行列式定义的引入

行列式定义的引入解方程组第2页,共19页，2024年2月25日，星期天本课程主要讲述：一般形式线性方程组的求解问题(理论)注意实践上n与s的取值。第3页,共19页，2024年2月25日，星期天第1节矩阵概念的引入问题1：电脑硬盘容量？≥

500G,1T,2T问题2：如此大的存储空间作为研究是否够用？一次地震勘探的数据量多达数百G。问题3：如何有效组织这些数据？最简单的组织形式就是将数据按一维顺序形式排列起来，这是一维数组；其它常见的组织形式还有二维数组（又称矩阵），三维与高维数组，链表，树等形式。每种组织都有其自己的特点，应使问题选用合适的组织形式。我们主要研究最基本的一维（向量）与二维数组（矩阵）形式。第4页,共19页，2024年2月25日，星期天矩阵定义：由sn个数排成如下的的s行n列的阵列就称为一个s×n

矩阵。其中aij

是数，称为矩阵的元素,i=1,2,…,s称为元素的行指标，j=1,2,…,n称为元素的列指标。在记号上，一般用英文大写字母A，B，C表示矩阵，用小写字母表示矩阵的元素。第5页,共19页，2024年2月25日，星期天矩阵的例子：A＝特殊矩阵（仅从外观上）1)s=n,如上边的矩阵A,称为方阵；

s=1,只有一行的矩阵，称为行矩阵，又称行向量；

n=1,只有一列的矩阵，称为列矩阵，又称列向量；

s=n=1,该矩阵只含一个元素，因此大多数情况下直接使用该数。第6页,共19页，2024年2月25日，星期天问题：请在方阵A上定义一个函数？基本要求：自然地，希望这n2个数都能被用上，且使每个位置上的数对所构造函数的贡献尽量一样，即它们的位置在函数的定义中应保持某种平衡。针对上面的目标，该如何定义这个函数？或者说应有哪些基本原则应该遵循？第7页,共19页，2024年2月25日，星期天如下原则可能是需要的：可分性，即定义的函数不应是一个不可有效分割的整体；各部分间应类似，不应出现过多的分部形式；每一部分应包含部分数据；简单性，应避开使用复杂的函数形式；应存在抵消机制，即保持所定义的函数在可控的范围内，而不会轻易出现天文数字。

…第8页,共19页，2024年2月25日，星期天第2节排列及其奇偶性目的：为了引进对方阵函数定义的正负抵消机制。定义：由1,2,…,n组成的一个有序数组称为一个n级排列。例如，2431是一个四级排列，54321是一个5级排列。n级排列的总数是n(n-1)·

·

·2·1=n!排列12·

·

·

n具有自然顺序，即数字按递增的顺序排列起来，称这样的排列为标准排列，其它的排列都或多或少地破坏自然顺序。第9页,共19页，2024年2月25日，星期天定义：在一个排列中，如果一对数所处的前后位置与其大小次序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序或反序，一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数或反序数。排列2431的逆序数是4；排列45321的逆序数是9。对任一n级排列用表示其逆序数。从而注意到n级标准排列的逆序数为0，而排列n(n-1)…21任取两个数均为逆序，从而具有最大逆序数，且其逆序数为n(n-1)/2,故第10页,共19页，2024年2月25日，星期天定义：称逆序数为偶数的排列为偶排列；逆序数为奇数的排列为奇排列。由知排列2431为偶排列，

45321为奇排列。例

＝第11页,共19页，2024年2月25日，星期天逆序数为故排列的奇偶性与k的奇偶性相同。2)逆序数为故当n=4k,4k+1时，排列为偶排列；当n=4k+2,4k+3时，为奇排列。例：计算以下各排列的反序数，并讨论它们的奇偶性第12页,共19页，2024年2月25日，星期天在排列中，把任意两个元素（数）对调位置，而其余的数不动，就得到另一个排列，这种作出新排列的方法（变换）称为一个对换。定理：对换改变排列的奇偶性。推论：在全部n级排列中，奇偶排列的个数相等，各占n!/2。定理：任意一个n级排列与标准排列12…n都可以经过一系列对换互变；且所作对换的个数与这个排列有相同的奇偶性。即奇排列变成标准排列的对换次数为奇数，偶排列变成标准排列的对换次数为偶数。第13页,共19页，2024年2月25日，星期天第3节行列式的定义定义：n级行列式等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和。第14页,共19页，2024年2月25日，星期天例：计算行列式例：计算行列式第15页,共19页，2024年2月25日，星期天例：计算上三角形行列式＝第16页,共19页，2024年2月25日，星期天行列式定义的等价形式第17页,共19页，2024年2月25日，星期天行列式基本性质：行列互换，行列式不变。＝性质表明，在行列式中行与列的