x的增大而增大
y=0.5x
y=2xy=-0.5x1,3象限y随x的增大而增大
y=-2x直角坐标系2,4象限y随x的增大而减小
k<0中分别画出,
y=-x2,4象限y随x的增大而减小
图象如下所
y=-0.5xzj\o2,4象限y随x的增大而减小
引导学生观察正比例y=&(改为'常数/#0)的图象的变化并归纳出它的性质:
当%>0时,图象在1,3象限,y随x的增大而增大;
当左<0时,图象在2,4象限,y随x的增大而减小。
2.)类比联想、探索性质
2
问题1;观察,分析函数y=jx+1和尸3六2图象经过几个象限?有何变化规律?
生:讨论、交流,并举手逐个回答,不断补充完善.在自主探索的基础上合作交流.
2,
观察图象发现在直线y=-%+1和尸3『2上,当一个点在直线上从左向右移动时,(即自变量
x从小到大时),点的位置也在逐步从低到高变化(函数y的值也从小变到大).
即:函数值y随自变量x的增大而增大.
上述两条直线都经过一、三象限.又由于直线与y轴的交点坐标是(0,6)所以,当b>0时,直
线与x轴的交点在y轴的正半轴,也称在x轴的上方:
当方<0时,直线与x轴的交点在y轴的负半轴,也称在x轴的下方.所以当k>0,bW0时,直线
经过一、三、
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