第五章 特殊平行四边形 培优练习 2023-2024学年浙教版 数学八年级下册

第五章特殊平行四边形培优练习浙教版八年级下册一、选择题1．下列说法正确的是（）A．矩形的对角线相等且互相垂直 B．菱形的对角线相等C．正方形的对角线相等 D．菱形的四个角都是直角2．下列条件中，能判定四边形是菱形的是（）A．两条对角线相等 B．两条对角线互相垂直C．两条对角线互相垂直平分 D．两条对角线相等且互相垂直3．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（）A．当∠ABC=90°时，▱ABCD是矩形B．当AC⊥BD时，▱ABCD是菱形C．当▱ABCD是正方形时，AC=BDD．当▱ABCD是菱形时，AB=AC4．如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为AB的中点，且DE⊥AB，AC=6，则菱形ABCD的面积是（）A．18 B．183 C．93 D．635．如图，若将上图正方形剪成四块，恰能拼成下图的矩形，设a=1，则b=（）A．5−12 B．5+12 C．6．如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，B的对应点为E，AE与CD相交于点F.若∠FCE=40°，则∠CAB的度数为（）A．15° B．20° C．25° D．40°7．如图，在矩形ABCD中，AD=1，AB>1，点G在DC上，AG平分∠BAD，分别过点B，C作BE⊥AG于点E，CF⊥AG交AG的延长线于点F，则AE−GF的值为（）A．1 B．22 C．32 8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以△ABC的各边为边作三个正方形，点G落在HI上，若AC+BC=7，空白部分面积为10，则AB的长为（）A．23 B．21 C．19 D．269．如图，在矩形ABCD中，O为对角线BD的中点，∠ABD=60°，动点E在线段OB上，动点F在线段OD上，点E，F同时从点O出发，分别向终点B，D运动，且始终保持OE=OF．点E关于AD，AB的对称点为E1，E2；点F关于BC，CD的对称点为F1，F2，在整个过程中，四边形E1E2F1F2形状的变化依次是（）A．菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形B．菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形C．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形D．平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形10．七巧板是我国祖先的一项卓越创造，如图1，正方形ABCD可以制作一副七巧板，现将这副七巧板拼成如图2所示的“风车”造型(内部有一处空缺)，连结最外围的风车顶点M，N，P，Q得到一个四边形MNPQ，则正方形ABCD与四边形MNPQ的面积之比为（）A．5：8 B．3：5 C．8：13 D．25：49二、填空题11．菱形的两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为.12．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，不添加任何辅助线，请添加一个条件：，使得四边形ABCD是正方形.13．如图，已知▱ABCD中对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使▱ABCD成为一个矩形．你添加的条件是__．14．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的动点，M，N分别是EF，AF的中点，则MN的最大值为15．如图①是一张等腰直角三角形纸片，AC=BC=202cm，现要求按照图②的方法裁剪几条宽度都为52cm的长方形纸条，用这些纸条为一幅正方形美术作品EFGH镶边(纸条不重叠)如图③16．正方形ABCD的边长为2，如图1，点E，F均在正方形内部，且BE=EF=FD，∠E=∠F=90°，则BE的长为；如图2，点G，H，I，J，K，L均在正方形内部，且BG=GH=HI=IJ=JK=KL=LD，∠G=∠H=∠I=∠J=∠K=∠L=90°，则BG的长为.三、解答题17．如图，AD是△ABC的一条角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F．（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）若∠B=35°，当∠C=▲度时，四边形AEDF为正方形并证明．18．如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CE=DF，连结AE和BF.求证：AE=BF.19．已知一个长方形相邻的两边长分别是a，b，且a=128（1）求此长方形的周长；（2）若一个正方形的周长与上述长方形的周长相等，求此正方形的面积．20．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F在对角线BD上，BE=EF=FD，∠BAF=∠DCE=90°.（1）求证：△ABF≌△CDE.（2）连结AE，CF，已知▲(从条件①：∠ABD=30°.条件②：AB=BC中选择一个作为已知，填序号)，请判断四边形AECF的形状，并说明理由.21．如图，在长方形ABCD中，AD∥BC，E为边BC上一点，将长方形沿AE折叠，使点B落在点F处，EG平分∠CEF，交CD于点G，过点G作HG⊥EG，交AD于点H.（1）试说明：HG∥AE.（2）若∠EAF=20°，求∠DHG的度数.22．如图，已知在正方形ABCD中，AB=2，点E为线段AC上一点(点E不与A、C重合)，连接DE，过点E作EF⊥DE.交射线BC于点F，以DE、（1）求证：DE=（2）连接EG，设AE=x，△ECG的面积为y.求（3）当∠CEF=20°时，求∠EFC23．如图，在平行四边形ABCD中，AD=9cm，CD=32（1）求BC边上的高AE的长度．（2）连结AN，CM，当t为何值时，四边形AMCN为菱形？（3）作MP⊥BC于点P，NQ⊥AD于点Q，当t为何值时，四边形MPNQ为正方形？24．如图1，已知O是坐标原点，点A的坐标是(5，0)，B是y轴正半轴上一动点，以OB，OA为边作矩形OBCA，点E，H分别在边BC和OA上，将△BOE沿着OE对折，使点B落在OC上的点F处，将△ACH沿着CH对折，使点A落在OC上的点G处.（1）求证：四边形OECH是平行四边形.（2）如图2，当点F，G重合时，求点B的坐标.判断四边形OECH的形状，并说明理由.（3）当点F，G将对角线OC三等分时，求点B的坐标.

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：A、矩形的对角线相等但不互相垂直，故此选项错误；

B、菱形的对角线相互垂直，故此选项错误；

C、正方形的对角线相等且垂直，故此选项正确；

D、菱形的四个角不一定都是直角，故此选项错误.

故答案为：C.

【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分；菱形的对角线互相平分且垂直；正方形的对角线相等、互相平分且垂直，即可逐项判断得出答案.2．【答案】C【解析】【解答】A、两条对角线相等不能判定四边形是菱形，故此选项不符合题意；

B、两条对角线互相垂直不能判定四边形是菱形，故此选项不符合题意；

C、两条对角线互相垂直平分能判定四边形是菱形，故此选项符合题意；

D、两条对角线相等且互相垂直不能判定四边形是菱形，只能判定是矩形，故此选项不符合题意.

故答案为：C.

【分析】根据菱形的判定方法依次判断即可求解.3．【答案】D【解析】【解答】A、∵四边形ABCD是平行四边形，当∠ABC=90°时，∴▱ABCD是矩形，∴A正确，不符合题意；

B、∵四边形ABCD是平行四边形，当AC⊥BD时，∴▱ABCD是菱形，∴B正确，不符合题意；

C、∵当▱ABCD是正方形时，AC=BD，∴C正确，不符合题意；

D、∵当▱ABCD是菱形时，无法证出AB=AC，∴D不正确，符合题意；

故答案为：D.

【分析】利用矩形的判定方法、菱形的判定和性质及正方形的性质逐项分析判断即可.4．【答案】D【解析】【解答】解：∵E为AB的中点，DE⊥AB，

∴AD=DB，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=AD=DB，BD⊥AC于O

∴△ABD为等边三角形，AO=12AC=3，

在Rt△AOB中，∠OAB=30°，

∴OB=3

∴BD=2OB=23，

∴菱形ABCD的面积=12AC·BD=63，

5．【答案】B【解析】【解答】解：根据题意得：正方形的边长为a+b，长方形的长为a+b+b，宽为b，则（a+b）2=b(a+b+b)，即a2-b2+ab=0，∴(a解得：ab∵ab∴ab∴当a=1时，b=2故答案为：B．

【分析】根据题意得：正方形的边长为a+b，长方形的长为a+b+b，宽为b，则（a+b）2=b(a+b+b)，即a2-b2+ab=0，可得出(ab)2+6．【答案】C【解析】【解答】解：由折叠的性质得：∠ACE=∠ACB，

∵∠FCE=40°，∠DCB=90°，

∴∠ECB=∠FCE+∠DCB=130°，

∴∠ACB=12∠BCE=65°，

∴∠CAB=90°-∠ACB=90°-65°=25°.

故答案为：C.

7．【答案】B【解析】【解答】解：设AE=x，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BAD=∠D=90°，CD=AB，

∵AG平分∠BAD，

∴∠DAG=12∠BAD=45°，

∴△DAG是等腰直角三角形，

∴DG=AD=1，

AG=AD2+DG2=12+12=2，

同理可证AE=BE，FG=CF，

∴8．【答案】A【解析】【解答】解：∵四边形ABGF是正方形，∴AB=AF，∠BAN=∠F=90°，∴∠MAF+∠BAC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ABN+∠BAC=90°，∴∠ABN=∠MAF，∵AB=AF，∠BAN=∠F，∴△BAN≌△AFM(ASA)，∴△BAN的面积=△AFM的面积，∴四边形FNCM的面积=△ABC的面积，∴空白部分的面积=正方形ABGF的面积−2×△ABC的面积，∴AB∵AC+BC=7，∴(AC+BC)∴AC∵AB∴AB由①×+②得AB∴AB=23故答案为：A．【分析】由正方形的性质得AB=AF，∠BAN=∠F=90°，由同角的余角相等得∠ABN=∠MAF，从而根据ASA判断出△BAN≌△AFM，得S△BAN=S△AFM，推出S四边形FNCM=S△ABC，S空白部分=S正方形ABGF-2S△ABC，据此得AB2-2×12AC×BC=10①，由AC+BC=7并结合勾股定理可得AB2+2AC×BC=49②，①×2+②可得AB29．【答案】A【解析】【解答】解：如图1：

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB∥CD，∠BAD=∠ABC=90°，

∴∠BDC=∠ABD=60°，∠ADB=∠CBD=90°-60°=30°，

∵OE=OF，OB=OD，

∴DF=EB，

∵点E关于AD，AB的对称点为E1，E2；点F关于BC，CD的对称点为F1，F2，

∴DF=DF2，BF=BF1，BE=BE2，DE=DE1，E1F2=E2F1．

∴∠F2DC=∠BDC=60°，∠E1DA=∠ADB=30°，

∴∠E1DB=60°，

同理∠F1BD=60°，

∴DE1∥BF1，

∴四边形E1E2F1F2是平行四边形，

如图2所示，当E，F，O三点重合时，DO=OB，

∴DE1=DF2=AE1=AE2，即E1E2=E1F2，

∴四边形E1E2F1F2是菱形．

如图3所示，当E，F分别为OD，OB的中点时，设DB=4，则DF2=DF=1，DE1=DE=3，

在Rt△ABD中，AB=2，AD=23，连接AE，AO，

∵∠ABO=60°，BO=2=AB，

∴△ABO是等边三角形，

∵E为OB中点，

∴AE⊥OB，BE=1，

∴∠E1=90°，

即四边形E1E2F1F2是矩形．

当F，E分别与D，B重合时，△BE1D，△BDF1都是等边三角形，则四边形E1E2F1F2是菱形，

∴在整个过程中，四边形E1E2F1F2形状的变化依次是菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形，

故答案为：A．

【分析】E、F在特殊点时需分析四边形E1E2F1F2的形状，而在一般点时均是平行四边形，根据对称的形式，菱形、平行四边形和矩形的判定方法判断即可.10．【答案】C【解析】【解答】解：如图1，设AC=4a，则AB=BC=22AC=22a，

∴正方形ABCD的面积为AB2=8a2，

由图1可得ME=QF=PG=NH，QE=PF=NG=MH，∠QFP=∠PGN=∠NHM=∠MEQ=135°，

∴△QFP≌△PGN≌△NHM≌△MEQ（SAS）

∴QM=QP=PN=MN，∠PQF=∠GPN，

∴∠NPQ=∠GPN+∠FPQ+∠FPG=∠PQF+∠FPQ+∠FPG=45°+45°=90°，

∴四边形MNPQ为正方形，

由AC=4a，则图2中MH=3a，QH=2a

∴MQ2=MH2+QH2=（3a）2+（2a）2=13a2，

∴四边形MNPQ的面积=MQ2=13a2，

∴正方形ABCD与四边形MNPQ的面积之比=8a2：13a2=8∶13.

故答案为：C.

【分析】设AC=4a，则AB=BC=22AC=2211．【答案】20【解析】【解答】解：如图，根据题意得AO=12×8=4，BO=1∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD.∴△AOB是直角三角形.∴AB=A∴此菱形的周长为：5×4=20故答案为：20.【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，利用对角线的一半，根据勾股定理求出菱形的边长，再根据菱形的四条边相等求出周长即可.12．【答案】∠BAD=90°(答案不唯一)【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，

∴当∠BAD=90°或BD=AC时，四边形ABCD是正方形.

故答案为：∠BAD=90°(答案不唯一).

【分析】有一个角是直角的菱形是正方形，对角线相等的菱形是正方形，据此解答即可.13．【答案】AC＝BD（答案不唯一）【解析】【解答】解：添加的条件是AC=BD(答案不唯一)，

理由如下：∵AC=BD，四边形ABCD是平行四边形，

∴平行四边形ABCD是矩形，

故答案为：AC=BD(答案不唯一).【分析】利用矩形的判定方法证明即可。14．【答案】2【解析】【解答】解：如图，连接AE、AC，

∵点M、N分别是EF、AF的中点，

∴MN=12AE，

∵正方形ABCD的边长为2，

∴AC=22，

∵点E是BC边长的动点，

∴AE≤AC=22，

∴MN=12AE≤2，

∴MN的最大值为2.15．【答案】25【解析】【解答】解：如图，∵△ABC是等腰直角三角形，且AC=BC，

∴∠B=∠C=45°，

∵四边形CDHG是矩形，且CD=52cm，

∴HG=CD=52cm，∠BGH=90°，

∴∠B=∠BHG=45°，

∴GB=GH=52cm，

∴CG=DH=BC-BG=152cm，

∵四边形CDHG是矩形，

∴DH∥BC，

∴∠B=∠DHN=45°，

∵四边形DENM是矩形，且DE=52cm，

∴MN=ED=52cm，∠NMH=90°，

∴∠MNH=∠MHN=45°，

∴MN=MH=52cm，

∴DM=EN=DN-MH=102cm；

同理FQ=PE=52cm，

∵AF=AC-CD-DE-EF=52cm，

∴这样的长方形纸条只能裁出三条，

这三条的总长度为：CG+DM+EN=【分析】由等腰直角三角形的性质得∠B=∠C=45°，由矩形的性质得HG=CD=52cm，∠BGH=90°，从而可推出△BHG是等腰直角三角形，得GB=GH=52cm，CG=DH=BC-BG=16．【答案】2105【解析】【解答】解：连接BD，交BD于点M，

在△DFM和△BEM中

∠E=∠F∠DMF=∠BMEDF=BE

∴△DFM≌△BEM（AAS），

∴BM=DM，FM=ME，

∵正方形ABCD，

∴∠A=90°，AB=AD=2，

∴BD=22+22=22，

∴BM=12BD=2，

设ME=x，则BE=2x，

∴BE2+ME2=BM2即x2+4x2=2，

解之：x=105，

∴BE=205；

如图，将KL，HJ，HI，HG平移，

设BG=GH=HI=IJ=JK=KL=LD=x，可知DS=2x，SO=1.5x，

∴（1.5x）217．【答案】（1）证明：∵DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F．

∴四边形AEDF是平行四边形，∠EAD=∠ADF，

∵AD是△ABC的一条角平分线，

∴∠EAD=∠FAD，

∴∠ADF=∠FAD，

∴FA=FD，

∴四边形AEDF是菱形；（2）解：当△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，此时∠C=55°，四边形AEDF是正方形，

理由：∵△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，

由（1）可得四边形AEDF是菱形，

∴四边形AEDF是正方形，

∵∠B=35°，∠BAC=90°，

∴∠C=55°，

故答案为：55°.【解析】【分析】（1）先利用角平分线的定义及等量代换可得∠ADF=∠FAD，利用等角对等边的性质可得FA=FD，再结合四边形AEDF是平行四边形，可得四边形AEDF是菱形；

（2）根据△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，四边形AEDF是菱形，可得四边形AEDF是正方形，再结合∠B=35°，∠BAC=90°，求出∠C=55°即可.18．【答案】证明：∵四边形ABCD为正方形，

∴AB=BC=BC=CD，∠ABE=∠BCF=90°，

∵CE=DF，

∴BC+CE=CD+DF，即BE=CF，

∴△ABE≌△BCF（SAS），

∴AE=BF.【解析】【分析】根据正方形的性质得AB=BC=BC=CD，∠ABE=∠BCF=90°，推出BE=CF，依据SAS判定△ABE≌△BCF，根据全等三角形的对应边相等即可求得.19．【答案】（1）解：长方形的周长为2(（2）解：正方形的周长为62∴正方形的边长为62÷4=32【解析】【分析】（1）直接根据长方形的周长公式进行求解即可；

（2）根据正方形与长方形的周长相等求得正方形的边长，再利用正方形的面积公式进行计算即可求解.20．【答案】（1）证明：∵AB∥CD，

∴∠ABF=∠CDE，

∵BE=EF=FD，

∴BF=DE，

在△ABF和△CDE中

∠ABF=∠CDE∠BAF=∠DCEBF=DE

（2）解：①或②，四边形AECF是菱形，

如图，

已知①即∠ABD=30°，

理由：

∵△ABF≌△CDE，

∴AF=CE，∠AFB=∠CED

∴AF∥CE，

∴四边形AECF是平行四边形，

∵∠ABD=30°，∠BAF=90°，BE=EF，

∴AE=12BF，AF=12BF，

∴AE=AF，

∴【解析】【分析】（1）利用平行线的性质可证得∠ABF=∠CDE，利用已知可得到BF=DE，再利用AAS可证得结论.

（2）已知①即∠ABD=30°，利用全等三角形的性质及平行线的性质可证得AF=CE，AF∥CE，由此可推出四边形AECF是平行四边形；再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和30°角所对的直角边等于斜边的一半去证明AE=AF，据此可证得四边形AECF是菱形.21．【答案】（1）证明：由折叠得：∠AEB=∠AEF，

∵EG平分∠CEF，

∴∠CEG=∠FEG，

∴∠AEF+∠FEG=∠AEB+∠CEG=12×180°=90°=∠AEG，

∵HG⊥EG，

∴∠AEG+∠GHE=180°，

（2）解：∵四边形ABCD为长方形，

∴∠B=90°，AD∥BC，

由折叠得：∠BAE=∠EAF=20°，

∴∠BEA=180°−∠B−∠BAE=70°，

∵AD∥BC，

∴∠DAE=∠AEB=70°，

∵HG∥AE，

∴∠DHG=∠DAE=70°.【解析】【分析】（1）由折叠得∠AEB=∠AEF，然后根据角平分线的定义和平角的定义即可得∠AEG=90°，结合题目已给信息，由同旁内角互补，两直线平行可证HG∥AE；

（2）根据矩形的性质得到∠B=90°，AD∥BC，然后根据折叠的性质和三角形内角和定理即可求出∠BEA的度数，进而由二直线平行，内错角相等得到∠DAE的度数，最后根据二直线平行，同位角相等即可求解.22．【答案】（1）证明：如图，作EM⊥BC，∴∠EMC=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD∴四边形EMCN是矩形，∴∠MEN∵点E是正方形ABCD对角线上的点，∴EM∵四边形DEFG是矩形，∴∠DEF∴∠DEN在△DEN和△∠DEN=∴△DEN≌△∴DE（2）解：∵四边形DEFG是矩形，EF=∴矩形DEFG是正方形，∴DE=DG∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC，∠ADC∴∠CDG∴△ADE≌△∴AE=CG∵∠ACD∴∠ACG∵AD=DC∴AC∴△ECG的面积（3）解：如图，当点F在线段BC上时，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB∵∠CEF=20°，∴∠EFC如图，当点F在线段BC的延长线上时，∵∠ACB=∠CEF∴∠CFE综上，∠EFC的度数为115°或25°．【解析】【分析】本题主要考查正方形的基本性质、矩形的判定和性质、三角形全等的判定及性质.

（1）作EM⊥BC，EN⊥CD，结合题意可证得四边形EMCN是矩形，然后运用矩形和正方形的性质可得到△DEN≌△FEM，进而得到答案；

（2）根据矩形和正方形的性质运用等量代换的方法可证得：△ADE≌△CDG，得到AE=CG=x，进而表示出23．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=32cm，在Rt△ABE中，∠AEB=90，∠B=45°，∴设BE=AE=xcm，则有x2+x2=(32)2，解得x=3，即AE的长度为3cm．（2）解：∵点M，N分别以A，C为起点，以1cm/s的速度沿AD，CB边运动，设点M，N运动的时间为ts(0≤t≤6)，∴AM=CN=tcm．∵AM∥CN，∴四边形AMCN为平行四边形，∴当AN=AM时，四边形AMCN为菱形．∵BE=AE=3cm，EN=(6-t)cm，∴AN2=32+(6-t)2，∴32+(6-t)2=t2，解得t=15故当t为154（3）解：∵MP⊥BC于点P，NQ⊥AD于点Q，QM∥NP，∴四边形MPNQ为矩形，∴当QM=QN时，四边形MPNQ为正方形．∵AM=CN=tcm，BE=3cm，∴AQ=EN=BC-BE-CN=9-3-t=(6-t)cm，∴QM=|AM-AQ|=|t-(6-t)|=、2t-6|(注：分点Q在点M的左右两种情况)．∵QN=AE=3cm，∴|2t-6|=3，解得t=4.5或t=1.5．故当t为4.5或1.5时，四边形MPNQ为正方形．【解析】【分析】（1）根据勾股定理，列算式解答即可；

（2）根据菱形的判定方法，邻边相等的平行四边形为菱形，结合勾股定理，可解答；

（3）根据正方形的判定方法，邻边相等的矩形为正方形，再结合勾股定理可解答，但需要分Q在点M的左右两种情况，所以列式时需加上绝对值.24．【答案】（1）证明：∵四边形OBCA为矩形，∴OB//CA，BC//OA，∴∠BOC=∠OCA，由折叠的性质可得：∠BOC=2∠EOC，∠OCA=2∠OCH，∴∠EOC=∠OCH，∴OE//CH，又∵BC//OA，∴四边形OECH是平行四边形；（2）解：四边形OECH是菱形．理由