三角函数的图象与性质课件

7.3.2三角函数的图象与性质

第1课时正弦函数、余弦函数的图象与性质

必练基础

题组一正、余弦(型)函数的图象及简单应用

1.用“五点法”作函数片2cos尸1在［0,2n］上的图象时，应取的五点为()

A.(0,1),(3,0),(2n,1)

B.(2n,1)

C.(0,1),(n,-3),(2n,1),(3n,-3),(4n,1)

D.(0,1),隽,每1),管,0)U)，(&2)

2.函数片-sinx,xw［/，引的简图是()

3.(多选)下列x的取值范围能使cosx>sinx成立的是()

2)B."

C(；,2n)D-(7>T)U(n>V)

4.(2021黑龙江双鸭山一中高一上第二次月考)方程10sin产x的根的个数是

A.5B.6C.7D.8

5.(2021江苏常州第二中学高一月考)在［0,2n］内，使sinxN-微成立的x的取值

范围是

6.（2021江苏徐州沛县中学高一月考）用“五点法”作出函数*3+2cosx在

[0,2TT]内的图象.

题组二正、余弦（型）函数的奇偶性

7.设函数f（x）=sin（2£＞；）,xWR,贝|»x）是（）

A.最小正周期为n的奇函数

B.最小正周期为n的偶函数

C.最小正周期为万的奇函数

D.最小正周期为了的偶函数

8.（2021福建莆田高一期末）设函数尸（乂口白与心于°），尸（一2021）=2,则f（2021）=

（）

A.2B.-2C.2019D.-2019

9.函数%sin（；£7■乃（0W0Wn）是R上的偶函数，则。的值是（）

A.0B.-C.-D.n

42

10.（2021江苏淮安淮阴中学高一期中）若函数*cos（”。）为奇函数，则最小的正

数0=.

题组三正、余弦（型）函数图象的对称性

11.（2021江苏盐城响水中学高一月考）函数*cos（2/：）图象的一条对称轴方程

是（）

A.产-三B.口=一=C.。=一；D.产n

248

12.函数片35吊（2。十）-1图象的一条对称轴方程是（）

A.产卷B.£7=yD.£7=y

1zoC.£7=Voz

13.（2020黑龙江牡丹江一中高一上期末）下列函数中，最小正周期为n,且图象关

于点（羽，°）对称的是（）

A.尸（x）=sin（f+十）B.尸（x）=sin（2£7+?）

C.f（x）=cos^2£7-y^D.Hx）=sin（2£7~e）

14.已知函数Hx）=2sin（3”。），且对于任意x都有尸仔+£7）=口

则

题组四正、余弦（型）函数的单调性及简单应用

15.函数y=2sin（£7£7+（3>0）的最小正周期为n,则其单调递增区间为（

A.[£7n-^,£7n+引（2）

B.120n-亨,2On+?]（MZ）

C.[£7n-^,£7n+高（2）

D.[2£7n-^,2£7n+y]（AFZ）

16.下列关系式中正确的是（）

A.sin110<cos100<sin168

B.sin168°<sin11°<cos10

C.sin110<sin168°<cos10

D.sin1680<cos100<sin11°

17.(2021广东汕头金山中学高一期末)函数片cosg-2x)的单调递减区间

为.

18.函数片cosx在区间[-ri,a]上为增函数，则实数a的取值范围

是.

19.已知函数尸(x)=sin(；£7+0(0<□</),且尸(x)的图象的一条对称轴是直

线产;.

⑴求0的值；

(2)求函数*x)的单调递增区间.

题组五正、余弦(型)函数的值域与最值

20.j/=sinA^|sinx|的值域是()

A.E-1,0]B.[0,1]C.[-1,1]D.[-2,0]

21.当〈三时，函数Hx)=2sin(O+?)有()

A.最大值1,最小值7B.最大值1,最小值-g

C.最大值2,最小值-2D.最大值2,最小值-1

22.已知函数Hx)=a-Aos(2£7+g(6>0)的最大值为|,最小值为

（1）求a,6的值；

⑵求函数g（x）=-4asin（£7O~9的最小值,并求出取最小值时x的集合.

选练素养

题组一正、余弦（型）函数的图象及应用

1.（）方程sinnA=-X的解的个数是（

4

2.（）若函数尸（x）=2cosx（0WxW2n）的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形,

则该平面图形的面积为.

题组二正、余弦（型）函数的奇偶性、对称性

3.（2020辽宁辽阳高一下期末,）下列函数中，最小正周期为n的奇函数是（）

B.y=sin(2A+3n)

C.*cos(n+2x)D.闫cos

4.（多选）（2020山东济南高一质检,）若函数分（*）=45m（2。+£）（*金对，则下列命

题正确的是（）

B.jz=Hx）是以2rl为最小正周期的周期函数

C.函数尸f(。~千)是奇函数

D.*+劫的图象关于jz轴对称

5.0已知函数Hx)=sin(3”加(□>0,Q<□</),若直线产(是,(*)图象

的一条对称轴，点(?，0)是尸(x)图象的一个对称中心，则()

A.3=44+1(AWN)B.3=44+3(4WN)

C.3=24+1(YN)D.3=2〃(〃WN)

题组三正、余弦(型)函数的单调性与最值

6.(2021北京丰台高一期末,)函数尸(x)=2sin(x?)在区间E，上的最大值为

()

A.-2B.1C.V3D.2

7.(多选)(2021江苏南通高一期末,)已知函数尸(x)=cos/募一,则()

A.f(x)的图象关于v轴对称

B.尸(x)的最大值为3

C.2n是f(x)的一个周期

D"(x)在(0,三)上的最小值为2V2

8.(2021河北石家庄辛集中学高一期末,)已知3>0,函数尸(%)=5汨(。。+?)在

(三，n)上单调递减，则3的取值范围是()

A.(0,；]B.(0,2]叫皆D.[遥]

9.(2020天津一中高一上期末,)已知函数Hx)=sin(2/0),其中0<0<2n,若对

任意xWR"(x)司。(利恒成立，且f偿)>Hn),贝IHx)的单调递增区间是

()

A.[£7n-y,£7n+y](A-eZ)

B.[£7n,£7n+y]（Aez）

C.[On+2,□n+等]（kUZ）

LooJ

D.[£7n-y,£7n]（AeZ）

10.（2021江苏泰州中学高一•期中，）已知f（x）=-siH2A+Sinx^a.

（1）当Hx）二。有实数解时，求实数石的取值范围；

⑵若对任意xWR,恒有1WHx）求实数a的取值范围.

题组四正、余弦（型）函数性质的综合运用

11.（2021北京朝阳高一期末,）设函数尸（x）=4卜in*],若存在实数为，xz,…，（，满

足当x<X2<…〈X〃时，||+|大（X2）-大（X3）|+…+||=2021,则正

整数〃的最小值为（）

A.505B.506C.507D.508

12.（多选）（2020河北石家庄二中高一上期末,）已知定义在区间[-n,n]上的函数

尸（X）=COSxx1则下列条件中能使尸（乂）〈尸（X2）恒成立的有（）

A.-nW*〈至WOB.0Wx<X2《n

C.|x|>|x21D.笈三N

13.（多选）（）对于函数f{x）-ax+bsinx+c{a,bGR,cGZ,xWR）,选取a,6,c的一

组值分别去计算五(-1)和尸(1)的值，所得出的正确结果可能是()

A.2和6B.3和9

C.4和11D.5和13

14.(2020湖南岳阳湘阴知源学校高三月考,)设函数

(2cosg£7,[-6,6],

尸(x)=412若关于x的方程[尸(x)F+a尸(x)+1=0(aWR)

(后,口^(-8,一6)U(6,+8),

有且仅有12个不同的实根,则实数a的取值范围是.

15.(2021江苏南通如东马塘中学高一月考,)已知定义在区间卜n,半]上的函数

y=Y(x)的图象关于直线产亍对称，当时，f(x)=-sinx.

(1)作出尸尸(x)的图象；

⑵求尸尸(x)的解析式；

⑶若关于x的方程〃x)=-5有解,记方程所有解的和为“结合⑴中的图象，求"

的值.

16.()已知函数尸(x)=&cosxWR.

(1)求函数Hx)的最小正周期和单调递增区间；

⑵当XG[-^,3时，方程尸(x)=a恰有两个不同的实数根,求实数a的取值范围.

17.（）已知ax）=-2asin（2O+e）+2a+6,］亍,：」，是否存在有理数a,6,使得

Hx）的值域为{v|-3Wj/We7}?若存在，求出a,6的值;若不存在，请说明理由.

第2课时正切函数的图象与性质

必练基础

题组一正切（型）函数的图象及其应用

1.函数%在一个周期内的图象可能是（）

ARCD

2.（2021江苏兴化楚水实验中学高一期中）函数Hx）=xtanx（TWx《1）的图象可

能是（）

ABCD

3.根据正切函数的图象，使不等式3+V^tan2x20成立的x的取值集合

为.

4.（2021江苏仪征第二中学高一月考）画出尸（x）=tan|x|的图象，并根据图象判断

其单调区间、周期性、奇偶性.

题组二正切（型）函数的定义域、值域

A.口牛守弓,nezjB.[D\口丰胃nez)

c.{an^^+y,nez]D.{OIOH胃+/℃}

6.(2021江苏海安高级中学高一期中)函数片tan{\＜。＜/)的值域是()

A.(-1,1)B.(-1,y)C.(-1,V3)D.H,V3]

7.已知[0,2IT],则函数支7tan□+，-cos£7的定义域为()

A-[0＞7)B.(三,n]。[”片)。.段,2n]

8.已知函数j/=-tan2A+4tanA+1,xR[-亍，：],则其值域为

题组三正切(型)函数的奇偶性、对称性、周期性

9.函数尸tan日是()

A.最小正周期为4n的奇函数

B.最小正周期为2n的奇函数

C.最小正周期为4n的偶函数

D.最小正周期为2n的偶函数

10.(2021甘肃金昌永昌第一高级中学高一期末)函数片2tan(；。十)图象的对称

中心的坐标是()

A.(2£7n+y,0)(AGZ)B.(2£7n+千,0)(kGZ)

C.(£7n+y,0)(/ceZ)D.(On+1,0)(〃WZ)

11.已知函数f(x)=3tanQ£7-y^.

(1)求尸(x)的定义域、值域；

(2)探究尸(x)的周期性、奇偶性、单调性及其图象的对称性.

题组四正切(型)函数的单调性及简单应用

12.（2021江苏连云港海州高级中学高一月考）F（x）=-tar（/二）的单调递减区间是

4

（）

A.^£7n-y,£7n+A-eZ

B.（/cn,（A+1）n）,A-GZ

C.（£7n-$On+?）,g

D.（£7n--^,£7n+?,〃WZ

13.（2021江苏淮安中学高一期末）下列各式中正确的是（）

A.tan孚>口口口^B.tan2>tan3

55

C爪等）>-等）D.sin（-^<□□□«

14.若tanx>tan^-,且x是第三象限角，则x的取值范围

5

是.

选练素养

题组一正切（型）函数的图象及其应用

1.（2020北京人大附中高一下阶段检测，）函数片cosx-|tanx|（0<£7<^

且Or三）的图象是（）

B

c

2.（2021江苏连云港灌云高级中学高一期中，）若函数尸（x）的部分图象如图所示，

则函数Hx）的解析式可能为（）

A.=|tanx\•In|x|

B.f（x）=tanx,In|x|

C.f（x）=-|tanx\•In|x|

D.f（x）=-tanx,In|x|

3.（2020江西南昌八一中学、洪都中学等六校高一上期末,）设函数

（tan□，口R（2£7n-^,2£7n+；）,

Hx）=《「3ni（4WZ）,g（x）=sin|x|,则方程尸（乂）-

（|cos£7|,£7G［2£7n+y,2£7n+；］

g（x）=0在区间［-3ri,3n］上的解的个数是（）

A.7B.8C.9D.10

题组二正切（型）函数的定义域、值域

4.（2021江苏常州金坛第一中学高一期中，）函数*Ji二tan（个的定

义域为)

ARTB.（4，f]

°•卜2,-外U（一，外。.卜2,考U㈠,

5.（2021江苏徐州高级中学高一月考,）函数*tan（cosx）的值域是（）

A.二三]

4，4」

C.[-tan1,tan1]D.以上均不对

题组三正切（型）函数的性质及应用

6.（2021江苏徐州丰县中学高一期末,）若函数片tan3x（3WN）图象的一个对称

中心是（十,0）则3的最小值为)

A.2B.3C.6D.9

7.（多选）（2021江苏启东中学高一期末,）已知函数尸3士4。。十）（3>0）,则

下列说法正确的是（）

1

A.若尸（x）的最小正周期是2n,则3苫

B.当3=1叱尸（必图

C.当3=2叱<。（?

D.若大（x）在区间（£,n）上单调递增，则

8.（多选）（2021江苏南通桥茶高级中学高一月考,）已知函数

Hx）=tan（3/0）（£7w0,|<三）,点管,0）和（；,0）是函数Hx）图象的相

邻的两个对称中心，且在区间（上，上单调递减，则0=（）

A.J3LRB，—6CU,—二3DU，——6

9.（）已知函数f（x）-asin^+Z/tan尸1（a,6£R）,若f（-2）=2021,则

尸⑵二.

10.（）已知函数五（x）=f+2xtan67,其中。手乙

⑴当6=-；,[7,迎]时，求函数尸（x）的最大值与最小值;

6

⑵若函数g(x)=^^为奇函数，求6的值；

⑶求使*Kx)在区间［7,V3］上是单调函数的e的取值范围.

答案全解全析

7.3.2三角函数的图象与性质

第1课时正弦函数、余弦函数的图象与性质

必练基础

1.B由“五点法”作图可知B正确.

2.D函数片-sinx与尸sinx的图象关于x轴对称，故选D.

3.AC在同一平面直角坐标系中画出尸sin%,y=cosx在［0,2n］内的图象,

在［0,2ri］内，当cos产sinx时，产十或。=：，结合图象可知，满足cosx>sin

X的X的取值范围是（0,和然,2TT）.故选AC.

4.C方程10sin产x的根的个数，即函数片sinx与片得的图象的交点的个数.

作出函数y=sinx和广得;在［0,4n］上的图象，如图所示：

由图象可知看sinx与片幕的图象在［0,+8）上有4个交点，

根据函数图象的对称性可知y=sinx与尸言的图象在（-8,0）上有3个交点,

jz=sinx与广小勺图象共有7个交点，即方程10sin产x有7个根.故选C.

5•答案［。卷M*,2n］

解析画出片sinx,广卷在［0,2n］上的图象,如图，

观察图象可得不等式sin后-］的解集为［0,智U悸，2n］

6.解析列表如下：

3匚

X0n2n

T~T

*cosX10-101

*3+2cosx53135

描点画图，可得y=3+2cosx在［0,2n］内的图象，如图所示.

警示作正弦函数、余弦函数的图象时，函数自变量要用弧度制，以保证自变量的

值与函数值都为实数.同时,在连线时要用平滑的曲线连接，不能用线段连接.

7.B尸（x）的最小正周期上?二n.

sin（2-sin（；-2£I^=-cos2x,

f（,x）=-cos2x.

又大⑷的定义域为R,f{-x)=-cos(-2%)=-cos2产尸3,

*x）是最小正周期为n的偶函数.

8.B•.•尸（乂）=亘与0手0）的定义域为{x|x手0},关于原点对称,

式（_必=^^=咚=_尸（必，

0（-02口疔

f{x）为奇函数.

f(-2021)=2,021)=-f(-2021)=-2.故选8.

9.C由题意得sin(-0)=±1,则sin0=±1.

因为0W[0,TT],所以0=y.故选C.

10.答案y

解析因为函数*COS（户0）为奇函数,

所以0=y+Zrn,/cez,

又0>0,所以:+/en>0,〃WZ,

当k=0时，0取最小值;.

11.C令2/二=An,AWZ,贝口产一二+二，RW乙当仁0时，产一二故选C.

4828

12.C令2尸二=二+An（AWZ）,

62

则产方+子（反Z）,当仁。叱A=y,

故函数片3sin（2。2）-1图象的一条对称轴方程是£7=p故选C.

13.D因为函数的最小正周期为n,所以备■=!■!,所以3=±2,所以选项A不符合

题意；

对于选项B,=sin（2X。+2）=sin?=-1力0,所以选项B不符合题

意；

对于选项C,=cos（2x^-y）=cosn=7手0,所以选项C不符合题意；

对于选项D,=sin（2X^-y）=sinn=0,所以选项D符合题意.

14.答案±2

解析不?+。）=。（千-。），.•.直线产?是函数»x）=2sin（3”0）图象的一

条对称轴，

G）=±2.

15.C•最小正周期Bn,3>0,，^1=口，

3=2,.,.^2sin（2£7+Y）-

令-；+2OTT<2£7+y<2£7n+；（«WZ）,

则kn<EJ</I7n+；（ZrGZ）.

88

故函数的单调递增区间为［々n-空,/cn+-J（〃WZ）.

88

16.C由诱导公式，得cos100=sin800,sin1680=sin（180°-12°）=sin

12°.因为当0°WxW9G。时，正弦函数片sinx是单调递增的，所以sin

11°<sin120<sin80°,

即sin110<sin168°<cos10°.

17.答案［。口+£,On+等］(〃£Z)

解析*cos(：-2£7)=cos。。■十).

令2/CTIW2.亍W24n+n(/cGZ),

解得An+三<On+器(〃6Z),

88

所以函数的单调递减区间为［On+£，0n+早］(«£2).

18.答案(-n,0］

解析因为y=cosx在［-n,0］上是增函数，在［0,n］上是减函数，所以-n<aW0,

故实数a的取值范围是(-n,0］.

19.解析(1),直线产二是尸(x)的图象的一条对称轴，

4

；x：+£7=£7n+y,kGZ,

。乂口+等,kGZ.

⑵由⑴知ax)=sin(；O+沿.

令2〃「三工!。+萼w2。口+；,AWZ,贝可w£7<4£7n+；,AWZ,，

228244

函数尸(x)的单调递增区间为］44口-?,4An+y］,kGZ.

20.Dy=sinx|sinx\

f0,0<sin£7<1,

(2sinO_1<sinO<0.

当TWsinx<0时，-2W2sinx<0,

因此函数的值域为［-2,0］.

21.D因为一£<£7<y,

所以q4口

ooo

所以-；工Sin(£7+()W1,

所以7W2sin(。+£)W2,

即TWHA)W2,

所以Ax)有最大值2,最小值T.

22.解析(1)-：b>0,：.-b<0.

又cos(20+?)w[-1,1],

#fn(omax=n+n=l，、□=;,

|o(n)min=-。+。=-；，'口=i.

⑵由⑴知g(x)=-2sin(£7~»,

Vsin^G-y^e[-1,1],

.•.g(x)W12,2],

.♦.g(x)的最小值为-2,此时sin^£J-y^=1,A-y=2£7n+y,kC

Z,...产24n+处,AWZ,...取最小值时x的集合为｛1A=2〃n+空，Aez).

66

导师点睛求三角函数的最值对应的自变量的值时，要考虑三角函数的周期性.

选练素养

11

1.C方程sinn产y的解的个数，即函数片sinnx与尸y的图象的交点个数.

在同一平面直角坐标系中作出函数片sinn%,广的图象如图，

11

由图可知，函数*sinnx与尸y的图象的交点个数为7,即方程sinn产的

解的个数是7.故选C.

2.答案4n

解析作出函数片2cosx,xW[0,2n]的图象，其与直线片2围成的平面图形为如

图所示的阴影部分，

利用函数图象的对称性可知该阴影部分的面积等于矩形出8C的面积.易得

0A=2,0C=2n,则S阴影二S矩形"台h？X2n=4n.

3.B对于A,4cos与3=-sin,,是奇函数，最小正周期上半=4n,不符合题意;

2

对于B,y=sin（2户3n）=-sin2x,是奇函数，最小正周期7^q二n,符合题意；

对于C,%cos（n+2x）=-cos2x,是偶函数，不符合题意；

对于D,^|cos（£^y）|=|sinx|,是偶函数，不符合题意.故选B.

4.ACDHx）=4sin（2£7+£）=4cos[-y—（2£7+]=4cos（—2£7+?）=

4cos（20-?）,故A正确；最小正周期浮尸n,故B错误；不。十）=

4sin12（£7~十）+g]=4sin2x,是奇函数，故C正确；<£7+§=4sin12（。+看

）+y]=4cos2x,是偶函数，其图象关于p轴对称，故D正确.故选ACD.

5.C•.,直线产」是Hx）图象的一条对称轴，；.On一二（左ez）①.

442

,点（十，0）是尸（X）图象的一个对称中心，.寸3+0=A2n&WZ）②.

②-①并化简，得3=2（〃2-％）+1,%,切£乙//，4WZ,3>0,

3=24+1（AWN）.

故选C.

6.C因为xW,,:]，所以Ee，/],所以;Wsin*所以1W

2sin（£^WW斤以函数Ax）=2sin（。在区间存，；]上的最大值为如.

故选C.

7.AC由尸(x)=cosA+-二一得函数的定义域为{B□丰,〃ez},关于原点对

cosU2\

称，

又尸(-X)=cos(-X)+———=cos□H-----=Hx),所以尸(X)为偶函数，其图象关于

COS{-/_/)cosU

jz轴对称，故A选项正确；

尸("2n)=cos(A+2n)+—，一°、=cos□H-----=，故2n是f(x)的一个周期,

故C选项正确；

设户cosX,X七+4n,〃WZ,贝［7,0)U(0,1］,易知函数尸共三在［T,0)和

(0,1］上单调递减，故函数Ax)无最大值,故B选项错误；

当xw(0,3时，te(0,1),则尸壮e(2,+8),故函数尸(x)在(0,9上无最小值，

故D选项错误.

故选AC.

8.C:函数Hx)=sin(£7O+£)(3>0)在(1,n)上单调递减，I.最小正周期

号Nn,23・2.

令£+2On<□□+三W浮2k~,kRZ,

则白+一工。中+三生乙

存在AGZ,使2+2口：.<y,2+205三n均成立,此时;+4口<£7<.+2々,k

GZ,

二；W*即3的取值范围是［；,那，故选C.

9.C因为对任意xWR,大(X)W］。(到恒成立，所以好)=5m6+。)=±1,

因为O<0<2n,所以0=9或£7=/当£7=?时，4x)=sin(2£7+g,则

喧)=—；3(n)=；,不符合题意；当0哼时,Hx)=sin(2口+2)，则=

*(TT)=-；,符合题意.故Ax)=sin(2口+?.令20n+^<2口+詈<

2£7n+”,ez,解得〃n+；工On+4,RWZ,即尸(x)的单调递增区间是

263

[£7n+y,£7n+等](4WZ).故选C.

10解析(1)由析x)=0,

得a=sinisin产(sin£7-；)-

当Sin产-1时,日max=2;

11

当Sin产4时，dmin=一7

故实数H的取值范围为

⑵由1Wf{x)W，，得1W-sin2A+sinA+aW，则百Wsin?尸sin且in?广

sinA+1对x£R恒成立.

由sin?尸sinA+?=(sin£7~；)+424,得aW4.

由sin,尸sinA+1=(Sin£7~；)+1W3,得a23.

故3WaW4,即实数a的取值范围为[3,4].

11.C易知xWR,所以/x)=4卜in三]W[0,4],所以Hx1m=0"(x)“a*=4,所以

I尸(乂)-尸(*2)IW4,当f(x、与f(x)一个为0,另一个为4时，|尸(乂)-尸(先)|取得最

大值4.

为满足当X〈X2〈…〈X"时，|尸(必)一尸(X2)|+|汽(乂2)-刊>3)|+•••+]-f(xn)|=2021

的正整数n最小，只需|Hx,)"(x,G|(1W/W/7-1,/EN)尽可能多的取得最大值4,

又505X4=2020<2021,

所以至少需506个|尸(%)-HxG|(1W/Wn-1,/GN*),才能使|五(%)-

f(x2)|+|尸(xz)-五(X3)|+…+|Hx〜)-Hx〃)|=2021,此时/7-1=506,即上507.故选C.

12.ACVf(x)=cos尸x[xW[-n,n],定义域关于原点对称，

f(-x)=cos(-x)-(-x)2=cosx-x-尸(x),

，》x）是偶函数，易知外»在［-n,0］上单调递增，在［0,n］上单调递减,

.•.当-nWXKMWO或04%<xWn时，有外乂)"&),故A正确，B错误.

结合上述分析，当尸(不)<f(x2)时，|x|>|X21,>N，故C正确，D错误.故选AC.

警示偶函数在原点两侧对称的单调区间上的单调性相反，解题时要将自变量化

到同一单调区间内，防止错用单调区间造成错误.

13.ABD设尸(x)=尸(必-Fax'+bsinx.

■:F{-x)-a(-%)3+bsin(-x)=-{ax+bsinx)--F{x),xWR,关于原点对称，，尸(x)是

奇函数，，尸(T)=-尸⑴.

又尸(7)=1(7)-G尸(1)=H1)-C,

Af(-1)-c=-f(1)+c,

Af(1)+f(-1)=2c.

由cWZ知尸(1)+尸(7)为偶数，

故A,B,D有可能正确，而4与11的和15为奇数，故C不可能正确，故选ABD.

导师点睛研究自变量取一对相反数时两函数值的关系时，常利用函数的奇偶性.

对于不具有奇偶性的函数，常根据解析式的特点构造新的具有奇偶性的函数.解本

题时要注意对条件cWZ的应用.

14.答案(-：2)

解析作出函数f(x)的图象如图，

令尸(x)=t,要使关于X的方程[尸(*)]2+^尸々)+1=00金即有且仅有12个不同的实

根，只需方程4a加1=0有两个不同的实数根ty,七，且匕，t2e(0,2).

设gU)=F+at+1,

(0(0)=1>。，

£7(2)=2£7+5>0,

则有<口=0214>0,解得一不公一2，

、。<一-

因此实数a的取值范围是(-，，-2).

15.解析(1)看尸(x)的图象如图所示.

⑵任取xe[-n,》，

呜-入(%式

因为函数尸尸(X)的图象关于直线产十对称，所以尸(x)=O。)，

又当十时,f{x)=-sinx,

所以尸(x)=—sin-/C7)=_cosx.

f-cosOOe[-n,,

47

所以尸(x)=1n

(^-Sin£7,k，

(3)当〃时，*)=一1.因为一幅所以结合⑴中图象可知，尸(x)=-

QTT

行有4个解，分另叮殳为Xi,X2,X3,%4,且Xl<X2<y<X3<%4,

由图象的对称性可知Xi+x2=0,X3+A-4=n,

所以游=乂+%+、3+比4=n.

16.解析⑴因为尸(x)=0cos(20»,

所以函数尸(x)的最小正周期7=^=n.

令一n+2AnW2x/W2"n,kGZ,

得-誓+On<£7<v+An,/ceZ,

oo

故函数f(x)的单调递增区间为卜?+On,£+On](k£Z).

(2)易知外x)=V2cos(2个十)在区间[■，同上为增函数，在区间号,/]上为减函

数，

又(抄。，股)=短弓)j，

所以当aW[O,&)时，方程Hx)=a恰有两个不同的实数根.

17.解析存在.

••.-1^sin(2£7+^)<y.

假设存在有理数a,6,使得F(x)的值域为{y|-3^y^V3-1}.

当a>0时，『b。+2。+。二一3,

[2£7+2£7+£7=V3-1,

解得匚(不合题意，舍去)；

=V3_5

当a=0时，Hx)=6(不合题意，舍去)；

-2£7+2£7+□=-3,

当水0时,

-如口+2£7+£7=V3-1,

解得{三二；

故存在有理数3=7,左1,使得Hx)的值域为{y|-3^y^V3-1}.

第2课时正切函数的图象与性质

必练基础

1.A当产9时,tanQX野―D二°，故排除C,D;当产等时,tanQX?一，故

排除B.故选A.

2.B因为尸(-x)=(-x)tan(-x)=xtan产尸(x),且xW[7,1]关于原点对称，所以函

数尸(x)是偶函数，其图象关于"轴对称，故排除A,C；当0<x<1时，Hx)>0,故排除D.

故选B.

3.答案??+?,Owz}

解析不等式3+6tan2O20可转化为tan2£7>-在同一平面直角坐标系

中画出函数片tanx,xW的图象和直线£7=-V3,如图所示.

由图象得,在区间内，不等式tan>2-«的解集是O〈皆，

.,.在函数尸tanx的定义域｛xlx手An+1,〃wz｝内，不等式tanxN-如的解集是

(£7|£7n-y<£7<£7n+£℃｝.

令〃n-/<2口<£7n+/(/e£Z),

zo24

.•.使不等式3+V3tan2£7>0成立的。的取值集合是｛。|字-?W□<与+

警示正切曲线在x轴上方的部分下凸，在x轴下方的部分上凸，画图时，要注意

图象的光滑性及凹凸性.

4.解析由题意得Hx)=

tac口,□丰口^+—,O>0(£7£Z),

n

-tanO□中+—,£?<0(£?£Z).

根据*tan”的图象，作出尸(x)=tan|x|的图象，如图所示,

5TTi-2TF

由图象知，尸(x)不是周期函数，是偶函数，单调递增区间为［o,；),(4n+1,4TT+浮

(FN);

单调递减区间为(4TT-亨,An-y)(仁0,7,-2,…).

5.A令2TH二+/cn,/c£Z,

62

则X手£+呼,kWL,

所以函数的定义域为｛」x手与上+―,AGZL故选A.

6.C因为函数片tanx在（-予，£）上单调递增，且ta吟=tan（-》=-1,

所以函数的值域是（-1,V3）.故选C.

tan。之0,

7.C由题意知—cos/27Z0,解得£7£[n,

（0<D<2n,

.•.函数的定义域为[n,?）.

故选C.

8.答案[-4,4]

解析•,-亍<口<亍，

TWtanxW1.

令tan产i■，则亡W[7,1],*-¥+4i+1=-（L2）2+5,易知广一廿+4伊在[7,1]上单

调递增，

当夕-1,即产-十叱Kin=-4;当/1,即产十时，K，ax=4.故所求函数的值域为[-4,4].

9.B该函数为奇函数，其最小正周期为2n.故选B.

io.c令红一E=a（«wz）,

解得产4n+?A-eZ,

故函数图象的对称中心的坐标为（£7n+£,。）（A6Z）.故选C.

11.解析（1）令;。一£H£+4TI,4WZ,得x手9+24n,AWZ,

"（x）的定义域为｛JxH9+24TT,Z）,值域为R.

⑵易得尸（x）为周期函数，且最小正周期7^^=2n.

2

Ax）既不是奇函数也不是偶函数.

0y+/C7nV；£7—£<£+4n,Z,得-£+2£7TI<£7<；+24n,〃WZ,

函数Hx）的单调递增区间为（-1+2。「，*+2£7n）,4WZ,无单调递减区间.

令;=子（〃WZ）,得产An+?（AWZ）,I.函数Hx）的图象的对称中心是

（On+9,0）（4WZ）.

12.C令-;+On<O+十<；+"n,4WZ,解得-}+On<□<?+kF,kRZ.

故f（x）的单调递减区间为（4n/cn+y）,AW乙

13.C对于选项A,tan?=tann=tan（-9），因为正切函数尸tanx在

（一£，；）上为增函数,且一三<一?<会所以可（-等）<□□□%,要

tan]<□□*故A错误；

55

对于选项B,由于正切函数片tanX在（；，上为增函数，且;<2<3<

所以tan2<tan3,故B错误；

对于选项C,COS^~—COS-^p=COSy,COS^-—COS^y^-=COS等，

因为余弦函数片cosx在（0,n）上为减函数，且0<:<初<r[，所以cos：>

454

□□□?,即cos（-等）>□□□（为,故C正确；

对于选项D,由于正弦函数片sinx在（-；,£）上为增函数，且一^<一己<一己<

y,所以sin（W）>口口口（七故D错误•故选C

解题模板解答比较函数值大小问题的常见思路:①判断各个函数值所在的区

间；②利用函数的单调性直接求解.

14.答案（2£7n+等，2£7n+?）（〃WZ）

解析,.,'tanx>tan—=tan—,且x是第三象限角，；.2/cn+竺<£7<2口—+

555

即x的取值范围是(2On+智，2OTT+9)(〃WZ).

选练素养

1.C尸cosx•|tanx\=

(sinO或n<£?<，，

22易知C中图象符合.故选C.

［-sinO3<□<□.

2.B由题图可知函数尸尸(x)为奇函数，且当(0,1)时，尸(x)<0.

对于选项A,尸(-x)=|tan(-x)|,ln|-x|=|tanxITnlxkAx),该函数为偶函数,A

选项不符合题意；

对于选项B,尸(-x)=tan(-必,ln|-x|=-tanxTn|〉|=-尸(%),该函数为奇函数，当

xW(0,1)时,tanx>0,ln|x|<0,所以Hx)<0,符合题意；

对于选项C,H-x)=Ttan(-x)|,ln|-x|=-|tanx\Tn|x|=Hx),该函数为偶函

数，C选项不符合题意；

对于选项D"(-x)=-tan(-x),ln|-x|=tanxTn|x|=-f(x),该函数为奇函数，当

xe(0,1)时，-tanx<0,ln|x|<0,所以Hx)>0,D选项不符合题意.

故选B.

3.A在同一平面直角坐标系中作出函数尸(x)与g(x)在区间［-3n,3n］上的图象,

如图所示.由图象知，尸(x)-g(x)=0在［-3n,3n］上的解的个数为7,故选A.

警示作图时要注意当0<x<1时，sinx<tanx,此时正弦曲线与正切曲线没有交

点,避免因作图不准确导致解题错误.

4.C由题意可得I~

(4-D2>0,

即卜a心小1,

In2-4<o,

即「三+On〈号亍〈千(O6Z),

1-2<n<2,

即「十+On<£7<y+£7n(口小

1-2<£7<2,

解得-2WxWq或—十<O工三.

所以函数片Jlran(02+“-■的定义域为［-2,-y］u(-y,y］.

故选C.

5.CV-1^cosxW1,且函数片tanx在［T,1］上为增函数，

Atari(-1)^tanxWtan1,即-tan1WtanxWtan1./.-tan1^tan(cosx)

tan1.

故选C.

6.B由于正切函数片tanx图象的对称中心为（彳二0）（A£Z）,函数片tan

3x（&WN）图象的一个对称中心是（?，0）,所以*=^（4WZ）,解得3=3k（kG

Z）.因为3WN*,所以当A=1时，3取得最小值，为3.故选