物理实验报告

物理实验绪论物理教学实验中心测量误差与不确定度测量概述测量误差不确定度实验报告测量概述目的：★获得被测量量的真值（最佳估计值）,并给出这个真值的置信度（不确定度）.★发现新现象,新问题,新规律.

在物理学发展史上，对物理现象、状态或过程的各种量的准确测量，是实验物理的关键工作。

测量也是发现新规律、证明新理论、研究新材料、发明新装置的实践基础。

测量是用实验方法获得量的量值的过程。量值一般是由一个数乘以计量单位所表示的特定量的大小。测量的四个要素：

1)测量对象2)测量方法

3)测量单位4)测量不确定度物理量三要素：定义、单位、测量。物理学中有七个基本物理量，其基本单位是：长度的单位：米；质量的单位：千克；时间的单位：秒；电流的单位：安培；热力学温度的单位：开尔文；物质的量的单位：摩尔；发光强度的单位：坎德拉。测量：包括测量工具、测量方法。例如：物理量—质量(m)—天平

直接测量：指无需对被测量与其它实测量进行函数关系的辅助计算，就可直接得到被测量值的测量；例如：

用直尺测量长度；以表计时间；天平称质量；安培表测电流。间接测量：从一个或几个直接测量结果按一定的函数关系计算出来的的过程。hdM测量的类型

直接测量：被测量可直接用仪器比较读出。如：M、L等等。

间接测量：被测量为几个可直接测量量的函数。

即:如:等精度测量：同一个人，用同样的方法，使用同样的仪器，并在相同的条件下，对同一物理量进行的多次测量。物理实验中所说的多次测量通常指等精度测量。目的设法把测量的误差减至最少。求出被测量的最佳值（最近真值）算平均值（）估计最佳值的可靠程度（接近真值的程度）计算测量列的标准误差,即A类不确定度．计算反映系统误差的Ｂ类标准不确定度计算合成标准不确定度物理实验是以测量为基础的，但是测量结果都可能存在误差。可以说任何测量不可能无限准确。操作读数时的视差影响测量误差的来源:（1）仪器、装置引入的误差；（2）原理、方法引入的误差；（3）环境、条件引入的误差；（4）实验者引入的误差；误差

误差是客观存在的,被测量的真值只可能接近,不可能测到,存在不确定度．

误差来源：

系统误差：仪器不准理论近似环境改变操作员失误

偶然误差：数据具有随机涨落性,仪器,环境的随机变化

误差的定义被测量绝对误差（残差）测量值真值（用算术平均值代）

误差种类:

系统误差

偶然误差

过失误差

过失误差一般为读数错误、操作失当等原因造成的明显超出规定条件下预期值的误差，测量应避免出现粗大误差.

已被谨慎地确定为含有粗大误差的个别数据要剔除。

系统误差：

在相同条件下，多次测量同一物理量时，若误差的大小和正负总保持不变或按一定的规律变化.

来源主要有：理论公式的近似性；仪器结构的不完善；环境条件的改变；观测者的因素等。系统误差特点是：增加测量次数误差不能减少，只能从方法、理论、仪器等方面的改进与修正来实现。表现出恒偏大、恒偏小或周期性的特点。例如：电表轴承的摩擦力变动;螺旋测微计测力在一定范围内随机变化;操作读数时的视差影响;数字仪表末位取整数时的随机舍入过程等等，都会产生一定的随机误差分量。偶然误差（随机误差）：

随机误差是指在相同条件下，多次测量同一物理量，其测量误差绝对值的大小和符号以不可预知的方式变化。这种误差由实验中多种因素的微小变动而引起。

但对一个量进行足够多次的测量，则会发现它们的随机误差是按一定的规律分布的。当测量次数趋于无穷,则这些分布都趋向于正态分布(高斯分布)。常见的分布有正态分布、均匀分布、t分布等。对于物理实验中的有限次测量,一般为5－10次,这时测量结果偏离正态分布,而服从t分布。随机误差的特点：如何处理随机误差分量？

随机误差分量是测量误差的一部分，其绝对值大小和符号虽然不知道，但在相同条件下对同一量的多次重复测量中，它们的分布常常满足一定的统计规律。

简要处理方法算术平均值标准偏差不确定度

大多数情况下，随机误差具有抵偿性。

测量次数足够多时，符号为正的误差和符号为负的误差基本对称，能大致相消。因此，用多次测得值的算术平均值作为被测量的估计值，能减小随机误差的影响。设对同一量作了n次重复测量，测得值为Yi，其平均值为：算术平均值标准偏差－贝塞尔公式：※

测量次数n为有限次时用贝塞尔公式计算直接测量量的实验标准差。

随机误差使测得值Yi有分散性，分散性用实验标准偏差σ表征，σ的值直接体现了随机误差的分布特征。

标准偏差

实验和统计理论都证明，当重复测量次数足够多时，随机误差服从或接近正态分布（或称高斯分布）规律。

式中的

是一个与实验条件有关的常数，称之为正态分布的标准误差。±

是曲线两个拐点的横坐标位置。

s0510n15051015snσ大表示测得值分散，随机误差分布范围宽，测量精密度低；σ小表示测得值密集，随机误差分布范围窄，测量精密度高。

σ可由贝塞耳公式算出:标准误差的物理意义算术平均值的标准偏差算术平均值的标准偏差与测量次数的影响平均值的标准偏差比任何一次测量的实验标准差小,增加测量次数,可以减少平均值的标准偏差,提高测量的准确度.

但是,n>10以后,n再增加,平均值的标准偏差减小缓慢,因此,在物理实验教学中一般取n为6～10次置信概率定义:是误差概率函数，任一次测量值落在。

区间的概率为到

我们称p为置信概率，称为置信区间。当置信区间扩展为

和

时其置信概率分别为：和

随机误差的处理举例例：用50分度的游标卡尺测某一圆棒长度L，6次测量结果如下（单位mm）：250.08，250.14，250.06,250.10,250.06,250.10则：测得值的最佳估计值为:测量值的标准偏差例如：

电表、螺旋测微计的零点误差；

伏安法测电阻时，电流表内接、外接，

由于忽略表内阻引起的误差。

指符号和绝对值已经确定的误差分量。实验中应尽量消除已定系统误差，或对测量结果进行修正，修正公式为：

测得值(或其平均值)－已定系统误差

已定系统误差(必须修正)

指符号或绝对值未被确定的系统误差分量。一般只能估计出未定系统误差的限值或分布特征值。未定系统误差分量大多和B类不确定度分量的来源有粗略的对应关系。

未定系统误差(须估计分布范围)例如：螺旋测微计螺纹副的制造公差对应的未定系统误差不大于0.003mm对实验中的系统误差应如何处理？系统误差分析的重要性：

大量的一般测量的实践表明，系统误差分量对测量结果的影响常常显著地大于随机误差分量的影响。因此大学物理实验要重视对系统误差的分析，尽量减小它对测量结果的影响。

1）对已定系统误差进行修正；2）合理评定系统误差分量对应的B类不确定度分量；3）通过方案选择、参数设计、计量器具校准、环境条件控制、计算方法改进等环节减小系统误差影响。1)不确定度的概念2)不确定度的A类分量3)不确定度的B类分量4)总不确定度的合成测量结果的不确定度评定研究不确定度的意义科学地反映测量结果的数值和可靠程度。根据对测量不确定度的要求,确定实验方案,选择仪器和环境。努力找出和减小主要系统误差,提高实验准确度。不确定度，反映了可能存在的误差分布范围，即随机误差分量和未定系统误差分量的联合分布范围。1)不确定度的概念不确定度，表示由于测量误差的存在而对被测量值不能确定的程度。

由于真值的不可知，误差一般是不能计算的，它可正、可负也可能十分接近零；而不确定度总是不为零的正值，是可以具体评定的。实验不确定度和误差在定义上的比较

误差定义是测量值与真值之差,是表明测量结果偏离真值的差值,它客观存在但人们无法准确得到。例如:测量结果可能非常接近真值(误差很小),但由于认识不足,人们赋予的值却落在一个较大区间(误差)内;另一方面测量结果可能远远偏离真值(误差很大),而人们赋予的值却落在一个较小区间(误差)内。

实验不确定度是指表征合理地赋予被测量之值的分散性、与测量结果相联系的参数。实验不确定度意味着对测量结果可信性、有效性的怀疑程度或不肯定程度。虽然客观存在的系统误差是一个相对确定的值,但由于我们无法完全认知或掌握它,而只能认为它是以某种概率分布于某区域内的,且这种概率分布本身也具有分散性。实验不确定度正是一个说明被测量之值分散性的参数,实验结果的不确定度反映了人们在对被测量值准确认识方面的不足。即使经过对已确定的系统误差的修正后,测量结果仍只是被测量值的一个估计值,这是因为,不仅测量中存在的随机效应将产生不确定度,而且,不完全的系统效应修正也同样存在不确定度。显然,实验不确定度表述的是可观测量:测量结果及其变化。而误差表述的却是不可知量:真值与误差。所以,从定义上看,实验不确定度比误差更科学合理。实验不确定度与误差在分类上的比较

以前在进行数据处理计算误差时,首先要分清该项误差属于偶然误差还是系统误差。但在实际测量中,系统误差和偶然误差多数情况下是掺杂在一起的,很难分清误差的性质是偶然的还是系统的,而且有的误差还具有偶然和系统两重性。例如用游标卡尺测量金属块的长度,测量的是不同位置处的长度,测量误差应该属于系统误差,但多次测量数据又具有统计的性质,说明测量具有偶然误差。又如磁电式的电表,其准确度等级误差是系统误差和偶然误差的综合,一般无法将系统误差和偶然误差严格分开计算。

而实验不确定度分为由观测列的统计分析评定的A类不确定度和由非统计分析评定的B类不确定度。A类不确定度是由一组观测得到的频率分布导出的概率密度函数得出;B类不确定度则是基于对一个事件发生的信任程度。它们都基于概率分布,并都用方差或标准差表征。两类不确定度不存在那一类较为可靠的问题。A类与B类表示不确定度的两种不同的评定方法这样的分类方法，可以使实验人员在处理实验数据时免除由于难以分清误差是偶然误差还是系统误差带来的困惑,从而使实验结果的不确定度易学可行。实验不确定度与误差的联系

虽然测量不确定度与误差有着以上种种不同,但它们仍存在着密切的联系。不确定度的概念是误差理论的应用和拓展,而误差分析依然是测量不确定度评估的理论基础,在估计B类分量时,更是离不开误差分析。例如测量仪器的特性可以用最大允许误差、示值误差等术语描述。虽然误差与不确定度有种种不同,但它们之间有着密切的联系.因为任何测量都不可避免产生误差,也正是由于误差的客观存在,才会出现测量数据的离散,对此,采用贝塞耳公式估算分散的标准偏差,从而引入了不确定度对误差处理的评价体系.不确定度概念的建立并不意味传统误差理论的结束,误差分析仍然是测量不确定度评价体系的理论基础,研究不确定度首先必须研究误差,只有充分了解实验过程中误差的来源、性质和分布情况,分清它们之间相互关联及其传递关系,才能更好地理解不确定度概念,熟练掌握用不确定度评价体系具体评定测量数据的处理结果.所以,不确定度评价体系是在传统误差理论发展的基础上逐步建立、发展和完善的,是误差理论的应用和拓展。

不能用实验不确定度对测量结果进行修正,在已修正测量结果的不确定度中,应考虑修正不完善而引入的不确定度;已知系统误差的估计值时可以对测量结果进行修正,得到已修正的测量结果。不确定度一词本身隐含为一种可估计的值,它不是指具体的、确切的误差值,虽可估计,但却不能用以修正量值,只可在已修正测量结果的不确定度中考虑修正不完善而引入的不确定度;而系统误差的估计值如果已知则可以对测量结果进行修正,得到已修正的测量结果。一个量值经修正后,可能会更靠近真值,但其不确定度不但不减小,有时反而会更大。这主要还是因为我们不能确切的知道真值为多少,仅能对测量结果靠近或离开真值的程度进行估计而已。

不确定度理论摈弃了传统的“系统误差”和“随机误差”的分类方法，而是将不确定度按照测量数据的性质分类：1）用数理统计方法处理，称为A类不确定度△A；2）用非数理统计方法处理,统称为B类不确定度△B

。测量不确定度的理论保留系统误差的概念。

A类分量—

多次重复测量时与随机误差有关的分量；B类分量—

多数与未定系统误差有关的分量。这两类分量在相同置信概率下用方和根方法合成总不确定度：不确定度的简化评定方法

A类分量

A

的估算ntpp3456789101520∞0.681.321.201.141.111.091.081.071.061.041.031.000.902.922.352.132.021.941.861.831.761.731.711.650.954.303.182.782.572.462.372.312.262.152.091.960.999.935.844.604.033.713.503.363.252.982.862.58B类分量

B的估算

普通物理实验中，计量器具主要包括仪器(仪表)，也包括量具和计量装置等，所以Δ仪也常叫仪器误差限。Δ仪表征同一规格型号的合格产品，在正常使用条件下，可能产生的最大误差。

它们可参照计量器具的有关标准，由准确度等级或允许误差范围得出，或从仪器说明书中得到。在物理实验中B类分量主要由仪器的误差Δ仪特点来决定

若最大误差为Δ仪，则B类不确定度由下式得出：

ΔB=kpΔ仪/Ckp为一定置信概率下相应的置信因子，如表2所示。C是仪器误差概率分布的置信系数，对于正态分布、均匀分布、三角分布C的值分别为3,概率分布正态分布均匀分布p68.3%95%99.7%57.7%95%99%kp11.96311.651.71表2

正态分布、均匀分布的kp因子物理实验中一般只考虑均匀分布由表2知，当置信概率p=0.577，仪器误差遵从均匀分布时，

kp＝1，即ΔB=Δ仪/（p=0.577）为了与A类不确定度一致，得到p=0.683的置信概率，上式应乘上系数0.683/0.577，即对于均匀分布，p=0.683的B类不确定度为ΔB≈0.683Δ仪（p=0.683）。当置信概率p=0.95时ΔB≈Δ仪。总不确定度的估计：

C.未给出仪器误差时,通常以示值误差作为测量仪器的误差。连续可读仪器（指针式仪表或标有刻度的量具等

）最小分度/2非连续可读仪器（游标卡尺，分光计，机械秒表等

）最小分度B.由仪器的准确度级别来计算。例：A.由仪器的准确度表示

米尺：最小分度为1mm读数显微镜：最小分度为0.01mm例：连续可读仪器：非连续可读仪器：数字秒表:最小分度=0.01s20分度游标卡尺：最小分度=0.05mm电压表（0.1级）电流表（0.5级）常用仪器的仪器误差（限）：直接测量结果的总不确定度的估计

总不确定度△从估计方法上也可分为两类分量：A类分量△A：代表多次重复测量用统计方法计算出的分量；B类分量△B：代表用其他方法估计出的分量，它们可用“方、和、根”合成总不确定度

总不确定度

(1)间接测量的最佳估计值间接测量不确定度的计算为直接测得量为各直接测得量的最佳估计值(2)不确定度的传递则间接测得量的最佳估计值为若各直接测得量的结果为：上式适用于N是和差形式的函数，下式适用于N是积商形式的函数。说明：间接测量量为幂指数其不确定度的简便式为：单次直接测量的数据处理

在实际测量过程中，有的被测量是随时间变化着的，我们无法对其进行重复测量，只能进行单次测量。还有些被测量，对它们的测量精度要求不高，只要进行单次测量就可以了。在单次测量中，用单次测量值x测作为被测量的最佳估计值。

对于单次测量(n=1),不能用统计方法求标准偏差,即A类不确定度ΔA为0,所以只须考虑B类不确定度,也就是合成总不确定度:Δ=ΔB

在一般情况下，对随机误差很小的测量，可以只估计不确定度的B类分量，用仪器误差△仪作为x测的总不确定度，测量结果表示为：数据处理过程流程

第一步：间接测量值N=f(x，y，z…)第二步：直接测量值x，

y，z，

…第三步：计算平均值第四步：计算A类不确定度ΔAx同时计算B类不确定度ΔBx第五步：总不确定度第六步：结果表示（单位）第八步：间接量平均值第七步：重复第二步～第六步计算第九步：相对误差传递第十步：间接测量不确定度第十一步间接测量值结果表示：（单位）表示被测对象的真值落在范围内的概率很大，

R的取值与一定的概率相联。测量对象测量对象的量值测量的不确定度测量值的单位以电阻测量为例完整的测量结果应表示为如何表述一个完整的测量结果？（置信概率p=X.XX)(1)测量结果的最终结果，其不确定度可用一位或二位数字表示。本课程约定，当不确定度的第一位数字为1、2、3时取二位，其余取一位。如果是作为间接测量的中间结果，其不确定度位数可比正常截断多取一位以免造成截尾误差的累积。(2)不确定度数值截尾时，采取“只入不舍”的方法，以保证其置信概率不降低。例如计算得到不确定度为0.2412，截取两位为0.25。(3)测量结果的有效数字位数由不确定度来确定。测量结果的最末位应与不确定度末位对齐，数据截断时其尾数按“小于5测量结果的表述规范则舍，大于5则入，等于5凑偶”的修约原则处理。“遇5凑偶”的含意是当尾数为5时，把前一位数字凑成偶数，即末位是奇数则加1（5入），末位是偶数则不变（5舍）。例如，某测量数据计算的平均值为1.83549m，其不确定度(p

≈95%)计算得0.04347m，则测量结果可表示为（1.84±0.05）m

Er＝2.7%(p

≈95%)（4）在测量结果后一般用括号注明置信概率的近似值。按本课程的约定，以后在表示测量结果时，如果置信概率p≈95%时，为方便起见，可以不注明注明。。

用米尺测量某一物体的长度

，所得实验数据如下表所示，试求

的平均值和误差，并写出测量结果的表达式(仪器误差)。测量次数123456

(cm)12.2512.2012.1912.1612.2312.21解：这是直接测量问题

例1

例2下面以大学物理实验所涉及的用光杠杆法测量微小长度变化量来测量金属丝杨氏模量实验为例,用不确定度评定的简化评定方法进行数据处理,从而得到测量结果的完整表述。具体测量数据详见表1、表2、表3。

表1钢丝直径(d)的测量数据(千分尺刻度值=0.01mm,Δ仪=0.004mm,零点误差=0.010mm)测量次数n12345钢丝直径d0/mm0.8060.8090.8070.8040.8100.807表2伸长量的测量数值（竖尺刻度值=0.01cm）次数加砝码质量m/kg望远镜刻度尺读数/cm等间隔（增加或减少3kg）逐差法刻度尺变量XiHi(增量)Hi*(减量)112.282.21增重减重221.731.82X1=1.35X4=1.43331.301.12X2=1.30X5=1.42440.930.78X3=1.45X6=1.25550.430.4066-0.15-0.13钢丝口下夹头间距离(cm)L=101.00±0.05平面镜到标尺间距(cm)D=160.00±0.05光杠杆前后足间距(cm)b=7.300±0.002表3

L、D、b的测量数据(单次测量)TSDA、B—金属丝两端螺丝夹；C—平台；D—砝码；G—光杠杆；J—仪器调节螺丝；T—望远镜；S—标尺数据处理如下

(p=0.95)(1)钢丝直径(d)测量数据处理。钢丝直径(d)修正后平均值,

=0.807-0.01=0.797mm钢丝直径(d)的B类不确定度分量,

ΔB=Δ仪=0.004mm钢丝直径(d)的A类不确定度分量,

钢丝直径(d)的总不确定度合成钢丝直径(2)标尺改变量X的测量数据处理。每改变3个砝码,标尺改变量平均值

的A类不确定度分量

的B类不确定度分量,ΔB=Δ仪=0.01cm

的总不确定度（3）杨氏模量的测量结果。杨氏模量平均值杨氏模量不确定度计算

圆柱体的体积可用通过测量其直径和长度而获得,经粗测其直径约10mm,长约20mm,若要求测量最终结果的相对标准不确定度为<0.2%。测量仪器应如何选择?解:由公式V=πD*D*H/4得圆柱体体积的相对标准不确定度应用均分原理,此时ΔD与ΔH对ΔV的影响都相同,即

例3将D和H的粗测值及ΔV/V值代入上式,得，因为在置信概率（p=0.683）时，ΔB≈0.683Δ仪。所以ΔD仪=ΔD/0.683=0.010;ΔH仪=ΔH/0.683=0.041。考虑到千分尺最大允差为0.01mm，游标卡尺最大允差为0.02mm(或0.05mm),直尺最大允差为0.1mm，经比较，显然测量圆柱体的直径应选用千分尺，测量其长度应选用游标卡尺即可。伏安法是大学物理实验中测量电阻的常用方法之一。关于伏安法测量结果不确定度的估算,目前在各类院校的大学物理实验教材中普遍采用的做法是:当待测电阻R值很大时,选择电流表的内接电路(图1a);当待测电阻R很小时,选择电流表的外接电路(图1b)。这样就可以忽略电流表内阻和电压表内阻对测量电路AV

图aAV

图b例4伏安法测电阻的不确定度的影响,而能够直接运用欧姆定律求得电阻R,其测量结果的相对不确定度E为最简形式,即很明显,式(1)的适用条件是待测电阻R或是很大的,或是很小的。而在实际测量中,难免遇到电阻R既不是很大,也不是很小的情况,这时如何估算其不确定度呢?

由图1的内接和外接电路图,并考虑到电流表内阻RI和电压表内阻RV的作用,则待测电阻R可分别表示为

将上述两式代入不确定度的传递公式,即可得到电阻R在内接和外接电路中的相对不确定度分别为从(2)式和(3)式可见:①适当地选择内接或外接电路有利于减小测量结果的不确定度。即当R不很大,只要R大于电流表内阻RI(一般RI:几欧姆至几十欧姆)采用内接电路测量；当R不很小,只要R小于电压表内阻(一般RV约几十千欧姆),采用外接电路测量；而且,其测量结果的不确定度都能满足一般的精度要求。②在R值很大,即R>>RI时,或在R值很小,即R<<RV时,无论采用内接还是外接电路,其相对不确定度计算式均转化为(1)式。结论：(1)式只是(2)式或(3)式的特定条件下的公式。就是说，只用(1)式做估算测量结果不确定度的依据是不全面的，而利用(2)式和(3)式估算不确定度，不仅能够对伏安法测电阻过程中所涉及的定系统误差予以修正，而且还把修正值的不确定度对测量结果不确定度的影响予以全面的考虑和评价。（6）实验记录：数据以表格形式列出，单位、有效数字完整的实验报告应包括以下内容：（2）实验目的；（1）实验名称；（3）实验原理：依据的原理、主要公式、电路图、光路图等。