2024年中考数学专题之函数的面积、最值和系数问题 讲义

中考专题之函数练习题及答案）模型1一点一垂线基本图形S△AOP＝eq\f(1,2)|k|S△AOC＝S△BOD＝eq\f(1,2)|k|基本图形S△ABC＝eq\f(1,2)|k|S△ABC＝eq\f(1,2)|k|模型特征反比例函数的图象上一点及过这点向坐标轴作垂线的垂足与另一坐标轴上一点(含原点)构成的三角形的面积等于eq\f(1,2)|k|训练1．如图，Rt△OAB与Rt△OBC位于平面直角坐标系中，∠AOB＝∠BOC＝30°，BA⊥OA，CB⊥OB.若AB＝eq\r(,3)，反比例函数y＝eq\f(k,x)(k≠0)恰好经过点C，则k＝________.答案：4eq\r(3)2．如图，在平面直角坐标系中，△OAB为直角三角形，∠A＝90°，∠AOB＝30°，OB＝4.若反比例函数y＝eq\f(k,x)(k≠0)的图象经过OA的中点C，交AB于点D，则k＝________.答案：eq\f(3\r(3),4)3．如图，A，B是双曲线y＝eq\f(k,x)(x>0)上的两点，连接OA，OB.过点A作AC⊥x轴于点C，交OB于点D.若D为AC的中点，△AOD的面积为3，点B的坐标为(m,2)，则m的值为________．答案：6模型2一点两垂线基本图形S矩形PMON＝|k|S1＝S2模型特征过反比例函数的图象上一点作两条坐标轴的垂线，垂线与坐标轴围成的矩形的面积等于|k|训练4．如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A是反比例函数y＝eq\f(k,x)(k≠0)图象上的一点，过点A分别作AM⊥x轴于点M，AN⊥y轴于点N.若四边形AMON的面积为2，则k的值是()A．2 B．－2C．1 D．－1答案：A5．(2023·绍兴)如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝eq\f(k,x)(k为大于0的常数，x>0)图象上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，满足x2＝2x1.△ABC的边AC∥x轴，边BC∥y轴．若△OAB的面积为6，则△ABC的面积是________．答案：2模型3两点一垂线基本图形S△ABM＝|k|S△ABM＝|k|基本图形S△ABC＝S△ADC＋S△CDB＝eq\f(1,2)CD·|yA－yB|S△ABC＝S△BCD＋S△ACD＝eq\f(1,2)CD·|xB－xA|模型特征反比例函数与正比例函数图象的两个交点及由其中一个交点向坐标轴所作垂线的垂足所构成的三角形面积等于|k|.反比例函数与一次函数的交点及坐标轴上任意一点构成的三角形的面积为坐标轴所分的两个三角形面积之和训练6．如图，反比例函数y＝eq\f(k,x)(k＜0)的图象与直线y＝－3x相交于A，B两点，过点A作x轴的垂线，垂足为点C，且点C的横坐标为－1，连接BC，则S△ABC＝()A．4B．6C．2D．3答案：D7．如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝eq\f(m,x)的图象相交于A(－1，n)，B(2，－1)两点，与y轴相交于点C.若点D与点C关于x轴对称，则S△ABD＝________.答案：3模型4两点两垂线基本图形S△APP′＝2|k|S▱AMBN＝AM·NM＝AM·2OM＝2|k|模型特征反比例函数图象与正比例函数图象的两个交点所连线段及由交点向坐标轴所作的两条垂线围成的图形面积等于2|k|训练8．如图，点P(m,1)，点Q(－2，n)都在反比例函数y＝eq\f(4,x)的图象上，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为点M，N.连接OP，OQ，PQ.若四边形OMPN的面积记作S1，△POQ的面积记作S2，则()A．S1∶S2＝2∶3 B．S1∶S2＝1∶1C．S1∶S2＝4∶3 D．S1∶S2＝5∶3答案：C9．如图，正比例函数y＝kx与反比例函数y＝eq\f(6,x)的图象交于A，B两点，BC∥x轴，AC∥y轴，则S△ABC＝________.答案：1210．如图，正比例函数y＝－x与反比例函数y＝eq\f(k,x)的图象相交于A，C两点，AB⊥x轴于点B，CD⊥x轴于点D，当四边形ABCD的面积为6时，则k＝________.答案：-3模型5两曲一平行基本图形S△AOB＝eq\f(1,2)|k1－k2|S△ABC＝S△AOB＝eq\f(1,2)|k1|＋eq\f(1,2)|k2|基本图形S矩形ABCD＝|k1－k2|S矩形ABDC＝2|k1|＋|k2|＋S矩形OECF模型特征两条双曲线上的两点的连线与一条坐标轴平行，求该两点与原点或坐标轴上的点构成的图形面积，一般是过两点向另一坐标轴作垂线，结合k的几何意义求解训练11．如图，矩形OABC与反比例函数y1＝eq\f(k1,x)(k1是非零常数，x>0)的图象交于点M，N，与反比例函数y2＝eq\f(k2,x)(k2是非零常数，x>0)的图象交于点B，连接OM，ON.若四边形OMBN的面积为3，则k1－k2＝()答案：12．如图，过y＝eq\f(k,x)(x>0)的图象上一点A，分别作x轴，y轴的平行线交y＝－eq\f(1,x)的图象于B，D两点，以AB，AD为邻边的矩形ABCD被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为S1，S2，S3，S4，若S2＋S3＋S4＝eq\f(5,2)，则k的值为()A．4 B．3C．2 D．1答案：C二次函数最值问题类型1在全体实数内求最值方法一转化为顶点式y＝a(x－h)2＋k方法二利用坐标公式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))方法三先求出对称轴x＝－eq\f(b,2a)，再代入解析式求值训练1．抛物线y＝eq\f(2,3)x2－4x＋21的最小值是()A．21 B．－21C．15 D．－152．抛物线y＝x2＋8x＋k－1的最小值是5，则k的值是()A．22 B．－22C．21 D．－21答案：C类型2在自变量取值范围内求最值图形求自变量取值范围内的最值，需结合函数图象进行判断：如图，求x1≤x≤x2范围内的最值．方法一通过图象可直接看出y的最大值为y2，最小值为y3方法二通过增减性，可判断在对称轴左侧，y3<y≤y1，在对称轴右侧，y3<y≤y2，所以在对称轴处y取最小值y3；然后根据开口向上，离对称轴越远，y的值越大，所以y2>y1，所以y在x2处取得最大值y2训练3．二次函数y＝－x2－2x＋c在－3≤x≤2的范围内有最小值－5，则c的值是()A．－6 B．－2C．2 D．34．已知二次函数y＝2(x＋1)2＋1，－2≤x≤1，则函数y的最小值是________，最大值是________．答案：D19类型3对称轴不确定，在自变量取值范围内已知最值求参数,以开口向上为例，分三种情况：如图1，当对称轴在m左侧时eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)<m))，y在x＝m时取最小值，在x＝n时取最大值；如图2，当对称轴在m，n之间时eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m<－\f(b,2a)<n))，y在x＝－eq\f(b,2a)时取得最小值(顶点纵坐标)；如图3，当对称轴在n右侧时，y在x＝n时取最小值，在x＝m时取最大值训练5．关于x的二次函数y＝(x－h)2＋3，当1≤x≤3时，函数有最小值4，则h的值为()A．0或2 B．2或4C．0或4 D．0或2或46．当a－1≤x≤a时，函数y＝x2－2x＋1的最小值为1，则a的值为()A．1 B．2C．1或2 D．0或37．当－2≤x≤1时，二次函数y＝－(x－m)2＋m2＋1有最大值4，则实数m的值为___________．答案：CD2或－eq\r(3)抛物线与系数a，b，c的关系类型1由某一函数图象确定其他函数图象的位置第一步：根据已知条件确定系数a，b，c的正负；第二步：根据系数a，b，c的正负确定新函数系数的正负，若已知坐标系内一点的坐标值，需根据点的坐标找出系数a，b，c大致的取值范围，得到有关新函数系数的大概范围；第三步：判断新函数的图象．训练1．一次函数y＝ax＋b(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是()A．B.C.D.答案：c2．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图，则直线y＝abx＋c的图象不经过()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：D3．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图，则一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝eq\f(c,x)在同一平面直角坐标系内的图象大致为()A.B.C.D.答案：B4．如图，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c的图象相交于P，Q两点，则函数y＝ax2＋(b－1)x＋c的图象可能是()A．B.C.D.答案：A类型2由抛物线的位置确定代数式的符号或未知数的值1．解题时遵循“一摆”(摆出与a，b，c有关的基本信息)；“二用”(用基本信息判断各式子是否正确)；“三消元”(若不能解决，则用对称轴或某点坐标代入解析式消元判断)．2．常见考法：(1)a＋b与m(am＋b)的大小关系根据x＝1和x＝m时函数的大小关系判断；(2)只有a，b混合，如a＋2b，a－2b根据对称轴关系判断；(3)只有a，c混合根据“韦达定理”判断；(4)只有b，c混合先用对称轴把b转换成a，再根据(3)的情况分析即可．训练5．(2023·雅安)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于A(－2,0)，B两点，对称轴是直线x＝2，下列结论中：①a>0；②点B的坐标为(6,0)；③c＝3b；④对于任意实数m，都有4a＋2b≥am2＋bm