河南省周口市农场职业中学高三数学理上学期摸底试题含解析

河南省周口市农场职业中学高三数学理上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知实数x，y满足，则目标函数（

）A．，

B．，C．，z无最小值

D．，z无最小值参考答案：C画出约束条件表示的可行域，如图所示的开发区域，变形为，平移直线，由图知，到直线经过时，因为可行域是开发区域，所以无最小值，无最小值，故选C.

2.设点在不等式组表示的平面区域上，则的最小值为A．1

B．

C.2

D．参考答案：D3.已知m＞0，则“m=3”是“椭圆=1的焦距为4”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：A【分析】通过讨论焦点的位置，得到关于m的方程，求出对应的m的值，根据充分必要条件的定义判断即可．【详解】解：∵2c=4，∴c=2，若焦点在x轴上，则c2=m2-5=4，又m＞0，∴m=3，若焦点在y轴上，则c2=5-m2=4，m＞0，∴m=1，故“m=3”是“椭圆的焦距为4”的充分不必要条件，故选：A．【点睛】本题考查了充分必要条件，考查椭圆的定义，是一道基础题．4.已知集合,则等于

（）A． B． C． D．参考答案：B5.已知向量，，则在方向上的投影为（

）A.2

B.－2 C. D.参考答案：B向量，，∴，∴(?==-10，||==5；∴向量在向量方向上的投影为：||cos＜(，＞===﹣2．故选：B．

6.

)的图象的一部分图形如图所示，则函数的解析式为(

)

A．y=sin(x+)B．y=sin(x-)

C．y=sin(2x+)

D．y=sin(2x-)参考答案：C7.如图，正方形内得图形来自宝马汽车车标的里面部分，正方形内切圆中黑色部分和白色部分关于正方形对边中点连线成轴对称，在正方形内随机一点，则此点取自黑色部分的概率是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C8.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A．36π B．8π C．π D．π参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图得出该几何体是直三棱锥，且底面是等腰直角三角形，根据直三棱锥的外接球是对应直三棱柱的外接球，由外接球的结构特征，求出它的半径与表面积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面为等腰直角三角形，高为2的直三棱锥；如图所示；则该直三棱锥的外接球是对应直三棱柱的外接球，设几何体外接球的半径为R，∵底面是等腰直角三角形，∴底面外接圆的半径为1，∴R2=1+1=2，∴外接球的表面积是4πR2=8π．故选：B．9.设集合A＝{y|y＝x2}，B＝{y|x2＋y2＝2}，则A∩B＝

（A）{(1，1)，(－1，1)} （B）{－2，1}

（C）[0，] （D）[0，2]参考答案：C 略10.已知A、B两点分别在两条互相垂直的直线和上，且线段的中点为P，则线段AB的长为（

） A．11 B．10 C．9 D．8参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球体积为

．参考答案：如图所示，在长宽高分别为的长方体中，点分别为对应棱的中点，则三视图对应的几何体为三棱锥，将三棱锥补形为三棱柱，则三棱锥的外接球即三棱柱的外接球，取的中点，易知外接球的球心为的中点，据此可得外接球半径：，外接球的体积：.

12.在中，，与交于点，设=，=，则

(用,表示)参考答案：13.若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为____

_．参考答案：略14.若函数,且,则的值为

．参考答案：-1略15.若（R，i为虚数单位），则ab=

参考答案：略16.已知的导函数是,记，，则由导数的几何意义和斜率公式可得的大小关系是

参考答案：．记,则由于,表示直线的斜率;表示函数在点处的切线斜率;表示函数在点处的切线斜率． 所以．17.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知其周长为10，面积为，，则c的值为___.参考答案：【分析】由三角形面积公式可求得，由余弦定理和周长构造关于的方程，解方程求得结果.【详解】由三角形面积公式得：

由余弦定理得：又，即，可得：解得：本题正确结果：【点睛】本题考查余弦定理、三角形面积公式的应用，关键是能够通过余弦定理构造出关于所求边的方程，属于常考题型.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（14分）．设函数，，其中|t|≤1，将f(x)的最小值记为g(t)．

(1)求g(t)的表达式；(2)对于区间[－1，1]中的某个t，是否存在实数a，使得不等式g(t)≤成立？如果存在，求出这样的a及其对应的t；如果不存在，请说明理由．参考答案：解：(1)

．由(sinx－t)2≥0，|t|≤1，故当sinx＝t时，f(x)有最小值g(t)，即g(t)＝4t3－3t＋3．

(2)我们有．列表如下：t(－1，－)－(－，)(，1)g'(t)＋0－0＋G(t)↗极大值g(－)↘极小值g()↗由此可见，g(t)在区间(－1，－)和(，1)单调增加，在区间(－，)单调减小，极小值为g()＝2，又g(－1)＝－4－(－3)＋3＝2故g(t)在[－1，1]上的最小值为2注意到：对任意的实数a，＝∈[－2，2]当且仅当a＝1时，＝2，对应的t＝－1或，故当t＝－1或时，这样的a存在，且a＝1，使得g(t)≥成立.而当t∈(－1，1]且t≠时，这样的a不存在.19.（文）设函数，其中；（1）若的最小正周期为，求的单调增区间；（7分）（2）若函数的图象的一条对称轴为，求的值．（7分）参考答案：文）（1）

1分

3分

5分令得，

所以，的单调增区间为：

8分（2）的一条对称轴方程为

10分

12分又，

14分若学生直接这样做：的一条对称轴方程为

则得分为

11分略20.如图，正方形ABCD中，以D为圆心、DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F，连接CF并延长交AB于点E．（Ⅰ）求证：AE=EB；（Ⅱ）若EF?FC=，求正方形ABCD的面积．参考答案：【考点】相似三角形的性质；直角三角形的射影定理．【专题】证明题；选作题；转化思想；综合法；推理和证明．【分析】（Ⅰ）推导出EA为圆D的切线，且EB是圆O的切线，由此利用切割线定理能证明AE=EB．（Ⅱ）设正方形的边长为a，连结BF，由射影定理能求出正方形ABCD的面积．【解答】证明：（Ⅰ）∵以D为圆心、DA为半径的圆弧与以BC为直径半圆交于点F，且四边形ABCD为正方形，∴EA为圆D的切线，且EB是圆O的切线，由切割线定理得EA2=EF?EC，故AE=EB．（Ⅱ）设正方形的边长为a，连结BF，∵BC为圆O的直径，∴BF⊥EC，在Rt△BCE中，由射影定理得EF?FC=BF2=，∴BF==，解得a=2，∴正方形ABCD的面积为4．【点评】本题考查两线段相等的证明，考查正方形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．21.如图，椭圆的离心率为，轴被曲线截得的线段长等于的长半轴长.（1）求，的方程；（2）设与轴的交点为M，过坐标原点O的直线与相交于点A,B,直线MA,MB分别与相交与D,E.（i）证明：；(ii)记△MAB,△MDE的面积分别是.问：是否存在直线,使得=?请说明理由．参考答案：解：（1）由题意知，从而，又，解得。故，的方程分别为-------------------------4分（2）（i）由题意知，直线的斜率存在，设为，则直线的方程为.由得，设，则是上述方程的两个实根，于是-------------------------5分又点的坐标为，所以-------------------------7分故，得证（ii）设直线的斜率为，则直线的方程为，由解得或，则点A的坐标为又直线的斜率为，同理可得点B的坐标为.于是----------------------8分由得，解得或，则点的坐标为；又直线的斜率为，同理可得点的坐标于是----------------------10分因此---------------------12分由题意知，解得或。----------------------12分又由点的坐标可知，，所以故满足条件的直线存在，且有两条，其方程分别为和。-------------13分略22.（12分）如图，在多面体ABCDE中，DB⊥平面ABC，AE⊥平面ABC，且△ABC是的边长为4的等边三角形，AE=2，CD与平面ABDE所成角的余弦值为，F是线段CD上一点．（Ⅰ）若F是线段CD的中点，证明：平面CDE⊥面DBC；（Ⅱ）求二面角B﹣EC﹣D的平面角的正弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）取AB中点O，连结OC，OD，取ED的中点为M，以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OM为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面CDE⊥平面DBC．（Ⅱ）求出平面DEC的一个法向量和平面BCE的一个法向量，利用向量法能求出二面角B﹣EC﹣D的平面角的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）取AB中点O，连结OC，OD，∵DB⊥平面ABC，DB?平面ABDE，∴平面ABDE⊥平面ABC，∵△ABC是等边三角形，∴OC⊥AB，又OC?平面ABC，平面ABDE∩平面ABC=AB，∴OC⊥平面ABD，∴OD是CD在平面ABDE上的射影，∠CDO是CD与平面ABDE所成角，∵CD与平面ABDE所成角的余弦值为，∴CD与平面ABDE所成角的正弦值为，∴sin，∵OC=2，∴CD=4，BD=4，取ED的中点为M，以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OM为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，﹣2，0），B（0，2，0），C（2，0，0），D（0，2，4），E（0，﹣2，2），F（，1，2），∴=（），=（2，﹣2，0），=（0，0，4），∴，，∴EF⊥BC，EF⊥BD，∵DB，BC?平面DBC，且DB∩BC=B，∴∴EF⊥平面DBC，又E