2023-2024学年银川市高一数学下学期期中联考后提升卷（二）附答案解析

-2024学年银川市高一数学下学期期中联考后提升卷（二）2024.4注意事项：本试卷共19题，满分150分，考试时间为120分钟。答案写在答题卡上的指定位置。考试结束后，交回答题卡。第I卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知向量，则在上的投影向量的坐标为（

）A． B． C． D．2．已知，，是三个不同的平面，，是两条不同的直线，且，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．设O为的内心，，，，则（

）.A． B． C． D．4．已知，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．如图所示，梯形是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形ABCD中对角线AC的长度为（

）A． B． C． D．6．在中，已知向量与满足，且，则角().A． B. C. D.7．已知正方体中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，则平面AEF截正方体形成的截面图形为（

）A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形8．万丈悬梯高可攀，白塔座落嘉陵边．白塔作为阆中市的标志性建筑之一．当你登临顶层，会欣赏到阆中AAAAA风景的全貌．感觉人仿佛在凌空飞翔．现有一数学兴趣小组，如图，测量河对岸的白塔高，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测得米，在点C测得塔顶的仰角为，则测得的塔高为()米．A． B. C. D.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个符合题意的选项，每选对一个得3分；若只有3个符合题意的选项，每选对一个得2分。9．平行四边形ABCD中，，，．动点M满足，，，下列选项中正确的有（

）A．时，则的取值范围为B．时，的取值范围是C．时，存在M使得D．且最大时，在上的投影向量为10．欧拉公式（为虚数单位，）是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（

）A．的虚部为1 B．对应的点位于第二象限C． D．的共轭复数为11．如图是《易・系辞上》记载的“洛书”，其历来被认为是河洛文化的滥觞，是华夏文明的源头．洛书中9个数字的排列可抽象为两正方形，，其中为这两正方形的中心，，，，分别为，，，的中点，若正方形的边长为2，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．第II卷三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知复数，（其中为虚数单位，）.若是纯虚数，则.14．已知圆锥的内切球半径为1，底面半径为，则该圆锥的表面积为．注：在圆锥内部，且与底面和各母线均有且只有一个公共点的球，称为圆锥的内切球．14．已知的三边长分别为角是直角，则的取值范围是．四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。15．(本小题13分)设向量，，．(1)求；（4分）(2)若与平行，求的值；（4分）(3)求的余弦值．（5分）16．(本小题15分)已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，轴截面等腰三角形的顶角为，若的面积为．(1)求该圆锥的侧面积；(2)求该圆锥的内接圆柱侧面积的最大值；(3)求圆锥的内切球体积．17．(本小题15分)在中，内角所对的边分别为，已知．(1)求的值．（4分）(2)若是的平分线．求证：；（11分）18．(本小题17分)某景区为拓展旅游业务，拟建一个观景台P（如图所示），其中AB，AC为两条公路，，M，N为公路上的两个景点，测得，，为了获得最佳观景效果，要求P对的视角.现需要从观景台P到M，N建造两条观光路线PM，PN，且要求观光路线最长.若建造观光路线的宽为5米，每平方米造价为100元.(1)求M、N的距离；（4分）(2)设，用表示；（7分）(3)求该景区预算需要投入多少万元改造？（）（6分）19．(本小题17分)设有维向量，，称为向量和的内积，当，称向量和正交．设为全体由和1构成的元数组对应的向量的集合．(1)若，写出一个向量，使得．（2分）(2)令．若，证明：为偶数．（5分）(3)若，是从中选出向量的个数的最大值，且选出的向量均满足，猜测的值，并给出一个实例．（10分）答案解析1．D【分析】利用在上的投影向量的定义求解.【详解】因为，所以在上的投影向量的坐标为．2．B【分析】根据面面平行的判定定理和性质，结合充分条件和必要条件的定义即可得解.【详解】由，，若，由面面平行的性质知：，必要性成立；由，，若，则或相交，充分性不成立．相交情况如下：3．B【分析】取的中点，连，则为内切圆的半径，利用面积关系求出，得，再根据得，由平面向量基本定理求出可得答案.【详解】取的中点，连，因为，，所以，，所以的内心在线段上，为内切圆的半径，因为，所以，所以，得，所以，所以，又，所以，又已知，所以，所以.【点睛】关键点点睛：利用面积关系求出内切圆半径,进而得到是本题解题关键.4．B【分析】由建立的等量关系，求解，从而判断选项.【详解】因为，化简得，解得或，故“”是“”的必要不充分条件.5．C【分析】根据斜二测画法的规则确定原图形，利用勾股定理求得长度．【详解】由直观图知原几何图形是直角梯形ABCD，如图，由斜二测法则知，，所以,6．A【分析】依题意可得，设角的平分线交于，即可得到，从而得到为等腰直角三角形，即可得解.【详解】设角的平分线交于，因为，故，即，又表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量，设，（如图所示），，因为，故四边形为正方形，所以为角的平分线，故在上.因为，故，故.综上，为等腰直角三角形且，所以.

7．C【分析】如图，由题意，根据空间线面的位置关系、基本事实以及面面平行的性质定理可得，进而，结合相似三角形的性质即可求解．【详解】如图，设，分别延长交于点，此时，连接交于，连接，设平面与平面的交线为，则，因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，设，则，此时，故，连接，所以五边形为所求截面图形，

8．D【分析】求得可求得，进而由余弦定理可得，由，可求塔高.【详解】在中，由得所以米，在中，由余弦定理可得，所以，在，可得，所以米.9．BCD【分析】建立如图所示坐标系，利用向量的数量积和的取值范围得到A错误；由向量的线性运算可知B正确；由向量垂直的坐标表示得到C正确；由投影向量结合二次函数得到D正确.【详解】作于点，建立如图所示的坐标系，因为在平行四边形ABCD中，，，，所以，，所以，所以，对于A，，因为，解得，故A错误；对于B，当时，因为，所以，则，故点在上，所以的取值范围是，故B正确；对于C，当时，，，因为，所以，即，故C正确；对于D：当时，因为，，因为，所以当时，最大，最大值为，此时，又，则所以在上的投影向量为，故D正确；【点睛】方法点睛：平面向量的处理方法可用：①基底法：通过基底的建立与表示求解；②坐标法：通过平面直角坐标系，结合坐标公式求解；③平方法：通过平方关系的转化求解平面向量问题.10．ABD【分析】由，其虚部为1，可判断A；由，可判断B；由，可判断C；先求得，结合共轭复数的概念即可判断D.【详解】对于A，，其虚部为1，故A正确；对于B：由题意可得：为实数，故B正确；对于C，，则，故C错误；对于D，，故的共轭复数为，故D正确.11．BCD【分析】利用向量的几何运算及数量积逐一计算判断.【详解】对于A：，错误；对于B：，B正确；对于C：，C正确；对于D：，D正确.12．-4【分析】求出的代数形式，再根据实部为零，虚部不为零列式计算.【详解】,因为是纯虚数，所以，解得.13．【分析】借助过圆锥的轴以及内切球球心的截面图求出圆锥的母线长，即可求出圆锥表面积.【详解】由题过圆锥的轴以及内切球球心的截面图如下：

设圆锥高为，母线长为，则在三角形中有，即①，又由得，即②，所以由①②得，所以圆锥的表面积为.14．【分析】解法1：分，和三种情况讨论，结合基本不等式和对勾函数分析运算；解法2：根据直角三角形边化角结合三角恒等变换整理得，再结合正弦函数的有界性分析运算．【详解】解法1：∵由角是直角，故，原式，则有当时，则，令，则原式.∵，当且仅当，即时，等号成立，∴原式，故；当时，；当时，则，令，可得，则，在上单调递减，则在上单调递增，，即.综上，的取值范围是.解法2：由角是直角，得，，，可得，.，则，可得，.15．(1)(2)(3)【分析】（1）由向量线性运算的坐标表示以及模的运算公式即可求解；（2）由向量线性运算的坐标表示以及向量平行可列出等式求解；（3）由向量线性运算以及向量夹角的坐标公式即可运算求解.【详解】（1）因为，，所以（2分），所以.（2分）（2）因为，，（1分）所以，，（1分）因为与平行，所以（1分），所以.（1分）（3）因为，，，所以，，（2分）所以（2分）所以的余弦值为.（1分）(1)(3)【分析】（1）设圆锥母线长、底面半径分别为、，依题意可得，由平方关系求出，再由面积公式求出，即可得到及圆锥的侧面积；（2）作出轴截面，设圆柱底面半径，即可得到圆柱的高，从而表示出圆柱的侧面积，最后由基本不等式计算可得；（3）求出内切球的半径，再由球的体积公式计算可得.【详解】（1）设圆锥母线长、底面半径分别为、，由圆锥的轴截面为等腰三角形且顶角为，则，解得，（1分）又，所以，（1分）又因为的面积为，∴，解得（负值舍去），（1分）又，所以，（1分）∴圆锥的侧面积．（1分）（2）作出轴截面如下所示：设圆柱底面半径，即，由（1）可知，则，又圆锥的高，（1分）所以，即圆柱的高为，（1分）所以圆锥内接圆柱的侧面积，（2分）当且仅当，即时取等号，（1分）所以圆锥内接圆柱的侧面积的最大值为.（3）作出轴截面如图所示：根据圆锥的性质可知内切球球心在上，设球心为，切于点，设内切球半径为，即，则，所以，（2分）由（1）可知，圆锥的高，，则有，解得，（1分）∴圆锥的内切球的体积.（2分）（解题中作图1分，不做扣2分）17．(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简，即可得答案；（2）在和中，分别应用正余弦定理，得出线段之间的等量关系，结合角平分线以及分式的性质，即可证明结论；【详解】（1）因为，由正弦定理可得，（1分），（2分）且，则，所以.（1分）（2）在中，由正弦定理可得①，（1分）

由余弦定理可得②，.（1分）在中，由正弦定理可得③，（1分）由余弦定理可得④.（1分）因为是的平分线，则，所以.（1分）因为，所以，，（1分）①÷③，得⑤，所以，，（2分）②＋④，得（1分）所以，得证．（2分）18．(1)(2)(3)【分析】（1）直接利用余弦定理求解；（2）在中，利用正弦定理表示出，然后相加利用三角公式整理；（3）利用正弦函数的性质求最值即可.【详解】（1）在中，由余弦定理得，（2分）得；（2分）（2），，则，（1分）在中，由正弦定理得，（2分）所以，（2分）所以（1分）；（1分）（3）由（2）得，又，（1分）所以，，（2分）即，所以该景区预算需要.（2分）即该景区预算需要投入万元改造.（1分）19．(1)（答案不唯一）(2)证明见解析(3)，答案见解析.【分析】（1）根据定义写出满足条件的即可；（2