2023-2024学年黑龙江省哈尔滨三十九中九年级（下）开学数学试卷（五四学制）

2023-2024学年黑龙江省哈尔滨三十九中九年级（下）开学数学试卷（五四学制）一、选择题1．（3分）的相反数为（）A．5 B．﹣ C． D．﹣52．（3分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（）A． B． C． D．3．（3分）下列运算正确的是（）A．3a+2b＝5ab B．a2•a3＝a6 C．a•a4＝a4 D．（a3b）2＝a6b24．（3分）在数轴上表示不等式＜0的解集，正确的是（）A． B． C． D．5．（3分）某班在开展劳动教育课程调查中发现，第一小组6名同学每周做家务的天数依次为3，7，5，6，5，4（单位：天），则这组数据的众数和中位数分别为（）A．5和5 B．5和4 C．5和6 D．6和56．（3分）函数y＝kx+3的图象经过点（2，5），则k的值（）A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣27．（3分）两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成，设乙队单独完成总工程共需x个月，列方程正确的是（）A． B． C． D．8．（3分）综合实践课上，嘉嘉画出△ABD，利用尺规作图找一点C，使得四边形ABCD为平行四边形．（1）～（3）是其作图过程．（1）作BD的垂直平分线交BD于点O；（2）连接AO，在AO的延长线上截取OC＝AO；（3）连接DC，BC，则四边形ABCD即为所求．在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（）A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等9．（3分）如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，EF⊥AB于点F，连接DE并延长，交边BC于点M，交边AB的延长线于点G．若AF＝2，FB＝1，则MG＝（）A．2 B． C．+1 D．10．（3分）如图1，点P从等边三角形ABC的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形ABC的边长为（）A．6 B．3 C． D．二、填空题11．（3分）风能是一种清洁能源，我国风能储量很大，仅陆地上风能储量就有253000兆瓦，用科学记数法表示为兆瓦．12．（3分）计算的结果是．13．（3分）分解因式：m2n+6mn+9n＝．14．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D是⊙O上一点，∠CDB＝55°，则∠ABC＝°．15．（3分）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，AD是锐角△ABC的高，则BD＝（BC+）．当AB＝7，BC＝6，AC＝5时，CD＝．16．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根分别为x1和x2，则x1+x2﹣x1x2的值为．17．（3分）矩形ABCD中，M为对角线BD的中点，点N在边AD上，且AN＝AB＝1．当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，AD的长为．18．（3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的动点，M，N分别是EF，AF的中点，则MN的最大值为．三、解答题19．（7分）先化简，再求值：，其中a＝2sin45°﹣2cos60°．20．（7分）如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中有一个△ABC，△ABC的三个顶点均与小正方形的顶点重合．（1）在图中画线段AD．使AD∥BC（点D在小正方形的顶点上）；（2）在图中画以AC为底，面积为10的等腰△ACE（点E在小正方形的顶点上），连接DE，请直接写出DE的长．21．（7分）已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k+4）x+k﹣6＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）当k＝1时，用配方法解方程．22．（7分）中学生心理健康受到社会的广泛关注，某校开展心理健康教育专题讲座，就学生对心理健康知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．根据图中信息回答下列问题：（1）接受问卷调查的学生共有人，条形统计图中m的值为，扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为；（2）若该校共有学生800人，根据上述调查结果，可以估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为人；（3）若某班要从对心理健康知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加心理健康知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名女生的概率．23．（8分）已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线BD是⊙O的直径．（1）如图1，连接OA，CA，若OA⊥BD，求证：CA平分∠BCD；（2）如图2，E为⊙O内一点，满足AE⊥BC，CE⊥AB．若BD＝3，AE＝3，求弦BC的长．24．（10分）捷报电脑公司生产一批电脑，每台电脑的出厂价比成本价多1000元；若每台电脑的出厂价不变，成本价提高了12.5%，此时每台电脑仍可获利500元．（1）求该品牌电脑的成本价和出厂价分别是多少元？（2）频传公司在捷报电脑公司以出厂价购进一批电脑，第一个月以比出厂价提高20%的价格销售30台电脑；第二个月以第一个月销售价九折的价格，将剩余的电脑全部售完，若两个月售出电脑所获得的总利润不低于38000元，求频传公司至少购进了多少台电脑？25．（10分）【问题呈现】△CAB和△CDE都是直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，CB＝mCA，CE＝mCD，连接AD，BE，探究AD，BE的位置关系．【问题探究】（1）如图1，当m＝1时，直接写出AD，BE的位置关系：．（2）如图2，当m≠1时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．【拓展应用】（3）当m＝，AB＝4，DE＝4时，将△CDE绕点C旋转，使A，D，E三点恰好在同一直线上，求BE的长．26．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴相交于点A（﹣1，0），B（﹣4，0），与y轴相交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求的值；（3）如图2，取线段OC的中点D，在抛物线上是否存在点Q，使tan∠QDB＝？若存在，直接写出Q点坐标．

2023-2024学年黑龙江省哈尔滨三十九中九年级（下）开学数学试卷（五四学制）参考答案与试题解析一、选择题1．【分析】依据相反数的定义求解即可．【解答】解：的相反数为﹣．故选：B．【点评】本题主要考查的是相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．2．【分析】根据几何体的三视图分析解答即可．【解答】解：由几何体的三视图可得该几何体是B选项，故选：B．【点评】此题考查由三视图判断几何体，关键是熟悉几何体的三视图．3．【分析】直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案．【解答】解：A、3a+2b，无法计算，故此选项不合题意；B、a2•a3＝a5，故此选项不合题意；C、a•a4＝a5，故此选项不合题意；D、（a3b）2＝a6b2，故此选项符合题意．故选：D．【点评】此题主要考查了合并同类项以及积的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．4．【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．【解答】解：＜0，x﹣1＜0，x＜1，在数轴上表示为，故选：A．【点评】本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，能求出不等式的解集是解此题的关键．5．【分析】根据众数和中位数的概念求解．【解答】解：将数据重新排列为3，4，5，5，6，7，所以这组数据的众数为5，中位数为＝5．故选：A．【点评】本题考查了众数和中位数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．6．【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k的值．【解答】解：∵函数y＝kx+3的图象经过点（2，5），∴5＝2k+3，解得：k＝1，∴k的值为1．故选：B．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b”是解题的关键．7．【分析】设乙队单独施1个月能完成总工程的，根据甲队完成的任务量+乙队完成的任务量＝总工程量（单位1），即可得出关于x的分式方程，此题得解．【解答】解：设乙队单独施1个月能完成总工程的，根据题意得：+×+＝1，即．故选：D．【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．8．【分析】根据：“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证明．【解答】解：由作图得：DO＝BO，AO＝CO，∴四边形ABCD为平行四边形，故选：C．【点评】本题考查了复杂作图，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．9．【分析】根据相似三角形的判定结合正方形的性质证得△AEF∽△ACB，求得AC＝3，根据相似三角形的性质求得AE＝2，CE＝，证得△ADE∽△CME，根据相似三角形的性质得到CM＝＝BM，证得△CDM≌△BGM，求出BG，根据勾股定理即可求出MG．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AF＝2，FB＝1，∴CD＝AD＝AB＝BC＝3，∠ADC＝∠DAB＝∠ABC＝90°，DC∥AB，AD∥BC，∴AC＝＝3，∵EF⊥AB，∴EF∥BC，∴△AEF∽△ACB，∴＝，∴＝，∴EF＝2，∴AE＝＝2，∴CE＝AC﹣AE＝，∵AD∥CM，∴△ADE∽△CME，∴＝，∴＝＝2，∴CM＝＝BM，在△CDM和△BGM中，，∴△CDM≌△BGM（SAS），∴CD＝BG＝3，∴MG＝＝＝．故选：B．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．10．【分析】如图，令点P从顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点O，再从点O沿直线运动到顶点B，结合图象可知，当点P在AO上运动时，PB＝PC，AO＝，易知∠BAO＝∠CAO＝30°，当点P在OB上运动时，可知点P到达点B时的路程为，可知AO＝OB＝，过点O作OD⊥AB，解直角三角形可得AD＝AO•cos30°，进而得出等边三角形ABC的边长．【解答】解：如图，令点P从顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点O，再从点O沿直线运动到顶点B，\结合图象可知，当点P在AO上运动时，，∴PB＝PC，，又∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC，∴△APB≌△APC（SSS），∴∠BAO＝∠CAO＝30°，当点P在OB上运动时，可知点P到达点B时的路程为，∴OB＝，即AO＝OB＝，∴∠BAO＝∠ABO＝30°，过点O作OD⊥AB，垂足为D，∴AD＝BD，则AD＝AO•cos30°＝3，∴AB＝AD+BD＝6，即等边三角形ABC的边长为6．故选：A．【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是综合利用两个图形给出的条件．二、填空题11．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：数字253000用科学记数法可表示为2.53×105．故答案为：2.53×105．【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．12．【分析】先把各个二次根式化成最简二次根式，然后合并即可．【解答】解：原式＝2+＝3．故答案为3．【点评】本题考查了二次根式相加减法：先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．13．【分析】先提公因式，再运用完全平方公式．【解答】解：原式＝n（m2+6m+9）＝n（m+3）2．故答案为：n（m+3）2．【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握提公因式法和因式分解的完全平方公式是解决本题的关键．14．【分析】根据圆周角定理和三角形的内角和定理即可得到结论．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠A＝∠D＝55°，∴∠ABC＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝35°，故答案为：35．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：熟练掌握三角形的外心的定义与性质．也考查了圆周角定理．15．【分析】根据BD＝（BC+）和AB＝7，BC＝6，AC＝5，可以计算出BD的长，再根据BC的长，即可计算出CD的长．【解答】解：∵BD＝（BC+），AB＝7，BC＝6，AC＝5，∴BD＝（6+）＝5，∴CD＝BC﹣BD＝6﹣5＝1，故答案为：1．【点评】本题考查新定义、直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答．16．【分析】直接利用根与系数的关系x1+x2＝＝3，x1x2＝＝1，再代入计算即可求解．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根分别为x1和x2，∴x1+x2＝＝3，x1x2＝＝1，∴x1+x2﹣x1x2＝3﹣1＝2．故答案为：2．【点评】本题主要考查根与系数的关系，熟记根与系数的关系时解题关键．根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝．17．【分析】以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，分两种情况：如图1，当∠MND＝90°时，如图2，当∠NMD＝90°时，根据矩形的性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，分两种情况：①如图1，当∠MND＝90°时，则MN⊥AD，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∴MN∥AB，∵M为对角线BD的中点，∴AN＝DN，∵AN＝AB＝1，∴AD＝2AN＝2；如图2，当∠NMD＝90°时，则MN⊥BD，∵M为对角线BD的中点，∴BM＝DM，∴MN垂直平分BD，∴BN＝DN，∵∠A＝90°，AB＝AN＝1，∴BN＝AB＝，∴AD＝AN+DN＝1+，综上所述，AD的长为2或1+．故答案为：2或1+．【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，分类讨论是解题的关键．18．【分析】首先证明出MN是△AEF的中位线，得出，然后由正方形的性质和勾股定理得到，证明出当BE最大时，AE最大，此时MN最大，进而得到当点E和点C重合时，BE最大，即BC的长度，最后代入求解即可．【解答】解：如图所示，连接AE，∵M，N分别是EF，AF的中点，∴MN是△AEF的中位线，∴，∵四边形ABCD是正方形，∠B＝90°，∴，∴当BE最大时，AE最大，此时MN最大，∵点E是BC上的动点，∴当点E和点C重合时，BE最大，即BC的长度，∴此时，∴，∴MN的最大值为．故答案为：．【点评】本题考查了正方形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．三、解答题19．【分析】先利用分式混合运算化简，再由特殊角的三角函数值求出a，代值求解即可得到答案．【解答】解：＝•＝•＝•＝，当a＝2sin45°﹣2cos60°＝2×﹣2×＝﹣1时，原式＝＝．【点评】本题考查分式的化简求值，涉及因式分解、通分、分式混合运算及约分等知识，熟练掌握分式化简求值是解决问题的关键．20．【分析】（1）利用数形结合的思想解决问题即可．（2）构造高为2，底为2的等腰三角形即可．【解答】解：（1）如图，线段AD即为所求．（2）如图△ACE即为所求．DE＝＝．故答案为．【点评】本题考查作图﹣应用与设计，平行线的判定，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21．【分析】（1）结合已知条件，根据一元二次方程的定义及根的判别式即可求得k的取值范围；（2）将k＝1代入方程，利用配方法解方程即可．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程kx2﹣（2k+4）x+k﹣6＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝（2k+4）2﹣4k（k﹣6）＞0，且k≠0，解得：k＞﹣且k≠0；（2）当k＝1时，原方程为x2﹣（2×1+4）x+1﹣6＝0，即x2﹣6x﹣5＝0，移项得：x2﹣6x＝5，配方得：x2﹣6x+9＝5+9，即（x﹣3）2＝14，直接开平方得：x﹣3＝±解得：x1＝3+，x2＝3﹣．【点评】本题考查一元二次方程的定义，根的判别式及配方法解一元二次方程，（1）中需特别注意二次项的系数不为0．22．【分析】（1）将基本了解的人数除以其所占百分比即可得到接受调查的学生总数；将接受调查的学生总数减去另外三项人数即可求出M的值；将“非常了解”占比乘以360°即可求出扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数；（2）将该校学生总数乘以样本中该校学生中对心理健康知识“不了解”的占比即可；（3）用列表法或树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出恰好抽到2名女生的可能结果，再利用等可能事件的概率公式求出即可．【解答】解：（1）∵基本了解的有40人，占50%，∴接受问卷调查的学生共有40÷50%＝80（人），条形统计图中m的值为：80﹣20﹣40﹣4＝16，扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为：＝90°，故答案为：80，16，90°；（2）可以估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为：800×＝40人），故答案为：40；（3）画树状图如下：一共有12种等可能的结果，其中恰好抽到2名女生的结果有2种，∴P（恰好抽到2名女生）＝．【点评】本题考查扇形统计图，条形统计图，用样本估计总体，列表法和树状图法求等可能事件的概率，能从统计图中获取有用信息，掌握列表法和树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键．23．【分析】（1）由垂径定理证出∠ACB＝∠ACD，则可得出结论；（2）延长AE交BC于M，延长CE交AB于N，证明四边形AECD是平行四边形，则AE＝CD＝3，根据勾股定理即可得出答案．【解答】（1）证明：∵OA⊥BD，∴＝，∴∠ACB＝∠ACD，即CA平分∠BCD；（2）延长AE交BC于M，延长CE交AB于N，∵AE⊥BC，CE⊥AB，∴∠AMB＝∠CNB＝90°，∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝∠BCD＝90°，∴∠BAD＝∠CNB，∠BCD＝∠AMB，∴AD∥NC，CD∥AM，∴四边形AECD是平行四边形，∴AE＝CD＝3，∴BC＝＝＝3．【点评】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，平行四边形三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．24．【分析】（1）设该品牌电脑的成本价是x元，则出厂价是（x+1000）元，利用利润＝出厂价﹣成本价，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出该品牌电脑的成本价，再将其代入（x+1000）中，即可求出该品牌电脑的出厂价；（2）设频传公司购进了y台电脑，则第二个月销售了（y﹣30）台电脑，利用利润＝销售单价×销售数量﹣出厂价×购进数量，结合两个月售出电脑所获得的总利润不低于38000元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．【解答】解：（1）设该品牌电脑的成本价是x元，则出厂价是（x+1000）元，依题意得：x+1000﹣（1+12.5%）x＝500，解得：x＝4000，∴x+1000＝4000+1000＝5000．答：该品牌电脑的成本价是4000元，出厂价是5000元．（2）设频传公司购进了y台电脑，则第二个月销售了（y﹣30）台电脑，依题意得：5000×（1+20%）×30+5000×（1+20%）×0.9（y﹣30）﹣5000y≥38000，解得：y≥50．答：频传公司至少购进了50台电脑．【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．25．【分析】（1）由“SAS”可证△ACD≌△BCE，可得∠DAC＝∠CBE，由余角的性质可证AD⊥BE；（2）通过证明△DCA∽△ECB，可得∠DAC＝∠CBE，由余角的性质可证AD⊥BE；（3）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可得BE＝AD，由勾股定理可求解．【解答】解：（1）如图1，延长BE交AC于点H，交AD于N，当m＝1时，DC＝CE，CB＝CA，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠DAC＝∠CBE，∵∠CAB+∠ABE+∠CBE＝90°，∴∠CAB+∠ABE+∠DAC＝90°，∴∠ANB＝90°，∴AD⊥BE，故答案为：AD⊥BE；（2）（1）中的结论成立，理由如下：如图2，延长BE交AC于点H，交AD于N，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，又∵，∴△DCA∽△ECB，∴∠DAC＝∠CBE，∵∠CAB+∠ABE+∠CBE＝90°，∴∠CAB+∠ABE+∠DAC＝90°，∴∠ANB＝90°，∴AD⊥BE，（3）如图3，当点E在线段AD上时，连接BE，∵△DCA∽△ECB，∴＝m＝，∴BE＝AD＝（4+AE），∵AD⊥BE，∴AB2＝AE2+BE2，∴112＝AE2+3（4+AE）2，∴AE＝2或AE＝﹣8（舍去），∴BE＝6，当点D在线段AE上时，连接BE，∵△DCA∽△ECB，∴＝m＝，∴BE＝AD＝（AE﹣4），∵AD⊥BE，∴AB2＝AE2+BE2，∴112＝AE2+3（