选修二第二单元《一元函数的导数及其应用》检测题(包含答案解析)

一、选择题1．已知函数，函数的两个极值点分别在区间与内，则的取值范围为（）A． B． C． D．2．已知函数有两个零点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．3．已知函数，则（）A．函数的极大值点为B．函数在上单调递减C．函数在上有3个零点D．函数在原点处的切线方程为4．设函数，若是的极大值点，则的取值范围为（）A． B．C． D．5．下列说法正确的是（）A．命题“若，则”的否命题是“若，则”B．命题“，”的否定是“，”C．“在处有极值”是“”的充要条件D．命题“若函数有零点，则“或”的逆否命题为真命题6．已知定义在上函数的导函数为，，有，且.设，，，则（）.A． B． C． D．7．函数在的图象大致为（）A． B．C． D．8．已知函数，若，则a的取值范围是（）A． B． C． D．9．已知定义在上的函数满足，且的导函数，则不等式的解集为（）A． B．C． D．或10．已知奇函数在上是增函数且当时，．若，，，则，，的大小关系为（）A． B． C． D．11．上的函数满足：，，则不等式的解集为（）A． B．C． D．12．已知函数，则（）A． B． C． D．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明参考答案二、填空题13．定义在上的奇函数的导函数为，且．当时，，则不等式的解集为________14．设函数，其中，若仅存在两个整数使得，则实数的取值范围是__________.15．已知抛物线过点，且在点处与直线相切，则__________，____________，_________________.16．若在上是减函数，则的取值范围是________．17．已知是定义在上的奇函数，，且对任意都有成立，则不等式的解集是______.18．已知函数fx=ex-ax(a≤0)，函数gx=-19．若函数在上单调递减，则实数的值为_______.20．设函数f（x）在（0，+∞）可导，其导函数为f′（x），若f（lnx）=x2﹣1nx，则f′（1）=_____三、解答题21．已知函数.（1）当时，求函数在区间上的最大值；（2）函数在区间上存在最小值，记为，求证：.22．设函数其中（1）若曲线在点处切线的斜率为1，求的值;（2）已知导函数在区间上存在零点，证明:当时，.23．已知为实数，函数（1）若函数的图象上有与轴平行的切线，求的取值范围；（2）若，对任意，，不等式恒成立，求的最小值．24．已知函数（1）求函数的单调区间；（2）当时，证明：对任意的.25．求下列函数的导数：（1）；（2）.26．已知函数.（1）当时，设函数的最小值为，证明：；（2）若函数有两个极值点，，证明：.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】求得，根据题意可得出，利用不等式的基本性质可求得的取值范围.【详解】由，求导，因为函数的两个极值点分别在区间与内，即方程的两个根分别在区间与内，即，则，所以，.综上所述，的取值范围是.故选：B.【点睛】方法点睛：本题考查利用二次函数的零点分布求参数，一般要分析以下几个要素：（1）二次项系数的符号；（2）判别式；（3）对称轴的位置；（4）区间端点函数值的符号.结合图象得出关于参数的不等式组求解.2．B解析：B【分析】函数有两个零点，即方程有两个根，设，求出，研究出函数的单调性，由的图象与有两个交点，得出参数的范围，即得结果.【详解】函数有两个零点，由题意得方程有两个根，设，则与有两个不同的交点，又，设，则所以在上单调递减，又当，所以在上单调递增，当，所以在上单调递减，又，，当时，，则，即在上单调递减，但恒正.作出函数的大致图象如下：要使的图象与有两个交点，所以实数的取值范围是.故选：B.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.3．D解析：D【分析】对函数求导，通过判断函数的单调性求极值点以及零点个数等.【详解】A选项：由，得，令，得，故，，为减函数，，，为增函数，所以是函数的极小值点，无极大值点，故A错；B选项:当，为减函数，故B错；C选项：由函数单调性可知函数至多有两个零点，故C错；D选项：切线斜率，所以切线方程为，D正确.故选：D【点睛】求切线方程的步骤：①确定切点；②确定斜率；③点斜式写切线方程.4．B解析：B【详解】,,,由得，,若,由,得,当时,,此时单调递增；时,,此时单调递减；所以是的极大值点．若,则由,得或．时的极大值点,,解得．综上：,的取值范围时．故选B．【点晴】本题是一道关于函数极值的题目,考虑运用导数求函数的极值．对求导,得,由得,将代入到导函数中,可得,接下来分和两种情况,结合函数的单调性,分别求出的极大值点,从而建立的不等式求解即可．5．D解析：D【分析】选项A，否命题，条件否定，结论也要否定；选项B，命题的否定，只对结论否定；选项C，在处有极值，既要满足，也要满足函数在两边的单调性要相反；选项D，若函数有零点，等价于，原命题与逆否命题同真假．【详解】选项A，命题“若，则”的否命题是“若，则”，错误；选项B，命题“，”的否定是“，”，错误；选项C，不能得到在处有极值，例如在时，导数为0，但不是函数极值点，错误；选项D，若函数有零点，即方程有解，所以，解得或，所以原命题为真命题，又因为原命题与逆否命题同真假，所以逆否命题也是真命题，正确．或【点睛】本题主要考查命题真假性的判断，涉及到四个命题、充要条件以及特称命题的否定．6．D解析：D【分析】首先设函数，判断函数的单调性，和奇偶性，利用函数的性质比较大小.【详解】设，，即，所以函数是偶函数，并且，所以函数在单调递减，，，，因为，所以，即.故选：D【点睛】本题考查导数与函数性质的综合应用，重点考查构造函数，利用函数的性质比较大小，属于中档题型.7．C解析：C【分析】利用确定正确选项.【详解】，由此排除BD选项.当时，，，，由此排除A选项.故选：C【点睛】本小题主要考查函数图象识别，考查导数的运用.8．D解析：D【分析】作出函数的图像，和函数的图像，结合图像可知直线介于与轴之间，利用导数求出直线的斜率，数形结合即可求解.【详解】由题意可作出函数的图像，和函数的图像.由图像可知：函数的图像是过原点的直线，当直线介于与轴之间符合题意，直线为曲线的切线，且此时函数在第二象限的部分的解析式为，求其导数可得，因为，故，故直线的斜率为，故只需直线的斜率.故选：D【点睛】本题考查了不等式恒成立求出参数取值范围，考查了数形结合的思想，属于中档题.9．C解析：C【分析】根据题意，设，求导分析可得，即函数在上为减函数，则原不等式可以转化为，结合函数的单调性分析可得答案．【详解】解：根据题意，设，其导数，又由，即，则，即函数在上为减函数，又由（3），则（3）（3），，又由函数为减函数，则有，则不等式的解集为；故选：．【点睛】本题考查函数的导数与函数单调性的关系，涉及不等式的求解，根据条件构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系是解决本题的关键，属于中档题．10．C解析：C【分析】可判断函数为偶函数，再利用导数可证明在为增函数，利用指数函数和对数函数的单调性可得，从而可得三个函数值之间的大小关系.【详解】因为，故为偶函数，当时，因为（不恒为零），故在为增函数，又，因为，所以，故选：C.【点睛】本题考查函数的单调性、奇偶性和指数、对数的大小比较，注意两个增函数的乘积不一定是增函数，另外函数值的大小比较一般要利用函数的单调性来处理，本题属于中档题.11．D解析：D【分析】构造函数，则由题意可证得在上单调递增，又，，故可转化为，解得.【详解】令，则，因为，所以，所以函数在上单调递增，又，所以故当时，有，即，由的单调性可知.故选：D.【点睛】本题考查导数与函数的应用，考查构造函数法，根据函数的单调性求解不等式，难度一般.12．A解析：A【分析】求导，将代入即可求出..【详解】已知函数则故选A.【点睛】本题考查函数在一点处的导数的求法，属基础题.二、填空题13．【分析】引入新函数它是偶函数由导数可确定它的单调性通过解不等式或求得的解【详解】设是奇函数则是偶函数时单调递增∴时单调递减又时则时则综上原不等式的解集为【点睛】方法点睛：本题考查函数的奇偶性与单调性解析：【分析】引入新函数，它是偶函数，由导数可确定它的单调性，通过解不等式或求得的解．【详解】设，是奇函数，则是偶函数，时，单调递增，∴时，单调递减，又，，时，，则，时，，则，综上，原不等式的解集为．【点睛】方法点睛：本题考查函数的奇偶性与单调性，考查用导数研究函数的单调性，解题关键是根据已知不等式引入函数，首先确定它的奇偶性，然后用导数确定它在上的单调性，从而可得它在上的单调性，然后通过的单调性解相应的不等式得原不等式的解．14．【分析】设则存在两个整数使得利用导数分析函数的单调性与极值作出函数的图象可得出关于的不等式组进而可求得实数的取值范围【详解】设由题意可知存在两个整数使得当时；当时函数的最小值为而直线恒过定点如下图所解析：【分析】设，，则存在两个整数、，使得，利用导数分析函数的单调性与极值，作出函数的图象，可得出关于的不等式组，进而可求得实数的取值范围.【详解】设，，由题意可知，存在两个整数、使得，，当时，；当时，.函数的最小值为，，，而直线恒过定点，如下图所示：则满足不等式的两个整数解应分别为，，所以，即，解得.因此，实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查利用导数研究函数不等式的整数解问题，考查数形结合思想的应用，属于中等题.15．3-119【分析】先求函数的导函数再由题意知函数过点且在点处的切线的斜率为1即分别将三个条件代入函数及导函数解方程即可【详解】解：由于抛物线过点则又因为点处与直线相切即切线的斜率为1即又因为切点为把解析：3-119【分析】先求函数的导函数，再由题意知，函数过点，，且在点处的切线的斜率为1，即，分别将三个条件代入函数及导函数，解方程即可.【详解】解：由于抛物线过点，则，，又，因为点处与直线相切，即切线的斜率为1，即，．又因为切点为，．把①②③联立得方程组，解得：，即，，．故答案为：3，-11，9.【点睛】本题考查导数的几何意义及其应用，利用方程的思想求参数的值，考查计算能力.16．【分析】由题意得出对任意的恒成立利用参变量分离法得出求出二次函数在区间上的值域即可得出实数的取值范围【详解】由于函数在上是减函数则对任意的恒成立即得二次函数在区间上为增函数则因此实数的取值范围是故答解析：【分析】由题意得出对任意的恒成立，利用参变量分离法得出，求出二次函数在区间上的值域，即可得出实数的取值范围.【详解】，，由于函数在上是减函数，则对任意的恒成立，即，得，二次函数在区间上为增函数，则，.因此，实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查利用函数在区间上的单调性求参数，一般转化为导数不等式在区间上恒成立，利用参变量分离法求解是一种常用的方法，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.17．【分析】令可证为偶函数且为上的增函数考虑当时的解及当时的解它们的并是所求不等式的解集【详解】等价于令则当时有故为上的增函数而故当时的解为故当时的解为因故为偶函数当时等价于因为偶函数故当时的解为即当时解析：【分析】令，可证为偶函数且为上的增函数，考虑当时，的解及当时，的解，它们的并是所求不等式的解集.【详解】等价于，令，则，当时，有，故为上的增函数，而，故当时，的解为，故当时，的解为，因，故为偶函数，当时，等价于，因为偶函数，故当时，的解为即当时，的解为，综上，的解集是，填.【点睛】如果题设中有关于函数及其导数的不等式，我们应具体该式的形式构建新函数并且新函数的单调性可根据题设中的不等式得到，构建新函数时可借鉴导数的运算规则.18．-10【解析】【分析】先求导分别求出导函数的最值再根据不存在x1x2∈R使得f′（x1）＝g′（x2）得到关于a的不等式解得即可【详解】∵函数f（x）＝ex﹣ax函数g（x）＝﹣x3﹣ax2∴f′（解析：[-1,0]【解析】【分析】先求导，分别求出导函数的最值，再根据不存在x1，x2∈R，使得f′（x1）＝g′（x2），得到关于a的不等式解得即可．【详解】∵函数f（x）＝ex﹣ax，函数g（x）＝﹣x3﹣ax2，∴f′（x）＝ex﹣a＞﹣a，g′（x）＝﹣x2﹣2ax＝﹣（x+a）2+a∵不存在x1，x2∈R，使得f′（x1）＝g′（x2），∴-a≥a解得-1≤a≤0，故答案为-1,0．【点睛】本题考查了导数的运算法则和函数的最值问题，以及不等式的解法，属于中档题．19．【分析】由于函数在上递减利用导函数恒小于或等于零由此求得实数的值【详解】依题意在上恒成立则需恒成立有两个相等的实数根故【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性考查除法的导数考查一元二次不等式恒解析：【分析】由于函数在上递减，利用导函数恒小于或等于零，由此求得实数的值.【详解】依题意，在上恒成立，则需恒成立，有两个相等的实数根，故.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查除法的导数，考查一元二次不等式恒成立问题，属于中档题.20．【分析】先利用换元法求出函数f（x）的解析式再求导代值计算即可【详解】设lnx=t则x=et∵f（lnx）=x2-1nx∴f（t）=e2t-t∴f（x）=e2x-x∴f′（x）=2e2x-1∴f′（解析：【分析】先利用换元法求出函数f（x）的解析式，再求导，代值计算即可．【详解】设lnx=t，则x=et，∵f（lnx）=x2-1nx，∴f（t）=e2t-t，∴f（x）=e2x-x，∴f′（x）=2e2x-1，∴f′（1）=2e2-1，故答案为2e2-1．【点睛】本题考查了函数解析式的求法和导数的运算，属于基础题．三、解答题21．（1）0；（2）证明见解析.【分析】（1）由导数求出函数的单调性，即可得出函数在区间上的最大值；（2）求导得出，讨论的值，确定函数的单调性，得出函数有最小值时的取值范围，再令，由（1）得出的单调性，进而证明该不等式.【详解】解：（1）当时，，则因为，所以.所以在区间上单调递减所以区间上最大值为.（2）由题可知.①当时，由（1）知，函数在区间上单调递减所以函数无最小值，此时不符合题意；②当时，因为，所以.此时函数在区间上单调递增所以函数无最小值，此时亦不符合题意；③当时，此时.函数在区间上单调递减，在区间上单调递增所以即.要证，只需证当时，成立.即证设，由（1）知即成立.所以.【点睛】在证明不等式的恒成立问题时，可以将不等式问题转化为求函数的最值问题，进而证明不等式.22．（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）由导数的几何意义运算即可得解；（2）结合导函数的零点可得，再由函数的单调性，进而可转化条件为，设，通过导数证明即可得证.【详解】（1）因为，所以，所以，解得；（2）证明：由题意，，因为导函数在区间上存在零点，设零点为，则，所以在上单调递减，在上单调递增，故，设，则，设，则，单调递减，又，故在上恒成立，故单调递减，所以，故当时，.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导函数的零点即函数的极值点转化条件为证明.23．（1）；（2）.【分析】（1）函数的图象上有与轴平行的切线，即有实数解，利用判别式大于等于零解出的取值范围；（2）由可得值，令解出方程根，得出函数的单调性和最值，代入不等式可得的取值范围，进而得出的最小值．【详解】（1）．由题意知有实数解．，即或．故（2），，即．，令得，．则在单调递减，在单调递增，当时，，，，，．故，时，所以，即的最小值为．【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性和最值，解决本题的关键点是将恒成立，转化为求的最大值，即求，代入不等式可得参数的最小值，考查了学生转化思想和计算能力，属于中档题．24．（1）答案见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）求出导函数，分类讨论确定的正负，得增减区间；（2）不等式变形为，令，由的单调确定其有唯一零点，得出为极小值点，也是最小值点，证明最小值即得．【详解】（1）由题意知，函数的定义域为由已知得当时，，函数在上单调递增，所以函数的单调