2024年中考数学三轮冲刺备考圆专题之模型训练：圆综合之正A型 专项训练（一）

2024年中考数学三轮冲刺备考圆专题之模型训练圆综合之正A型专项训练（一）1．如图，在△ABC中，∠BCA=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点P，点Q是线段AC的中点，连接QP并延长交CB的延长线于点D．（1）求证：直线PQ是⊙O的切线；（2）若AP=6,tan①求⊙O的半径的长；②求PD的长．2．如图，AB=BC，以BC为直径的⊙O，与AC交于点E，过点E作EG⊥AB于点F，交CB的延长线于点G．（1）求证：EG是⊙O的切线；（2）若GF=3，GB=5，求⊙O的半径．3．如图，在△ABC中，O是边AD上的一点，以点O为圆心，OD的长为半径，⊙O恰好与边AB相切于点B，与边AD交于点C，连接BC．（1）求证：△ABC∽△ADB．（2）若AB＝5，AC＝3，求⊙O的半径．4．如图，CD是⊙O的直径，点B在⊙O上，点A为DC延长线上一点，过点O作OE∥BC交AB的延长线于点E，且∠D=∠E（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若线段OE与⊙O的交点F是OE的中点，⊙O的半径为6，求阴影部分的面积．5．如图，AB是⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，连接BD，过点O作OF⊥AD于点E，交CD于点F．（1）求证：∠ADC=∠AOF；（2）若sinC=13，BD=86．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC，过B作BD∥OC交⊙O于点D，连接CD并延长，交AB延长线于E．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若BE=2，DE=4，求7．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D为斜边BC的中点，以AD为直径作⊙O，分别与AB，AC边交于点E，F，连接DE，过点F作（1）求证：FG是⊙O（2）已知⊙O的半径为52，若AE=38．如图，直角三角形ABC中，∠C＝90°，点E为AB上一点，以AE为直径的⊙O上一点D在BC上，且AD平分∠BAC．（1）证明：BC是⊙O的切线；（2）若BD＝4，BE＝2，求AB的长．9．如图，AB是⊙O的直径，CB，CD分别与⊙O相切于点B，D，连接OC，点E在AB的延长线上，延长AD，EC交于点F．

（1）求证：FA//（2）若FA=FE，CD=4，BE=2，求FA的长．10．如图①，在⊙O中，AB为直径，C为⊙O上一点，∠A＝30°，过点C作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点P．（Ⅰ）求∠P的大小；（Ⅱ）如图②，过点B作CP的垂线，垂足为点E，与AC的延长线交于点F，①求∠F的大小；②若⊙O的半径为2，求AF的长．11．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线CD，交AB的延长线于点D，过点A作AE⊥CD于点E.（1）若∠EAC=25°，求（2）若OB=2，BD=1，求12．36.如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连结AD．已知∠CAD=∠B．（1）求证：AD是⊙O的切线．（2）若BC=8，tanB=12，求⊙O参考答案1．【答案】（1）证明：连接OP、CP∵BC是⊙O的直径，∴∠BPC=90°，则∠APC=90°，又∵Q是AC的中点，∴PQ=CQ．∴∠QCP=∠QPC，∵∠BCA=90°，∴∠OCP+∠QCP=90°，∵OC=OP，∴∠OCP=∠OPC，∴∠OPC+∠QPC=90°，即∠OPQ=90°，∴直线PQ是⊙O的切线；（2）解：①在Rt△APC中，∵AP=6,tan∴CP=AP·tan∴AC=A在Rt△ABC中，∴BC=AC·tan∴⊙O的半径长为35②在Rt△ABC中，∴AB=A连接OQ，，∵Q是AC的中点，O是BC的中点，∴OQ∥AB，OQ=12AB=∵OP=OC,∴OQ垂直平分PC，∴∠CPQ+∠PQO=90°，∵∠CPQ+∠APQ=90°，∴∠APQ=∠PQO=∠BPD，∵∠D=∠D，∴△DOQ∽△DBP，∴DPDQ=BP∵PQ=1∴DPDP+解得：PD=52．【答案】（1）证明：如图，连接OE，∵AB=BC，∴∠A=∠C．∵OE=OC，∴∠OEC=∠C，∴∠A=∠OEC，∴OE∥AB．∵BA⊥GE，∴OE⊥EG，∵OE为半径，∴EG是⊙O得切线．解：∵BF⊥GE，∴∠BFG=90°，∵GF=3，GB=5，∴BF=B∵BF∥OE，∴△BGF∽△OGE∴BF即4OE∴OE=20，即⊙O的半径为203．【答案】（1）证明：连接OB，∵AB与圆相切于B，∴OB⊥AB，∴∠ABC+∠CBO＝90°，∵CD是圆的直径，∴∠CBD＝90°，∴∠D+∠OCB＝90°，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠D＝∠ABC，∵∠CAB＝∠BAD，∴△ABC∽△ADB．（2）解：∵△ABC∽△ADB，∴AB：AD＝AC：AB，∵AB＝5，AC＝3，∴5：AD＝3：5，∴AD＝253∴CD＝AD﹣AC＝163∴⊙O的半径是12CD＝84．【答案】（1）证明：连接OB，

∵CD是⊙O的直径，

∴BC⊥BD，即∠CBD=90°∵OE∥BC，

∴∠DGO=∴∠BGE=∠DGO=90°∵∠D=∠E，

∵OE=OB，

∴∠D=∴∠OBD+∴∠OBE=90°∵OB是⊙O的半径，∴AE是⊙O的切线；（2）解：连接BF，∵∠OBE=90°，F是OE的中点，

∴BF=OF∵⊙O的半径为6，∠DGO=90°∴BF=OF=OB=6，∠BGO=180°−∴△OBF是等边三角形，

∴∠BOF=60°∴∠OBG=90°−∴OG=12OB=3∴阴影部分的面积为：S扇形∴阴影部分的面积为6π5．【答案】（1）证明：连结OD，∵CD是⊙O的切线，D是切点，∴OD⊥CD，∴∠CDO=90°，∴∠ADC+∠ADO=90°，∵OF⊥AD于点E，∴∠OEA=90°，∴∠AOF+∠DAO=90°，∵OA=OD，∴∠ODA=∠DAO，∴∠ADC=∠AOF；（2）解：设⊙O的半径为，则OD=OB=r，∵sin∴OC=3r，BC=4r，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵OF⊥AD于点E，∴∠AEO=90°，∴∠AEO=∠ADB=90°，∴OF//∴ΔCFO∽ΔCDB，∴OF∴OF∴OF=6．6．【答案】（1）证明：如图，连接OD∵BD∥OC∴∠AOC=∠OBD，∠COD=∠ODB∵OB=OD∴∠OBD=∠ODB∴∠AOC=∠COD在△AOC与△DOC中OA=OD∠AOC=∠DOC∴△AOC≌△DOC（SAS）∴∠OAC=∠ODC∵AC是⊙O切线．∴∠ODC=∠OAC=90°∴CE⊥OD∵点D在⊙O上，OD为⊙O半径，且CE⊥OD∴CE是⊙O的切线（2）解：∵CE是⊙O的切线∴∠ODE=90°设⊙O半径为r，在Rt△ODE中，∠ODE=90°，由勾股定理得：OE∵BE=2，DE=4∴(解得：r=3∵△AOC≌△DOC∴AC=DC设AC=DC=x，在Rt△ACE中，∠CAE=90°，由勾股定理得：CE∴(解得：x=6∴CD的长为67．【答案】（1）证明：如图，连接OF，在Rt△ABC中，D为∴CD∴AD∴∠BAD∵OF∴∠OAF∴∠OFA∴OF∵FG∴FG∴FG是⊙（2）解：如图，连接DF，∵AD是⊙∴∠AED∵∠BAC∴四边形AEDF为矩形，∴DF∵BD∴CF8．【答案】（1）证明：连接OD，AD平分∠BAC∴∠1＝∠2∵OA＝OD∴∠2＝∠3∴∠1＝∠3，∴AC//OD∵∠C＝90°∴∠ODE＝90°，即OD⊥BC，∵OD是半径∴BC是⊙O的切线，（2）解：设OD＝OE＝r，在Rt△ODB中，BD＝4，BE＝2，故OB＝r＋2由勾股定理，得：r解之，得：r＝3故OD＝OA＝OE＝3，AB＝6＋2＝8．9．【答案】（1）证明：如图1，连接BD，OD，

∵CD，CB均为⊙O的切线，

∴CD=CB，∠ODC=∠OBC=90°，

在Rt△ODC和Rt△OBC中，

OC=OCOD=OB，

∴Rt△ODC≌Rt△OBC(HL)，

∴∠OCD=∠OCB，

∵△CDB为等腰三角形，

∴OC⊥BD，

∵AB为直径，

∴∠ADB=90°，

∴AF⊥BD，

∴FA//（2）解：如图2，

∵CD=4，

∴CB=CD=4，

∵∠OBC=90°，

∴∠EBC=90°，

∵BE=2，

∴CE=CB2+BE2=42+22=25，

∵FA=FE，

∴∠A=∠E，

∵FA//CO，

∴∠A=∠COE，

∴∠COE=∠E，

∴CO=CE，

∵CB⊥OE，

∴OB=BE=2，

∴OA=2，

∴AE=6，OE=4，10．【答案】解：（Ⅰ）如图，连接OC．∵⊙O与PC相切于点C，∴OC⊥PC，即∠OCP=90°，∵∠A=30°，∴∠BOC=2∠A=60°，在Rt△OPC中，∠POC+∠P=90°，∴∠P=90°−60°=30°；（Ⅱ）①由（I）得∠OCP=90°，又∵BF⊥PC，即∠PEB=90°∴OC//BF∴∠F=∠ACO=∠A=30°；②由①∠F=∠A，∴AB=BF，连接BC，∵AB是直径，∴∠BCA=90°，即BC⊥AF，∴AC=CF∵∠BOC=60°，OC=OB，∴△OBC是等边三角形，∴BC=OC=2，∴AC=A∴AF=4311．【答案】（1）解：∵AE⊥CD，

∴∠E=90°，

∴∠ACD=∠E+∠EAC=90°+25°=115°；（2）解：∵CD是⊙O的切线，OC是⊙O的半径，∴∠OCD=90在Rt△OCD中，∵OC=OB=2，∴CD=O∵∠OCD=∠AEC=90∴OC//∴CD∴CE=2【答案】（1）证明：连结OD，∵OB=OD，∴∠3=∠B。∵∠B=∠1，