江苏省南京市第四中学高三数学理下学期摸底试题含解析

江苏省南京市第四中学高三数学理下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在中，，则以为焦点且过点的双曲线的离心率为(

)A.

B.

C.

D.参考答案：A2.各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的7个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生不同的填报专业志愿的方法有（）A．210种 B．180种 C．120种 D．95种参考答案：B【考点】排列、组合及简单计数问题．【专题】排列组合．【分析】利用排列组合的方法即可得到结论．【解答】解：从7个专业选3个，有种选法，甲乙同时兼报的有种选法，则专业共有35﹣5=30种选法，则按照专业顺序进行报考的方法为×30=180，故选：B【点评】本题主要考查排列组合的应用，利用对立法是解决本题的关键．3.（09年宜昌一中10月月考理）下列函数中，有反函数的是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B4.已知函数.若，则的取值范围是(

)A．

B．

C．

D．参考答案：D5.下列命题中正确命题的个数是（）（1）命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1则x2﹣3x+2≠0”（2）设回归直线方程=1+2x中，x平均增加1个单位时，y平均增加2个单位（3）若p∧q为假命题，则p，q均为假命题（4）对命题p：?x0∈R，使得，则?p：?x∈R，均有x2+x+1≥0．A．4 B．3 C．2 D．1参考答案：B【考点】命题的真假判断与应用．【专题】综合题．【分析】（1）根据命题的逆否命题是对题设和结论分别否定且交换特殊和结论可判断；（2）由回归直线方程=1+2x中，x平均增加1个单位时，y平均增加2个单位；（3）若p∧q为假命题，则p，q至少有一个为假命题；（4）根据特命题的否定是全称命题可判断．【解答】解：（1）根据命题的逆否命题是对题设和结论分别否定且交换特殊和结论可知，“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1则x2﹣3x+2≠0”，故（1）正确；（2）由回归直线方程=1+2x中，x平均增加1个单位时，y平均增加2个单位，故（2）正确；（3）若p∧q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，故（3）错误；（4）根据特命题的否定是全称命题可知，p：?x0∈R，使得，则￢p：?x∈R，均有x2+x+1≥0；故（4）正确；正确的命题有（1），（2），（4），共3个，故选：B【点评】本题主要考查了全称命题与特称命题的否定，线性回归方程的意义，复合命题的真假关系的应用，属于知识的综合应用．6.下列命题正确的是（）A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行参考答案：C【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；命题的真假判断与应用．【分析】利用直线与平面所成的角的定义，可排除A；利用面面平行的位置关系与点到平面的距离关系可排除B；利用线面平行的判定定理和性质定理可判断C正确；利用面面垂直的性质可排除D．【解答】解：A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行、相交或异面，故A错误；B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行或相交，故B错误；C、设平面α∩β=a，l∥α，l∥β，由线面平行的性质定理，在平面α内存在直线b∥l，在平面β内存在直线c∥l，所以由平行公理知b∥c，从而由线面平行的判定定理可证明b∥β，进而由线面平行的性质定理证明得b∥a，从而l∥a，故C正确；D，若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行或相交，排除D．故选C．7.已知x，y满足则2x-y的最大值为(A)

1 (B)

2 (C)

3 (D)

4http//www参考答案：【知识点】简单的线性规划.E5【答案解析】B

解析：画出可行域如图：平移直线z=2x-y得，当此直线过可行域中的点A（1,0）时2x-y有最大值2，故选B.【思路点拨】设目标函数z=2x-y，画出可行域平移目标函数得点A（1,0）是使目标函数取得最大值的最优解.8.已知i是虚数单位，则复数的虚部是A．－1

B．1

C．－i

D．i参考答案：A由题得=所以的虚部是-1.故选A.

9.已知A，B为椭圆上的两个动点，,且满足,则的取值范围为

（

）A.[3,4] B. C.[1,9] D.参考答案：C【分析】由题可得，设，由两点间距离公式结合可得解.【详解】为椭圆上的两个动点，为其左焦点.，则有..设，则..由，得.故选C.【点睛】本题主要考查了椭圆方程的应用及数量积的坐标运算，属于中档题.10.已知抛物线的焦点到准线的距离为,且上的两点关于直线对称,并且,那么=

(

)A.

B.

C.2

D.3参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知等差数列的前项和为，则数列的前2015项和为

．参考答案：【知识点】数列的求和．D4

【答案解析】解析：∵数列{an}为等差数列，3a5=15，∴a5=5；又S5===15，∴a3=3；∴公差d==1，∴an=a3+（n﹣3）×d=3+（n﹣3）=n；∴==﹣，∴S2014=（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）=1﹣=．故答案为：．【思路点拨】依题意可求得等差数列{an}的通项公式an=n，利用裂项法得==﹣，从而可得数列{}的前2014项和．12.(几何证明选讲选做题)如图（3）所示，是半圆周上的两个三等分点，直径，，垂足为，与相交于点，则的长为

．

参考答案：略13.世界第三届无人驾驶智能大赛在天津召开，现在要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、安保、礼仪、服务四项不同工作，若小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有______种.参考答案：36【分析】根据题意，小赵和小赵智能从事两项工作，由此分为2种情况讨论，结合排列组合，即可求解.【详解】根据题意可分2种情况讨论：（1）若小张或小赵入选，则有种不同的选法；（2）若小张，小赵都入选，则有种不同的选法，综上可得，共有种不同的选法.故答案为：36.【点睛】本题主要考查了排列、组合的综合应用，其中解答中认真审题，根据题意分类讨论，结合排列组合的知识求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.14.给出下列四个命题：①中，是成立的充要条件；②利用计算机产生0～1之间的均匀随机数，则事件“”发生的概率为；③已知是等差数列的前n项和，若，则；④若函数为R上的奇函数，则函数的图象一定关于点成中心对称.⑤函数有最大值为，有最小值为0。

其中所有正确命题的序号为

．

参考答案：①③15.在中，内角所对的边分别是.已知，，则的值为_______.参考答案：因为，所以，解得，.所以.16.（理）数列满足：，若数列有一个形如的通项公式，其中均为实数，且，

________________.（只要写出一个通项公式即可）

参考答案：17.设函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围是

.参考答案：或三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在多面体ABCDE中，DB⊥平面ABC，AE∥DB，且△ABC是边长为2的等边三角形，AE=1，CD与平面ABDE所成角的正弦值为．（1）若F是线段CD的中点，证明：EF⊥面DBC；（2）求二面角D﹣EC﹣B的平面角的余弦值．参考答案：【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．【分析】（1）取AB的中点O，连结OC，OD，则OC⊥面ABD，∠CDO即是CD与平面ABDE所成角．求出BD=2．以O为原点，建立空间直角坐标系．取BC的中点为G，则AG⊥面BCD，利用，证明EF⊥面DBC．（2）求出平面DEC的一个法向量和平面BCE的一个法向量．利用两个法向量的夹角求二面角D﹣EC﹣B的平面角【解答】解：（1）证明：取AB的中点O，连结OC，OD．∵DB⊥平面ABC，DB?面ABD，根据直线和平面垂直的判定定理得，面ABD⊥平面ABC．取AB的中点O，连结OC，OD．∵△ABC是等边三角形，∴OC⊥AB，根据平面和平面垂直的性质定理得则OC⊥面ABD，∴OD是CD在平面ABDE上的射影，∴∠CDO即是CD与平面ABDE所成角．∴sin∠CDO=，而OC=，∴CD=2，∴BD=2．取ED的中点为M，以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OM为z轴建立如图空间直角坐标系，则A（0，﹣1，0），，取BC的中点为G，则G（，，0），则AG⊥面BCD，因为，所以，所以EF⊥面DBC．（2）解：由上面知：BF⊥面DEC，又，取平面DEC的一个法向量设平面BCE的一个法向量，则又，所以，令x=1，则y=，z=2．由此得平面BCE的一个法向量．则，所以二面角D﹣EC﹣B的平面角的余弦值为．19.（本小题满分12分）A、B两个投资项目的利润率分别为随机变量和。根据市场分析，和的分布列分别为：ks5u5%10%

2%8%12%P0.80.2

P（1）在A、B两个项目上各投资100万元，和分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差、；（2）将万元投资A项目，万元投资B项目，表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和.求的最小值，并指出x为何值时，取到最小值.（注：）参考答案：

解：（Ⅰ）由题设可知和的分布列分别为510

2812P0.80.2

P………….1分…………...3分………………..4分………..6分（Ⅱ）………….7分……….8分……..10分当时，为最小值。…………12分20.设公差不为0的等差数列{an}的首项为1，且a2，a5，a14构成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}满足，n∈N*，求{bn}的前n项和Tn．参考答案：【考点】数列的求和；等差数列与等比数列的综合．【专题】综合题；等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d（d≠0），由a2，a5，a14构成等比数列得关于d的方程，解出d后利用等差数列的通项公式可得an；（Ⅱ）由条件可知，n≥2时，=1﹣﹣（1﹣）=，再由（Ⅰ）可求得bn，注意验证n=1的情形，利用错位相减法可求得Tn；【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d（d≠0），∵a2，a5，a14构成等比数列，∴=a2a14，即（1+4d）2=（1+d）（1+13d），解得d=0（舍去），或d=2．∴an=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．（Ⅱ）由已知，，n∈N*，当n=1时，=；当n≥2时，=1﹣﹣（1﹣）=．∴=，n∈N*．由（Ⅰ），知an=2n﹣1，n∈N*，∴bn=，n∈N*．又Tn=+++…+，则Tn=++…++．两式相减，得Tn=+（++…+）﹣=﹣﹣，∴Tn=3﹣．【点评】本题考查等差数列等比数列的综合应用、错位相减法对数列求和，属中档题．21.在平面直角坐标系中，曲