高三数学二轮复习 第一部分 基础送分题 题型专题（三）平面向量用书 理-人教高三数学试题

题型专题(三)平面向量(1)在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化．(2)在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量的终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．[题组练透]1．(2016·河北三市联考)已知e1，e2是不共线向量，a＝me1＋2e2，b＝ne1－e2，且mn≠0，若a∥b，则eq\f(m,n)等于()A．－eq\f(1,2)B.eq\f(1,2)C．－2D．2解析：选C∵a∥b，∴a＝λb，即me1＋2e2＝λ(ne1－e2)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λn＝m，,－λ＝2，))解得eq\f(m,n)＝－2.2．(2016·唐山模拟)在等腰梯形ABCD中，M为BC的中点，则＝()3．(2016·广州综合测试)在梯形ABCD中，AD∥BC，已知AD＝4，BC＝6，若(m，n∈R)，则eq\f(m,n)＝()A．－3B．－eq\f(1,3)C.eq\f(1,3)D．3解析：选A过点A作AE∥CD，交BC于点E，则BE＝2，CE＝4，∴eq\f(m,n)＝eq\f(1,－\f(1,3))＝－3.4．(2016·杭州综合测试)设P是△ABC所在平面内的一点，且则△PAB与△PBC的面积的比值是()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,4)解析：选B∵∴＝eq\f(2,1)，又△PAB在边PA上的高与△PBC在边PC上的高相等，∴eq\f(S△PAB,S△PBC)＝＝eq\f(1,2).[技法融会]1．平面向量线性运算的2种技巧(1)对于平面向量的线性运算问题，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，灵活运用三角形法则、平行四边形法则，紧密结合图形的几何性质进行运算．(2)在证明两向量平行时，若已知两向量的坐标形式，常利用坐标运算来判断；若两向量不是以坐标形式呈现的，常利用共线向量定理(当b≠0时，a∥b⇔存在唯一实数λ，使得a＝λb)来判断．2．(易错提醒)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.(1)两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两个向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值确定．(2)求非零向量a，b的夹角，一般利用公式cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)先求出夹角的余弦值，然后求夹角．(3)向量a在向量b方向上的投影为eq\f(a·b,|b|)＝|a|cosθ(θ为两向量的夹角)．[题组练透]1．(2016·全国丙卷)已知向量＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，则∠ABC＝()A．30°B．45°C．60°D．120°解析：选A因为＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，所以·＝eq\f(\r(3),4)＋eq\f(\r(3),4)＝eq\f(\r(3),2).又因为·＝||||cos∠ABC＝1×1×cos∠ABC＝eq\f(\r(3),2)，所以cos∠ABC＝eq\f(\r(3),2).又0°≤∠ABC≤180°，所以∠ABC＝30°.2．(2016·合肥质检)已知不共线的两个向量a，b满足|a－b|＝2且a⊥(a－2b)，则|b|＝()A.eq\r(2)B．2C．2eq\r(2)D．4解析：选B由a⊥(a－2b)得，a·(a－2b)＝|a|2－2a·b＝0，则|a－b|＝eq\r(（a－b）2)＝eq\r(|a|2－2a·b＋|b|2)＝|b|＝2，选项B正确．3．(2016·重庆二测)设单位向量e1，e2的夹角为eq\f(2π,3)，a＝e1＋2e2，b＝2e1－3e2，则b在a方向上的投影为()A．－eq\f(3\r(3),2)B．－eq\r(3)C.eq\r(3)D.eq\f(3\r(3),2)解析：选A依题意得e1·e2＝1×1×coseq\f(2π,3)＝－eq\f(1,2)，|a|＝eq\r(（e1＋2e2）2)＝eq\r(eeq\o\al(2,1)＋4eeq\o\al(2,2)＋4e1·e2)＝eq\r(3)，a·b＝(e1＋2e2)·(2e1－3e2)＝2eeq\o\al(2,1)－6eeq\o\al(2,2)＋e1·e2＝－eq\f(9,2)，因此b在a方向上的投影为eq\f(a·b,|a|)＝eq\f(－\f(9,2),\r(3))＝－eq\f(3\r(3),2)，选A.4．(2016·天津高考)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为()A．－eq\f(5,8)B.eq\f(1,8)C.eq\f(1,4)D.eq\f(11,8)5．(2016·长春质检)已知向量a＝(1，eq\r(3))，b＝(0，t2＋1)，则当t∈[－eq\r(3)，2]时，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－t\f(b,|b|)))的取值范围是________．解析：由题意，eq\f(b,|b|)＝(0，1)，根据向量的差的几何意义，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－t\f(b,|b|)))表示同起点的向量teq\f(b,|b|)的终点到a的终点的距离，当t＝eq\r(3)时，该距离取得最小值1，当t＝－eq\r(3)时，该距离取得最大值eq\r(13)，即eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－t\f(b,|b|)))的取值范围是[1，eq\r(13)]．答案：[1，eq\r(13)][技法融会]1．平面向量数量积运算的2种形式(1)依据模和夹角计算，要注意确定这两个向量的夹角，如夹角不易求或者不可求，可通过选择求夹角和模的基底进行转化；(2)利用坐标来计算，向量的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式，从而应用方程思想解决问题，化形为数，使向量问题数量化．2．(易错提醒)两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不仅要求其数量积小于零，还要求不能反向共线．一、平面向量与其他知识的交汇平面向量具有代数形式与几何形式的“双重身份”，常与三角函数、解三角形、平面解析几何、函数、不等式等知识交汇命题，平面向量的“位置”为：一是作为解决问题的工具，二是通过运算作为命题条件．[新题速递]1．已知向量a，b满足|a|＝2|b|≠0，且关于x的函数f(x)＝－2x3＋3|a|x2＋6a·bx＋5在R上单调递减，则向量a，bA.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π))解析：选D设向量a，b的夹角为θ，因为f(x)＝－2x3＋3|a|x2＋6a·bx＋5，所以f′(x)＝－6x2＋6|a|x＋6a·b，又函数f(x)在R上单调递减，所以f′(x)≤0在R上恒成立，所以Δ＝36|a|2－4×(－6)×(6a·b)≤0，解得a·b≤－eq\f(1,4)|a|2，因为a·b＝|a|·|b|cosθ，且|a|＝2|b|≠0，所以|a||b|cosθ＝eq\f(1,2)|a|2·cosθ≤－eq\f(1,4)|a|2，解得cosθ≤－eq\f(1,2)，因为θ∈[0，π]，所以向量a，b的夹角θ的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π))，故选D.2．(2016·广东茂名二模)已知向量a＝(3，－2)，b＝(x，y－1)，且a∥b，若x，y均为正数，则eq\f(3,x)＋eq\f(2,y)的最小值是()A．24B．8C.eq\f(8,3)D.eq\f(5,3)解析：选B∵a∥b，∴－2x－3(y－1)＝0，即2x＋3y＝3，∴eq\f(3,x)＋eq\f(2,y)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,x)＋\f(2,y)))×eq\f(1,3)(2x＋3y)＝eq\f(1,3)(6＋eq\f(9y,x)＋eq\f(4x,y)＋6)≥eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(12＋2\r(\f(9y,x)·\f(4x,y))))＝8，当且仅当2x＝3y＝eq\f(3,2)时，等号成立．∴eq\f(3,x)＋eq\f(2,y)的最小值是8.故选B.[技法融会]这两题考查的是平面向量与函数、不等式的交汇．第1题由函数的性质把问题转化为平面向量问题，求解时应注意两向量的夹角θ∈[0，π]．而第2题是利用平面向量的知识得到关于x和y的一个等式，再利用基本不等式求解．二、新定义下平面向量的创新问题近年，高考以新定义的形式考查向量的概念、线性运算、数量积运算的频率较大，其形式体现了“新”．解决此类问题，首先需要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，通过转化思想解决，这是破解新定义信息题的关键所在．[新题速递]1．已知向量a与b的夹角为θ，定义a×b为a与b的“向量积”，且a×b是一个向量，它的长度|a×b|＝|a||b|sinθ，若u＝(2，0)，u－v＝(1，－eq\r(3))，则|u×(u＋v)|等于()A．4eq\r(3)B.eq\r(3)C．6D．2eq\r(3)解析：选D由题意v＝u－(u－v)＝(1，eq\r(3))，则u＋v＝(3，eq\r(3))，cos〈u，u＋v〉＝eq\f(\r(3),2)，得sin〈u，u＋v〉＝eq\f(1,2)，由定义知|u×(u＋v)|＝|u|·|u＋v|sin〈u，u＋v〉＝2×2eq\r(3)×eq\f(1,2)＝2eq\r(3).故选D.2．定义平面向量的一种运算a⊙b＝|a＋b|×|a－b|×sin〈a，b〉，其中〈a，b〉是a与b的夹角，给出下列命题：①若〈a，b〉＝90°，则a⊙b＝a2＋b2；②若|a|＝|b|，则(a＋b)⊙(a－b)＝4a·b；③若|a|＝|b|，则a⊙b≤2|a|2；④若a＝(1，2)，b＝(－2，2)，则(a＋b)⊙b＝eq\r(10).其中真命题的序号是________．解析：①中，因为〈a，b〉＝90°，则a⊙b＝|a＋b|×|a－b|＝a2＋b2，所以①成立；②中，因为|a|＝|b|，所以〈(a＋b)，(a－b)〉＝90°，所以(a＋b)⊙(a－b)＝|2a|×|2b|＝4|a||b|，所以②不成立；③中，因为|a|＝|b|，所以a⊙b＝|a＋b|×|a－b|×sin〈a，b〉≤|a＋b|×|a－b|≤eq\f(|a＋b|2＋|a－b|2,2)＝2|a|2，所以③成立；④中，因为a＝(1，2)，b＝(－2，2)，所以a＋b＝(－1，4)，sin〈(a＋b)，b〉＝eq\f(3\r(34),34)，所以(a＋b)⊙b＝3eq\r(5)×eq\r(5)×eq\f(3\r(34),34)＝eq\f(45\r(34),34)，所以④不成立．答案：①③[技法融会]此类题目是新定义下平面向量的运算，破题的关键是把此定义运算转化为我们所学的平面向量数量积运算，学会转化，是解决此类问题的切入口．一、选择题1．设a＝(1，2)，b＝(1，1)，c＝a＋kb.若b⊥c，则实数k的值等于()A．－eq\f(3,2)B．－eq\f(5,3)C.eq\f(5,3)D.eq\f(3,2)解析：选A因为c＝a＋kb＝(1＋k，2＋k)，又b⊥c，所以1×(1＋k)＋1×(2＋k)＝0，解得k＝－eq\f(3,2).2．(2016·山西四校联考)已知|a|＝1，|b|＝eq\r(2)，且a⊥(a－b)，则向量a与向量b的夹角为()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3)D.eq\f(2π,3)解析：选B∵a⊥(a－b)，∴a·(a－b)＝a2－a·b＝1－eq\r(2)cos〈a，b〉＝0，∴cos〈a，b〉＝eq\f(\r(2),2)，∴〈a，b〉＝eq\f(π,4).3．已知A，B，C三点不共线，且点O满足则下列结论正确的是()4．(2016·贵州模拟)若单位向量e1，e2的夹角为eq\f(π,3)，向量a＝e1＋λe2(λ∈R)，且|a|＝eq\f(\r(3),2)，则λ＝()A．－eq\f(1,2)B.eq\f(\r(3),2)－1C.eq\f(1,2)D.eq\f(\r(3),2)解析：选A由题意可得e1·e2＝eq\f(1,2)，|a|2＝(e1＋λe2)2＝1＋2λ×eq\f(1,2)＋λ2＝eq\f(3,4)，化简得λ2＋λ＋eq\f(1,4)＝0，解得λ＝－eq\f(1,2)，选项A正确．5．(2016·湖南六校联考)设向量a＝(cosα，－1)，b＝(2，sinα)，若a⊥b，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝()A．－eq\f(1,3)B.eq\f(1,3)C．－1D．0解析：选B由已知可得，a·b＝2cosα－sinα＝0，∴tanα＝2，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\f(tanα－1,1＋tanα)＝eq\f(1,3)，故选B.6．已知向量a，b，c中任意两个向量都不共线，但a＋b与c共线，b＋c与a共线，则a＋b＋c＝()A．aB．bC．cD．0解析：选D∵a＋b与c共线，b＋c与a共线，∴可设a＋b＝λc，b＋c＝μa，两式作差整理后得到(1＋λ)c＝(1＋μ)a，∵向量a，c不共线，∴1＋λ＝0，1＋μ＝0，即λ＝－1，μ＝－1，∴a＋b＝－c，即a＋b＋c＝0.故选D.7．(2016·山西质检)已知a，b是单位向量，且a·b＝－eq\f(1,2).若平面向量p满足p·a＝p·b＝eq\f(1,2)，则|p|＝()A.eq\f(1,2)B．1C.eq\r(2)D．2解析：选B由题意，不妨设a＝(1，0)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，p＝(x，y)，∵p·a＝p·b＝eq\f(1,2)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)，,－\f(1,2)x＋\f(\r(3),2)y＝\f(1,2)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)，,y＝\f(\r(3),2)，))∴|p|＝eq\r(x2＋y2)＝1，故选B.8．(2016·石家庄一模)A，B，C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于点D，若(λ∈R，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是()A．(0，1)B．(1，＋∞)C．(1，eq\r(2)]D．(－1，0)解析：选B由题意可得(0<k<1)，又A，D，B三点共线，所以kλ＋kμ＝1，则λ＋μ＝eq\f(1,k)>1，即λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)，选项B正确．9．(2016·江西赣南五校联考)△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若则向量方向上的投影为()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(3),2)C．－eq\f(1,2)D．－eq\f(\r(3),2)解析：选A由可知O是BC的中点，即BC为△ABC外接圆的直径，所以由题意知＝1，故△OAB为等边三角形，所以∠ABC＝60°.所以向量方向上的投影为||cos∠ABC＝1×cos60°＝eq\f(1,2).故选A.10．已知△ABC中，D为边BC的中点，则||等于()A．6B．5C．4D．311．在平面直角坐标系中，点A与B关于y轴对称．若向量a＝(1，k)，则满足不等式的点A(x，y)的集合为()A．{(x，y)|(x＋1)2＋y2≤1}B．{(x，y)|x2＋y2≤k2}C．{(x，y)|(x－1)2＋y2≤1}D．{(x，y)|(x＋1)2＋y2≤k2}解析：选C由A(x，y)可得B(－x，y)，则＝(－2x，0)，不等式可化为x2＋y2－2x≤0，即(x－1)2＋y2≤1，故选C.12．(2016·广州五校联考)已知Rt△AOB的面积为1