2020-2021学年福建省福州市罗源县(协作体三校)高一上学期期末考试数学试题(解析版)

2020-2021学年福建省福州市罗源县（协作体三校）高一上学期期末考试数学试题一、单选题1．设全集，则图中阴影部分所表示的集合是A． B．C． D．【答案】D【解析】阴影部分表示的集合为在集合N中去掉集合M，N的交集，即得解.【详解】由维恩图可知，阴影部分表示的集合为在集合N中去掉集合M，N的交集，由题得,所以阴影部分表示的集合为.故选：D【点睛】本题主要考查维恩图，考查集合的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.2．函数的零点所在的区间是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】题目中函数较为简单，可以直接求得对应的零点，从而判断所在区间即可【详解】当时，令，即，所以；当时，令，即，，不在定义域区间内，舍所以函数零点所在的区间为故选：D3．“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】首先根据可得：或，再判断即可得到答案.【详解】由可得：或，即能推出，但推不出“”是“”的必要不充分条件故选：B【点睛】本题主要考查必要不充分条件的判断，同时考查根据三角函数值求角，属于简单题.4．已知，则（）A．a<b<c B．a<c<b C．c<a<b D．b<c<a【答案】A【解析】找中间量0或1进行比较大小，可得结果【详解】，所以，故选：A.【点睛】此题考查利用对数函数、指数函数的单调性比较大小，属于基础题5．若，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】令，则，所以，由诱导公式可得结果.【详解】令，则，且，所以.故选：A.6．函数在的图象大致为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据函数解析式，结合特殊值，即可判断函数图象.【详解】设，则，故为上的偶函数，故排除B．又，，排除C、D．故选：A．【点睛】本题考查图象识别，注意从函数的奇偶性、单调性和特殊点函数值的正负等方面去判断，本题属于中档题.7．要得到函数的图象，只需将函数的图象向（）平移（）个单位长度．A．左 B．右 C．左 D．右【答案】C【分析】因为，由此可得结果.【详解】因为，所以其图象可由向左平移个单位长度得到.故选：C.8．已知函数，若函数有3个零点，则实数m的取值范围（）A． B． C．（0，1） D．【答案】C【分析】函数有3个零点，所以有三个实根，即直线与函数的图象有三个交点，作出图象，即可求出实数的取值范围．【详解】因为函数有3个零点，所以有三个实根，即直线与函数的图象有三个交点．作出函数图象，由图可知，实数的取值范围是．故选：C．二、多选题9．下列命题为真命题的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】BC【分析】由不等式的性质对合选项一一进行判断可得答案.【详解】解：A项，若，取，可得，故A不正确；B项,若,可得：，故，故B正确；C项，若可得，由可得：，故C正确；C项，举反例，虽然，但是，故D不正确；故选：BC.【点睛】本题主要考查利用不等式的性质比较大小，属于基础题型.10．若sinα＝，且α为锐角，则下列选项中正确的有（）A．tanα＝ B．cosα＝ C． D．sinα－cosα＝【答案】ABC【分析】因为，且为锐角，可解得，进而可得结果.【详解】因为，且为锐角，所以，，，.故选：ABC.11．下列叙述正确的是（）A．已知函数，则B．命题“对任意的，有”的否定为“存在，有”C．已知扇形的周长是4cm，则扇形面积最大时，扇形的中心角的弧度数是2D．已知的解集为或，则【答案】ACD【分析】由分段函数可判断A；由全称命题的否定可判断B；由扇形面积公式结合二次函数可判断C；由“三个二次”结合韦达定理可判断D.【详解】对于选项A：，故A正确；对于选项B：命题“对任意的，有”的否定为“存在，有”，故B错误；对于选项C：设扇形半径为，弧长为，则扇形周长，从而扇形面积，所以当时，最大，此时，扇形中心角的弧度数是，故C正确；对于选项D：由选项可知和是方程的两实根，所以，解得，，所以，故D正确.故选：ACD.12．知函数，则下列说法正确的是（）A．函数的最小正周期是 B．函数增区间是C．函数是奇函数 D．函数图象关于直线对称【答案】ABD【分析】先由图象得出函数的性质，进而可得出的性质.【详解】函数的图象如下图：由图可知，函数的最小正周期为，单调递增区间是，对称轴是.，的最小正周期是，故A正确；令得，所以的增区间是，故B正确；因为，所以不是奇函数，故C错误；令得，取得对称轴方程为，故D正确.故选：ABD.三、填空题13．已知，则_______.【答案】【解析】将条件平方可得答案.【详解】因为，所以，所以故答案为：14．若函数f（x）=的定义域为R，则实数a的取值范围是：_____________.【答案】【解析】根据题意，有在R上恒成立，则，即可得解.【详解】若函数f（x）=的定义域为R，则在R上恒成立，则，解得：，故答案为：.15．函数的单调增区间为________【答案】.【分析】结合定义域由复合函数的单调性可解得结果.【详解】由得定义域为，令，则在单调递减，又在单调递减，所以的单调递增区间是.故答案为：.16．水葫芦又名凤眼莲，是一种原产于南美洲亚马逊河流域属于雨久花科，凤眼蓝属的一种漂浮性水生植物，繁殖极快，广泛分布于世界各地，被列入世界百大外来入侵种之一．某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系图象如图所示．假设其函数关系为指数函数，并给出下列说法：①此指数函数的底数为2；②在第5个月时，野生水葫芦的面积就会超过30m2；③野生水葫芦从4m2蔓延到12m2只需1.5个月；④设野生水葫芦蔓延至2m2、3m2、6m2所需的时间分别为t1、t2、t3，则有t1＋t2＝t3；⑤野生水葫芦在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度．其中，正确的是________．(填序号)．【答案】①②④【分析】设且，根据图像求出，结合计算进而可判断①②③④；根据第1到第3个月、第2到第4个月的面积即可求出对应的平均速度，进而判断⑤.【详解】因为其关系为指数函数，所以可设且，又图像过点，所以.所以指数函数的底数为2，故①正确；当时，，故②正确；当y=4时，；当y=12时，；所以，故③错误；因为，所以，故④正确；第1到第3个月之间的平均速度为：，第2到第4个月之间的平均速度为：，，故⑤错误.故答案为：①②④四、解答题17．计算：（1）；（2）已知，求的值【答案】（1）20；（2）【分析】（1）利用指对数的运算化简（2）利用三角函数诱导公式，以及弦化切的运算【详解】（1）对原式进行计算如下：（2）对原式进行化简如下：将代入上式得：原式18．已知集合，，．（1）求集合A，B及．（2）若，求实数a的取值范围．【答案】（1），，；（2）.【分析】（1）解不等式得到集合，，进而可得；（2）先求，再根据得到，由此可解得实数的取值范围．【详解】（1）∵，∴且，解得，故集合.∵，∴，解得，故集合.∴．（2）由（）可得集合，集合，则.又集合，由得，解得，故实数的取值范围是．19．已知函数．（1）求的最小正周期；（2）求函数的单调增区间；（3）求函数在区间上的值域．【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）根据二倍角公式和诱导公式，结合辅助角公式可求得解析式，从而利用周期公式可求得周期；（2）利用整体代换即可求单调增区间；（3）由得，从而可得的取值范围.【详解】（1），所以最小正周期．（2）由，得，所以函数的单调递增区间是.（3）由得，则，所以．20．已知函数为定义在R上的奇函数．（1）求实数a的值；（2）判断函数的单调性，并证明；【答案】（1）；（2）是R上的增函数，证明详见解析.【分析】（1）由奇函数定义可解得；（2）是上的增函数，可用定义证明.【详解】（1）因为为定义在上的奇函数，所以对任意，，即，所以，因为，所以，即.（2）由（1）知，则是上的增函数，下用定义证明.任取，且，，当时，，又，所以，即，故是上的增函数.21．（1）已知函数（其中，，）的图象与x轴的交于A，B两点，A，B两点的最小距离为，且该函数的图象上的一个最高点的坐标为．求函数的解析式（2）已知角的终边在直线上，求下列函数的值：【答案】（1）；（2）当为第一象限角时：；当为第三象限角时：.【分析】（1）由题意得，，进而求得，根据最高点结合可得，进而可求得的解析式；（2）由题意得为第一或第三象限角，分两种情况由同角三角函数关系可解得结果.【详解】（1）由题意得，，则，解得.根据最高点得，所以，即，因为，所以，取得.所以.（2）由题意得，则为第一或第三象限角.当为第一象限角时：由得，代入得，又，所以，则.所以；当为第三象限角时：同理可得.22．某企业开发生产了一种大型电子产品，生产这种产品的年固定成本为2500万元，每生产百件，需另投入成本（单位：万元），当年产量不足30百件时，；当年产量不小于30百件时，；若每件电子产品的售价为5万元，通过市场分析，该企业生产的电子产品能全部销售完.（1）求年利润（万元）关于年产量（百件）的函数关系式；（2）年产量为多少百件时，该企业在这一电子产品的生产中获利最大？【答案】（1）；（2）100百件【解析】（1）