第五章 分式与分式方程 练习-2023-2024学年北师大版八年级数学下册

第五章分式与分式方程练习北师大版八年级数学下册一、选择题1．下列各式①3x，②x+y5，A．①④ B．①③④ C．①③ D．①②③④2．要使分式xx−1有意义，则xA．x≠0 B．x≠1 C．x≠1且x≠0 D．x>13．已知2x=3y（y≠0），则下面结论成立的是（）A．x3=2y B．xy=4．下列各分式中，是最简分式的是（）A．x2+y2x−y B．x25．如果把分式3nm−n中的m和nA．不变 B．扩大3倍 C．缩小3倍 D．扩大9倍6．《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装袆前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，且四周边衬的宽度相等，则边衬的宽度应是多少米?设边衬的宽度为x米，根据题意可列方程（）A．1.4−x2C．1.4−2x27．分式|x|−4x−4的值为0，则xA．0 B．−4 C．4 D．−4或48．如果解关于x的分式方程2xx−3A．﹣6 B．﹣3 C．6 D．39．如果关于x的分式方程ax+1−3=1−xA．-2 B．0 C．1 D．310．如图1，设k=甲图中阴影部分面积A．0<k<12 B．12<k<1 C．1<k<2二、填空题11．分式32a2b与12．已知ab=5213．化简：m+1m−1−14．设实数a，b满足ab+ba=215．甲、乙二人从同一地点同时出发沿相同路线去往同一目的地，甲一半路程以速度a行驶，一半路程以速度b行驶；乙一半时间乙速度a行驶，一半时间乙速度b行驶，问谁先到达目的地？（a≠b）下列结论：①甲先到；②乙先到；③甲、乙同时到达；④无法判断.其中正确的结论是．（只需填入序号）16．阅读材料：分离整数法就是将分式拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式．如：①x+1x−1②x2+1x−3=x2−9+10x−3=解答问题．已知x为整数，且分式3x−4x−2为整数，则x的值为三、解答题17．解分式方程：xx−118．先化简，再求值：x+2x2−6x+919．数学项目化学习课上，小白和小青在讨论许老师出的一道求值问题：已知非零实数a，b同时满足等式x2+4x=y+4,小白：哈哈！x=y结果为正数．小青：x，y不一定相等哦．结合他们的对话，请解答下列问题：（1）当x=y时，①求x的值．②求xy（2）若x≠y，则xy+20．在双减背景下，西安某中学为让学生们扔下繁重的作业负担，置身于丰富多彩的阅读中，计划开展以“我阅读，我快乐”为主题的阅读分享活动，学校图书室计划选购甲、乙两种图书．已知甲图书每本价格是乙图书每本价格的2.5倍，用800元单独购买甲图书比用800元单独购买乙图书要少（1）甲、乙两种图书每本价格分别为多少元？（2）如果学校图书室计划购买乙图书的本数比购买甲图书本数的2倍多8本，且用于购买甲、乙两种图书的总经费不超过1060元，那么该图书馆最多可以购买多少本乙图书？21．已知实数a，b，c满足a+b+c=0，a2+b22．商店里有A，B两种糖果，A种糖果的单价为a元/千克，B种糖果的单价为b元/千克，且a≠b.商店准备用这两种糖果混合制成若干种什锦糖，什锦糖的定价方法是：若取m千克A种糖果和n千克B种糖果混合制成什锦糖，则什锦糖的售价定为总价除以总质量，即ma（1）某种什锦糖由A，B两种糖果按质量比1：3混合制成，求该种什锦糖的售价.（2）现有甲、乙两种什锦糖，均由A，B两种糖果混合制成，其中甲什锦糖由相同质量的A，B两种糖果混合制成；乙什锦糖由相同总价的A，B两种糖果混合制成，则甲、乙两种什锦糖的售价分别为多少？（3）选择合适的方法比较（2）中甲、乙两种什锦糖的售价哪个更高？23．阅读下面材料，并解答问题.将分式x4解：由分母为x2﹣1，可设x4+x2﹣3＝（x2﹣1）（x2+a）+b.则x4+x2﹣3＝（x2﹣1）（x2+a）+b＝x4﹣x2+ax2﹣a+b＝x4+（a﹣1）x2﹣a+b∴a−1=1−a+b=−3，∴∴x4+x2−3x2−1＝(这样，分式x4+x2−3根据上述作法，将分式x4

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】分式有：①3x，④12−a，

2．【答案】B【解析】【解答】根据题意可得：x-1≠0，

解得：x≠1，

故答案为：B.

【分析】根据分式有意义的条件列出不等式求解即可。3．【答案】B【解析】【解答】∵2x=3y，∴x=32y，∵y≠0，∴x4．【答案】A【解析】【解答】解：A.x2B.x2−y2x+y=(x+y)(x−y)x+y=x−y，B不符合题；

【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．5．【答案】A【解析】【解答】3×3n3m−3n故选A.【分析】把3m，3n分别代入.6．【答案】D【解析】【解答】解：设边衬的宽度为x米，

∵在画四周边衬的宽度相等

∴长为(2.4+2x)米，宽为(1.4+2x)米

∵整幅图画宽与长的比是8：13

∴可列方程1.故答案为：D.【分析】根据题意画四周边衬的宽度相等，可以得到整幅图画的长和宽，根据“整幅图画宽与长的比是8：13”可列出方程，注意是四周长和宽两边都增加了x.7．【答案】B【解析】【解答】解：∵分式x−4x−4的值为0，

∴|x|-4=0且x-4≠0，

解得x=-4．

故答案为：B．8．【答案】A【解析】【解答】解：去分母得：2x+a＝5x﹣15，由分式方程有增根，得到x﹣3＝0，即x＝3，代入整式方程得：6+a＝0，解得：a＝﹣6，故答案为：A.【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出a的值即可.9．【答案】A【解析】【解答】解：2a−y≤−y−43y+42<y−1解不等式组得y≥4+2ay<−2

∵不等式的解集无解，∴a≥−3

ax+1−3=1−xx+1解得x=a−42为负数

∴a<故答案为：A

【分析】解分式方程和不等式组，确定a的取值范围；注意分式方程要验根，增根要舍去。10．【答案】C【解析】【解答】解：甲图中的阴影部分面积=a2-b2，

乙图中的阴影部分面积=a2-ab，

K=a2−b2a2−ab=(a+b)(a−b)a(a−b)=a+ba

=1+ba【分析】分别把图甲和图乙的阴影部分面积用字母表示出来，则k的表达式可知，然后再对右边分式的分子分母分解因式，约分化简，结合a>b>0，则值ba11．【答案】2【解析】【解答】解：分式32a2b与a−bab2c的最简公分母是12．【答案】3【解析】【解答】a−bb＝ab－1＝52故答案为：32

【分析】先逆用同分母分式相加减的法则把a−bb转化为a13．【答案】1【解析】【解答】解：原式=m+1−2m−1故答案为：1.【分析】同分母分式计算，分母不变，分子相加减.14．【答案】1【解析】【解答】解：∵ab∴a2∴a2故答案为：12【分析】先求出a215．【答案】②【解析】【解答】解：设总路程为1，甲走完全程用的时间为m，乙走完全程用的时间为n，

甲：m=12÷a+12÷b=a+b2ab，

乙：n16．【答案】3或1或4或0【解析】【解答】解：∵3x−4x−2=3x−6+2x−2=3（x−2）+2x−2又∵3x−4x−2∴x-2的值为1或-1或2或-2，∴x的值为3或1或4或0．故答案为：3或1或4或0．【分析】将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，再根据分式值为整数，即可得到x的整数值．17．【答案】解：去分母，得3(x−1)=x+3，解得，x=3，检验：当x=3时，x−1≠0，∴原方程的解为x=3．【解析】【分析】首先去掉分母，观察可得最简公分母是x−1，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，然后解一元一次方程，最后检验即可求解．18．【答案】x+2==−1当x=2019时，原式=−1．【解析】【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．19．【答案】（1）解：①当x=y时，x2整理得x2(x−1)(x+4)=0，解得x1②∵x=y，

∴xy=y（2）23【解析】【解答】解：（2）当x≠y时，联立方程组得x将①−②，得：x整理，得：x2(x−y)(x+y+5)=0，又∵x≠y∴x+y=−5，将①+②，得：x2整理，得：x2∴x∴xy=∴xy故答案为：23．【分析】（1）①当x=y时，x2+4x=x+4，整理得到x2+3x−4=0，然后利用因式分解法解此方程即可求出x的值；

②将x和y的值代入计算即可；

（2）当x≠y时，联立方程组得x2+4x=y+4①y2+4y=x+4②，用①-②得x+y=−520．【答案】（1）解：设乙图书每本价格为x元，则甲图书每本价格是2.根据题意可得：800x解得：x=20，经检验得：x=20是原方程的根，且符合题意．则2.答：甲图书每本价格是50元，乙图书每本价格为20元；（2）解：设购买甲图书本数为a，则购买乙图书的本数为：2a+8，故50a+20（2a+8）≤1060，解得：a≤10，故2a+8≤28，答：该图书馆最多可以购买28本乙图书．【解析】【分析】（1）设乙图书每本价格为x元，则甲图书每本价格是2.5x元，根据“用800元单独购买甲图书比用800元单独购买乙图书要少24本”列出方程并解之即可；

（2）设购买甲图书本数为a，则购买乙图书的本数为2a+8，根据：购买甲、乙两种图书的总经费不超过21．【答案】解：∵a+b+c=0，∴a+b=−c，两边同时平方得(a+b)2即a2∴2ab=c又∵a2∴a2∴2ab=c即ab=c同理可得ac=b2−原式=(=a=a=a=(=(=(=(=(=a=1+=52【解析】【分析】根据a+b+c=0得a+b=-c，两边同时平方得2ab=c2-(a2+b2)，结合a2+b2+c2=1得ab=c2-12，同理得ac=b2-12，bc=a2-1222．【答案】（1）解：设A种糖果x千克，则B种糖果3x千克，由题意得，

ax+3xbx+3x=a+3b4元/千克，（2）解：设甲什锦糖由y千克的A和y千克的B两种糖果混合制成，

售价为：ay+byy+y=a+b2元/千克，

设乙什锦糖由c元的A和c元的B两种糖果混合制成，

售价为：2cca+cb=2ab（3）解：a+b2−2aba+b=（