3.7.1 二次函数与一元二次方程间的关系 课件

第3章二次函数3.7二次函数与一元二次方程第1课时二次函数与一元二次方程间的关系二次函数与一元二次方程之间的关系二次函数图象与x轴的交点个数问题回顾与思考一元二次方程根的判别式：式子b²-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母Δ表示.(1)当Δ>0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数根.(2)当Δ=0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根.(3)当Δ<0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根.1.一次函数y=kx+b与一元一次方程kx+b=0有什么关系?2.你能否用类比的方法猜想二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0的关系?知识点二次函数与一元二次方程之间的关系1问

题

以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有关系：h=20t–5t2.考虑下列问题:(1)球的飞行高度能否达到15m?若能，需要多少时间?(2)球的飞行高度能否达到20m?若能，需要多少时间?(3)球的飞行高度能否达到20.5m?为什么？(4)球从飞出到落地要用多少时间?分析：由于小球的飞行高度h与飞行时间t有函数关系h＝20t－5t2，所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程．如果方程有合乎实际的解，则说明小球的飞行高度可以达到问题中h的值；否则，说明小球的飞行高度不能达到问题中h的值．解：(1)当h=15时，20t-5t2=15，

t2-4t+3=0，

t1=1，t2=3.当球飞行1s和3s时，它的高度为15m.(2)当h=20时，20t-5t2=20，

t2-4t+4=0，t1=t2=2.当球飞行2s时，它的高度为20m.(3)当h=20.5时，20t-5t2=20.5，

t2-4t+4.1=0，

因为(-4)2-4×4.1<0，所以方程无实根.

故球的飞行高度达不到20.5m.(4)当h=0时，20t-5t2=0，

t2-4t=0，t1=0，t2=4.当球飞行0s和4s时，它的高度为0m，即0s时，球从地面飞出，4s时球落回地面.归纳从以上可以看出：已知二次函数y的值为m，求相应自变量x的值，就是求相应一元二次方程的解.例如,已知二次函数y=-x2+4x的值为3,求自变量x的值.就是求方程3=-x2+4x的解.例如,解方程x2-4x+3=0，就是已知二次函数y=x2-4x+3的值为0,求自变量x的值.归纳二次函数与一元二次方程的关系：已知二次函数，求自变量的值解一元二次方程的根例1二次函数y=x2－6x+n

的图象如图所示，若关于x

的一元二次方程x2－6x+n=0的一个解为x1=1，则另一个解x2=

.5导引：紧扣抛物线与x轴两交点坐标与对称轴的关系求解。

解法提醒对称轴法求一元二次方程的根：根据一元二次方程与二次函数的关系，当已知抛物线与x轴一个公共点的坐标和对称轴时，可根据轴对称的性质求出抛物线与x轴另一个公共点的坐标，从而求得对应一元二次方程的根.1.一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h(m)可以用公式h=－4.9t2

＋19.6t来表示，其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间.(1)画出函数h=－4.9t2

＋19.6t的图象；(2)当t=1,t=2时，足球距地面的高度分别是多少？(3)方程－4.9t2

＋19.6t=0,－4.9t2

＋19.6t=14.7的根的实际意义分别是什么？你能在图象上表示出来吗？(1)函数h＝－4.9t2＋19.6t的图象如图．(2)当t＝1时，h＝－4.9＋19.6＝14.7；

当t＝2时，h＝－4.9×4＋19.6×2＝19.6.解：(3)方程－4.9t2＋19.6t＝0的根的实际意义是当足球距地面的高度为0m时经过的时间；方程－4.9t2＋19.6t＝14.7的根的实际意义是当足球距地面的高度为14.7m时经过的时间．方程－4.9t2＋19.6t＝0的根在图象上表示出来如图中O，A两点；方程－4.9t2＋19.6t＝14.7的根在图象上表示出来如图中M，N两点．2.观察图象(如图)填空：(1)二次函数y＝x2＋x－2的图象与x轴有______个交点，则一元二次方程x2＋x－2＝0的根的判别式Δ________0；(2)二次函数y＝x2－6x＋9的图象与x轴有_____个交点，则一元二次方程x2－6x＋9＝0的根的判别式Δ_______0；(3)二次函数y＝x2－x＋1的图象与x轴_______公共点，则一元二次方程x2－x＋1＝0的根的判别式Δ_____0.两＞一＝没有＜3.小兰画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象如图，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是(

)A．无解

B．x＝1C．x＝－4D．x＝－1或x＝4D二次函数y＝x2＋2x，y＝x2－2x＋1，y=x2－2x＋2的图象如图所示.知识点二次函数图象与x轴的交点个数问题2(1)每个图象与x轴各有几个交点？(2)一元二次方程x2＋2x=0，x2－2x＋1=0有几个根？用判别式验证一下，一元二次方程x2－2x＋2=0有根吗？(3)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?二次函数y＝x2＋2x的图象与x轴有2个交点：(－2，0)和(0，0).一元二次方程x2＋2x＝0的根：x(x＋2)＝0x＝0或x＋2＝0∴x1＝－2，x2＝0.方程的根是－2和0二次函数y＝x2－2x＋1的图象与x轴有1个交点：(1，0).一元二次方程x2－2x＋1＝0的根：(x－1)2＝0∴x1＝x2＝1方程的根是1.二次函数y＝x2－2x＋2的图象与x轴没有交点.一元二次方程x2－2x＋1＝0的根：∵△＝(－2)2－4×1×2＝－4<0∴原方程无实根通过二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象可知,(1)如果抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有公共点,公共点的横坐标是x0,那么当x=x0时,函数的值为0,因此x=x0就是方程ax2+bx+c=0的一个根.(2)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的位置关系与一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的关系:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的公共点的个数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况b2-4ac>0有两个有两个不相等的实数根b2-4ac=0有一个有两个相等的实数根b2-4ac<0没有公共点没有实数根如果函数y=kx2-kx+3x+1的图象与x

轴有且只有一个交点，那么交点坐标是

.例2

1.抛物线y＝x2＋bx＋1与x轴只有一个公共点，则b等于(

)A．2B．－2C．±2D．0C2.已知函数y＝ax2－2ax－1(a是常数，a≠0)，下列结论正确的是(

)A．当a＝1时，函数图象经过点(－1，1)B．当a＝－2时，函数图象与x轴没有交点C．若a＜0，函数图象的顶点始终在x轴的下方D．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大D3.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的y与x的部分对应值如下表：下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为直线x＝1；③当x＜1时，函数值y随x的增大而增大；④方程ax2＋bx＋c＝0有一个根大于4，其中正确的结论有(

)A．1个B．2个C．3个D．4个x－1013y－3131BB1．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况是(

)

A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法判断92．[2023·郴州]已知抛物线y＝x2－6x＋m与x轴有且只有一个交点，则m＝________．【点拨】∵抛物线y＝x2－6x＋m与x轴有且只有一个交点，∴方程x2－6x＋m＝0有两个相等的实数根，即b2－4ac＝36－4m＝0，解得m＝9.3．若函数y＝