反比例函数与特殊三角形 重点题型训练2023-2024学年苏科版数学八年级下册

八年级下册重点知识点训练反比例函数章节重点题型训练题型八：反比例函数与特殊三角形①反比例函数与等腰三角形②反比例函数与全等三角形反比例函数章节重点题型训练题型八：反比例函数与特殊三角形模块一：反比例函数与等腰三角形1.在平面直角坐标系中，直线经过点，反比例函数的图像经过点A和点．(1)求反比例函数的解析式；(2)在x轴上找一点，△ABC为等腰三角形，求点的坐标．2.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于一、三象限内的A、B两点，直线与x轴交于点，点B的坐标为．(1)求反比例函数的解析式；(2)求△AOB的面积；(3)在x轴上是否存在一点P，使△AOP是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．3.已知反比例函数（m为常数）的图象在第一、三象限．(1)求m的取值范围；(2)如图，若该反比例函数的图象经过□ABOD的顶点D，点A，B的坐标分别为（0，4），（﹣3，0）．①求出函数解析式；②【分类讨论思想】设点P是该反比例函数图象上的一点，若以D，O，P为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P的个数为______个．4.如图，一次函数的图像经过，交y轴于点A，反比例函数的图像经过点B．(1)求反比例函数表达式；(2)将直线AB向右平移个单位长度，得到对应直线MN，求直线MN与反比例函数图像的交点坐标；(3)将线段AB向右平移m个单位长度，得到对应线段CD，连接AC、BD.在线段AB运动过程中，连接BC，若是以BC为腰的等腰三角形，求所有满足条件的的值．模块二：反比例函数与全等三角形1.如图，直线AP的解析式y＝kx+4k分别交于x轴、y轴于A、C两点，与反比例函数y＝（x＞0）交于点P．且PB⊥x轴于B点，S△PAB＝9．（1）求一次函数解析式；（2）点Q是x轴上的一动点，当QC+QP的值最小时，求Q点坐标；（3）设点R与点P同在反比例函数的图象上，且点R在直线PB的右侧，作RT⊥x轴于T点，交AC于点M，是否存在点R，使得△BTM与△AOC全等？若存在，求点R的坐标；若不存在，说明理由．2.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限C，D两点，坐标轴交于A、B两点，连结OC，OD（O是坐标原点）．（1）利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值；（2）求△DOC的面积．（3）双曲线上是否存在一点P，使得△POC和△POD全等？若存在，给出证明并求出点P的坐标；若不存在，说明理由．3.如图，在平面直角坐标系中，点P在直线上（点P在第一象限），过点P作PA⊥x轴，垂足为A，且OP＝．(1)求点P的坐标；(2)如果点M和点P都在反比例函数（k≠0）的图像上，过点M作MN⊥x轴，垂足为N．如果△MNA和△OAP全等（点M、N、A分别和点O、A、P对应），求点M的坐标．4.如图，矩形OABC的顶点B的坐标为(1，2)，反比例函数y＝(0<m<2)的图象与AB交于点E，与BC交于点F，连接OE、OF、EF．(1)若点E是AB的中点，则m＝，S△OEF＝；(2)若S△OEF＝2S△BEF，求点E的坐标；(3)是否存在点E及y轴上的点M，使得△MFE与△BFE全等?若存在，写出此时点E的坐标；若不存在，说明理由．参考答案模块一：反比例函数与等腰三角形1.在平面直角坐标系中，直线经过点，反比例函数的图像经过点A和点．(1)求反比例函数的解析式；(2)在x轴上找一点，△ABC为等腰三角形，求点的坐标．【答案】(1)(2)或或或【详解】（1）解：∵直线经过点，∴，∴，∴，∵反比例函数的图像经过点，∴，∴，∴反比例函数解析式为．∵反比例函数的图像经过点，∴，∴，设直线的解析式为，∴，解得：，∴直线的解析式为，设点，∴，，，当点满足以下三种情况时，△ABC为等腰三角形：①当时，得：，解得：，∴；②当时，得：，解得：，，当时，，即点此时在直线上，不符合题意，舍去，∴；③当时，得：，解得：，，∴点的坐标为或．综上所述，点的坐标为或或或．2.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于一、三象限内的A、B两点，直线与x轴交于点，点B的坐标为．(1)求反比例函数的解析式；(2)求△AOB的面积；(3)在x轴上是否存在一点P，使△AOP是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)6(3)点的坐标为：或或或【详解】（1）解：∵点在上，∴，∴，∵在上，∴，∴反比例函数的解析式为：（2）∵交轴于点，∴，∵与交于点，∴，∴；∵，∴，当时，或，当时，如图1，过作于，∵，∴，∴，时，如图2，过作于，∴，，∴，∵，∴，∴，∴综上所述：点的坐标为：或或或3.已知反比例函数（m为常数）的图象在第一、三象限．(1)求m的取值范围；(2)如图，若该反比例函数的图象经过□ABOD的顶点D，点A，B的坐标分别为（0，4），（﹣3，0）．①求出函数解析式；②【分类讨论思想】设点P是该反比例函数图象上的一点，若以D，O，P为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P的个数为______个．【答案】(1)m＜1(2)①y＝；②4（1）解：∵反比例函数（m为常数）的图象在第一、三象限．∴1﹣m＞0，∴m＜1；（2）解：∵B（﹣3，0），∴OB＝3，∵四边形ABOD是平行四边形，∴ADOB，AD＝OB＝3，∵A（0，4），∴D（3，4），①∵点D是反比例函数y＝的图象上，∴1﹣m＝3×4＝12，∴反比例函数的解析式为y＝；②∵以D，O，P为顶点的三角形是等腰三角形，∴Ⅰ、当OD＝DP时，如图，点和；Ⅱ、当OD＝OP时，如图中，和点；Ⅲ、当OP＝DP时，则点P在OD的垂直平分线上，即此种情况不存在；4.如图，一次函数的图像经过，交y轴于点A，反比例函数的图像经过点B．(1)求反比例函数表达式；(2)将直线AB向右平移个单位长度，得到对应直线MN，求直线MN与反比例函数图像的交点坐标；(3)将线段AB向右平移m个单位长度，得到对应线段CD，连接AC、BD.在线段AB运动过程中，连接BC，若是以BC为腰的等腰三角形，求所有满足条件的的值．【答案】(1)(2)直线与反比例函数图像的交点坐标为：，(3)是以为腰的等腰三角形，满足条件的的值为或【详解】（1）解：将点代入直线的解析式中，得，，，将代入反比例函数解析式中，得，反比例函数表达式为：；（2）解：将直线向右平移个单位长度，得到对应直线，直线的解析式为：，联立，解得或，直线与反比例函数图像的交点坐标为：，；（3）解：如图所示：将线段向右平移个单位长度，得到对应线段，，，一次函数的图像交轴于点，根据轴上点的横坐标为，当时，，即，，，，，若是以为腰的等腰三角形，需要分以下两种情况：Ⅰ、当时，，点在线段的垂直平分线上，；Ⅱ、当时，，，，，；综上可知，是以为腰的等腰三角形，满足条件的的值为或．模块二：反比例函数与全等三角形1.如图，直线AP的解析式y＝kx+4k分别交于x轴、y轴于A、C两点，与反比例函数y＝（x＞0）交于点P．且PB⊥x轴于B点，S△PAB＝9．（1）求一次函数解析式；（2）点Q是x轴上的一动点，当QC+QP的值最小时，求Q点坐标；（3）设点R与点P同在反比例函数的图象上，且点R在直线PB的右侧，作RT⊥x轴于T点，交AC于点M，是否存在点R，使得△BTM与△AOC全等？若存在，求点R的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）直线AP解析式为y＝x+2；（2）Q（0.8，0）；（3）R坐标为（4，1.5）．【详解】（1）直线AP解析式y＝kx+4k＝k（x+4），得到A（﹣4，0），即OA＝4，设OB＝a，PB＝b，即P（a，b），代入反比例解析式得：ab＝6，∵S△PAB＝AB•PB＝9，∴（a+4）b＝9，即ab+4b＝6+4b＝18，解得：a＝2，b＝3，即P（2，3），将P（2，3）代入直线y＝kx+4k中得：3＝2k+4k，解得：k＝，则直线AP解析式为y＝x+2；对于直线y＝x+2，令x＝0，得到y＝2，即C（0，2），OC＝2，找出C关于x轴的对称点C′（0，﹣2），连接PC′，交x轴与Q点，此时QC+QP最短，设直线C′P解析式为y＝mx+n，将P（2，3）与C′（0，﹣2）代入得：，解得：m＝2.5，n＝﹣2，∴直线C′P解析式为y＝2.5x﹣2，令y＝0，得到x＝0.8，即Q（0.8，0）；若△BTM≌△COA，则有BT＝OC＝2，MT＝OA＝4，∴OT＝OB+BT＝2+2＝4，即M（4，4），将x＝4代入直线OP解析式得：y＝×4+2＝2+2＝4，即M在直线AP上，将x＝4代入反比例解析式得：y＝＝1.5，此时R坐标为（4，1.5）．2.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限C，D两点，坐标轴交于A、B两点，连结OC，OD（O是坐标原点）．（1）利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值；（2）求△DOC的面积．（3）双曲线上是否存在一点P，使得△POC和△POD全等？若存在，给出证明并求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【答案】1），m=1；（2）=1.5；（3）P（，）或P（-，）【详解】（1）∵点C（1，2）在反比例函数图象上，∴k=2，∴反比例函数解析式为，∵点B（2，m）在反比例函数图象上，∴m==1．（2）如图，过点C作⊥OA于E，过点D作DF⊥OA于F，∵C（1，2），D（2，1），∴CE=2，DF=1，∵C、D在一次函数的图象上，∴，解得：，∴一次函数解析式为y=-x+3，当y=0时，x=3，∴A点坐标为（3，0），∴OA=3∴=S△AOC-S△AOD===1.5．（3）设点P坐标为（n，），∵C（2，1），D（1，2），∴OC=OD，∵△POC和△POD全等，∴PC=PD，∴，解得：，∴P（，）或P（，），∴双曲线上存在一点P，使得△POC和△POD全等，P（，）或P（，）．3.如图，在平面直角坐标系中，点P在直线上（点P在第一象限），过点P作PA⊥x轴，垂足为A，且OP＝．(1)求点P的坐标；(2)如果点M和点P都在反比例函数（k≠0）的图像上，过点M作MN⊥x轴，垂足为N．如果△MNA和△OAP全等（点M、N、A分别和点O、A、P对应），求点M的坐标．【答案】(1)P（4,2）(2)M（2,4）【详解】(1)∵点P在直线上，∴设．∵OP＝，∴，解得：，∴；∵点P在反比例函数（k≠0）的图像上，∴k=4×2=8，∴．如果△MNA和△OAP全等（点M、N、A分别和点O、A、P对应），当N在点A的左侧时，，，∴，∴在反比例函数图像上；当N在点A的右侧时，，，∴，∴不在反比例函数图像上，∴．4.如图，矩形OABC的顶点B的坐标为(1，2)，反比例函数y＝(0<m<2)的图象与AB交于点E，与BC交于点F，连接OE、OF、EF．(1)若点E是AB的中点，则m＝，S△OEF＝；(2)若S△OEF＝2S△BEF，求点E的坐标；(3)是否存在点E及y轴上的点M，使得△MFE与△BFE全等?若存在，写出此时点E的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）m=1；S△OEF=；(2)点E的坐标为（1，）（3）存在；E点坐标为（1，）【】：（1）∵B点坐标为（1，2），点E是AB的中点，AB⊥X轴，∴E点坐标为（1，1），∵点E在函数为y=上，∴1=，∴m=1把y=2代入y=得=2，解得x=，∴F点坐标为（，2），∴S△OEF=S矩形ABCO-S△AOE-S△OCF-S△BEF=1×2-×1×1-××2-××1=；根据题意，E（1，m)，F(,2)∴S△BEF=，∵S